page 4 stratégie au jeu de pile ou face par M. Régis o tter eau, M. Laure t ottereau, M. Bejami Reaud, M. Fraçois Pitie, élèves de S du lycée Buffo de Paris ( 7 ), établissemet jumelé avec le lycée La Fotaie de Paris (7) eseigate : Mme Marie Lattuati, MM Lelarge, Moscovici chercheur : M. Gilles Godefroy Sujet. U idividu oté J joue à pile ou face cotre la baque d u casio. La pièce est o truquée, le joueur possède ue somme a et la baque e fait pas crédit. L objet du problème est de m o t re r q u e quelle que soit sa stratégie, J e peut espérer gager d arget. O s itéresse e premier au cas du joueur horaire : J joue u ombre fixé de coups et sa mise a reste costate, égale à. coordiatio article : Pas de compte-redu de parraiage. P Stratégies das les jeux de pile ou face. 3 Peut-o bie jouer à pile ou face? Les réposes que l o peut doer à cette questio, fodametale e théorie probabiliste des jeux, dépedet du modèle mathématique avec lequel o explique les phéomèes aléatoires. Notatios, vocabulaire : a : somme que possède le joueur iitialemet. u coup : u lacer de pièce. α : arget mis e jeu à chaque coup. Le joueur perd ou gage α. ue partie : ue successio de coups. : ombre de coups d ue partie. g : gai, algébrique [c est-à-dire avec so sige], représetat la différece etre la somme dot J dispose e fi de partie et la somme iitiale. P (g) : probabilité d obteir le gai g après coups. [NDLR : l hypothèse faite das le modèle est que P (α)= P ( α) = / et, plus gééralemet, que : P + (g α) = P + (g+α) = P (g) /.] MATh.e.JEANS e 996
page 46 L espérace de gai. Défiitio et otatio : O appelle espérace de gai la somme des gais algébriques possibles e fi de partie, podérés par leurs probabilités respectives. O la otera E (g). [NDLR : malgré cette otatio, courate pour ue espérace e théorie des probabilités, la variable «g» apparaît pas vraimet das so calcul (c est ue «variable muette»).] Exemples [avec α = ] : pour = et a = : 0 9 8 7 6 4 3 somme (a + g) P ( ) = 0 3 4 3 pour = et a = 3 : somme (a + g) 0 3 4 P () = 3 P (3) = 3 P () = 0 3 P ( ) = 0 3 P ( 3) = 3 ombre de coups () 8 P () = 3 7 6 P (3) = 3 4 P () = 0 3 3 P ( ) = P ( 3) = ombre de coups () 9 3 7 3 es graphiques représetet l esemble des chemis que J peut choisir e jouat coups et avec ue somme iitiale de a (le trait e surimpressio matérialise les pertes et les gais d ue partie quelcoque de J). E effet pour P ( 3) il faut cosidérer tous les cas où J a plus d arget car P (x) correspod à la probabilité d avoir ue somme de x après coups. Das les deux cas o a : E (g) = P () + 3 P (3) + P () P ( ) 3 P ( 3) P ( ), soit : E (g) = Σ k=0 ( k)p ( k) car, das le cas où a = 3, P ( ) = 0. MATh.e.JEANS e 996
page 47 alcul de l espérace de gai. Par défiitio : E (g) = Σ k=0 ( k)p ( k). Il apparaît clairemet que les calculs seraiet plus simples avec ue somme [où k représeterait le gai du joueur J et doc] varierait etre et. Pour la facilité des calculs et la lisibilité des formules il ous faut doc itroduire ue ouvelle otatio : j Σk=i (σ=p) qui correspod, pour l idice de sommatio k, à ue icrémetatio d u pas de p uités au lieu de das le cas d ue sommatio du type: j X. Σk=i Aisi : 0 k = 0 + + 4 + 6 + 8 + 0 : Σk=0 (σ=) il s agit e fait de la somme des etiers pairs de 0 à 0. Il faut cepedat être attetif sur u cas particulier : lorsque p i est pas u ombre etier de pas. Das ce cas, k e pred pas la valeur. Aisi : Σ 9 k = 0 + + 4 + 6 + 8 = 0. k=0 (σ=) eci fait, o peut écrire l espérace de gai avec cette ouvelle otatio : X E (g) = gp Σg= (g). (σ=) Or P (g) = (/) [P (g ) + P (g+)] ; o a doc la relatio : E (g) = (/) Σ g[p g= (g )+P (g+)] (σ=) E (g) = (/) Σ g= (σ=) + (g +g+)p (g) + (/) [P () P ( )]. Or o remarque que : car (/) [P () P ( )] = 0 P () = 0 et P ( ) = 0 E (g) = gp Σg= (g) = (σ=) Par récurrece, o obtiet : Σg= (σ=) + gp (g). E (g) = Σ gp g= (g) = (/) ( ) = 0. (σ=) et fialemet : N*, a N*, E (g) = 0. Gééralisatio. L itérêt de la démostratio précédete réside das l étude au coup par coup. E utilisat ue méthode similaire, o pourrait démotrer le résultat obteu pour u cas plus gééral, e teat compte de toutes les stratégies possibles et o plus uiquemet de celle du joueur horaire. Premièremet, il ous faut oter tous les paramètres qui permettet d obteir des stratégies différetes : - soit J s arrête (volotairemet ou ivolotairemet), soit J cotiue ; - J décide de chager sa mise α. Tous les autres cas sot idépedats de la voloté de J. MATh.e.JEANS e 996
page 48 O ote E (g ) l espérace de gai après coups. [NDLR : le gai g après c o u p s iterviet das le calcul des probabilités mais pas, comme ous l avos remarqué plus haut, das celui de l espérace. Nous avos doc choisi de restituer ci-dessous la otatio précédete, soit E (g) pour l espérace, e ajoutat quelques précisios au texte des élèves.] si J joue : car P (g ) = (/) [P + (g +α) + P + (g α)] si J gage, alors g + = g + α si J perd, alors g + = g α E (g) = (/) [E + (g)+α + E + (g) α] E (g) = E + (g) si J e joue pas : E (g) = E (g) : J coserve le même gai qu au coup. [Das tous les cas :] N*, α R, E (g) = E (g). Or o a : E (g) = (/) [α + ( α)] = 0 E (g) = 0 D où o e déduit que quelle que soit la stratégie utilisée à pile ou face o a la relatio : N*, a N*, α R, E (g) = 0. [NDLR : ci-après, les élèves e s itéresset plus au gai du joueur, mais à so espoir de durer das la partie. Les calculs sot faits pour u joueur horaire dot la mise à chaque coup est. Si la baque autorisait l edettemet, le joueur pourrait cotiuer à j o u e r, même avec u avoir mometaémet égatif. Mais la baque e fait pas de crédit : le joueur cesse d être joueur lorsque so avoir est ul. est ce à quoi se réfèret les élèves lorsqu ils parlet de chemis «e pouvat s edetter» et de chemis «sas s edetter».] L espérace de vie. Défiitio : O appelle espérace de vie la moyee des ombres de coups joués podérés par leurs probabilités respectives, qui sera otée E v i e (). [NDLR : aisi, E v i e () est le ombre moye de coups eff e c t i v e m e t joués pour ue partie e coups.] alcul de l espérace de vie : P (A) = Probabilité de e plus avoir d arget après coups. P (A) = (/ ) ombre de chemis qui passet par A sas s edetter = (/ ) ombre de chemis qui passet par B sas s edetter = (/ ) (dcqppbepse dcqppepse). [NDL : je ote d c q p p A e p s e = ombre de ch emis qu i p asset par A e pou vat s edetter ( d c q p p B e p s e, d c q p p e p s e = ombre de chemis qui passet par B, par e pouvat s edetter) pour éviter des formules de trois pages chacue.] dcqppbepse = dcqppepse = P (A) = B A ( = ) +a +a = = a (cf. ANNEXE) MATh.e.JEANS e 996
page 49 Espérace de vie : A A A 4 A 8 6 (les traits e poitillé représetet les chemis impossibles) E v i e (8) = P (A ) + 4 P 4 (A 4 ) + 6 P 6 (A 6 ) + 8 [ P (A ) P 4 (A 4 ) P 6 (A 6 )]. E vie (8) = [6 P (A ) +4 P 4 (A 4 ) + P 6 (A 6 )] E vie (8) =,84 E vie () = a Σ ( k) P k=a k (A k ) (σ=) E vie () = a Σ k=a (σ=) F E D B k a k k k k Etude de la limite de l espérace de vie : O veut savoir pour ifii si l espérace de vie coverge ou diverge. O cosidère que J joue autat qu il le peut. Soit E v i e [a] l espérace de vie e foctio uiquemet de a (car est par hypothèse ifii). E vie [a] est toujours représeté par la formule ci-dessus car le fait que soit ifii iterviet e rie das la défiitio de l espérace de vie. [NDLR : l iterprétatio des expressios probabilistes est toujours délicate et déped du modèle choisi. Pour faciliter la lecture du texte des élèves, ous avos fait l hypothèse que la limite de E vie () existe lorsque ted vers l ifii et ous avos oté E v i e [a] la valeur de cette limite : otez que E v i e () dépedait à la fois de et de a, tadis que E vie [a] e déped plus que de a.] Si E vie [a] est fii alors ce ombre correspodra au ombre de coups que J pourra espérer jouer avec ue somme de a. Lorsque J possède ue somme a il a deux possibilités : Il perd et possède désormais ue espérace de E vie [a ]. Il gage et possède ue ouvelle espérace de E vie [a+]. O a doc la relatio pour ifii : E vie [a] = (/) (E vie [a ] + ) + (/) (E vie [a+] + ) O ajoute + car das les deux cas J a u r a joué u coup supplémetaire. Et doc : E vie [a] = (/)(E vie [a ] + E vie [a+]) + Remarque : e résultat, qui peut paraître surpreat, est vérifié par des exemples umériques pour des valeurs de très grades. MATh.e.JEANS e 996
page 0 O va chercher à écrire E vie [a] e foctio de E vie [] [à partir de la propriété précédete, ous allos étudier la propriété Q a : E vie [a] = a.(e vie [] a+) Q : E v i e [] = E v i e []. Démotros que Q a implique Q a+ : Q a : E vie [a] = a.e vie [] a(a ) E vie [a] = (/) (E vie [a+] + E vie [a ]) + E vie [a+] =.E vie [a] E vie [a ] Q a E vie [a+] =.(a.e vie [] a(a )) ((a ).E vie [] (a )(a )) Q a E vie [a+] = (a a+).e vie [] a.(a ) + (a )(a ) Q a E vie [a+] = (a+).e vie [] a a Q a E vie [a+] = (a+).e vie [] a.(a+) Q a Q a+ O viet de démotrer par récurrece que : E vie [a] = a.e vie [] a(a ). ela s écrit : E vie [a] = a.(e vie [] a+). Or il existe a tel que E v i e [ ] a+ < 0 et doc E v i e [a] < 0. Mais comme J joue de toute faço au mois a coups, o e déduit que l espérace de vie e peut être fiie, elle est doc ifiie. lim + E vie () = + [NDLR : e toute rigueur, ce qui a été prouvé c est que l hypothèse faite était absurde, autremet dit que E v i e () e peut avoir de limite fiie pour toute somme iitiale a. L iterprétatio de ce résultat e termes de logueur du jeu à pile ou face reste sas doute à faire. Il est e tout cas itéressat de costater que le cocept d espérace permet des calculs et des raisoemets qui auraiet été difficiles à meer directemet à l aide des seules probabilités d évèemets élémetaires ] [NDL : si vous e coaissez pas les et «!» sautez l aexe.] Aexe : alcul de P (A). [NDLR : les calculs s appuiet sur le fait que le ombre de chemis croissats (formés de segmets de logueur uité, horizotaux ou verticaux) issus de l origie (0, 0) et se termiat au poit (p, q) de la grille est exactemet : N = +a p p+q = N!!!!! +a!! +a car! =.( )!.] q +a!! +a! a.!! +a! a.!.! +a! a O a doc P (A) = a... 0 p!! +a! +a!!! MATh.e.JEANS e 996