CHAPITRE 8 Estimatio de paramètres 1. Distributio des moyees des échatillos Das ce chapitre, ous étudieros commet est distribué la moyee de tous les échatillos de taille possibles d ue certaie populatio. Soit ue certaie v.a. X défiie sur ue populatio. Celle-ci peut être par exemple la proportio de fumeurs l âge moye de la populatio Puisque soder toute la populatio peut être péible, o peut opter pour u sodage c est-à-dire de predre u échatillo (ue partie de la populatio) afi d estimer soit ue proportio ou ue moyee das la populatio. Avat d etrer das les détails, revos sur certaies otatios : Défiitio Exemple N Taille de la populatio Populatio du Qc = 7 000 000 X v.a. étudiée Âge d u québécois µ moyee de la populatio âge moye des québécois σ X écart type de la populatio écart type de l âge des québécois Taille d u échatillo 100 québécois x Moyee de l échatillo âge moye das l échatillo s Écart type de l échatillo écart type de l âge moye de l échatillo L idée ici est de se servir de x afi d estimer µ. Mais, à quel poit est-ce que cette estimatio est boe et das quelles coditios? C est ce que ous teteros de découvrir das ce chapitre. L aspect le plus importat afi de savoir si otre estimatio est boe est sas doute la taille de l échatillo. Exemple 8.1. Lors d u exame sur 10, ue classe de 20 persoes a obteue les otes suivates : 145
146 8. Estimatio de paramètres Exemple fait e classe. Comme le motre l exemple précédet, les x i sot importats. Défiitio 13. Soit ue populatio de taille N. O défiit la v.a X : la distributio des moyees de tous les échatillos de taille. X. Théorème 8.1 (Théorème cetrale limite). Soit ue variable aléatoire Cas 1) Si X N(µ,σ), alors X N µ, σ2. Cas 2) Si X a ue espérace µ et de variace σ 2, X est pas ormalemet distribué et > 30, alors X N µ, σ2 si la populatio est ifiie ou si l échatillo est choisi avec remise. X N µ, σ2 N si la populatio est fiie ou si l échatillo est choisi sas N 1 remise.
8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 147 IMPORTANT O cosidère qu ue populatio est ifiie si N > 20. Exemple 8.2. Le poids d u rat de laboratoire est distribué ormalemet avec ue moyee de 228.6g avec u écart type de 17.8g. O pred au hasard 16 rats. Quelle est la probabilité que la moyee des poids des 16 rats soit iférieure à 220g? Posos X : le poids d u rat de laboratoire. Nous avos que X N 228.6,17.8 2. Nous avos X la moyee de poids de 16 rats. Alors, X N 228.6, 17.82. 16 Nous cherchos P( X 220 228.6 < 220) = P Z < 17.8 16 = P Z < 8.6 4.45 = P (Z < 1.93) = 0.5 P (0 < Z < 1.93) = 0.5 0.4732 = 0.0268 2. Estimatio de la moyee d ue populatio Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo choisit aléatoiremet. Nous sommes itéressés à estimer la valeur de la moyee de la populatio etière, c est-à-dire µ. Il existe deux faços d estimer µ. Défiitio 14 (Estimatio poctuelle). Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo. L estimatio poctuelle de la moyee de la populatio, otée ˆµ, est doée par ˆµ = x. Ce type d estimatio est le plus simple. Par cotre, plus la taille de l échatillo est petite, mois l estimatio sera réaliste. C est pourquoi le deuxième type d estimatio est plus utilisé. Défiitio 15 (Estimatio par itervalle de cofiace). Soit {x 1,x 2,x 3,...,x } les valeurs d ue variable aléatoire X d u échatillo. L estimatio par itervalle de cofiace de la moyee de la populatio est doée par µ [ x ME, x + ME], avec ue probabilité 1 α Ici, ME est la marge d erreur et 1 α est le iveau de cofiace.
148 8. Estimatio de paramètres Regardos tout d abord ce que sigifie le iveau de cofiace. Il s agit de la probabilité que la moyee de la populatio µ (qui est icoue) soit das l itervalle de cofiace IC. Mathématiquemet, ceci reviet à écrire P ( x ME µ x + ME) = 1 α Il e reste plus à détermier commet calculer la marge d erreur M E. Il est clair que la marge d erreur déped de la valeur de 1 α. Plus cette valeur est proche de 1, plus la marge d erreur sera grade pour s assurer que µ soit das l itervalle et vice-versa. Regardos commet calculer ME das le cas où X N µ,σ 2. O sait la distributio des moyees de échatillos de taille, X, est X N µ, O est itéressé à détermier ME tel que σ. P(µ Me X µ + ME) = 1 α. Pour détermier ME, ous devos utiliser la cote Z. Aisi, P(µ Me X µ Me µ µ + ME) = P σ/ Z µ Me µ σ/ ME = P σ/ Z ME σ/ = 2P(0 Z Z α/2 ) = 1 α, où Z α/2 = ME σ/ Aisi, e détermiat Z α/2, o obtiet que Aisi, la probabilité que ME = Z α/2 σ. x [µ Me,µ + ME] est de 1 α. Cepedat, ous sommes itéressés à détermier u itervalle pour µ. Le fait que x [µ Me,µ + ME] sigifie que et x µ ME x µ + ME. E isolat µ das les deux iéquatios, o obtiet que D où µ [ x ME, x + ME]. x + ME µ et x ME µ.
8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 149 Exemple 8.3. Le résultat à u test psychométrique que l o fait subir aux efats d âge préscolaire est ue variable obéissat à ue loi ormale d écart type 6. O prélève u échatillo au hasard de 144 efat et o obtiet u résultat moye de 55. Faites ue estimatio par itervalle de cofiace à 94%. allo le mode Malheureusemet, il est rare que ous coaissos déjà σ ou que la populatio suive ue loi ormale. Le prochai théorème ous permettra de coaître la distributio de X et aisi de détermier ME selo le cas. Théorème 8.2. Soit u échatillo de taille. Cas 1) Si X N µ,σ 2, alors X N µ, σ2 σ et ME = z α/2 Cas 2) Si X est quelcoque, σ 2 coue et 30, alors X N ME = z α/2 σ Cas 3) Si X est quelcoque, σ 2 icoue et 30, alors X N et ME = z α/2 s µ, σ2 et µ, s2 Cas 4) Si X N µ,σ 2, mais σ 2 icoue et < 30, alors X µ s/ T 1 et ME = t 1,α/2 s
150 8. Estimatio de paramètres Das le derier cas, ous avos X µ s/ T 1. T 1 est ue loi dite de Studet de paramètre ν = 1. Nous pouvos trouver la valeur de t 1,α/2 das la table suivate : α 0,005 ν 0,010 0,025 0,050 0,100 1 63,6567 31,8205 12,7062 6,3138 3,0777 2 9,9248 6,9646 4,3027 2,9200 1,8856 3 5,8409 4,5407 3,1824 2,3534 1,6377 4 4,6041 3,7469 2,7764 2,1318 1,5332 5 4,0321 3,3649 2,5706 2,0150 1,4759 6 3,7074 3,1427 2,4469 1,9432 1,4398 7 3,4995 2,9980 2,3646 1,8946 1,4149 8 3,3554 2,8965 2,3060 1,8595 1,3968 9 3,2498 2,8214 2,2622 1,8331 1,3830 10 3,1693 2,7638 2,2281 1,8125 1,3722 11 3,1058 2,7181 2,2010 1,7959 1,3634 12 3,0545 2,6810 2,1788 1,7823 1,3562 13 3,0123 2,6503 2,1604 1,7709 1,3502 14 2,9768 2,6245 2,1448 1,7613 1,3450 15 2,9467 2,6025 2,1314 1,7531 1,3406 16 2,9208 2,5835 2,1199 1,7459 1,3368 17 2,8982 2,5669 2,1098 1,7396 1,3334 18 2,8784 2,5524 2,1009 1,7341 1,3304 19 2,8609 2,5395 2,0930 1,7291 1,3277 20 2,8453 2,5280 2,0860 1,7247 1,3253 21 2,8314 2,5176 2,0796 1,7207 1,3232 22 2,8188 2,5083 2,0739 1,7171 1,3212 23 2,8073 2,4999 2,0687 1,7139 1,3195 24 2,7969 2,4922 2,0639 1,7109 1,3178 25 2,7874 2,4851 2,0595 1,7081 1,3163 26 2,7787 2,4786 2,0555 1,7056 1,3150 27 2,7707 2,4727 2,0518 1,7033 1,3137 28 2,7633 2,4671 2,0484 1,7011 1,3125 29 2,7564 2,4620 2,0452 1,6991 1,3114 30 2,7500 2,4573 2,0423 1,6973 1,3104 40 2,7045 2,4233 2,0211 1,6839 1,3031 50 2,6778 2,4033 2,0086 1,6759 1,2987 60 2,6603 2,3901 2,0003 1,6706 1,2958 100 2,6259 2,3642 1,9840 1,6602 1,2901 500 2,5857 2,3338 1,9647 1,6479 1,2832 2,5763 2,3267 1,9602 1,6450 1,2816
8.2. Estimatio de la moyee d ue populatio 151 IMPORTANT Das la table, α correspod à α/2. Regardos des exemples. Exemple 8.4. Trouver u itervalle de cofiace à 95% sur le reveu moye des femmes sachat que sur u échatillo de 100 femmes la moyee est de 19502$ et l écart-type est de 2000$. allo le mode Exemple 8.5. Virgile s etraîe e courat 5km par jour et il ote le temps écessaire. Après 90 jours de course, il costate qu e moyee il pred 22.50 miutes pour parcourir 5km avec u écart-type de 2.40miutes. a) détermiez la moyee de so temps de parcours avec ue estimatio poctuelle. b) détermiez la moyee de so temps de parcours avec u itervalle de cofiace à 99%. allo le mode
152 8. Estimatio de paramètres
Réposes 165