Moographie sur le toléracemet iertiel 1 Moographie sur le toléracemet iertiel Rédigée par Maurice Pillet Professeur des Uiversités Pierre Atoie Adraga Doctorat Dimitri Deimal Doctorat Laboratoire SYMME, Uiversité de Savoie, Frace,
Moographie sur le toléracemet iertiel SOMMARE 1. Différetes approches du toléracemet e cas d assemblages... 4 1.1. Toléracemet au pire des cas... 6 1.. Toléracemet statistique :... 7 1.3. Règles simples de calcul mémotechique... 8 1.4. Les autres approches statistiques... 9. La décisio de coformité sur les caractéristiques élémetaires... 10 3. Le toléracemet iertiel... 1 3.1. Défiitio du toléracemet iertiel... 1 3.. terprétatio du toléracemet iertiel... 14 3.3. dicateurs de capabilité e toléracemet iertiel... 18 3.4. Coformité et toléracemet iertiel... 19 3.5. Toléracemet iertiel das le cas d u assemblage... 0 4. Toléracemet iertiel das le cas de critères uilatéraux... 4 5. Pilotage des caractéristiques iertielles... 5 5.1. Hypothèses de calcul... 6 5.. Limites de cotrôles sur la moyee avec sigma costat... 8 5.3. Carte de cotrôle sur l iertie du lot... 9 5.4. Applicatio... 31 5.5. Coclusios... 33 6. Le cotrôle de réceptio e toléracemet iertiel... 34 6.1. Cas sigma cou méthode Sigma... 35 6.. Cas sigma icou méthode S... 37 6.3. Modalité pratique du cotrôle réceptio e iertiel... 43 6.4. Coclusio... 44 7. Défiitio des limites de tri das le cas d'u refus d'u lot... 45 7.1. Cas de la loi Uiforme... 45 7.. Cas de la loi ormale... 48 7.3. Cas d ue loi o spécifiée... 50 7.4. Applicatio avec le Cpm... 50 7.5. Coclusio... 5 8. Coclusio géérale... 53 APPENDX A - VERSUS RATO FOR = 0.05 AND = 0.1... 1 APPENDX B - ETUDE DETALLEE DE L'NFLUENCE DU TOLERANCEMENT NERTEL DANS LE CAS D'UN ASSEMBLAGE... 1. Toléracemet iertiel d u assemblage visat ue iertie sur la résultate... 1.1. Hypothèse 1 : Pire des cas... 1.. Hypothèse : distributio aléatoire des moyees... 3
Moographie sur le toléracemet iertiel 3 1.3. Hypothèse 3 : décetrage d ue valeur k. s de tous les composats... 4 1.4. Hypothèse 4 : décetrage de m caractéristiques sur... 4. Toléracemet iertiel d u assemblage garatissat u idice Ppk sur la résultate... 5.1. Etude des variatios du Ppk e foctio du décalage des composats.... 6.. Variatios du Ppk e foctio du ombre de composat et de leur décalage... 7.3. Valeurs de Pp garatissat u Ppk e foctio du ombre de composats... 9.4. Validatio de l abaque das le cas de toléracemet gééralisé... 9 3. Exemple sur u cas d applicatio... 11 3.1. Applicatio des différets cas de toléracemet... 11 3.. Discussio sur les cas d applicatio... 1 APPENDX C - BBLOGRAPHE... 14
Moographie sur le toléracemet iertiel 4 Le toléracemet des caractéristiques est très importat pour l'obtetio de la qualité et de la fiabilité des produits assemblés. La détermiatio des toléraces das u assemblage reste u difficile compromis etre deux situatios : le toléracemet au pire des cas et le toléracemet statistique. Le toléracemet au pire des cas garatit l'assemblage das toutes les situatios à partir du momet où les caractéristiques élémetaires sot das les toléraces. Le toléracemet statistique tiet compte de la faible probabilité d'assemblages d'extrêmes etre eux et permet d'élargir de faço importate les toléraces pour dimiuer les coûts. Cepedat das tous les cas de figure ce toléracemet se traduit par u bipoit [Mi Max] qui 'est pas sas poser des problèmes e productio. Ue caractéristique est déclarée coforme si elle se situe "das les toléraces". Cette faço de faire est tellemet acrée das les habitudes idustrielles que - curieusemet - persoe ou presque e la remet e cause. Le toléracemet iertiel que ous développeros das ce chapitre abadoe la otio de bipoit pour toléracer la caractéristique par ue cible et ue iertie maximale autour de cette cible. Cette ouvelle représetatio place la otio de coformité das ue autre logique : la recherche de la qualité du produit fii plutôt que le respect d u itervalle pour la caractéristique. Nous détailleros le fodemet mathématique de ce toléracemet iertiel et décriros ses pricipaux avatages sur le toléracemet traditioel. Différetes approches du toléracemet e cas d assemblages Das le cas gééral du toléracemet d u assemblage, le problème cosiste à détermier les toléraces sur les caractéristiques élémetaires X i pour obteir ue caractéristique fial Y satisfaisat le besoi des cliets. X 1 X X 3 X 4 X 5 Coditio Y = X 1 X X 3 X 4 X 5 Mii sur la coditio : 0.5 Maxi sur la coditio : 1.5 figure 1 exemple d assemblage
Moographie sur le toléracemet iertiel 5 Das l exemple ci-dessus, la coditio Y (le jeu) déped de l additio de 5 caractéristiques élémetaires (X 1 ; ; X 5 ). D ue faço plus géérale, lorsqu o travaille au voisiage de la cible, ue approximatio liéaire de premier ordre est largemet suffisate pour étudier le comportemet du système au voisiage de la cible. O cosidère alors que l o peut caractériser le comportemet de l'assemblage par l équatio Y 0 i X i i1 i représete le coefficiet d ifluece de X i das Y. Le problème du toléracemet cosiste à teter de cocilier deux préoccupatios atagoistes : Fixer des toléraces les plus larges possibles sur les X i pour dimiuer les coûts de productio. Assurer u iveau de qualité optimal sur la caractéristique Y.
Moographie sur le toléracemet iertiel 6 1.1. Toléracemet au pire des cas Das ce cas, o cosidère que das tous les cas d assemblage, la tolérace sur Y sera respectée. O détermie les toléraces à partir de la relatio : Y 0 i X i i1 O ote t xi ± xi la tolérace au pire des cas sur les X i Das le cas d ue relatio liéaire, o a les relatios : t y itxi et y i xi Lors que les i sot égaux à 1, la cible sur Y est égale à la somme algébrique des cibles sur les X. La tolérace sur Y est égale à la somme des toléraces sur le X. La répartitio des toléraces peut se faire suivat plusieurs méthodes répartitio uiforme des toléraces ; à partir des ormes ou de règles de coceptio ; à partir de catalogues pour les produits stadards ; à partir d ue répartitio des toléraces proportioelle à la racie carrée de la cote omiale ; e foctio de l historique des capabilités. Applicatio sur l exemple de la figure 1 : Relatio : Y X 1 X X 3 X 4 X 5 Détermiatio des cibles Cible sur t Y = 1 t y txi O fixe par exemple t X1 = 30 ; t X = 9 ; t X1 = 15 ; t X1 = 4 ; t X1 = 1 ; Détermiatio des toléraces y xi y E preat ue répartitio uiforme sur l'esemble des X i, o a : xi Das le cas d'u toléracemet au pire des cas, o divise la tolérace résultate par le ombre de cotes. O obtiet alors ue tolérace sur chaque X i de 0. mm. L icovéiet bie cou du toléracemet au pire des cas est le coût des produits associé à cette méthode. E effet, il coduit à des toléraces
Moographie sur le toléracemet iertiel 7 extrêmemet serrées souvet très difficiles à teir pour la productio. Cela peut majorer de faço cosidérable les coûts de productio par ue augmetatio des cotrôles, des rebuts et par le choix de moyes de productio plus sophistiqués. Par cotre, lorsque les toléraces sot teues au iveau des caractéristiques, o a la garatie du respect des spécificatios au iveau du produit fial. Das le cas d'ue cotatio "au pire des cas", tat que les toléraces sur les caractéristiques élémetaires sot respectées, o a la garatie que la tolérace sur la caractéristique résultate sera respectée. Cette assurace se paye au prix de toléraces très serrées sur les caractéristiques élémetaires. 1.. Toléracemet statistique : Rappel (voir aexe statistique) Das le cas de l additio de variables idépedates : La moyee de la résultate est égale à la somme des moyees arithmétiques des variables idépedates. La variace de la résultate est égale à la somme des variaces des variables idépedates. X 5 X 4 X 3 X X 1 Moyee X5 Écart type X5 Moyee X4 Écart type X4 Moyee X3 Écart type X3 Moyee X Écart type X Moyee X1 Écart type X1 Coditio Y=X 1 -(X +X 3 +X 4 +X 5 ) Moyee : X1 ( X + X3 + X4 + X5 ) Variace : ² X1 +² X +² X3 +² X4 +² X5 figure Additivité des critères statistiques Le toléracemet statistique a été développé pour teir compte de l aspect combiatoire des toléraces. A partir de l équatio Y 0 i X i i1
Moographie sur le toléracemet iertiel 8 Das le cas ou les variables X i sot idépedates (hypothèse pratiquemet toujours vérifiée) et distribuées selo ue loi quelcoque (pas écessairemet ormale) avec u écart type i o a la relatio suivate : Y i i E supposat : que les toléraces sot proportioelles à l écart type (capabilités idetiques pour chaque X i ) ; que les moyees sot cetrées sur la cible ; O obtiet l'équatio Y i1 Das ce type de toléracemet, ue des hypothèses fodametale est le cetrage de toutes les caractéristiques élémetaires X i sur la valeur cible. Comme das le pire des cas la répartitio des toléraces sur chaque caractéristique élémetaire peut se faire de différetes maières. Applicatio sur l exemple de la figure 1 : Les cibles sot fixées de la même faço que das le pire des cas. Détermiatio des toléraces i Y i i1 y E preat ue répartitio uiforme o a : xi Das le cas d'u toléracemet au pire des cas, o divise la tolérace résultate par la racie du ombre de cotes O obtiet ue tolérace sur chaque X i de 0.45 mm. i Das cet exemple, o a multiplié par.4 ( caractéristiques élémetaires. 5 ) les toléraces sur les 1.3. Règles simples de calcul mémotechique Si o cosidère la situatio de base d'ue relatio liéaire etre Y et les X avec des coefficiets a égaux à 1. E cas de répartitio homogèe des toléraces "au pire des cas", o divise la tolérace de la résultate par le ombre de cotes das la chaîe de cotes.
Moographie sur le toléracemet iertiel 9 E cas de répartitio homogèe des toléraces "e répartitio statistique", o divise la tolérace de la résultate par la racie carrée du ombre de cotes das la chaîe de cotes. O a les relatios : T T Résul tate Caractéristique T caractéristiques Trésul tate b de caractéristiques Cela reviet à multiplier les toléraces obteues "au pire des cas" par la racie carrée du ombre de cotes das la chaîe de cotes. 1.4. Les autres approches statistiques Plusieurs auteurs ot cherché à apporter u compromis etre les deux solutios extrêmes qui comme o le verra plus loi e sot pas satisfaisates. Le lecteur itéressé pourra se référer à l ouvrage de Berard Aselmetti 1 qui détaille plusieurs de ces approches. 1 Berard Aselmetti - Toléracemet : 3 volumes - Hermes Sciece Publicatios - 003
Moographie sur le toléracemet iertiel 10 La décisio de coformité sur les caractéristiques élémetaires Das le cas d'u toléracemet au pire des cas, la décisio de coformité sur ue caractéristique élémetaire est simple à predre. Si la caractéristique est das les toléraces, elle est coforme sio elle 'est pas coforme. La coformité est théoriquemet acceptée lorsque le pourcetage des caractéristiques est iférieur à celui des rebuts autorisés. Cette restrictio peut être très sévère, et il est facile de trouver des situatios qui seraiet refusées mais qui doeraiet pourtat satisfactio au iveau du jeu et doc de la foctio fiale du produit. C'est otammet le cas de la figure pour laquelle toutes les caractéristiques sot parfaitemet cetrées. O costate des rebuts sur chacue des caractéristiques, et pourtat, e cas d assemblage de ces pièces, il 'y aura qu ue très faible proportio de pièces (699 par millio) de pièces hors tolérace sur la caractéristique résultate Y. X 5 X 4 X 3 X X 1 X5 = 1 X5 = 0.07 X4 = 4 X4 = 0.07 X3 = 15 X3 = 0.07 X = 9 X = 0.07 X1 = 30 X1 = 0.07 Coditio Y=X 1 -(X +X 3 +X 4 +X 5 ) Moyee : 1 Variace : 0.045 Ecart type : 0.1565 figure 3 assemblage avec u toléracemet "au pire des cas" L'exemple de la figure ous pousse à peser que le toléracemet "au pire des cas" est trop restrictif d'u poit de vue écoomique. l faudrait doc élargir les toléraces. La otio de coformité est plus complexe das le cas d'u toléracemet statistique. La détermiatio des toléraces est fodée sur ue distributio pas sur des cas particuliers. Das ce cas se pose le problème de l acceptatio d'ue pièce. Doit-o accepter ue pièce e limite de tolérace? Là ecore o peut facilemet trouver des situatios délicates (figure 4) das lesquelles toutes les caractéristiques sot acceptées (e limite de tolérace) mais qui pourtat
Moographie sur le toléracemet iertiel 11 doet des o-coformités sur la caractéristique Y. Ce qui est grave d'u poit de vue qualité. X 5 X 4 X 3 X X 1 X5 = 1. X5 = 0.03 X4 = 4. X4 = 0.03 X3 = 15. X3 = 0.03 X = 9. X = 0.03 X1 = 30 X1 = 0.07 Coditio Y=X 1 -(X +X 3 +X 4 +X 5 ) Moyee : 0.6 Variace : 0.0085 Ecart type : 0.09 figure 4 Situatio délicate (lots e limite de tolérace) avec le toléracemet statistique Comme o peut le costater, le toléracemet statistique est icompatible avec l approche traditioelle de la coformité largemet répadu qui cosiste à accepter ue pièce lorsqu elle est das les toléraces. Ue des solutios cosiste à utiliser le critère Ppm pour accepter les lots das le cas de toléracemet statistique. Cepedat cette approche est difficile à mettre e œuvre. E effet, o se retrouve avec des lots qui sot refusés mais avec des produits qui sot tous coformes. Cette situatio est difficilemet gérable. E fait le problème est relativemet simple, ce sot les variaces qui s additioet et o les écarts types. Or les variaces sot calculées à partir du carré des écarts à la moyee, mais o place les toléraces sur les écarts. l y a forcémet ue icompatibilité. Aujourd hui il existe pas de méthode uiverselle de toléracemet fodée sur la défiitio d ue tolérace [Mi ; Max] garatissat à la fois : Les critères écoomiques (toléraces larges sur les caractéristiques idividuelles) ; Les critères de qualité (assurer la coformité du produit e fial) ; Ue défiitio claire et sas ambiguïté de la coformité. Nous avos acquis la certitude qu il est possible de lever cette ambiguïté si o accepte de revoir otre faço de toléracer. Nous avos doc proposé ue ouvelle approche du toléracemet : le toléracemet iertiel. Maurice Pillet - ertial Toleracig - The Total Quality Magazie - Emerald Editor - Vol 16 ssue 3 May 004
Moographie sur le toléracemet iertiel 1 Le toléracemet iertiel 1.5. Défiitio du toléracemet iertiel Le but du toléracemet cosiste à détermier u critère d acceptatio sur les caractéristiques élémetaires X i garatissat u iveau de qualité sur la caractéristique résultate Y. E plaçat ue tolérace, le cocepteur pred u risque de o-qualité par rapport à la situatio idéale représetée par la cible. Das le cas d ue coceptio bie coduite, lorsque la caractéristique X est placée sur la cible la qualité obteue est idéale. Lorsque X s éloige de la cible, le foctioemet sera de plus e plus sesible aux coditios d'utilisatio et d'eviroemet et pourra etraîer ue isatisfactio chez le cliet. Taguchi a démotré que la perte fiacière associée à u écart par rapport à la cible était proportioelle au carré de l écart par rapport à la cible (décetrage). Perte fiacière L L k X i Cible X X Cible X figure 5 Foctio perte de Taguchi Das le cas d u lot, la perte associée est Démostratio L k L k L k X X CibleX k X X x Cible k x X X Cible i i x X X Cible x X X Cible i Le terme du double produit état égale à zéro o retrouve : L k Y X CibleY k Y Y i L'objectif d'ue productio bie coduite cosiste à limiter la perte fiacière liée aux écarts par rapport à la cible, il serait plus judicieux de toléracer cette perte plutôt que de toléracer des écarts.
Moographie sur le toléracemet iertiel 13 Le toléracemet iertiel cosiste justemet à toléracer la perte maximale que l'o peut admettre das ue productio. Das la perte moyee, le terme variable (moyee des écarts quadratiques) peut être rapproché de l'"iertie" d'ue masse autour de la cible. C'est ce terme variable que ous proposos de toléracer plutôt que de toléracer u itervalle [mi ; max] comme o le fait traditioellemet. Défiitio Das le cas ou o dispose des valeurs idividuelles d u échatillo, l iertie de cet échatillo est calculé par la relatio : i 1 ( x i Cible ) Aisi das le toléracemet iertiel, ue tolérace e s'exprime plus par l'expressio d'u itervalle X±X mais par ue tolérace X( X ) Das laquelle X représete l iertie maximale que l o accepte sur la variable X. Cette ouvelle faço de détermier les toléraces possède les propriétés d'additivité très itéressates das le cas de relatio liéaire etre les X et Y qui permettet de répodre de faço très itéressate au difficile compromis etre le toléracemet au pire des cas et le toléracemet statistique. Mi Max X X Cible Max X Toléracemet traditioel Toléracemet iertiel figure 6 - Le toléracemet iertiel vs toléracemet traditioel
Moographie sur le toléracemet iertiel 14 1.6. terprétatio du toléracemet iertiel 1.6.1.Représetatio graphique Le toléracemet iertiel s'écrit : X X X : l'écart type de la distributio des X X X avec : L'écart etre la moyee de la distributio et la cible. O ote la tolérace de la faço suivate : Cible ( X ). Aisi, ue tolérace oté 10 (0.1) aura ue cible de 10 et ue iertie maximale égale à 0.1. So iterprétatio est doc relativemet immédiate das les deux situatios suivates : Situatio 1 : La productio est parfaitemet cetrée sur la cible ( X 0 ) Das ce cas X X. L'écart type maximal est égal à l'iertie. Situatio : La dispersio est ulle ( X 0 ) Das ce cas l'iertie. X X X X. L'écart maximal de la moyee à la cible est égal à 5 Dispersio (±3) maximale compte teu du 0 décetrage observé. La dispersio doit être 15 coteue das cet itervalle. Frequecy 10 5 Toléracemet iertiel 10 (0.03) Mea 10.0 StDev 0.01975 N 100 Ecart maximal de la moyee compte teu de la dispersio observée. La moyee doit être coteue das cet itervalle. 0 9.9 9.94 9.96 9.98 10.00 10.0 C1 10.04 10.06 10.08 10.10 figure 7 Représetatio du toléracemet iertiel La figure 7 représete u histogramme d'ue productio devat satisfaire ue cote 10(0.03). O a trouvé X 10. 0 et 0. 01975 Calcul de l'iertie 0.01975 (10.0 10 ) 0. 08
Moographie sur le toléracemet iertiel 15 L'iertie 0.08 est iférieur à l'iertie maximale 0.03 o accepte le lot. Pour avoir ue représetatio visuelle de l'acceptatio du lot, o fait apparaître sur l'histogramme (figure 7) La dispersio maximale (± 3) autour de la moyee compte teu du décetrage observé : Max Max soit 0.03 0.0 0. 04 Max Max Le décetrage maximal de la moyee par rapport à la cible compte teue de la dispersio observée Max Max soit 0.03 0.01975 0. 06 Max Max Das cet exemple o visualise facilemet que le lot est acceptable sas ue grosse marge. O appredra égalemet à calculer des idicateurs Cp et Cpi pour faciliter l'iterprétatio du toléracemet iertiel. E fait, la représetatio sur la moyee et sur la dispersio est redodate. O pourrait se satisfaire d idiquer l écart maximal possible sur la moyee compte teu de la dispersio. 1.6..Cas extrêmes La figure 8 motre trois situatios de base e toléracemet iertiel. ertie acceptable ertie iacceptable Décetrage trop importat Dispersio maximale = 0 ertie iacceptable Dispersio trop importate Décetrage maximal = 0 figure 8 Les trois situatios de base du toléracemet iertiel Das le premier cas, la moyee est comprise das l itervalle de variatio des moyees et la dispersio est plus faible que la dispersio maximale, o accepte le lot. Das le secod cas, le décetrage est supérieur au décetrage maximal acceptable. Le décetrage est même tellemet importat que la dispersio possible est ulle. Le lot est refusé.
Moographie sur le toléracemet iertiel 16 Das le troisième cas, la dispersio est supérieure à la dispersio maximale acceptable. La dispersio est tellemet importate que le décetrage admissible est ul. O peut facilemet écrire la relatio etre le décetrage maximal admissible et la dispersio observée. XMax XMax XMax XMax X soit 1 X max X max E fixat ue iertie stadard à 1 o trouve la relatio etre et Delta 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 Sigma figure 9 limite acceptable du décetrage e foctio de Tat que 0.6 XMax, o peut accepter u décalage très sigificatif de la moyee 0.8 XMax. De même, tat que le décetrage est faible, o peut accepter ue dispersio très sigificative. 1.6.3.Représetatio 1 La représetatio de la figure 10 est ue autre faço de visualiser le toléracemet iertiel. Elle illustre l exemple que ous avos pris e figure 7, e représetat le domaie d acceptatio par u demi-cercle. Si l iertie du lot est à l itérieur de du cercle, l iertie est acceptable sio elle est pas acceptable. Das otre exemple le lot est clairemet e limite d acceptatio.
Moographie sur le toléracemet iertiel 17 Tolérace iertielle 0.035 0.03 0.05 0.0 0.015 0.01 0.005 0-0.04-0.0 0 0.0 0.04 écart à la cible figure 10 Secode représetatio de la tolérace iertielle 1.6.4.Représetatio Bie que mois traditioelle, la troisième représetatio de l iertie est relativemet itéressate. Pour costruire cette représetatio, o superpose à la loi de distributio ue loi ormale «équivalete», est à dire de même moyee et de même écart type. O peut toujours trouver ue loi «équivalete», même si la distributio est pas ue distributio ormale. O défiit le «poit caractéristique» de la populatio comme état le sommet de la loi ormale «équivalete». Abscisse du poit caractéristique : 1 Ordoée du poit caractéristique : y Poit Courbe iso iertie maximale y caractéristique écart type ertie acceptable ertie iacceptable Décetrage trop importat ertie iacceptable Dispersio trop importate figure 11 Troisième représetatio de la tolérace iertielle
Moographie sur le toléracemet iertiel 18 O défiit égalemet la courbe que décrit le «poit caractéristique» lorsque l iertie est maximale. C est la courbe d iso iertie maximale qui a pour équatio : 1 y ( ) La coformité se visualise alors très facilemet : si le poit est à l itérieur de la courbe, l iertie est acceptable, si le poit est à l extérieur de la courbe l iertie est pas acceptable. Cette représetatio à l avatage de visualiser istataémet l actio à etrepredre pour redre l iertie coforme. 1.7. dicateurs de capabilité e toléracemet iertiel Comme das le cas du toléracemet par itervalle de tolérace, o détermie deux idicateurs de capabilité : Cp et Cpi qui serot les «équivalets» de Cp et Cpk (ou Cpm). Le Cp sera calculé pour ue situatio cetrée sur la cible, le Cpi sera calculé e foctio du décetrage observé. Le Cp et le Cpi état des idicateurs de capabilité court terme, o défiira avec les mêmes formules les idicateurs Pp et Ppi lorsque l o parlera de performace log terme. Défiitios Cp Pp Max CT Max LT Cpi Ppi Max ObservéCT Max ObservéLT L iterprétatio de ces idicateurs est relativemet similaire à ce que ous avos décrit das cet ouvrage. Pour illustrer l iterprétatio, o calcule les idicateurs de capabilité de la figure 7. 0.03 0.03 Cp 1.5 Cpi 1. 07 0.01975 0.08 Le Cp idique la capabilité que l o aurait e cas de cetrage parfait. Le Cpi idique la capabilité e teat compte du décetrage.
Moographie sur le toléracemet iertiel 19 1.8. Coformité et toléracemet iertiel Le toléracemet iertiel, propose ue approche assez différete de la coformité par rapport au toléracemet traditioel. E effet, ous avos motré au début de ce chapitre que le fait de predre ue décisio de coformité sur l apparteace à u itervalle coduisait à ue décisio erroée aussi bie e toléracemet statistique qu e toléracemet au pire des cas. Cotrairemet aux méthodes traditioelles de toléracemet, le but est plus d obteir u iveau de qualité mesuré par u pourcetage hors tolérace, mais de garatir ue iertie faible de X autour de la cible afi de garatir la qualité du produit assemblé. O e raisoe plus sur des proportios hors toléraces mais sur l iertie, la ormalité est doc plus u critère écessaire. U lot est déclaré coforme si so iertie est iférieure à l iertie maximale admise. Le toléracemet iertiel coduit à u itervalle d acceptatio qui varie e foctio de la quatité de pièces produites. Pour illustrer ce poit (figure 1) imagios ue caractéristique toléracée 10 (0.1) 1 pièce 0.1 Acceptée 0.1 10.1 Trois pièces X 10.073 0.065 10.1 0 Acceptée 0.1 0.1 3 0.09 10.0 10.1 U lot X 10.03 0.09 0.09 0.03 Acceptée 0.09 0.095 figure 1 - Coformité das le cas iertiel Cas d'ue seule pièce mesurée à 10.1. Das ce cas l'iertie pour ue pièce est égale à 0.1. La pièce est e limite d'acceptatio. Preos maiteat le cas de 3 pièces telles que l'o trouve : 10.00 ; 10.10 ; 10.1. L'iertie est alors = 0.09. Les trois pièces sot acceptées Efi preos le cas d'u lot de pièces de moyee 10.03 et d'écart type 0.09. Das ce cas l'iertie =0.095 ; Le lot est égalemet accepté bie qu'il
Moographie sur le toléracemet iertiel 0 cotiee 1.8 % de produits dot la cote est supérieure à 10.1 qui est la limite d'acceptatio das le cas d'ue productio uitaire. Cette "tolérace floue" est u poit particulièremet itéressat du toléracemet iertiel. Das le cas d ue productio uitaire, cela garatit la parfaite coformité de la productio das le pire des cas. Das le cas de productio e série, la tolérace iertielle tiet compte des faibles probabilités d'assemblages des extrêmes. 1.9. Toléracemet iertiel das le cas d u assemblage La détermiatio des toléraces iertielles das le cas ou ue caractéristique fiale Y déped d ue combiaiso liéaire de plusieurs caractéristiques X peut répodre à plusieurs objectifs : garatir l iertie de la caractéristique fiale Y ; garatir la coformité de la caractéristique fiale Y par rapport à des spécificatios [Mi ; Max]; 1.9.1. Garatir l iertie de la caractéristique fiale Y Nous ous placeros das le cas où ue variable résultate Y déped d ue foctio liéaire des caractéristiques X i Das ce cas, il est facile de motrer que l o a : Y i i Y i i Calculos l iertie obteue sur la caractéristique Y. Y Y Y i i Y i i i i i i i j qui s écrit sous la forme : (13) Y i Xi i j i j La première partie de l'équatio correspod à l'additivité des ierties au carré. Le double produit correspod au cas où tous les décetrages s'effectuet du même côté. Das le cas de répartitio aléatoire des moyees lorsque le ombre de composats est importat, o peut cosidérer que ce double produit est égal à zéro. i j
Moographie sur le toléracemet iertiel 1 L équatio 13 se simplifie das les cas simples ou les i =1 et e cas de répartitio uiforme des ierties ( imax = Max ). O a alors Max Y 1.9.. Garatir la coformité de la caractéristique fiale Y. C est l approche que ous précoisos. Pour faire le calcul des ierties maximales que l o peut admettre sur chaque caractéristique, o se place das ue situatio théorique ou toutes les caractéristiques élémetaires sot cetrées. Das cette situatio les ierties sot égales à l écart type et la caractéristique Y sera égalemet cetrée avec comme variace la somme podérée des variaces. O répartit alors la variace de Y sur l esemble des caractéristiques élémetaires X. Ce qui permet de défiir l iertie maximale sur chaque X. Pour permettre u décetrage sur u X, il faudra écessairemet que la dispersio soit plus faible que la dispersio maximale que l o viet de calculer. 1.9.3.Applicatio sur u exemple Pour illustrer le calcul des ierties das le cas d u assemblage mécaique, repreos l exemple de la figure 1. X 5 X 4 X 3 X X 1 X5 = 1 X5 = 0.07 = 0.07 X4 = 4 X4 = 0.07 = 0.07 X3 = 15 X3 = 0.07 = 0.07 X = 9 X = 0.07 = 0.07 X1 = 30 X1 = 0.07 = 0.07 Coditio Y=X 1 -(X +X 3 +X 4 +X 5 ) Moyee : 1 Variace : 0.045 Ecart type : 0.1565 figure 13 Situatio cetrée Pour faire le calcul de la répartitio des ierties, o se place e positio cetrée (=0). Das ces coditios l iertie =
Moographie sur le toléracemet iertiel Si o veut garatir sur Y le respect d u itervalle de tolérace [Mi Max] o peut facilemet idetifier l écart type maximal e positio cetrée : Y T Y k k pouvat être pris égal à 6 ou 8 selo la qualité souhaitée sur la coditio Y Si l o pred l hypothèse d ue répartitio uiforme des variaces, o a : 5 Y X 1 X X 3 X 4 X 5 O peut doc facilemet calculer la variace maximale admissible e positio cetrée sur chaque X e foctio de la variace maximale admissible sur la résultate Y (distributio uiforme des variaces). Y 0.045 Soit X 0. 0049 5 5 O remarque évidemmet que lorsque les X sot cetrés, ils ot ue dispersio possible idetique au calcul statistique e toléracemet traditioel. Mais ous allos voir que cotrairemet au cas traditioel, le toléracemet iertiel e peut pas coduire à des situatios aussi délicates que celle de la figure 4. Remarque : La plupart des logiciels de coceptio assistée par ordiateur proposet ue aide au toléracemet. Pour obteir le toléracemet iertiel, il suffit de demader u calcul statistique des toléraces. Le résultat de ce calcul est doé sous forme d'u tableau comportat les cibles et les écarts types sur les X. O a doc directemet la tolérace iertielle avec ces logiciels : Cible(sigma). X X5 = 1.05 X5 = 0.04 = 0.064 Coditio Y=X 1 -(X +X 3 +X 4 +X 5 ) X 4 X4 = 4.05 X4 = 0.04 = 0.064 X 3 X X 1 X3 = 15.05 X3 = 0.04 = 0.064 X = 9.05 X = 0.04 = 0.064 X1 = 30 X1 = 0.07 = 0.07 Moyee : 0.8 Variace : 0.0113 Ecart type : 0.106 figure 14 Situatio tous décetré du coté défavorable Cosidéros maiteat ue situatio où quatre décetrages sot défavorables avec ue iertie e limite d acceptatio (0.064 pour 0.07 figure 14).
Moographie sur le toléracemet iertiel 3 Comme le motre la figure 14, même das ue situatio très défavorable (toutes les ierties sot e limite d acceptatio), cela coduit a ue situatio acceptable au iveau de la caractéristique fiale compte teu que le calcul des ierties maximales sur les X a été calculé pour obteir u Cp de 1 sur Y. Aisi, le toléracemet iertiel permet de pouvoir travailler sur ue dispersio large e cas de cetrage, mais de garatir das toutes les situatios d assemblage ue qualité de la caractéristique Y. Et ceci das l idépedace des différetes caractéristiques X
Moographie sur le toléracemet iertiel 4 Toléracemet iertiel das le cas de critères uilatéraux Nous avos traité das les précédets paragraphes du toléracemet iertiel das les cas de critères bilatéraux, tels qu ue cote. Nous allos motrer das ce paragraphe que la même défiitio peut être étedue facilemet aux cas des critères uilatéraux tels qu u défaut de forme ou de positio. Das ces cas, la cible est fixée à zéro et l iertie est calculée par la relatio : X i X X #1 Circularité max = 0.1 Ue pièce mesurée 0.1 ²= 0.1² = 0.1 Pièce refusée # 1 5 1 5 6 3 4 pièces mesurées =0.053 X =0.0633 =0.068 Lot accepté 0 #3 0.04 5 0.08 1 5 1 5 0.1 35 pièces mesurées =0.0198 X =0.103 =0.104 Lot refusé figure 15 terprétatio du toléracemet iertiel das le cas uilatéral La figure 15 motre u exemple de toléracemet iertiel uilatéral sur ue circularité de tolérace =0.1 L'exemple #3 est refusé alors qu'il e comporte pas de valeurs supérieures au cas de l'exemple # qui lui est accepté. Cela viet du fait que la desité de probabilité autour des situatios limites est plus importate das le cas #3 que das le cas #.
Moographie sur le toléracemet iertiel 5 Pilotage des caractéristiques iertielles Le but du pilotage est de garatir l iertie. Avec le toléracemet iertiel, o exprime plus ue tolérace sous la forme Cible tolérace, mais sous la forme Cible ( Max ) das laquelle Max représete l iertie maximale que l o admet sur ue pièce das le cas d ue productio uitaire ou sur le lot das le cas d u productio de série. La coformité d u lot peut égalemet utiliser deux idicateurs de capabilité : Cp (1) et Cpi () qui peuvet être iterpréter de faço similaire au Cp et Cpk, Le Cpi représete la capabilité réelle du lot, le Cp représete la capabilité potetielle e cas de cetrage parfait. Cp Max (1) lot Cpi Max lot () Cette faço de toléracer permet das le cas de productio cetrées d élargir de faço très importate l itervalle de dispersio acceptable sur ue productio, sas les risques du toléracemet statistique traditioel (proportioel à la racie carré du ombre de pièces présetes das la chaîe de cote). Pourtat, la mise e place d u tel toléracemet bouleverse u peu les habitudes otammet e productio qui ot l habitude de piloter des productios pour satisfaire u itervalle. L utilisatio des cartes de cotrôle de Shewhart est aujourd hui largemet répadu, et les calculs des limites utilisées se fot selo deux approches : 1. Calcul des limites à 3 écarts types autour de la cible (calcul traditioel). Garati du cetrage au risque alpha de première espèce.. Calcul des limites par rapport aux toléraces pour garatir la coformité au risque beta de secode espèce. Ces calculs sot évidemmet remis e cause si o passe au toléracemet iertiel. L objectif est de préseter les différetes méthodes permettat de piloter les productios par carte de cotrôle das le cas d u toléracemet iertiel. Plusieurs approches serot développées afi de satisfaire à la fois le risque alpha et le risque.
Moographie sur le toléracemet iertiel 6 1.10. Hypothèses de calcul 1.10.1. Hypothèse sigma cou L iertie est composée à la fois de l écart type et de la moyee de la populatio. Das le cas d u suivi de productio, l hypothèse admise das la costructio de carte de cotrôle est la stabilité de l écart type qui est supposé cou. La validatio de cette hypothèse est assurée par : La costructio d ue carte de cotrôle des étedues ou des écarts types et, La surveillace du cetrage du processus sur la cible afi de garatir l iertie des lots. Das ue première partie, ous garderos l hypothèse «sigma costat». L écart type sera doc cosidéré comme cou (critère surveillé par ue carte de cotrôle des étedues) et ous surveilleros les dérives de l iertie supposées proveir d ue dérive du processus. Das u secod temps, ous supposeros être e présece d u processus dot les dérive peuvet proveir à la fois d ue dérive et/ou d ue augmetatio de la variabilité. 1.10.. Loi de distributio des ierties La loi de distributio des ierties peut être approximé de deux faços : approximatio par la loi de Gauss, ou approximatio de Scheffé par la loi du ² 1. Approximatio de Gauss Nous supposos (hypothèse simplificatrice) que si ue populatio a comme iertie, la distributio du ratio Î suit approximativemet ue loi ormale de moyee 1 et de variace 1 : ˆ 1 N1, avec (1 ) 1 Et Le symbole sigifie est approximativemet distribué comme. (6) (7) (8)
Moographie sur le toléracemet iertiel 7 Démostratio : Les caractéristiques de la loi de distributio du ratio Espérace : E ( ˆ ) 1 Variace V 1 1 ( ˆ ) V Î sot : (9) (10) Î 1 V( ) V( ) V( ) Avec V ( ) (11) Pour la variace de l écart type, o pred comme approximatio lorsque est grad : (1) V ( ) D où Î V( 1 ) 1 1 Soit V ( ˆ ) 1 ( ) ( ) (13) E posat o vérifie bie : ˆ 1 ( 1) V ( ) 1 (14). Approximatio de Scheffé L approximatio précédete est relativemet boe pour les tailles d échatillos importates ( 50). Pour les petites tailles d échatillos, il est préférable d utiliser la relatio [Scheffé 1959] : ˆ (15) Das le cas de cartes de cotrôle, le pilotage se faisat à partir de petits échatillo, o préférera cette secode relatio.
Moographie sur le toléracemet iertiel 8 1.11. Limites de cotrôles sur la moyee avec sigma costat O veut garatir das ce cas que l iertie du lot lot est iférieure (avec u risque beta) à l iertie maximale Max défiie sur le pla. Si l o cosidère l écart type sigma cou et costat, o a : ertie d' u lot : lot Max soit Max Max (16) figure 16: Calcul des limites au risque Das cette situatio o peut fixer les limites de cotrôle de fluctuatio sur la moyee telles que l o soit certai (au risque b) de détecter ue situatio telle que l iertie soit e limite d acceptatio. Les limites s écrivet doc : LC X Cible ( Max z ) (16) Ces limites de cotrôles doivet être compatible avec le risque alpha de e pas dérègler u processus qui serait bie cetrer ; O doit doc vérifier par exemple pour la limite supérieur que l o a : LCS Cible ( Max z Cible z X ) ce qui reviet à vérifier la relatio ( z z Max ) (17) E appliquat la relatio du Cp qui lie Max à (1), o trouve facilemet ue relatio défiissat la coditio d existece de cette limite de cotrôle : ( z z ) (18) Cp
Moographie sur le toléracemet iertiel 9 Si l o cosidère u iveau de risque classique de = 0.1 (z =1.8) et = 0.007 (z = 3) O peut tracer la courbe du Cp miimum e foctio de la taille de l échatillo (figure 17). Cp miimum 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Taille de l'échatillo figure 17: Cp miimum pour pouvoir utiliser les limites de coformité Lorsque le Cp est pas suffisat, o peut trouver u ouveau compromis etre le Cp et les risques alpha et beta choisis e utilisat la relatio 18. La relatio 18 peut aussi s écrire sous la forme de la relatio 19 qui permet de détermier la taille d échatillo miimale. ( z z ) (19) ( Cp 1) 1.1. Carte de cotrôle sur l iertie du lot 1.1.1. Cas ou o veut garatir le cetrage sur la cible Ue autre maière de cocevoir ue carte de cotrôle das le cas d u toléracemet iertiel cosiste à suivre directemet l iertie des échatillos et à vérifier si cette iertie fait partie de la loi de distributio attedue e faisat l hypothèse d ue productio cetré d écart type. Das ces coditios (=0) la relatio (7) et (8) permettat de calculer se simplifie et o peut écrire =. La loi de distributio des ierties suit doc simplemet ue loi du ² à degré de liberté. O fixe les limites de cotrôle à partir d u choix du risque alpha par la relatio (0) :
Moographie sur le toléracemet iertiel 30 échatillo 1 (0) historique (0) A partir de cette relatio, si o détecte ue situatio hors cotrôle, cela peut veir aussi bie d ue dérive de l écart type que d ue dérive de la moyee ou d u mixte des deux. l est doc souhaitable de compléter cette carte de cotrôle par les cartes de cotrôle traditioelles de moyee et d écart type afi de pouvoir établir le diagostic d ue situatio hors cotrôle. 1.1.. Cas ou o accepte u décetrage Das le cas ou la capabilité Cp est excellete o a vu (relatio 16) que l o pouvait accepter u décetrage de la productio. Das ce cas la loi de distributio des ierties oscille etre deux distributios : Positio cetrée échatillo (1) Historique échatillo Positio décetrée Max Historique Max (1 ) 1 Max Avec la relatio 16 o peut écrire cette relatio sous la forme : () échatillo 4 Historique Max (Max ) Cette relatio doe la loi de distributio des ierties lorsque l iertie est e limite d acceptatio du fait du décetrage. O a doc historique = Max Cette situatio doit doc être détectée avec u risque beta ce qui coduit à ue ouvelle relatio permettat de fixer les limites de cotrôle : (3) échatillo Max 4 Max ( ) Max
Moographie sur le toléracemet iertiel 31 1.13. Applicatio 1.13.1. Présetatio de l exemple L applicatio proposée cocere ue pièce réalisée e ijectio plastique dot la tolérace iertielle est.7 (0.01). Le toléracemet iertiel s applique particulièremet bie aux cas de l ijectio plastique multi-empreites. Das l exemple traité ous avos u moule 8 empreites. L échatillo prélevé sera doc de ue moulée soit 8 empreites. L iertie maximale tolérée est Max = 0.01 L écart type historique court terme calculé sur 50 moulées est de 0.0037, soit Cp =.7 Calcul du décetrage maximal admissible Max Max soit Max 0.01 0.0037 0.009 Le suivi des 8 empreites doe le graphique de la figure 18.7.715.71.705.7.695.69.685 E1 E E3 E4 E5 E6 E7 E8.68 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 figure 18: Suivi des 8 empreites sur 35 prélèvemets 1.13.. Calcul de la carte de cotrôle des ierties Limites de cotrôle sur le risque alpha E cas de cetrage sur la cible (=0), o a 0. 037 O pred u risque alpha de 0.007 (idetique aux carte de Shewhart traditioelles) et o calcule la limite de cotrôle à partir de la relatio : 1 3.57 LS historique soit LS 0.0037 0. 0063 8 Le degré de liberté de la loi du 1 est égale à Limites de cotrôle sur le risque beta
Moographie sur le toléracemet iertiel 3 O pred u risque beta de 10% coforme aux pratiques courates de e pas détecter ue iertie maximale avec u décetrage Max =0.009. E réalité, par l applicatio des autres règles de lecture d ue carte MSP (7 poits d u coté, poits proches des limites ) le risque beta est beaucoup plus faible. Max est das ce cas égal à.51, le ombre de degré de liberté de la loi Le ratio du ² est de 31.36 (Le degré de liberté de la loi du 4 Max ) ( Max ) La limite de la carte de cotrôle se déduit facilemet de la relatio 3 : LS Max ( 4 Max Max ) 1.43 soit LS 0.01 0. 0083 4 0.01 8 0.0037 ( 0.01 0.0037 ) est égale à La carte de cotrôle sur l iertie est alors dessiée à partir de ces deux limites e différetiat 3 zoes (figure 19) Zoe verte (ertie de l échatillo iférieure à LS ) : L iertie est sous cotrôle pas de cause spéciale par rapport à ue situatio habituelle Zoe orage (ertie de l échatillo comprise etre LS et LS ) : la carte de cotrôle détecte ue situatio hors cotrôle, mais l iertie de la productio est coforme au cahier des charges Max Zoe rouge (ertie de l échatillo supérieure à LS ). Ue situatio hors cotrôle est détectée, et de plus la coformité à l iertie maximale a des risques de e pas être respectée. Carte de cotrôle des ierties 0.01 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.00 0.001 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 LS b LS a échatillo historique figure 19: Suivi des ierties par carte de cotrôle sur les 35 prélèvemets La carte de cotrôle fait clairemet apparaître les situatios hors cotrôle à partir du poit 7 et les situatios critiques pour l iertie à partir du poit 34.
Moographie sur le toléracemet iertiel 33 Lorsqu ue situatio hors cotrôle est détectée, o peut aalyser la situatio (dérive e moyee ou e dispersio) de deux faço : Soit e faisat apparaître le graphique figure 0) Soit e faisat apparaître les cartes de cotrôle de Shewhart traditioelles moyee/écart type 0.01 Graphique delta - Sigma 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.00 0.001 0-0.015-0.01.005 0-0 5 0.00 Limite Limite risque cliet figure 0: Graphique delta sigma pour les échatillos 16 et 35 L échatillo 16 est das les limites calculées sur le risque cliet. L iertie est coforme à l iertie historique, le processus est sous cotrôle La figure 0 motre que l échatillo 35 est critique, il est e dehors de la limite calculée sur le risque cliet, il y a doc u risque de produire ue iertie o-coforme. Le graphique delta sigma motre que pour rameer le processus avec ue iertie coforme, il est possible d agir sur le cetrage de processus afi d atteidre ue iertie sous cotrôle telle que représetée e poitillés sur la figure 4 (Même écart type mais meilleur cetrage). 1.14. Coclusios Le toléracemet iertiel propose ue ouvelle approche pour défiir les relatios etre cliets et fourisseurs cocerat la coformité. Ces ouvelles relatios remettet parfois e cause l utilisatio des outils de pilotage de la productio comme les carte de cotrôle SPC largemet utilisées das les etreprises. Ue approche permettat d établir ue carte de cotrôle sur les ierties de petits échatillos a été proposée afi de piloter ue productio. De plus, ue méthode de calcul permettat l utilisatio des cartes de cotrôle traditioelles moyee/écart type tout e garatissat le respect de l iertie ot été itroduites. Pour chacue de ces deux cartes, ous avos développé les limites permettat de garatir u risque alpha de dérégler ue machie bie réglée et u risque beta de e pas iterveir alors que l iertie e serait pas coforme.
Moographie sur le toléracemet iertiel 34 L esemble des propositios de cartes réuies permet d appliquer de maière très simple u pilotage e productio garatissat ue spécificatio iertielle. Le cotrôle de réceptio e toléracemet iertiel Das le cas ou ue productio est sous traitée, e l absece de cotrat clair d assurace qualité, le cliet doit s assurer de la coformité du lot au moye d u cotrôle de réceptio. Les ormes actuellemet e vigueur NFX 06-0 - ML STD 105E [AFNOR 005] défiisset commet, à partir des deux risques (Cliet et Fourisseur), calculer la taille du lot et les limites d acceptatio. Deux cas sot evisagés : o Le cas ou l écart type du lot est cou, l s applique lorsque la productio est stabilisée, après plusieurs réceptios, o peut cosidérer que l écart type du lot est cou et stabilisé o Le cas ou l écart type du lot est icou. Plus gééral, il cosiste à utiliser l écart type du lot cotrôlé pour décider de l acceptatio du lot. E cas de toléracemet iertiel, les ormes actuelles e sot bie sûr plus applicables. Le problème se pose alors sur l acceptatio d u lot à partir d u cotrôle par échatillo. Les spécificatios das ce cas sot ue cible est ue iertie maximale M. O veut garatir que das tout les cas (avec le risque fourisseur et le risque cliet ) l'iertie du lot est iférieure à M. Nous proposos de développer de faço similaire aux ormes actuelles deux cas de cotrôle réceptio iertiel selo que l écart type est cou ou o.
Moographie sur le toléracemet iertiel 35 1.15. Cas sigma cou méthode Sigma 1.15.1. Le problème figure 1- Situatios des risques fourisseurs et cliets Situatio 1 : Le décetrage dû aux risques fourisseurs est iférieur à 0, mais la moyee du prélèvemet est supérieure. Situatio : Le décetrage dû aux risques cliets est supérieur à 0, mais la moyee du prélèvemet est iférieure L iertie est calculée par la relatio : avec : : écart etre la moyee et la cible : écart type de la distributio : ertie du lot M : ertie maximale au pla
Moographie sur le toléracemet iertiel 36 Si o cosidère cou o peut écrire : Cela reviet à vérifier que l'écart etre la cible et la moyee du lot 'excède pas ue certaie valeur 0 que l o doit calculer e foctio d ue taille d échatillo, d u risque fourisseur doé et d u risque cliet (figure 1). Si o fixe la limite de variatio des moyees à k M avec u prélèvemet de pièces. Le problème cosiste à trouver les deux icous k et pour u risque cliet d accepter u lot avec ue iertie et u risque fourisseur de se voir refuser u lot avec ue iertie 1.15.. Détermiatio du pla de cotrôle Das la situatio 1 (figure 1) o peut écrire k z k z Les valeurs de et sot calculé à partir des deux ierties choisies pour les risques et risque alpha risque beta O a doc deux équatios : k M z k M z
Moographie sur le toléracemet iertiel 37 Qui permettet de calculer les deux icoue et k : M z z z z k M z z k z Pour les risques et doés, la taille de l échatillo est directemet liée à l écart etre et. Plus cet écart est importat, plus la taille du prélèvemet,, est faible. 1.15.3. Applicatio sur u exemple O veut faire u cotrôle réceptio pour u produit dot les doées sot les suivates : ertie sur le pla : M = 0.0 Risque alpha = 10% soit z =1.8 Risque beta = 5% soit z =1.645 O choisit et O coaît le sigma = 0.01 0.87 z z z z k M et 6 z z O calcule aisi facilemet 0174 0 0. M k 1.16. Cas sigma icou méthode S Das le cas ou l écart type est pas cou, les relatios précédetes e sot pas utilisables. Nous proposos alors d utiliser la méthode S que ous développos das ce paragraphe. Das ce cas, o prélève u échatillo sur lequel o calcule la moyee et l écart type afi de détermier ue estimatio de l iertie : ˆ S T X
Moographie sur le toléracemet iertiel 38 O accepte le lot si Î k 0 avec 0 l iertie maximale admise das le pla. Pour pratiquer le cotrôle de réceptio, ous devos détermier comme pour la méthode la taille de l échatillo à prélever et le critère k d acceptatio du lot. 1.16.1. Loi de distributio des erties. Nous supposos (hypothèse simplificatrice de l'approximatio par la loi ormale) que si ue populatio a comme iertie, la distributio du ratio Î suit approximativemet ue loi ormale de moyee 1 et de variace 1 : Î 1 (1 ) N1, avec et 1 Le symbole sigifie est distribuer approximativemet comme Les caractéristiques de la loi de distributio du ratio Î sot : Î Espérace : E( ) 1 Î 1 1 Variace V( ) V Î 1 V( ) V( ) V( ) Avec V( ) Pour la variace de l écart type, o pred comme approximatio lorsque est grad : D où Soit Î V( 1 ) Î V( V( ) 1 1 ) ( 1 ) ( )
Moographie sur le toléracemet iertiel 39 E posat o écrit Î V( ) 1 ( 1) 1 Cette approximatio par la loi ormale est relativemet boe pour ( 50). Pour les petites tailles d'échatillo, ue meilleure approximatio est doée par [Scheffé 1959] : Î 1.16.. Calcul de la taille des échatillos Soit 0 l iertie maximale admise sur le pla, et les ierties correspodat respectivemet aux risques alpha et beta. k 0 z.. Risque Risque k 0 z.. 1 z k 0 Avec Taille du prélèvemet z 1 k0 figure. Situatios des risques fourisseurs et cliets O peut écrire : 1 z 1 z z z 1 z z z z
Moographie sur le toléracemet iertiel 40 z z 1 z z (1 ) avec et 1 O motre facilemet que varie etre deux limites : e positio cetré 0 lorsque 0 Pour calculer ous proposos d étudier le cas ou la productio est cetrée (=0) qui représete le cas le plus défavorable ce qui doe la relatio 1 z z Cas (=0, Productio Cetrée) Si l o veut calculer la taille des échatillos à partir de la loi du ² O pred les deux équatios correspodat respectivemet aux risques alpha et beta 1 k0 et k0 1 O a doc la relatio La recherche de la taille de l'échatillo doit doc se faire de maière itérative e recherchat l'égalité etre ces deux relatios. Si l'o fixe le risque a à 5% et le risque b à 10% o détermie facilemet la taille de l'échatillo e foctio du ratio (Table 1 E aexe o trouvera u tableau plus complet doat la taille des échatillos) 3 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1, 1,15 1,1 4 9 13 19 6 38 6 85 18 17 468 5 10 15 0 30 40 50 75 100 150 00,6 1,94 1,71 1,59 1,46 1,39 1,34 1,7 1,3 1,18 1,16 Table 1 foctio du ratio ( = 0.05; = 0.1)
Moographie sur le toléracemet iertiel 41 Das cette présetatio, pour des risques et fixes, o choisi la taille de l'échatillo e foctio du ratio. l est égalemet possible de fixer la taille de l'échatillo et le risque afi de déduire le risque fourisseur. 1.16.3. Calcul de l iertie maximale admissible E cotrôle réceptio iertiel, o accepte le lot si Î k M avec M l iertie maximale admise das le pla. L'acceptatio reviet à détermier la valeur du coefficiet k e foctio de la taille de l'échatillo, de la moyee de l'échatillo X et de l'estimateur de l'écart type S. A partir de la relatio k 0 1 z O détermie facilemet la valeur de k das le cas ou : z k 1 0 De même par la loi ², o détermie : 1 k 0 1.16.4. Exemple d applicatio O veut faire u cotrôle réceptio pour u produit dot les doées sot les suivates : ertie sur le pla : 0 = 0.0 Risque alpha = 10% soit z =1.8 Risque beta = 5% soit z =1.645 O choisit et Calcul de la taille des échatillos : L'approximatio de la loi ormale doe : 1 z z 70
Moographie sur le toléracemet iertiel 4 L'approximatio du ² doe 1.77, la table «aexe A» doe ue taille = 71. Comme das le cas précédet (méthode ), ous choisissos de predre =, qui correspod au cas le plus défavorable. Calcul de k La loi ormale doe k L'approximatio du ² doe 0 k 0 1 Calcul de l'iertie maximale admise max = k 0 = 0.005 z 1 1.05 1.03 A partir de cet échatillo de pièces, o calcule la moyee et le décetrage du lot. O trouve : S Echatillo = 0.01 Echatillo = 0.013 Ce qui permet de coclure S 0.0164< 0.005 lot accepté prélevé Echatillo Echatillo