EM - EXERCICES SUR LE CALCUL DE PRIMITIVES

EM - EXERCICES SUR LE CALCUL DE PRIMITIVES ) ( )sin ) ( + )e ) e 5 cos 7 4) sin 5) 8 + 6) ( ) + 4 7) 9) ) ( + ) 8) 8 + 6 5 + 6 ( + ) 7 0) 4 + ( + ) ) 4 + 5 ( + ) 7 ( + + ) ( + ) ) arctan + 4) ln( + ) 5) tan 5 6) cos 4 sin 7) cos sin + sin 8) sin cos 9) sin cos 0) + cos ) + ) + + + ) + + 5 + + 5 + 4) + 5) ( + )( + ) + 6) 4 7) 5 + 7 + 8) + 9) ln + 0) arcsin

EM ) a) Calculer une primitive F de la fonction f définie sur R par Quel est le domaine de définition de F? f() = + sin b) Pourquoi la fonction f possède-t-elle une primitive dans l intervalle ] π, π [? Déterminer cette primitive notée G π c) Calculer f()d π/ ) Trouver une primitive de ) a) Déterminer une primitive de b) Déterminer une primitive de f() = arctan + f() = g() = + 8 + + 4 + ( + + ) 4) a) Calculer une primitive de la fonction f définie par f() = b) Calculer une primitive de la fonction g définie par + ( + + ) g(t) = sin t + cos t sintcos t sin t + sin t 5) Calculer une primitive de f() = + + ( + )( + + ) En déduire, en justifiant le choi du changement de variable utilisé, une primitive de g() = sin ( cos ) + cos (sin + )( + sin cos ) 6) Calculer une primitive de la fonction f définie par f() =,

EM a) en faisant le changement de variable : = sin t b) en faisant le changement de variable : u = Les deu primitives trouvées sont-elles les mêmes? En utilisant successivement les deu formules obtenues, calculer / I = f()d 0

EM 4 Corrigé des eercices sur le calcul de primitives Remarque : dans les calculs ci-dessous, nous donnons à chaque fois une primitive des fonctions proposées ) On peut intégrer par parties : ( )sin d = ( )cos + ( )cos d, puis ( )cos d = ( )sin sin d d où = ( )sin + cos ( )sin d = ( + + )cos + ( )sin ) On peut intégrer par parties, ou procéder par identification La fonction admet une primitive de la forme P() = (a + b + c + d)e On calcule la dérivée et l on identifie Puisque l on veut on obtient le système P () = ( a + (a b) + (b c) + (c d))e, P () = ( + )e, a = a b = 0 b c = c d = d où l on tire facilement (a, b, c, d) = (,, 4, 5) Une primitive vaut donc P() = ( + + 4 + 5)e,

EM 5 ) On intègre deu fois de suite par parties e 5 cos 7d = e 5sin 7 7 puis e 5 5 cos 7 sin7d = e + 7 5 sin7 5e d, 7 5 cos 7 5e d 7 On en déduit donc e 5 5 sin7 cos 7d = e 5 ( 5 cos 7 e + 7 7 7 = 49 (7sin 7 + 5cos 7)e5 5 49 D où ( + 5 ) 49 et finalement ) 5 cos 7 5e d 7 e 5 cos 7d e 5 cos 7d = 49 (7sin 7 + 5cos 7)e5, e 5 cos 7d = (7sin 7 + 5cos 7)e5 49 + 5 = 74 (7sin 7 + 5cos 7)e5 4) La fonction n est définie que si est positif On peut écrire Effectuons tout d abord le changement de variable sin = sin u = On a donc et l on se ramène à calculer du = d, u sin udu, ce qui se fait par parties par eemple u sinudu = u cos u + 4ucos udu, puis 4ucos udu = 4usin u 4sin udu = 4usin u + 4cos u,

EM 6 d où u sin udu = u cos u + 4usin u + 4cos u, et en revenant à la variable, sin d = cos + 4 sin + 4cos 5) La fonction n est définie que si / On remarque que d(8 + ) = 4 d donc d 8 + = d(8 + ) 4 8 = + 4 ln 8 + 6) Le numérateur peut s écrire ( ) = + = ( + 4) Alors ( ) ( + 4 d = + 4 ) d + 4 Mais et d( + 4 d = + 4) = ln( + 4), + 4 + 4 d = 4 ( ) + d = arctan Donc ( ) + 4 d = ln( + 4) arctan 7) La fonction est définie pour En écrivant = ( + ), on a ( + ) d = ( ) + ( + ) d = ln + + +

EM 7 8) La fonction est définie pour ± On a immédiatement 4 d = d( 4 ) 4 4 d = 4 ln 4 9) Le numérateur s écrit ( 6 + + )d = ( 6 + + )d( + ) = (( + ) + )d( + ) Donc 8 + 6 5 + 6 ( d( ) + ) ( + ) 7 d = ( + ) 5 + d( + ) ( + ) ( 7 ) = 4( + ) 4 + 6( + ) 6 0) On décompose la fraction rationnelle en éléments simples Posons u = + La fraction devient + 5 ( + ) 7 ( + + ) = (u ) (u ) + 5 u 7 ((u ) + (u ) + ) = u u + u + 5 u 7 (u u + ) On effectue la division suivant les puissances croissantes de 5 + u u + u par u + u 5 +u u +u u +u 5 +5u 5u 5 +7u u 7u 7u 8u +u 6u 4 +u 5 +7u 6 7u +7u 7u u 6u u u +u 4 7u +u 4 7u 7u 4 +7u 5 6u 4 +7u 5 6u 4 6u 5 +6u 6 u 5 +6u 6 u 5 +u 6 u 7 7u 6 u 7 7u 6 +7u 7 7u 8 6u 7 7u 8 On a donc 5 + u u + u = ( u + u )(5 + 7u u 7u 6u 4 + u 5 + 7u 6 ) + 6u 7 7u 8,

EM 8 et en divisant, 5 + u u + u u 7 ( u + u ) = 5 u 7 + 7 u 6 u 5 7 u 4 6 u + u + 7 u + 6 7u u + u En revenant à la variable, on a la décomposition suivante : + 5 ( + ) 7 ( + + ) = 5 ( + ) 7+ 7 ( + ) 6 ( + ) 5 7 ( + ) 4 6 ( + ) + ( + ) + 7 + 7 + + + Le dernier terme se décompose, en faisant apparaître la dérivée du dénominateur, sous la forme 7 + + + = 7 + + + 5 + + On intègre alors directement, et l on obtient + 5 ( + ) 7 ( + + ) d = 5 6( + ) 6 7 5( + ) 5 + 4( + ) 4 + 7 ( + ) + ( + ) + +7ln + 7 ln( + + ) + 5 arctan + ) Le dénominateur de la fraction rationnelle a pour racine évidente = Il se factorise sous la forme ( + ) = ( ) ( + ), et s annule uniquement en = La fraction rationnelle s écrit 4 + ( + ) = 4 + ( + ) On peut alors utiliser une intégration par parties en prenant on a donc u = et v = u = et v = 4 + ( + ), +, 4 + ( + ) d = + + Il reste à décomposer la fraction rationnelle + = ( )( + ) d +

EM 9 En posant u =, on obtient et en écrivant on obtient En revenant à la variable, on trouve ( )( + ) = u(u + u + ), = ( + u + u ) (u + u ), u(u + u + ) = u + u u + u + + = + Puis, en faisant apparaître la dérivée du dénominateur, d où Alors + = + + + = +, + d + = ln ln( + ) + arctan Finalement 4 + ( + ) d = + + ln ln( + ) arctan ) Le dénominateur de la fraction rationnelle a pour racine évidente = Il se factorise sous la forme + = ( + )( + ), et s annule uniquement en = Dérivons g() = + On obtient g () = ( + ) ( ) ( + ) = + ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + ( + )

EM 0 Donc On en déduit que d + = + + d ( + ) = + + d ( + ) d + On décompose la fraction rationnelle de droite En posant u = +, on obtient et en écrivant on en déduit En revenant à la variable, on obtient ( + )( + ) = u(u u + ), = ( u + u ) + (u u ), u(u u + ) = u + + = ( + ) Alors en faisant apparaître la dérivée du dénominateur on a On a donc finalement + = + = ( + ) 6 + u u u + + + + + +, ce qui s intègre terme à terme On obtient d + = ln + 6 ln( + ) + arctan, et finalement d ( + ) = ( + ) + 9 ln + 9 ln( + ) + arctan ) La fonction est définie pour On intègre par parties en posant donc u = arctan + u ( ) = ( ) + = + et v =, + 5 et v =

EM Alors arctan + + d = arctan + En faisant apparaître la dérivée du dénominateur d + 5 d où Finalement + 5 = 4 4 + 5 + + 5, d + 5 = 4 ln( + 5) + arctan 6 arctan + d = 4 ln( + 5) + arctan + arctan + 4) La fonction est définie pour 0 On intègre par parties en posant donc u = ln( + ) = et v =, u = Alors ln( + ) d = ln( + ) + + et v = d + = ln( + ) + arctan 5) La fonction est définie pour π/+kπ, k Z En effectuant la division euclidienne du polynôme X 5 par X +, on obtient X 5 = (X + )(X X) + X, et en remplaçant X par tan, on obtient sin tan 5 d = (tan + )(tan tan )d + cos d d(cos ) = (tan tan )d(tan ) cos = tan4 tan ln cos 4 6) La fonction est définie pour kπ, k Z On a cos 4 cos 4 sin d = sin d(cos ) = cos 4 cos d(cos )

EM Par le changement de variable u = cos, on est ramené à chercher une primitive de la fraction rationnelle u 4 u = u4 u + u = u + + u Comme On obtient immédiatement Finalement Mais en remarquant que u = ( u ), u + u 4 u u du = + u + ln u u + cos 4 sin d = cos + cos + ln cos cos + cos cos + = cos sin + cos = cos, on a aussi cos 4 sin d = cos + cos + ln tan 7) En transformant, on a sin + sin = sin cos = 4sin cos La fonction est définie si kπ/, k Z, et on calcule cos 4sin cos d = cos 4sin cos d(cos ) On procède comme dans l eercice 6) Le changement de variable u = cos, ramène à la recherche d une primitive de la fraction rationnelle u u (u ) C est une fraction paire qui se décompose sous la forme A u + A u + B u On trouve facilement A = / et B = On obtient donc u u (u ) du = u + ln u u +

EM On obtient alors, comme dans l eercice précédent : cos sin + sin d = ( ln tan ) 4 cos 8) On linéarise sin cos sin cos = ( e i e i ) ( e i + e i i ) = (ei + e i )(e 6i + e i + e i + e 6i ) = (e8i + e 4i + + e 4i e 6i 6e i 6e i e 6i = 6 +e 4i + + e 4i + e 8i ) ( e 8i + e 8i e6i + e 6i + 4 e4i + e 4i = (cos 8 cos 6 + 4cos 4 6cos + ) 6 6 ei + e i ) + Ceci s intègre immédiatement sin cos d = ( ) sin 8 sin 6 + sin4 sin + 6 8 9) Il est inutile de linéariser On a en effet sin cos d = = sin ( sin )d(sin ) (sin sin 4 )d(sin ) = sin sin5 5 0) La fonction est définie et continue sur R tout entier, mais on on va utiliser le changement de variable u = tan(/) qui crée des discontinuités au points (k + )π où k est entier On obtiendra par ce calcul une primitive dans chaque intervalle de la forme ] π + kπ, π + kπ [ où k est entier, et non pas dans R On écrit + cos = + tan (/) + tan (/) = + tan (/) + tan (/)

EM 4 Avec le changement de variable u = tan(/), on a et on est ramené au calcul de l intégrale ce qui donne et donc du = ( + tan ) d, du u +, du u + = arctan u, d + cos = arctan tan(/) Cette primitive est obtenue dans R \ {(k +)π k Z} Si l on veut obtenir une primitive dans R tout entier, il faut ajouter dans chaque intervalle ] π + kπ, π + kπ [ une constante C k de telle sorte que la fonction se prolonge par continuité au points (k + )π En remarquant que lim π arctan tan(/) = π, et lim π + arctan tan(/) = π, on peut vérifier que la fonction définie sur R \ {(k + )π k Z} par F() = arctan tan(/) + π ( ) + π E, π où E(t) désigne la partie entière de t, se prolonge par continuité en une primitive dans R tout entier En effet, si appartient à l intervalle ] π + kπ, π + kπ [, le nombre ( + π)/(π) appartient à ]k, k + [ et sa partie entière vaut k Donc, sur ] π + kπ, π + kπ [ on a F() = arctan tan(/) + kπ Alors ( lim F() = lim ((k+)π) + ((k+)π) + ) tan(/) (k + )π arctan + = π (k + )π (k + )π + =, et ( lim F() = lim arctan tan(/) + kπ ) = π + kπ (k + )π = ((k+)π) ((k+)π)

EM 5 La fonction F admet bien une limite en (k + )π ) La fonction est définie pour dans l ensemble ], [ [, + [ On pose donc d où l on déduit et donc On calcule alors u u u u = +, u = +, = u + u, d = 4udu (u ) 4udu (u ) = On décompose la fraction rationnelle facilement, ce qui donne d où 4u (u )(u + ) = u u + = 4u du (u )(u + ), u + u + u +, 4u du (u )(u + ) = ln u + u arctan u, et en revenant à la variable, ( ) d = arctan + + + ln + + ln + ) La fonction est définie pour On effectue le changement de variable u = 6 + On a donc = u 6 et d = 6u 5 du Alors On est ramené à calculer Or + = u et 6u 8 + u du + = u u 8 = u 8 + = (u + )(u 6 u 4 + u ) +,

EM 6 donc 6u 8 + u du = 6 ( u 7 = 6 ( u 6 u 4 + u + ) + u du ), 7 u5 5 + u u + arctan u et en revenant à la variable, ( + + + d = 6 7 ( + )7/6 5 ( + )5/6 + [ ( + )/6 ( + ) /6 + arctan ( + ) /6]) ) Le trinôme + + 5 se met sous la forme canonique [ ( ) + + + 5 = 4 + ] La fonction est définie sur R On pourrait effectuer un changement de variable défini par sht = + où t est un nombre réel, mais en fait on a intérêt à transformer la fonction en multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur + + 5 = ( + + 5 ) + + 5 + + + = + + 5 4 + + 5 + 4 ( + ), = ( + ) + 8 4 + + 5 ( + ) 8 = + ( + ) 4 + + 5 ( + ) On remarque que ce calcul n est valable que si On a donc + + 5 + + 5 + d = 8 + 4 + + 5 ( + ) d On calcule par parties l intégrale de droite Posons u = + + 5 et v = ( + ), on a donc u = + + + 5 et v = +,

EM 7 d où + + 5 ( + ) d = + + 5 + + Mais d + + 5 d + + 5 d = ( ) + + ( = ln + ) + + + = ln( + + + + 5) ln Donc, à une constante près, on obtient + + 5 + + 5 + d = 8 + + 4 + + 5 4ln( + + + + + 5) On peut transformer ce résultat, en multipliant par la quantité conjuguée du numérateur : 4 + + 5 + 8 + = 4 + + 5 + ( + + 5) 4 = 4 ( + )( + + 5 + ) ( + ) = 4 ( + )( + + 5 + ) + = 4 + + 5 + Finalement, à une constante près, + + 5 + + 5 + d = 4ln( + + 4( + ) + + 5) + + + + 5, et la fonction obtenue est bien continue sur R Cet eercice montre que l on peut obtenir le résultat sous de nombreuses formes 4) La fonction est définie sur l intervalle ] 0, ] On peut effectuer un premier changement de variable u = / où u appartient à l intervalle ]0, / [ On est ramené à calculer du du ( u u + ) u u = + u u

EM 8 Un nouveau changement de variable t = u donne alors et l on se ramène à Comme on obtient finalement u = + t et du = t dt, ( t dt + t = + ) dt = t + ln( + t) + t t = u =, ( + d = + ln + ) 5) La fonction est définie sur l ensemble ], ] [, + [ On a alors et l on effectue le changement de variable ( + )( + ) = + 4 + = ( + ), + = εch t, où ε est le signe de +, et où t est positif On a d = εsh t dt et l on calcule ch t εsh t dt = εch t sh t ch t dt On peut transformer la fonction en utilisant les formules de trigonométrie hyperbolique, de la manière suivante : sh t ch t = sh t ch t ch t = sh t ch t + sh ch t = ch t t + sh t, alors et puisque sht = on obtient finalement ( + )( + ) + sh t ch t dt = sht arctan sh t, ch t = ( + )( + ), d = ( + )( + ) arctan ( + )( + ) 6) La fonction est définie pour dans l intervalle ]0, [ On a 4 = ( )

EM 9 On effectue le changement de variable = + sin t, avec t dans l intervalle ] π/, π/ [ Donc d = cos t dt Alors l intégrale devient + sin t cos t dt = ( + sin t)dt = t cos t cos t En revenant à la variable, on obtient donc d = arcsin( ) cos(arcsin( )) 4 Mais d où cos(arcsin u) = u, d 4 = arcsin( ) 4 7) La fonction est définie pour dans l intervalle [, ] En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur, on a 5 + 7 = 5 + 7 + + 5 + 6 + 5 + 6 On calcule tout d abord I = 5 + 7 5 + 7 + 5 + 6 d = ( + )( + ) d On effectue le changement de variable t = 5 + 7 On a donc Alors On se ramène au calcul de = t 7 5 + = t + 5 et d = t 5 dt et + = t + 8 5 0t dt (t + )(t + 8), La fraction rationnelle se décompose facilement sous la forme 0t (t + )(t + 8) = 6 t + 8 6 t +, d où 0t dt (t + )(t + 8) = 4 arctan t arctan t

EM 0 Donc I = 4 5 + 7 arctan arctan 5 + 7 On calcule ensuite I = + 5 + 6 d On effectue un premier changement de variable = cos u avec u dans [0, π ] On a donc d = sin u du et l intégrale devient sin u (cos u + )(cos u + ) du Mais, en effectuant le changement de variable t = tan(u/), la variable t est positive et l on a donc l intégrale devient u = arctan t et du = dt + t, ( ) t dt + t + t ( )( ) t t = + t + + t + 4t dt (t + )(t + )(t + ) La fraction rationnelle se décompose sous la forme 4t (t + )(t + )(t + ) = A t + + B t + + C t + On obtient A en multipliant par t + et en remplaçant t par On trouve A = De même, en multipliant par t +, et en remplaçant t par, on obtient B = 8, et enfin en multipliant par t +, et en remplaçant t par, on obtient B = 6, d où la décomposition 4t (t + )(t + )(t + ) = t + + 8 t + 6 t + En intégrant, cela donne 4t dt (t + )(t + )(t + ) = arctan t + 4 arctan t arctan t Mais et l on en déduit que = cos u = t + t, ( + t ) = t,

EM puis que donc Alors I = arctan t ( + ) =, t = + + + 4 arctan ( + ) arctan ( + ) Finalement la primitive cherchée vaut 5 + 7 d = 4 arctan 5 + 7 + arctan arctan + + 4 arctan 5 + 7 ( + ) arctan ( + ) 8) La fonction est définie si > On peut utiliser le changement de variable = ch u avec u > 0 Alors = sh u et d = ch ush udu L intégrale devient (ch u + )ch udu Et en utilisant les formules de trigonométrie hyperbolique ch u = + ch u et sh u = sh uch u on obtient (ch u + )ch udu = ( + ch u + ch u)du Mais donc Alors, en revenant à la variable, sh u = u + + sh u = u + sh u(ch u + ) sh u = et ch u =, e u = shu + ch u = + + d = ln( + ) + ( + )

EM 9) La fonction est définie si > 0 On intègre par parties On pose alors u = +, donc ln d = + + ln d + = u et d = udu, et l intégrale se transforme en + d ( u du u = + u ) du = u + ln u ln u + u + D où, en revenant à la variable 0, ln d = + ln 4 + ln( + ) + ln( + + ) + 0) La fonction est définie pour dans l intervalle [, ] On intègre par parties arcsin d = arcsin En effectuant le changement de variable u =, on a = u et d = udu u, d d et l intégrale devient ( u ) u u D où, en revenant à la variable d d udu u = du = u u 9 u = u 9 (u ) arcsin d = arcsin + 9 ( + )

EM ) a) On calcule la primitive en écrivant la fonction f en fonction de tan(/) On a + sin = + tan + tan ( + tan ) = tan + tan + Si l on pose t = tan(/), on a alors dt = ( + tan ) d, dt et l intégrale f()d devient t, ce qui, donne par la formule d intégration de l inverse + t + d un trinôme du second degré sans racine réelle, dt t + t + = arctan t + Alors F() = tan arctan + Cette fonction F est définie lorsque tan(/) est définie, c est-à-dire si / est différent de π/ + kπ Donc le domaine de définition de F est D f = R \ {(k + )π k Z} b) La fonction f est définie et continue sur R tout entier car son dénominateur ne s annule jamais Elle possède donc une primitive continue dans R et en particulier dans l intervalle ] π, π [ On a donc G() = La fonction G étant continue en π, on doit donc avoir tan arctan + + K si π < < π tan arctan + + K si π < < π G(π) = lim π F() + K = lim π + F() + K c est-à-dire π + K = π + K En prenant par eemple K = 0, on trouve K = π, et l on obtient la primitive G suivante :

EM 4 G() = tan arctan + π si π < < π si = π tan arctan + + π si π < < π c) Alors π f()d = G(π) G(π/) π/ = arctan tan π + + π arctan tan π 4 + = arctan + π arctan = ( π 6 π ) + π = 5π ) On intègre par parties, en posant on a et v() = arctan + v () = ( + ) ( ) = + + et u () = ( + ) + ( ) = + + 5, u() = D où f()d = arctan + d + + 5 D autre part, en décomposant la fraction et en faisant apparaître la dérivée du dénominateur, on obtient + + 5 = + 5 + + 5 = 4 + 4 + + 5 + + 5

EM 5 On obtient donc et finalement d + + 5 = 4 ln( + + 5) + arctan, f()d = arctan + 4 + 8 ln( + + 5) + arctan + ) a) En faisant apparaître la dérivée du dénominateur, on obtient D où + 8 + + = + + + + 7 + + + 8 + + d = ln( + + ) + 7 arctan + b) On effectue tout d abord la division euclidienne de 4 + par + + On a donc 4 + + + 4 +4 +6 +6 + ce qui donne Par ailleurs g() = + + 6 + ( + + ) + 6 + = ( + + ) + ( + 8), et donc Alors g() = + + f() g()d = + ln + ln( + + ) + 7 arctan + 4) a) La fonction f est définie sur R Pour trouver une primitive, on la décompose en éléments simples sous la forme f() = a + b + c + d + +

EM 6 Le nombre a est le rapport des termes de plus haut degré de f Donc a = Le nombre b, est la limite en zéro de f() On obtient b = Donc f() = + + c + d + + Alors f( ) = 0 = d c et f() = = + c + d On en tire immédiatement c = d = Finalement f() = + + + +, et en faisant apparaître la dérivée du dénominateur de la fraction de droite f() = + + + + + +, Ce qui s intègre directement : f()d = + ln ln( + + ) arctan + b) La fonction g est définie pour t distinct de kπ/ où k est entier Pour déterminer quel changement de variable utiliser, regardons l élément différentiel g(t)dt = Si l on calcule g(π + t)d(π + t) on obtient sin t + cos t sintcos t sin t + sin t dt, Donc g(π + t)d(π + t) = = sin(π + t) + cos(π + t) sin (π + t) sin(π + t)cos d(π + t) (π + t) + sin (π + t) sint cos t sint sintcos t + sint dt g(π + t)d(π + t) = g(t)dt L élément différentiel étant invariant par le changement de t en π + t, on peut eprimer g(t)dt sous la forme h(tan t)d(tan t), et donc, utiliser le changement = tan t En remarquant que transformons en fonction de tan t l epression En utilisant la relation k(t) = d(tan t) = sin t + cos t sint sin t = dt cos t, sin t + sin t tan t + tan t,

EM 7 et en mettant cos t en facteur au numérateur, on obtient k(t) = cos t ( ) sin t tan t sint cos t + + tan t + tan t + tan t = tan t + tan tan t + tan t tan + tan t + tan t + = tan t(tan + tan t + ) = f(tan t) On a donc finalement g(t)dt = f(tan t)d(tan t), et il résulte de a) que g(t)dt = tan t + ln tan t ln(tan t + tan t + ) arctan tan t + 5) Commençons par décomposer en éléments simples la fraction f Elle se met sous la forme f() = a + b + + c + d + + Le coefficient a est le rapport des termes de plus haut degré donc a = Pour obtenir b, on multiplie par +, et l on fait tendre vers On obtient + + b = lim (( + )f()) = lim + + = Donc f() = + + c + d + + On obtient le coefficient d en donnant à la valeur 0 Donc et Enfin, en prenant la valeur = donne immédiatement c = Finalement f(0) = = d, f() = + + c + + + f() = = + c + f() = + + + + +

EM 8 Il reste à décomposer le terme de droite pour faire apparaître la dérivée du dénominateur : + + + = et donc f() = + On obtient alors, sur R, la primitive + + + + + + + + + +, + + F() = ln + ln( + + ) + arctan + Regardons maintenant l élément différentiel g() d Si l on change en π, on obtient facilement g(π )d(π ) = g(π )d = g()d, et donc on peut écrire g() sous la forme h(sin )cos En effet g() = sin cos ( + sin ) + cos (sin + )( + sin + sin ) sin ( + sin ) + = (sin + )( + sin + sin ) cos = f(sin )cos Le changement de variable t = sin ramène donc au calcul précédant, et g a pour primitive G définie par G() = F(sin ), pour π/ + kπ avec k Z 6) a) La fonction f est définie sur l intervalle I = [0, [ L application t sin t est une bijection de [0, π/ [ sur I, et l on a alors, si est dans I, t = arcsin On suppose donc t dans [0, π/ [ Alors tan t est positive et f(sin sin t t) = sin t sin t = cos t tan t On a aussi d = sin t cos t dt On est donc ramené à calculer cos tan t (sin t cos t)dt = tan t dt t = ( + tan t)dt = tan t t, dt

EM 9 et l on obtient comme primitive de f la fonction F() = tan(arcsin ) arcsin Mais, puisque arcsin u appartient à l intervalle [ π/, π/ ], son cosinus est positif, donc et Alors On obtient finalement b) Si l on pose u = donc Par ailleurs cos arcsin = sin arcsin =, tan arcsin = sinarcsin cos arcsin = tan(arcsin ) = = F() = arcsin pour dans I, on obtient = d = = On est donc ramené au calcul de u( + u udu ) ( + u ) = u + u, udu ( + u ) u + u = + u ( ) + u du = u arctan u Donc on obtient comme primitive G() = arctan On obtient deu primitives de la même fonction Elles différent donc d une constante Alors F G = K, mais en zéro, on a K = F(0) G(0) = 0 Les fonctions F et G sont donc les mêmes

EM 0 On a tout d abord I = F ( ) ( F(0) = arcsin ) ( = π ) = π 4 On a également I = G ( ) ( G(0) = ( arctan ) = π ) = π 4