UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée c est à dire : la suite u N est pas croissate si N, tel que u + < u Ue suite u N est décroissate si N, u + u et doc l éocé précédet est pas équivalet à celui de u N décroissate Exercice Soit N, + + = + + = + = Soit ɛ > 0 + + + ɛ équivaut à + ɛ Or + ɛ ɛ + ɛ Fialemet, ɛ > 0, N = Nɛ E ɛ coviet, tel que, N, + + ɛ Exercice Soiet a > 0 et N, u = a = a = exp l a Fialemet, quad +, u Exercice O pose ɛ = l > 0 La suite u N coverge vers l, il existe doc, N 0 N tel que pour tout N 0, u l l Or u l l équivaut à l u l l O obtiet doc, pour N 0, l l u et fialemet, l u Exercice 5 Supposos que la suite u N soit statioaire ie 0 N 0, u = u 0 Ceci implique que ɛ > 0, 0 N, 0, 0 = u u 0 ɛ doc u N coverge Supposos que la suite u N soit covergete et à valeurs etières et que la suite e soit pas statioaire ie 0 N, 0, u u 0 ce qui équivaut à 0 N, 0, u u 0 > 0 et comme u N est à valeurs etières, la derière propositio est équivalete à 0 N, 0, u u 0 Soit ɛ =, puisque u N coverge vers ue limite qu o ote l R, il existe N, tel que, pour tout k, u l Or, u N est pas statioaire doc il existe tel que u u 0 D où, u u u l + l u + = d où la cotradictio doc u N covergete et à valeurs etières implique que u N est statioaire De cette équivalece, o déduit que la limite d ue suite covergete à valeurs etières est etière
Exercice 6 a Motros qu il existe q, c R, tels que, pour tout N, u + c = qu c Soit N, u + c = qu c u a q + b + cq = 0 Comme q, c e doivet pas dépedre de, o peut predre q tel que a q = 0 c est à dire que q = a O obtiet par coséquet, b+ca = 0 c est à dire c = b a La suite v N défiie par, pour N, v = u + b a est doc géométrique de raiso a Soit N, comme v N est géométrique, v = v 0 a Si a <, la suite v N coverge b vers 0 Si a < alors u N coverge vers a b O va motrer par récurrece que pour tout N, u = a u 0 + a i b Soit N et soit P la propositio u = a u 0 + a i b Iitialisatio : O pose =, u = au 0 + b, or, a u 0 = au 0 et i=0 i=0 0 a i b = b La propositio P est doc vraie Hérédité : O suppose que P est vraie pour u certai rag, motros que P + est vraie Par défiitio de u N, u + = au + b, par hypothèse de récurrece, o obtiet, u + = aa u 0 + a i b + b = a + u 0 + a i+ b + b = a + u 0 + a j b + b i=0 Fialemet, u + = a + u 0 + i=0 a j b et P + est vraie j=0 Coclusio : P est vraie, de plus, P vraie implique que P + est vraie, doc, par le pricipe de récurrece, P est vraie quelque soit N O réécrit la formule précédete, pour N et si a, u = a u 0 + b a a = a u 0 b a i=0 j= + b a b O coclut que, si a <, u N coverge vers a, si a > alors u N coverge vers + si u 0 b > 0, vers si u 0 b b < 0 et a a a si u 0 = b la suite est costate a Si a <, la suite u N e coverge pas Exercice 7 Soit N, w + = u + = u + = u = u = w La suite w N est u suite géométrique de raiso Comme w N est géométrique de raiso, pour N, w = w 0 = que, pour tout N, u = + + Pour N, T = 9 et S = T + + O coclut que, + Exercice 8 O motre, par récurrece que, pour tout, u > Iitialisatio Comme, u = >, la propriété est vraie au rag iitial lim T = 9 + et O déduit lim S = +
Hérédité Supposos que, pour u certai rag, u >, motros que u + > Par hypothèse de récurrece, u >, or u > = u > 0 = u > 0 = u u > 0 = u > u + etu > = u u + > = u + > O coclut que u > = u + > Coclusio La propriété est vraie au rag iitial u > et u > = u + > doc, par le pricipe de récurrece, u > pour tout La suite u N est bie défiie puisque u > >, pour tout La suite v N est bie défiie d après la questio précédete Soit, v + v = u + + u + u + O e déduit : u v + v = u + u + u + u u u + u u Puis, v + v = u u + u = u u = u u u = La suite v N est arithmétique de raiso O e déduit que, pour tout, v = + v = + = Par coséquet, pour, v = u + u = v u = u + = u v = v + = u = v + v v sio u + = u = ce qui evidemmet faux O coclut que, pour tout, u = + et doc u coverge vers La suite v est arithmétique de raiso doc, pour, S = vers + quad ted vers + + +, elle ted Exercice 9 Soiet x R et N Soit k {,, } o a Ekx kx Ekx + doc kx Ekx kx Par coséquet, kx Ekx kx ce qui implique que, puis que, x k Ekx x k + x Ekx + x efi que, x + Ekx Or x + et x + tedet vers x vers x x + quad ted vers + O coclut, par le théorème de comparaiso théorème des gedarmes, que quad ted vers + Ekx ted
Exercice 0 Soiet N et x R Par défiitio de la partie etière, Ex x Ex + ce qui etraie, x Ex x E divisat par o ul, o obtiet, x Ex coclut e utilisat le théorème de comparaiso que, Ex x Puis, e faisat tedre vers +, o ted vers x quad ted vers + Comme, pour tout x R, pour tout N, Ex Z, Ex Q, pour tout N Par coséquet, u N est à valeurs das Q et pour tout x R, la suite u x N défiie par u x = Ex pour N coverge vers x, et le réel x est limite de ratioels Exercice La suite w N défiie par, pour N, w = u + u coverge vers l 0 Par défiitio, e posat, ɛ = l > 0 car l <, il existe 0 N, N, 0 = u + u l l ce qui etraie, pour 0, De plus, l + < car l < Soit maiteat, 0, u = D où, u + u l + l u u E utilisat, et, o déduit que, u u u = = l + l u 0+ 0 k=0 u 0 u 0+k+ u 0+k = l + 0 l + u 0 l + pour tout 0 Or coverge vers 0, doc, pour tout ɛ > 0, il existe doc N, 0 l + écessairemet 0 tel que, pour tout N, implique que u ɛ O coclut que u N coverge vers 0 Il suffit d adapter la méthode de E remarquat qu ici, e posat, ɛ = l > 0, car l >, il existe 0 N, pour tout N, 0 = u + u l l puis que, l u + u l et efi, < l + u + u 0 l + O motre grâce à la derière iégalité que u, pour tout 0 Comme, 0 l + ted vers + quad ted vers +, o déduit que, pour tout A R, il existe N N, N 0, pour tout N, N +, doc u N diverge 0 l + = A u et u N ted vers
Comme l <, o peut repredre 0 tel que soit vérifiée l 0 + k l + De plus, la suite est covergete série géométrique de raiso k=0 N strictemet iférieure à, elle doc de Cauchy, pour tout, ɛ, il existe tel que, pour tout, 0 l + m k l + k l + m, etiers, m, = ɛ, ce qui est k=0 k=0 équivalet à m, = 0 maxm, l + k=mim,+ k l + ɛ Soit ɛ > 0, soit N tel que soit vérifiée O pose N = max 0,, soiet, m, etiers, tels m maxm, maxm, que m, N O a doc v v m = u k u k = u k k=0 k=0 k=mim,+ u k, k=mim,+ par l iégalité triagulaire k 0 l + Or, k mim, + N 0 doc u k pour tout k {mim, +,, maxm, } puis e sommat o obtiet, maxm, 0 maxm, u k l + k l + k=mim,+ k=mim,+ Comme, m, N, o a et o e déduit que v v m ɛ E coclusio, la suite v N est de Cauchy das R doc covergete Exercice Covergece La sous-suite N costituée des élémets de rags pairs est costate, égale à alors que la sous-suite N costituée des élémets de rags impairs est costate, égale à - La suite N possède deux sous-suites qui e tedet pas vers la même limite, elle diverge! Soiet N et a > 0 +! a = a qui coverge vers 0, o coclut, e utilisat + a l Exercice 0 que ted vers 0! N a +! Soit N, =! suite coverge vers 0 N Soit N, + k, or, pour tout k {,, }, k d où,! et fialemet, la = exp l + Or, + ted vers quad ted vers +, par cotiuité de la foctio logarithme, l + ted vers l quad ted vers + et efi par cotiuité de la foctio expoetielle, exp l + ted vers 0 quad ted vers + 5 Soit, = = O déduit, par croissace du logarithme sur R +, que l l, puis e multipliat par positif, l l et efi, par croissace de l expoetielle, exp l exp l O coclut 5
que, ted vers + quad ted vers + N 6 Soit N, + = exp l + E utilisat u développemet limité pour assez grad, o obtiet l + = + o De plus, o = o ted vers 0 quad ted vers + Fialemet, exp l + = exp + o, d où, + ted vers N exp quad ted vers + Mootoie Soit, + + + = + + + = + + + Or doc > 0 O déduit que, + est strictemet décroissate Soit N, + + + + = + + + D où, + + + + + est du sige de + + + + Or, + + + = + + =, par + coséquet est strictemet croissate + N Soit N, + = + = Comme + + + > + + + + + +, o déduit que, + est strictemet décroissate Exercice O applique u théorème du cours qui affirme qu ue suite u N coverge ssi les suites u N et u + N coverget et ot la même limite La suite u 6 N est ue sous-suite de u N qui coverge vers l doc u 6 N coverge vers l Mais, u 6 N est aussi ue sous-suite de u N qui coverge vers l doc u 6 N coverge vers l, la limite d ue suite état uique, l = l E utilisat, u 6+ N qui ue sous-suite de u N et de u + N qui coverge vers l, o motre que l = l O déduit que l = l, et doc u N et u + N ot même limite ce qui implique que u N coverge Soit P, l esemble des ombres premiers, c est u esemble ifii Pour P, o pose v = Pour tout k, pour tout, o pose v k = 0, ce qui implique que les suites, v k coverget vers 0, pour tout k Soit la foctio φ défiie par, pour N, φ est le ième ombre premier O a alors vφ coverge vers N O a costruit ue sous-suite qui e covergeait pas vers 0, doc la suite v N e coverge pas Exercice a Soit ɛ > 0 La suite u N coverge vers l, alors, il existe 0 N tel que pour tout N, N 0 = u l ɛ De plus, il existe N, pour tout N, = 0 u k l ɛ O pose, N = max 0,, et soit N etier u k l = u k l = u k l u k l, e utilisat, l iégalité triagulaire Or u k l = 0 u k l + u k l Comme, le premier terme de la k= 0+ 6
somme est majoré par ɛ et le secod terme de la somme est majoré par ɛ 0 et comme ɛ 0 0 et que 0 0, ɛ et fialemet, u k l u k l ɛ + ɛ = ɛ b O pred la suite u = pour tout N Comme u N et v N coverget, elles sot borées O a doc, il existe U, V R +, pour tout N, u U et v V Soit ɛ > 0 soit N, N N tel que pour tout N, N = u u < ɛ v v < U + V N De plus, UV + uv N et ɛ U + V et N = N UV + uv coverget vers 0, il existe, N, N N N, tel que, pour tout N, N = N UV + uv ɛ et N = N UV + uv ɛ Soit maiteat, maxn + N, N, N, u k v + k uv u k v + k uv, grâce à l iégalité triagulaire Or, u k v + k uv = N k= N + u k v + k uv + N k= N + Par ailleurs, u k v + k uv u k v + k uv O a aussi N + + u k v + k uv + N k= N + N k=n + u k v + k uv u k v + k + uv N UV + uv et u k v + k + uv N + + UV + uv UV + uv = N UV + uv L etier est plus grad que N, ceci implique que N UV + uv ɛ, comme est aussi plus grad que N, ceci etraie que N UV + uv ɛ De plus, N k=n + N k=n + N k=n + N k=n + N k=n + u k v + k uv u k v + k uv + uv + k uv + k u k uv + k + uv + k v u k uv + k + uv + k v u k uv + k + N k=n + uv + k v 7
L etier est plus grad que N et N, o e déduit que, N N + + V ɛ U + V + N N + + Uɛ U + V = N N U + V ɛ U + V Fialemet, u k v + k uv ɛ + N N ɛ ɛ, état plus grad que la somme et N + N est positif Soit ɛ > 0 La suite u N coverge vers l, alors, il existe 0 N tel que pour tout N, 0 = u l ɛ De plus, il existe N, pour tout N, = 0 C u k k l ɛ O pose, N = max 0,, et soit N etier Cu k k l = Cu k k l Or, e utilisat le biôme de Newto, + = C k k k = C k = D où, Cu k k l = C k u k l C u k k l, e utilisat, l iégalité triagulaire Or C u k k l = 0 C u k k l + C u k k l Comme, le premier terme de la somme est majoré par ɛ Pour le secod terme de la somme, o a k= 0+ k= 0+ C k k=0 C k =, d où, comme pour tout k = 0 +,,, u k l ɛ, o a C u k k l C k ɛ O e déduit que, k= 0+ k=0 C u k k l ɛ = ɛ k= 0+ Fialemet, Cu k k l C u k k l ɛ + ɛ = ɛ u La suite coverge vers l > 0, par cotiuité du logarithme sur R u u +, l N u N uk coverge vers ll D après, l coverge vers ll O e déduit que, u k lu lu 0 ll puis que lu ll Par cotiuité de l expoetielle, o coclut que, u / = exp lu expll = l Suites adjacetes N Exercice 5 O va motrer que les deux suites sot adjacetes Motros que u N est croissate Soit N, u + u = > 0 La suite u +! N est, par coséquet, strictemet croissate Motros que v N est strictemet décroissate Soit N, v + v = + +!! maiteat que = +! +! + < 0 La suite v N est doc décroissate Motros lim u v = 0 Soit N, u v = +! d où, lim u v = 0 + 8
O coclut que les suites u N et v N sot adjacetes et doc lim u = lim v + + O pose e = lim u Supposos, e Q, il existe a Z et b N, b > tels que e = a O pose + b b x = b! e Or, o a b! = bb +!, pour tout N doc pour tout N,! =0 b b! N, de plus, b!e = ab! N O coclut que x Z E outre, comme la suite! =0 b u N est strictemet croissate, e! est strictemet positif, d où x N =0 N b N Par ailleurs x = b! lim N +! que l o peut réécrire, x = b! lim! N +! Soit N N, N > b +, b! N =b+! =0 = b! = =0 Mais, pour tout k, 0 < b + k < b + b +! + b +! + b + N b! b + + b + b + + NN b + 0 < M, doc, pour tout M N, M >, M b + k < b + doc b + + b + b + + NN b + < b + + b + N b N N b b!! < k = b + = b + b + b =b+ b + N b b + =b+ N b + + b + E cosidérat la limite quad N ted vers +, o obtiet, x < puisque b > O coclut b que x N et x ]0, [ ce qui est absurde doc e est irratioel Exercice 6 Soit, pour N, P, la propositio u u + v + v O va motrer, par récurrece que, pour tout N, P est vraie Iitialisatio = 0 Comme, u 0 v 0, u = u 0 + v 0 u 0 + u 0 = u 0 = u 0 et u = u 0 + v 0 u 0 + u 0 + v 0 = u 0 + v 0 + v 0 = u 0 + v 0 = v E utilisat ecore ue fois que u 0 v 0, v = v 0 + u 0 v 0 + v 0 = v 0 O coclut que, u 0 u v v 0, d où, P 0 est vraie Hérédité Supposos que P est vraie pour u certai rag et motros que, P + est vraie Par hypothèse de récurrece, u u + v + v De u + v +, o déduit que, u + = u + + v + que u + = u + + v + v + u + + u + + v + u + + u + = u + + v + + v + = u + De u + v +, o déduit que, v + = v + + u + v + + v + = v + O coclut que, u + u + v + v +, d où P + est vraie = u + et = u + + v + = 9
Coclusio La propositio P 0 est vraie, de plus, P vraie implique que P + est vraie, o coclut, par le pricipe de récurrece, que P est vraie quelque soit N Soit N, v u = v + u u v = v u = v u O a motré, pour tout N, O va motrer, par récurrece que, v u = v u = v u 5 v 0 u 0 Iitialisatio = D après, 5, o a v u = v 0 u 0 et doc la propositio est vraie pour le rag iitial Hérédité Supposos que la propositio est vraie pour u certai rag, motros qu elle est vraie au rag + D après, 5, o a, v + u + = v u, or d après l hypothèse de récurrece, v u = v 0 u 0 et o déduit que, v + u + = + v 0 u 0 = v 0 u 0 La propositio est doc vraie au rag + Coclusio La propositio est vraie au rag iitial =, de plus, si la propositio est vraie au rag, alors la propositio au rag +, d après le pricipe de récurrece, la propositio est vraie pour tout N Fialemet, pour tout N, v u = v 0 u 0 et doc, la suite v u N coverge géométriquemet vers 0 D après et, o déduit que u N et v N sot adjacetes et doc u N et v N coverget vers la même limite E utilisat, o déduit que u N est croissate et majorée par v 0 par exemple doc elle coverge Par ailleurs, v N est décroissat et miorée par u 0 par exemple doc elle coverge Exercice 7 O va motrer par récurrece que, pour tout N, a 0, b 0 Iitialisatio Pour = 0, par défiitio de a et b, o a a 0 = a 0, et b = b 0 Hérédité Supposos que la propositio est vraie pour u certai rag, motros qu elle est vraie au rag + D après l hypothèse de récurrece, a 0 et b 0, doc a b est bie défiie et a + existe et est positive e tat que racie carrée De plus, a 0 et b 0 implique que a + b 0 La propositio est doc vraie au rag + Coclusio La propositio est vraie au rag iitial = 0 et si la propositio est vraie au rag, alors la propositio est vraie au rag +, d après le pricipe de récurrece, la propositio est vraie pour tout N d où a 0 et b 0 pour tout N Soit N, b a = a + b a b = a + b a b = a + b 0 O coclut que, pour tout N, b a Soit N Comme, a b et que x : x est croissate sur R +, a + a = a b a a a a = a a = 0 O coclut que a + a, pour tout N Soit N Comme, a b, b + b = a + b que b + b, pour tout N b b + b b = b b = 0 O coclut Soit N, b + a + = a + b b b a a b + a a b = b a = b a b + a b + a = 0
Par ailleurs, a est positif et a b, par la croissace de la racie carrée, o obtiet b a 0 doc 0 b a b, puis, b a b + a, ce qui implique que b a 0 b + a Fialemet, b + a + = b b a a b + a b a pour tout N Par u raisoemet par récurrece, o motre que b a b a puis o déduit que lim b a = 0, grâce à la questio, o coclut que a + N et b N sot adjacetes et par coséquet, a N et b N coverget vers la même limite qu o ote Ma, b 5 Si a 0 = b et b 0 = a, a et b sot ichagés, les suites sot ichagées et la limite est doc ichagée et doc Ma, b = Mb, a Soit λ > 0, pour N, a + = λ a b La foctio racie carrée état cotiue a b N coverge vers Ma, b = Ma, b car a 0 ce qui implique par passage à la limite que Ma, b 0 et a + N coverge vers Mλa, λb, par uicité de la limite, Mλa, λb = λma, b Exercice 8 + Soit N, u + u = + + x dx = + + k l + k + l = + + l + x dx = + dx x Or, pour tout x [, +], x + et < + doc, u + u = d où u N est décroissate Soit N, v + v = + + + dx x + k l + + k + l + = + l = + + dx 0 x + + Or, pour tout x [ +, + ], x et + < + doc, + + v + v = + + dx 0 d où v x N est croissate lim u v = lim l + = 0 + + Les suites u N et v N sot adjacetes, elles coverget vers la même limite que l o ote γ Comme u N est décroissate, γ u = l = et comme, v N est croissate, γ v = l Suites récurretes Exercice 9 O va motrer par récurrece que, pour tout N, u > 0 Comme u 0 = > 0, la propositio est vraie au rag iitial Supposos que la propopositio est vraie pour u certai rag et motros que la propositio est vraie au rag + Comme, u > 0, u + = u + u > 0 et doc u > 0 = u + > 0 O coclut que, la propositio est vraie au rag iitial, par ailleurs, si la propositio est vraie au rag, alors la propositio est vraie au rag +, o coclut par le pricipe de récurrece que, pour tout N, u 0 et doc la suite est bie défiie =
Soit N, u + u = u > 0 et par coséquet u N est croissate Supposos que u N soit majorée Puisqu elle est croissate, u N coverge vers u réel que l o otera l et l u 0 = La foctio x : x +, est cotiue sur [, + [ Le réel l vérifie doc x l = l + = l l = 0 ce qui est absurde et doc u N est pas majorée et doc ted vers + quad ted vers + Exercice 0 O va motrer, tout d abord, que la suite est bie défiie Il suffit de motrer que l esemble [0, + ] est stable par la foctio g défiie par, pour x [, + ], gx = + x Soit x 0, comme la foctio racie carré est croissate, gx = x + d où, gx [0, + [ L esemble [0, + [ est stable par g et u 0 [0, + [, o coclut que la suite u N est bie défiie Par ailleurs, g est croissate, e tat que composée de foctios croissates, o e déduit que u N est mootoe Pour coaître la mootoie de u N, il suffit d étudier le sige de u u 0, or u u 0 = 0 0, et o coclut que u N est croissate Résolvos, l équatio l = gl Mais, l = gl l = + l l l = 0 et l 0 Le polyôme x x a pour racie positive, + 5 O coclut que l = gl l = + 5 > Motros que l esemble [0, l] est stable par g Comme g est croissate, g[0, l] = [g0, gl] = [, l] L esemble [0, l] est stable par g, u 0 [0, l] doc pour tout N, u [0, l] La suite u N est croissate et majorée, elle coverge vers u réél que l o ote u Comme g est cotiue, gu = u et u 0 O coclut que u = l = + 5 Exercice La foctio f est défiie ssi 6 x 0 ce qui équivaut à x 6 La foctio est décroissate e tat que composée d ue foctio décroissate et d ue foctio croissate Efi, fx = + x 6 + fx 0 lim x Motros que l esemble [ 0, 6] est stable par f Comme f est décroissate, f[ 0, 6] = [f6, f 0] = [0, 6] L esemble, [ 0, 6] est iclus das l esemble de défiitio de f et stable par f doc la suite u N est bie défiie Soit N, u + = 6 u = 6 u 6 u + = u 6 u + Or, 6 u +, u d où, 6 u + u Par u raisoemet par récurrece, o motre que, pour tout N, u u 0 Fialemet, u N coverge vers 0 ce qui implique que u N coverge vers Exercice La foctio f est défiie ssi x 6 Il faudrait motrer que [ 6, + ] est stable par f, pour tout x 6, fx 0 ce qui implique que [ 6, + ] est stable par f O coclut que, comme u 0 6, la suite u N défiie u + = fu existe Comme, 6 + x est positive, fx = x = x 0 De plus, 6 x 0 implique que x 0 d où, 6 + x x 0 Soit P le polyôme x x 6 P a pour discrimiat 6 = + = 5 P a pour racies + 5 = 6 = et 5 = =
O a doc P = x + x, P est du sige de - à l extérieur des racies doc égatif sur ], [ [, + [ et positif sur [, ] Sur l esemble, [0, + [, o a 6 + x x = 6+x x 0, o a doc fx x 0 x + x 0 si x [0, + ] O coclut que fx x est égatif si x ], [ [, + [ [0, + [ = [, + [ et positif si x [ 6, 0] [, ] [0, + [ = [ 6, ] La foctio f est croissate sur [ 6, + [, e tat que composée de foctios croissates, o a, par coséquet, f[ 6, ] = [f 6, f] = [0, ] [ 6, ], d où [ 6, ] stable par f et f[, + [ = [f, lim fx[= [, + [, d où [, + [ stable par f x + O suppose que u 0 [ 6, ], comme f est croissate, u N est mootoe De plus, sur [ 6, ], fx x, o a doc u = fu 0 u 0 doc u N est croissate et majorée par, ce qui implique que u N coverge vers u réel qu o otera l Par ailleurs, f est cotiue, par coséquet, fu N coverge vers fl Comme u + N est ue sous-suite de u N, elle coverge vers l O a par coséquet l = fl et l 0, la suite u N état positive O coclut que l est la racie positive de P c est à dire Exercice O pose E = {u = u N C N u + = au + + bu } Soit la foctio φ de E das C défiie par, pour u E, φu = u 0, u L esemble E est u espace vectoriel Motros que φ est u isomorphisme vers C Soeit c C et u, v E, φcu + v = cu 0 + v 0, cu + v = cu 0, u + v 0, v = cφu + φv La foctio φ est doc liéaire Soit u E, tel que φu = 0 c est à dire que, u 0 = u = 0 Par récurrece double, o motre que, u = 0, pour tout N Par coséquet, φu = 0 = u = 0 doc φ est ijective Soiet c, d C, o pose u 0 = c et u = d, puis, pour, u + = au + + bu O a doc u E et φu = c, d La foctio φ est doc surjective Fialemet, φ est u isomorphisme de E vers C E est u espace vectoriel de dimesio de E a Motros que, r N, r N forme ue famille libre de E Motros d abord que, pour i =,, ri N appartiet à E C est à dire, pour tout N, r + i = ar + i + b Soit P, pour N, la propositio r + i = ar + i + bri Motros, par récurrece que P est vraie pour tout N Comme r i est ue racie de x = ax + b, o ri = ar i + br0 i = ar i + b La propositio P 0 est vraie Supposos que P est vraie pour u certai rag et motros que P + est vraie Par hypothèse de récurrece, r + i = ar + i + bri E multipliat par r i, o obtiet, r + i = ar + i + br + i et P + est vraie E coclusio, comme P 0 est vraie, P vraie implique que P + est vraie, par le pricipe de récurrece, P est vraie quelque soit N Soiet α, β C tels que αr + βr = 0 pour tout N Supposos α, β 0, 0 E preat, = 0, o obtiet α = β Puis pour =, αr + βr = αr αr = 0 D où, r = r puisque α 0 Or r et r sot distictes, o e déduit que α, β = 0, 0 Fialemet, r N, r N est ue famille libre de E r N, r N est ue famille libre de cardial, doc elle forme ue base et E = {λr + µr N : λ, µ C} b Le complexe r est l uique racie du polyôme x ax b doc r = a E utilisat le résultat du a, o a r + = ar + + br, pour tout N O a, r N E a + Doc, pour tout N, r + = ar + + br a a +, De plus, = d où, a + a + = a Par coséquet, r + = ar + Doc, + r + = r + + r + = ar + + br + r + = ar + + br + ar + = a + r + + br O coclut que, r N E
Motros que, r N, r N forme ue famille libre de E Soiet α, β C tels que αr + βr = 0 quelque soit N Pour =, αr + βr = 0, d où, α = β Pour =, αr + βr = αr αr = αr = 0, r est o ul d où, α = 0 puis β = 0 Fialemet, r N, r N forme ue famille libre de E et puisque E et u espace vectoriel de dimesio, r N, r N est ue base de E et E = {λ + µr N : λ, µ C} a Soit P le polyôme, x x + 8 Les racies sot et La suite u s écrit alors λ + µ Pour calculer λ et µ, o sait que u 0 = u = d où, u 0 = = λ + µ et u = = λ + µ O déduit que µ = λ et que = λ + λ = λ + Fialemet, λ = et µ = et efi, la suite u s écrit et la suite u coverge vers 0 b Posos w N = u + v N + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + 6 + = 0 O coclut que + + = + + + + Soit N, w + = u + + + + = u + u + + + + = + + + + + = u + + + + u + = w + w Le polyôme x x + a pour racie double La suite w N est égal à w 0 + w w 0 N or, w 0 = u 0 + 0 et w = u + 0 Comme w N = u + v N alors u N = w v N o e déduit que, u N diverge vers