VIII Problèmes de sythèse L IMAGE DU PRODUIT---------------------------------------------------------- MOI, MON DOUBLE ET SON IMAGE ------------------------------------------- 3 CARRÉ DE L IMAGE = IMAGE DU CARRÉ ------------------------------------- 5 MÉTHODES POUR LES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES (1) ----------------- 7 MÉTHODES POUR LES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES () ---------------- 11 QUEUE DE POISSON AU PÉAGE ---------------------------------------------- 15 MOYENNE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE ----------------------------------18 F O F = EXP ------------------------------------------------------------------- 0
L IMAGE DU PRODUIT Objectif Outils Caractériser les solutios d ue équatio foctioelle classique Dérivabilité Dérivabilité de la foctio composée Notio de primitive Caractériser les foctios vérifiat la relatio f (y) = f () + f (y) A Soit f ue foctio défiie sur R et vérifiat : «pour tous réels et y, f (y) = f () + f (y)» Motrer que f (0) = 0 et que f est la foctio ulle B Soit f ue foctio défiie et dérivable sur ] 0 + [ et vérifiat : «pour tous réels et y, f (y) = f () + f (y)» 1 Motrer que f (1) = 0 Soit y ] 0 + [, y fié Motrer que les foctios h : f () + f (y) et g : f (y) sot dérivables sur ] 0 + [ et que, pour tout ] 0 + [, yf (y) = f () 3 E déduire que, pour tout y ] 0 + [, f '(1) f '( y) = (predre = 1) y k Coclusio : E posat k = f (1), o a : pour tout y ] 0 + [, f '( y) = Autremet dit, f est la y primitive sur ] 0 + [ de la foctio k y qui s aule e 1 y C Réciproquemet, soit k u réel et f ue foctio défiie et dérivable sur ] 0 + [ telle que f (1) = 0 k et, pour tout ] 0 + [, f '( ) = 1 Soit y ] 0 + [, y fié Motrer que les foctios f et h : f (y) ot la même dérivée E déduire qu il eiste u réel C tel que, pour tout ] 0 + [, f (y) = f () + C 3 Motrer que C = f (y) Coclusio : La primitive, sur ] 0 + [, de de ] 0 + [, f (y) = f () + f (y) k qui s aule e 1 vérifie : pour tous réels et y VIII Problèmes de sythèse L image du produit
MOI, MON DOUBLE ET SON IMAGE Objectif Outils Utiliser la cotiuité et la dérivabilité pour résoudre des équatios foctioelles Cotiuité et dérivabilité d ue foctio e u poit Raisoemet par récurrece Il s agit de rechercher, d ue part, les foctios vérifiat f () = f () et, d autre part, celles vérifiat f () = f () A Étude des foctios vérifiat f () = f () Soit f ue foctio défiie sur IR et vérifiat la coditio : (*)quel que soit le réel, f () = f () 1 Pour cette questio seulemet, o suppose de plus que, quel que soit le réel de [ 1 ; [, f () = 1 1 1 3 3 a Calculer f ( ), f ( 4), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( 3 ) 4 8 4 b Représeter f sur l itervalle [ 1 ; [ E déduire la représetatio de f sur les itervalles ; 1 4 ; ; 1 ; 1 4 ; c Doer l allure de la représetatio graphique de f das le cas où f est impaire d Calculer f (0,01) et f (100) Il s agit ici de motrer que, si o coaît f sur [ 1 ; [, alors o coaît f sur ] 0 ; + [ a Motrer que, quel que soit p apparteat à Z, f ( p ) = f (1) b Motrer que, quel que soit le réel et quel que soit l etier relatif p, f () = f ( p ) c Soit u réel de l itervalle ] 1 ; + [ et soit p l etier aturel tel que p < p+1 Motrer que : p appartiet à l itervalle [ 1 ; [ E déduire que f () est cou d Étudier le cas où ] 0 ; 1 [ 3 O suppose das cette questio que f est cotiue e 0 F Motrer que, quel que soit IR et quel que soit p IN, f ( ) = f p H G I K J E déduire que f () = f (0) pour tout réel Coclure L NM L NM L NM 1 L NM VIII Problèmes de sythèse Moi, mo double et so image 3
B Étude des foctios vérifiat f () = f () Soit f ue foctio défiie sur IR et vérifiat la coditio : (**) quel que soit le réel, f () = f () O peut remarquer que les foctios liéaires vérifiet cette relatio 1 Détermier f (0) a Soit C la courbe représetative de f das le pla rapporté au repère (O; i ; j ) et M ( ; y ) u poit de C Motrer que le poit M, trasformé de M par l homothétie de cetre O et de rapport, est aussi sur C b O suppose que, quel que soit [ 1 ; [, f () = Tracer alors la représetatio graphique de f c O suppose que, quel que soit [ 1 ; [, f ( ) = 3 5 Tracer alors la représetatio graphique de f sur [ 0 ; + [ 3 O suppose maiteat que f est dérivable e 0 Motrer que : a quel que soit IR et quel que soit IN, f ( ) = f ( ) f ( ) f ( 0) b quel que soit IR* et quel que soit IN, f ( ) = 4 Applicatio E déduire que, quel que soit IR*, f () = f (0), puis que f est liéaire Soit g ue foctio dérivable sur IR, telle que g "(0) eiste et vérifiat la coditio : a Motrer que g (0) = 0 b Motrer que g vérifie la coditio (**) quel que soit IR, g () = 4g () c Motrer qu il eiste deu réels α et β tels que, pour tout IR, g () = α + β d Motrer que β = 0 et doer toutes les foctios vérifiat les coditios imposées VIII Problèmes de sythèse Moi, mo double et so image 4
CARRÉ DE L IMAGE = IMAGE DU CARRÉ Objectif Outils Résoudre ue équatio foctioelle Raisoemet par récurrece Foctio logarithme épérie Foctios puissaces et leurs propriétés (e particulier α est défiie e 0 pour a > 0 Trouver les foctios défiies cotiues sur R +, dérivables sur R + *, de dérivée cotiue e 1 et telles que l image du carré de chaque réel positif soit égale au carré de l image de ce réel Propriétés : ( ) ( ) + (1) pour tout R, f = f( ) + + () f est cotiue sur R, dérivable sur R * (3) f ' est cotiue e 1 Questios 1 a Quelles sot les foctios costates solutios du problème? b Motrer que les foctios ; 3 ; sot solutios du problème c Soit la foctio h défiie sur R + par h = ( ) pour tout [0;1] h ( ) = pour tout [1; + [ Motrer que h vérifie les propriétés (1) et () mais pas la propriété (3) a Motrer que, pour tout 0, o a : f () 0 b Quelles sot les valeurs possibles de f (0) et f (1)? 3 Démotrer que : 4 [ ] a pour tout R, f( ) = f( ) 4 1 1 + b pour tout R, f = [ f( ) ] + + ( ) [ ] ( ) [ ] c pour tout R, et tout N, f = f( ) ( 1') + d pour tout R, et tout N, f = f( ) (') VIII Problèmes de sythèse Carré de l image = Image du carré 5
4 Soit a et deu réels positifs o uls a Détermier ( ) ( ) lim puis lim a f a f + + ([ ] [ ] ) E déduire la valeur de lim f( a) f( ) + b Démotrer que, si f s aule pour u réel a o ul, alors, pour tout réel o ul, o a : [ ] lim f( ) = 0 + E déduire que f est costate sur ] 0 ; + [, puis que f est costate sur [ 0 ; + [ 5 O suppose f o costate a Motrer que, pour tout > 0, o a : f () 0 b O cosidère la foctio g défiie sur ] 0 ; + [ par f '( ) g ( ) = f( ) E dérivat la relatio f ( ) = [f ()], calculer g ( ) e foctio de g () c Motrer que, quel que soit > 0 et IN, o a : ( ) ( ) ( ) puis que ( ) g g g g = = E faisat tedre vers l ifii, démotrer que g est costate sur ] 0 ; + [ et doc qu il f '( ) k eiste u réel k tel que, pour tout apparteat à ] 0 ; + [, o a : = f( ) d E déduire que les foctios cherchées, si elles e sot pas costates, sot écessairemet de la forme f () = α k, avec α > 0 et k > 0 6 Pour quelles valeurs de α la foctio α k est-elle ue foctio f cherchée? E déduire toutes les foctios f cherchées VIII Problèmes de sythèse Carré de l image = Image du carré 6
MÉTHODES POUR LES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES (1) Objectif Notios utilisées Dégager quelques méthodes de résolutio d équatios foctioelles Raisoemet par récurrece Limites Dérivées O appelle équatio foctioelle ue égalité mettat e jeu ue foctio f, apparteat à u esemble doé F de foctios aisi qu ue ou plusieurs variables, apparteat à des esembles qui sot spécifiés Résoudre cette équatio foctioelle, c est trouver l esemble S des foctios f élémets de F telles que l égalité soit vérifiée pour toutes les valeurs des variables apparteat au esembles précisés par le tete Voici quelques eemples d eercices sur les équatios foctioelles : 1 Détermier les foctios f défiies et cotiues sur R telles que pour tous réels et y, o ait f( + y) f( y) = f () f(y) Détermier les foctios f défiies sur [ 0 ; + [ et à valeurs das [ 0 ; + [, vérifiat f () = 0, e s aulat pas sur [ 0 ; [, et telles que pour tous réels positifs et y o ait f ( + y) = f ( f (y) ) 3 Détermier les foctios f défiie et cotiues sur R3 telles que pour tous réels et y, o ait f ( + y) = f () + f (y) Les équatios foctioelles sot très diverses, et la méthode de résolutio du problème 1 est très différete de celle du problème Quat au problème 3, les mathématicies se sot redus compte qu il e peut pas être résolu de faço vraimet satisfaisate Ceci motre bie qu ue équatio foctioelle peut être de résolutio très difficile! Le problème 3 admet e revache u esemble de solutios simples si o e cherche que les foctios cotiues vérifiat l équatio foctioelle O voit par là le rôle importat que peuvet jouer les hypothèses sur f Il y a aussi des équatios foctioelles mettat e jeu la dérivée première de f, ou ses dérivées première et secode, voire d ordre supérieur (eemple : f" = 4 f ) O les appelle alors équatios différetielles Ue équatio foctioelle peut aussi faire iterveir ue itégrale de f, et elle est alors ommée équatio itégrale Sot eposées ci-dessous divers eemples de résolutio d équatios foctioelles, mettat e jeu diverses méthodes Par cotre les équatios différetielles et itégrales e sot pas abordées ici VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles (1) 7
ILLUSTRATION Résolutio d équatios foctioelles par A -L Cauchy, das so ouvrage «Aalyse Algébrique», datat de 181 (Cité das «Mathématiques au Fil des Âges», IREM, sous la directio de Jea Dhombres, chez Gauthier-Villars 98 COURS D ANALYSE CHAPITRE V DÉTERMINATION DES FONCTIONS CONTINUES D UNE VARIABLE PROPRES À VÉRIFIER CERTAINES CONDITIONS I Recherche d ue foctio cotiue formée de telle maière que deu semblables foctios de quatités variables, état ajoutées ou multipliées etre elles, doet pour somme ou pour produit ue foctio semblable de la somme ou du produit de ces variables Lorsque, au lieu de foctios etières, o coçoit des foctios quelcoques, dot o laisse la forme etièremet arbitraire, o e peut plus réussir à les détermier d après u certai ombre de valeurs particulières, quelque grad que soit ce même ombre ; mais o y parviet quelquefois das le cas où l o suppose coues certaies propriétés géérales de ces foctios Par eemple, ue foctio cotiue de, représetée par Φ(), peut être complètemet détermiée lorsqu elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs possibles des variables et y, l ue des équatios (1) Φ( + y) = Φ() + Φ(y) () Φ( + y) = Φ() Φ(y) ou bie, pour toutes les valeurs réelles et positives des mêmes variables, l ue des équatios suivates : (3) Φ( y) = Φ() + Φ(y) (4) Φ( y) = Φ() Φ(y) La résolutio de ces quatre équatios pose quatre problèmes différets que ous allos traiter l u après l autre VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles (1) 8
A EXPLOITATIONS D UNE LIMITE Eercice 1 : Foctios périodiques Soit T u ombre réel o ul O ote P l esemble des foctios f défiies sur R et vérifiat pour tout réel l équatio foctioelle : f ( + T ) = f () O ote Q l esemble des foctios f élémets de P et de plus admettat ue limite fiie e + 1 Défiir deu foctios o costates élémets de P Soit f ue foctio élémet de P Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel et pour tout réel f ( + T ) = f () Démotrer que l o a égalemet f ( T ) = f () 3 Déduire de la questio précédete que Q est l esemble des foctios costates sur R (o pourra distiguer les cas T > 0 et T < 0) Eercice Soit K u ombre réel différet de 0, de 1 et de 1 O ote S 0 l esemble des foctios f défiies sur R* = R \ {0}, vérifiat pour tout réel l équatio foctioelle f (K) = f (), et admettat ue limite fiie e zéro 1 Soit f ue foctio élémet de S 0 Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel et, pour tout réel, f (K ) = f () Démotrer que l o a égalemet f (K ) = f () Démotrer que S 0 est l esemble des foctios costates sur R* (o pourra distiguer les cas K > 1 et K < 1) B MÉTHODE DU «CHANGEMENT DE FONCTION» Cette méthode cosiste, à partir d ue foctio icoue das ue équatio foctioelle (E), à costruire ue ouvelle foctio qui se trouve alors solutio d ue ouvelle équatio foctioelle (E ), plus aisée à résoudre Eercice 1 Soit K u ombre réel différet de 0, de 1 et de 1 ; soit p u etier relatif O ote S p l esemble des foctios g défiies sur R*, vérifiat pour tout réel o ul l équatio foctioelle g (K) = K p g (), g( ) et telles que la foctio admette ue limite fiie e 0 p 1 Soit g ue foctio élémet de S p Démotrer que la foctio f défiie sur R* par g( ) f( ) = est élémet de S p 0 Grâce à la coclusio de l eercice, e déduire toutes les foctios g élémets de l esemble S p VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles (1) 9
Eercice O ote S l esemble des foctios h défiies sur R, dérivables e 1, et vérifiat pour tout réel l équatio foctioelle h ( ) = h () Soit h ue foctio élémet de l esemble S 1 Détermier h (1) Soit g la foctio défiie sur R* par g () = h (e ) Trouver ue équatio foctioelle vérifiée par g g ( ) he ( ) h(1) e 1 Démotrer que = e 1 lorsque ted vers 0 et e déduire que cette epressio admet ue limite fiie E déduire que g appartiet à l esemble S 1 défii das l eercice 1, pour ue valeur de K égale à 3 Grâce au résultat démotré das l eercice 1, détermier l esemble S Eercice 3 O ote S l esemble des foctios f défiies sur R, vérifiat pour tout réel l équatio foctioelle f (3) = 9f () + 3 f( ) f(0), et de plus, telles que la foctio, admet ue limite e 0 1 Démotrer que toute foctio élémet de S s aule e zéro Démotrer qu il eiste ue foctio ϕ élémet de S de la forme ϕ : a 3, où a est u ombre réel que l o détermiera 3 Soit f ue foctio défiie sur R O ote h la foctio défiie sur R* par h () = f () ϕ() Démotrer que f est élémet de S si et seulemet si h est élémet de l esemble S défii das l eercice 1, pour ue valeur de K égale à 3 4 E déduire tous les élémets de l esemble S 5 Détermier la foctio f élémet de S et vérifiat de plus f (1) = 1 D autres eemples et d autres méthodes de résolutio sot proposées das le chapitre suivat Sujet d étude (Olympiades iteratioales 1983) Détermier toutes les foctios f de ] 0 ; + [ das lui-même qui vérifiet les coditios suivates : (1) Pour tous réels strictemet positifs et y : f ( f (y) ) = y f () () La limite de f e + est égale à zéro O pourra, si o le souhaite, chercher à partir de ce seul tete, sas lire les idicatios qui suivet Si o «sèche» trop, ou si o est impatiet, o lira les idicatios ci-dessous INDICATIONS Démotrer que pour tout réel strictemet positif, le réel f () est ivariat par f (c est-à-dire que si l o ote ce réel y, o a f (y) = y) Soit y u réel ivariat par f Démotrer que pour tout réel : f (y) = y f () E déduire que f(1) = 1 puis que 1 y et y (où Z) sot ivariats, et, e eploitat la limite, que y e peut être i strictemet supérieur à 1, i strictemet iférieur à 1 Coclure VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles (1) 10
MÉTHODES POUR LES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES () Objectif Notios utilisées Dégager quelques méthodes de résolutio d équatios foctioelles Raisoemet par récurrece Foctio epoetielle Cette séquece présete, das la cotiuité de la séquece précédete, d autres méthodes de résolutio d équatios foctioelles A DÉTERMINATION DE LA FONCTION SUR Q, PUIS SUR R Eercice 1 O se propose de détermier toutes les foctios f défiies sur R, cotiues sur R et vérifiat, pour tout réel, l équatio foctioelle : f ( + y) = f () + f (y) Soit f ue foctio remplissat ces coditios Soit u ombre réel quelcoque 1 a Démotrer que f (0) = 0 et que f ( ) = f () b Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, f () = f () c Démotrer que pour tout etier aturel, f ( ) = f () O a doc, pour tout etier relatif k, f (k) = k f () d Démotrer que, pour tout etier aturel o ul p, 1 1 f = f( ) p p e Démotrer que, pour tout ombre ratioel q, f (q) = q f () O pose : f (1) = λ Démotrer que, pour tout ombre ratioel q, f (q) = λ q O admet que tout ombre réel est la limite d ue suite de ombres ratioels 1 Démotrer que, pour tout réel, o a f () = λ (o pourra poser : = lim q, où, pour tout etier aturel, q est u ombre ratioel) Quelles sot les foctios f vérifiat les coditios éocées? 1 Par eemple, o peut cosidérer la suite (u ) N*, u état le ombre décimal (doc ratioel) formé des chiffres de l écriture décimale de, jusqu au -ième chiffre après la virgule seulemet La suite (u ) est alors ue suite de ombres ratioels admettat pour limite VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles () 11
Eercice O se propose de détermier toutes les foctios f défiies sur R, cotiues sur R, vérifiat pour tout réel l équatio foctioelle : f ( + y) f ( y) = ( f () f (y)) Soit f ue foctio remplissat ces coditios 1 a Motrer que f (0) { 1 ; 0 ; 1 } b Motrer que f (0)f () = [ f () ] 4 E déduire que, si f (0) = 0, alors f est la foctio ulle c Motrer que, pour tout réel, f(0) f( ) = f E déduire que, pour tout réel, f () est du sige de f (0) O suppose que f (0) 0 O veut motrer, e raisoat par l absurde, que, pour tout réel, f () 0 Supposos qu il eiste u réel o ul 0 tel que f ( 0 ) = 0 0 Motrer que, quel que soit l etier aturel, f = 0 et e déduire f (0) Coclure 3 O suppose que f (0) = 1 a Motrer que f (1) est u ombre strictemet positif A b Motrer que f est ue foctio paire c Détermier f (), puis f (3) e foctio de A et prouver par récurrece que pour, tout etier aturel, f( ) = A ( ) d Soit u ombre réel quelcoque Grâce à u raisoemet par récurrece aalogue, démotrer que pour tout etier aturel p : ( ) f( p) = f( ) p e E posat tout etier aturel : 4 1 = das l égalité précédete, démotrer que pour tout etier aturel o ul p et p f = A p p f Démotrer que, pour tout ratioel q, f( q) = A ( ) g E déduire que, pour tout réel, f( ) = A (O pourra poser = lim q où, pour tout etier aturel, q est ratioel) h Réciproquemet, vérifier que toute foctio de cette forme vérifie bie les coditios posées au départ ( q ) 4 Étudier le cas où f (0) = 1 (O pourra cosidérer que g = f ) VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles () 1
B MÉTHODES DIVERSES Eercice 1 Eploitatio d ue dérivabilité O se propose de détermier toutes les foctios f à valeurs réelles, défiies sur ] 0 ; + [, vérifiat, pour tout réel, l équatio foctioelle : f (y) = f () + f (y), et qui soiet de plus dérivables e 1 Soit f ue foctio remplissat ces coditios 1 Démotrer que f (1) = 0 O ote a le ombre f (1) Eprimer a comme ue limite, puis démotrer que f est dérivable e tout réel de ] 0 ; + [, et a démotrer que f '( ) = 3 E déduire toutes les foctios vérifiat les coditios doées au départ Eercice Méthode du chagemet de foctio O se propose de détermier toutes les foctios f de R das R, cotiues sur R, différetes de la foctio ulle, et vérifiat, pour tout réel, l équatio foctioelle f (y) = f () f (y) O ote S l esemble des foctios f remplissat ces coditios Soit f ue foctio élémet de S 1 Démotrer que f e s aule e aucu réel o ul (O pourra raisoer par l absurde) Démotrer que f (1) = 1 Démotrer que f ( 1) est égal soit à 1, soit à ( 1) E déduire que f est soit paire, soit impaire Démotrer que f est strictemet positive sur ] 0 ; + [ Soit g la foctio défiie sur R par g () = l( f (e )) Démotrer que g est cotiue sur R et que g vérifie l équatio foctioelle de l eercice 1 E déduire, grâce à la résolutio de l eercice 1, l epressio de g () pour réel, puis celle de f () pour réel strictemet positif 3 Détermier toutes les foctios f de l esemble S Deu autres méthodes peuvet s appliquer à ce même eercice : O peut démotrer d abord que f est cotiue sur ] 0 ; + [, puis à se rameer par chagemet de foctio à l eercice 1 ci-dessus (Pour la méthode du chagemet de foctio, voir chapitre précédet) Ue autre méthode, équivalete à la précédete, cosiste, ue fois établie la cotiuité de f sur R, à poser f (e) = a, puis à eprimer f (e z ) e foctio de a et de z, pour z etier, puis ratioel, puis réel VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles () 13
Sujet d étude 1 Méthode particulière (MP1, Dakar, 1971) O se propose de détermier l esemble S des foctios f défiies sur R, costates sur aucu f( ) + f( y) itervalle ouvert de R et vérifiat la relatio (1) : «pour tous réels et y, f( + y) =» 1 f( ) f( y) Soit f u élémet de S 1 Motrer qu il eiste aucu réel tel que f () soit égal à 1 ou 1 Motrer que f pred toutes ses valeurs das l itervalle ] 1 ; 1 [ (o remarquera que f( ) = f + ) 3 Motrer que f s aule e 0 et que f est ue foctio impaire 4 O fait à préset l hypothèse que f est cotiue à droite e 0 Motrer alors que : a f est cotiue e 0 ; b f est cotiue sur R 5 O suppose à préset que f est dérivable à droite e 0 Motrer que f est dérivable e 0, puis que f est dérivable sur R Établir ue relatio simple etre f et sa dérivée f 1 + f( ) 6 Soit g la foctio défiie sur R par g ( ) = O pose k = f (0) 1 f( ) a Motrer que g = k g et que g (0) = 1 b E déduire l epressio de g () puis celle de f () c Détermier toutes les foctios f de l esemble S Sujet d étude Méthode particulière (Olympiades iteratioales 1986) Détermier toutes les foctios f de [ 0 ; + [ das lui-même qui vérifiet les coditios suivates : (1) Pour tous réels positifs et y : f (y f ()) f () = f ( + y) () f () = 0 (3) Pour tout réel de [ 0 ; [, f () 0 O pourra si o le souhaite chercher à partir de ce seul tete, sas lire les idicatios qui suivet Si o «sèche» trop, ou si o est impatiet, o lira les idicatios ci-dessous INDICATIONS a Motrer que f est ulle sur [ ; + [ b Détermier f (0) c Motrer que, si ] 0 ; [, f( ) (o posera y = das l égalité (1)) d Soit élémet de l itervalle ] 0 ; [ Démotrer qu il eiste u réel positif z tel que: + z = zf () Démotrer que z f () (o posera y = z das l égalité (1)) E déduire que f( ) e Coclure VIII Problèmes de sythèse Méthodes pour les équatios foctioelles () 14
QUEUE DE POISSON AU PÉAGE Objectif Notios utilisées Appliquer l'aalyse (équatios foctioelles) au Probabilités Cotiuité Dérivabilité Foctios epoetielles Des véhicules se présetet à u poste de péage de faço aléatoire Détermier la loi de probabilité qui doe le ombre de véhicules se présetat au péage pedat u laps de temps doé Pour tout couple (u ; v) de réels positifs, tels que u v, o ote X[ uv ; ] la variable aléatoire égale au ombre de véhicules se présetat au péage etre les istats u et v O fait les hypothèses suivates, qui paraisset correspodre à la réalité : 1 La loi de X[ uv ; ] e déped que de la logueur de l'itervalle de temps [ u ; v] ; autremet dit, pour tout etier aturel, il eiste ue foctio p défiie sur [ 0 ; + [, à valeurs das [ 0 ; 1], telle que : ( ) P X[ uv ; ] = = p ( v u) La probabilité d'arrivée d'u véhicule ou plus das u itervalle de temps de durée ulle est ellemême ulle, soit ecore : pour tout etier o ul, p (0) = 0, et p 0 (0) = 1 ; e revache, la probabilité qu'il 'arrive aucu véhicule pedat ue uité de temps 'est pas ulle : p 0 (1) 0 O otera : p 0 (1) = a, avec a ] 0 ; 1 ] 3 Les variables aléatoires X[ uv ; ] cocerat des itervalles de temps disjoits ou 'ayat qu'u istat e commu sot idépedates Autremet dit, si u v u' v', X[ uv ; ] et X [ u '; v ' ] sot idépedates 4 Lorsque la logueur de l'itervalle de temps ted vers 0, la probabilité d'arrivée de deu véhicules ou plus das ce laps de temps est égligeable devat la probabilité d'arrivée d'u véhicule 1 p0( t) p1( t) eactemet : lim = 0 t p () t 0 1 A Détermiatio de la foctio p 0 (p 0 (t) = probabilité qu il 'arrive aucu véhicule durat u itervalle de temps de durée t) 1 a Démotrer que, pour tous réels positifs t et s, p o (t + s) = p o (t)p o (s) (O pourra cosidérer les itervalles de temps : [ 0 ; t ] et [ t ; t + s ]) p ( kt ) = p ( t) k b E déduire que pour tout etier aturel k, ( ) 0 0 c Démotrer que pour tout etier aturel o ul k, d Démotrer que, pour tout ratioel positif r, 0 () r p r = a p 0 1 1 k = a k VIII Problèmes de sythèse Queue de Poisso au péage 15
Démotrer que la foctio p o est décroissate sur R + 3 Démotrer que pour tout réel positif t, 0 () t p t = a (O rappelle que, pour tout réel t, il eiste deu suites de ombres ratioels, l'ue croissate, l'autre décroissate, qui coverget vers t) B Détermiatio de la foctio p 1 (p 1 (t) = probabilité qu'il arrive eactemet u véhicule durat u itervalle de temps de durée t) 1 Démotrer que pour tous réels positifs t et s : p1( t+ s) = p1() t p0() s + p1() s p0() t O pose, pour tout réel positif t, q1() t = p1() t a t a Démotrer que q 1 est positive, et que, pour tous, réels positifs t et s, q 1 (t + s) = q 1 (t) + q 1 (s) Démotrer que q 1 est croissate sur R + b O pose q 1 (1) = C Doer l'epressio de q 1 (t) e foctio de C et de t successivemet pour t Q + puis pour t R + e suivat ue démarche aalogue à celle de la partie A c E déduire l epressio de p 1 (t) e foctio de C et de t pour t R + 3 E utilisat la derière hypothèse faite e prélimiaire, détermier la valeur de C Doer alors l'epressio de p 1 (t) C Quelques propriétés des foctios p La foctio q1 a été défiie das la questio B O pose plus gééralemet, pour tout etier aturel t et tout réel positif t : q () t = p () t a 1 Soit u etier supérieur ou égal à E utilisat la derière hypothèse faite e prélimiaire, p () t démotrer que : lim = 0 t p () t 0 1 E déduire que p() t q() t lim = 0, lim = 0, lim p( t) = 0 et lim q( t) = 0 t 0 t t 0 t t 0 t 0 Soit u etier supérieur ou égal à a Démotrer que pour tous réels positifs t et s : p ( t s) p ( t) p ( s) i= + = b E déduire que pour tous réels positifs t et s: q( t+ s) = q() t + ( q i() t qi( s) + q( s) ) i= 0 i 1 i= 1 i D Détermiatio de la foctio p pour etier aturel O ote g 0 la foctio défiie sur R + par, g 0 (t) = 1 Pour tout etier aturel o ul, o ote g la foctio défiie sur R + par g ( l a) t () t =! Pour etier aturel, o désige par (E ) l'égalité des foctios q et g : q = g O souhaite démotrer par récurrece que l'égalité (E ) est vraie pour tout etier aturel 1 Démotrer que q 0 = g 0 et que q 1 = g 1 VIII Problèmes de sythèse Queue de Poisso au péage 16
Soit u etier aturel supérieur ou égal à O suppose das cette questio que l'égalité (E k ) est vraie pour tous les etiers k tels que 0 k ( 1) a Démotrer alors que, pour tous réels positifs t et s: q( t+ s) = q() t + g( t+ s) g() t g( s) + q ( s) (O pourra utiliser la formule du biôme de Newto) b E déduire que q est cotiue à droite e tout réel positif t c O pose Φ = q g Démotrer que, pour tous réels positifs t et s, Φ(t + s) = Φ(t) + Φ(s) d O pose Φ(1) = C E suivat ue méthode aalogue à celles utilisées précédemmet, détermier Φ(t) e foctio de t et de C, pour t ombre réel positif e Démotrer que C est ul E déduire que q = g 3 Grâce au questios précédetes, détermier les foctios q, puis p, pour etier aturel quelcoque E Nature de la loi suivie par les variables aléatoires X [0 ; t ] O dit qu'ue variable aléatoire X, à valeurs das N, suit la loi de Poisso de paramètre λ si, pour tout λ λ etier aturel, PX ( = ) = e! Déduire de l'étude précédete que la variable aléatoire X [0 ; t ], doat le ombre de véhicules se présetat au péage au cours d'ue durée de t secodes, suit ue loi de Poisso dot o précisera le paramètre VIII Problèmes de sythèse Queue de Poisso au péage 17
MOYENNE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE Objectif Notios utilisées Étude d ue foctio défiie à partir d ue limite de suite et caractérisée par des équatios foctioelles Le programme d Aalyse de termiale S Eistece de la limite d ue suite croissate majorée Limite à droite Limite à gauche Étude d ue foctio défiie à partir d ue limite de suite et caractérisée par des équatios foctioelles Problème 1 À tout couple ( a ; b ) de réels positifs ou uls, o associe les suites u et v aisi défiies : u = a u = + 1 0 (1) et pour tout N v 1 0 b = v+ 1 = ( u +v ) a Calculer u et v e foctio de das les deu cas particuliers a = 0, b 0 et a 0, b = 0 b Motrer que u v pour tout etier 1 et que les suites (u ) et (v ) sot mootoes à partir du rag 1 c E déduire que les suites (u ) et (v ) coverget et ot la même limite Cette limite, qui est foctio du couple ( a ; b ) et qui e peut être eplicitée e gééral, sera otée L (a, b) d Motrer que, pour a 0, b 0 et λ 0, o a : () Lab (, ) = Lba (, ) (3) L( λa, λ b) =λl( a, b) 1 (4) ab L( a, b) ( a + b) a+ b (5) Lab (, ) = L( ab, ) O utilise la limite étudiée plus haut pour défiir la foctio a Calculer F (0) et F (1) u v [0, + [ R F : L(1, ) b Soit et deu réels positifs ou uls tels que < O cosidère les suites u, v, u et v u0 = 1 u0' = 1 défiies par les relatios (1) avec et v0 = v0' = ' Comparer, pour tout etier aturel, d ue part u et u et d autre part v et v VIII Problèmes de sythèse Moyee arithmético-géométrique 18
E déduire que F () F ( ) Quel est le ses de variatio de la foctio F? Quel est le sige de F ()? 3 E utilisat les résultats du 1d, motrer que, pour > 0, o a : 1 (6) F( ) (1 + ) 1 (7) F( ) = F 1+ (8) F( ) = F 1 (9) F( ) = (1 + ) F 1+ 4 a Motrer que F est dérivable e 1 et préciser la valeur de F (1) b Motrer que F () ted vers + lorsque ted vers + c O étudie F au voisiage de 0 Rappel : Toute foctio croissate sur [ 0 ; + [ admet ue limite à droite e 0 Soit la limite à droite de F e 0 Motrer, e utilisat l égalité (9) que = 0 F est-elle cotiue e 0? F est-elle dérivable e 0? d Démotrer que, pour tous réels strictemet positifs s et t tels que t s, o a : 1 1 1 Fs () Ft () = ( s tf ) t F F s + s t 1 1 puis 0 Fs ( ) Ft ( ) ( s tf ) ( s tf ) s t Soit a u réel positif Déduire des égalités précédetes que F est cotiue e a F( ) F( ) e Étudier les limites évetuelles, lorsque ted vers +, de et F( ) Iterpréter graphiquemet la limite de e + Iterpréter les deu limites ci-dessus e termes de croissace comparées des foctios F,, au voisiage de + f Tracer das u même repère les représetatios graphiques des foctios 1 et (1 + ) et doer l allure de la courbe représetative de F VIII Problèmes de sythèse Moyee arithmético-géométrique 19
F O F = EXP Objectif Notios utilisées Résolutio d ue équatio foctioelle par aalyse et sythèse Tout le programme de TS, e particulier le raisoemet par récurrece, mais aussi l esemble des propriétés des foctios cotiues sur u itervalle de R Das cette séquece o soulève le problème de l eistece de foctios f cotiues sur R et vérifiat la relatio : f f = ep et o s itéresse au propriétés de telles foctios A Propriétés de base des foctios solutios O cosidère ue foctio f cotiue sur R et vérifiat : f f = ep 1 Ecadremet de f par deu foctios usuelles a Démotrer que toute solutio de l équatio f () = est aussi solutio de l équatio e = E déduire que l équatio f () = a pas de solutio b E déduire que f () est de sige costat pour réel c Démotrer qu il est impossible que, pour tout réel, o ait f () < E déduire que, pour tout réel, f () > d Démotrer que pour tout réel, f () < e e Démotrer que f (0) appartiet à l itervalle ] 0 ; 1 [ Propriété fodametale Démotrer que pour tout réel, f (e ) = e f () (propriété (*)) 3 Limites de f e + et a Détermier la limite de f e + b f () s écrit f () = l( ep( f ()) ) Trasformer cette écriture grâce à la propriété (*) E déduire que f ted vers l( f (0)) e Démotrer que l( f (0)) est strictemet égatif 4 Ses de variatio de f Démotrer que f est ijective E déduire que f est strictemet mootoe sur R, puis que f est strictemet croissate sur R (utiliser 3a) I - Problèmes itroductifs f o f = ep 0
B Croissaces comparées au voisiage de + 1 Mioratio de f ( ) f( ) O pose, pour tout réel strictemet positif, g ( ) = a E cosidérat l image par g de l itervalle [ 1 ; e ], démotrer qu il eiste u ombre réel k, strictemet supérieur à 1, tel que, pour tout réel de [ 1 ; e ], g () k b Démotrer que, pour tout réel strictemet positif, g (e ) = ep( ( g () 1) ) (propriété (**)) Démotrer que, si est élémet de [ 1 ; + [ et si g () k, alors g (e ) k (o rappelle que pour tout réel, e + 1) c O défiit ue suite (e ) N* par récurrece e posat e 1 = e et, pour tout etier aturel o ul, e + 1 = ep(e ) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel o ul, g est miorée par k sur l itervalle [ 1 ; e ] d Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, e E déduire la limite de la suite (e ) e Démotrer que g est miorée par k sur [ 1 ; + [ Diverses limites a À partir de la propriété (**), démotrer que, pour tout réel t de [ e ; + [, g (t) = ep( l t ( g (l t) 1)) E déduire, grâce au B1e, ue mioratio de g (t), pour t élémet de [ e ; + [, puis la limite f() t de quad t ted vers + t b Soit a ] 0 ; + [ et ] 1 ; + [ Eprimer f ( ) e foctio de y = l, e utilisat la propriété (*) a E déduire la limite de f ( ) pour tedat vers + a c Pour réel, f ( ) e + peut s écrire aussi d Soiet a et deu réels strictemet positifs Eprimer f ( ) e foctio de y = l, e utilisat la propriété (*) a e E déduire la limite de f ( ) pour tedat vers + a e e Soiet a et deu réels strictemet positifs Eprimer f( ) ep( ) a E déduire la limite de f( ) f( f( )) E déduire la limite de f ( ) pour tedat vers e e foctio de y = l,, e utilisat la propriété (*) f( ) ep( ) a pour tedat vers + I - Problèmes itroductifs f o f = ep 1
C Epressio de f à partir d ue de ses restrictios Soit φ la restrictio de f à l itervalle [ 0 ; f (0) ] O se propose de motrer que la coaissace de φ etraîe la coaissace de f sur R tout etier 1 a Démotrer que φ est bijective de [ 0 ; f (0) ] sur [ f (0) ; 1 ] b Démotrer que ep φ 1 est le restrictio de f à l itervalle [ f (0) ; 1 ] La coaissace de φ etraîe doc la coaissace de f sur l itervalle [ 0 ; 1 ] O ote f 0 la restrictio de f à [ 0 ; 1 ] Soit ψ la restrictio de f à l itervalle ] ; 0 ] Démotrer que pour tout de ] ; 0 ], ψ() = l( f 0 ( ep () ) ) (O pourra utiliser la propriété *) La coaissace de f sur l itervalle [ 0 ; 1 ] etraîe doc la coaissace de f sur l itervalle ] ; 0 ] 3 O défiit ue suite (e ) N par récurrece e posat : e 1 = 0 et, pour tout etier aturel o ul, e + 1 = ep(e ) O ote I l itervalle [ e ; e + 1 ], et f la restrictio de f à l itervalle I Démotrer que, pour tout etier aturel, f + 1 = ep f l E coséquece, la coaissace de f sur l itervalle [ 0 ; 1 ] etraîe la coaissace de la restrictio de f à chacu des itervalles de la forme [ e ; e + 1 ], pour etier aturel Or la réuio de tous ces itervalles est [ 0 ; + [ 3 Doc la coaissace de f sur l itervalle [ 0 ; 1 ] etraîe la coaissace de f sur [ 0 ; + [ D Costructio des foctios solutios Soit α u réel de l itervalle ] 0 ; 1 [ O cosidère ue foctio φ défiie, cotiue et strictemet croissate sur [ 0 ; α ] telle que φ(0) = α et φ(α) = 1 1 E suivat le pla de la partie C, costruire ue foctio f défiie sur R dot la restrictio à [ 0 ; α ] soit φ Démotrer que la foctio f aisi costruite est cotiue sur R 3 Pour tout etier aturel, o ote f la restrictio de f à l itervalle I a Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, si est élémet de I, alors f () appartiet à I ou à I + 1 b Démotrer par récurrece la propositio suivate : Pour tout etier aturel et pour tout élémet de I, f f () = f f () = e O distiguera les deu cas : f () I ; f () I + 1 c Soit ψ la restrictio de f à ] ; 0 ] et soit u élémet de cet itervalle Démotrer que ψ() appartiet soit à ] ; 0 ], soit à I 0 4 Coclure E déduire que f f () = f ψ() = e 3 Puisque la suite (e ) est ue suite croissate tedat vers + Ce derier résultat a été démotré à la questio B1d I - Problèmes itroductifs f o f = ep
E Représetatio graphique et programmatio d ue foctio solutio Si o pose α = 1 et si o cosidère la foctio affie φ défiie sur 1 0; par φ() = 0,5 +, la foctio φ aisi défiie vérifie les hypothèses spécifiées au début de la partie D D après la partie D, il 1 eiste doc ue uique foctio f cotiue sur R, vérifiat f f = ep, et dot la restrictio à 0; soit égale à φ Ue programmatio récursive permet d utiliser l ordiateur ou la calculatrice programmable pour obteir la courbe représetative de f sur u itervalle boré quelcoque ep f Id 1 0,5 1 La programmatio récursive de la foctio f repose sur les relatios vues ci-dessus : Pour tout de [ φ(0) ; 1 ], f () = ep φ 1 () Pour tout de ] ; 0 ], f () = l( φ(ep()) ) Pour tout etier aturel, f + 1 = ep f l La voici par eemple écrite e ThikPascal fuctio f(t: real): real; begi ed; if (0 <= t) ad (t <= 05) the begi f := 05 t ed; if (t >= 05) ad (t <= 1) the begi f := ep(t - 05) ed; if (t >= 1) the begi f := ep( f(l(t))) ed; if (t <= 0) the begi f := l( f(ep(t))) ed; I - Problèmes itroductifs f o f = ep 3