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Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques... p4 6. Suites miorées, majorées, borées... p8 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés

Suites umériques. O rappelle qu ue suite réelle est ue foctio défiie sur N, ou sur ue partie de N à valeurs das R. 1. Mode de géératio des suites 1.1. Formule explicite Ue suite ( ) est doée par ue formule explicite lorsque so terme gééral est doé e foctio de. 1.2. Exemples Exemple 1 O doe, pour tout etier aturel, =. Calculer u 16. u 16 = 16=4. Exemple 2 O doe, pour tout etier aturel, = 2 +2 +1. Calculer u 10. u 10 =10 2 +2 10+1=121 Remarque Das u repère, ue suite doée par ue formule explicite peut être représetée par les poits de coordoées (; Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 2

Suites umériques. 2. Relatio de récurrece 2.1. Défiitio Ue suite ( ) est doée par ue relatio de récurrece lorsque, par exemple, le terme +1 est doé e foctio de. (il faut alors coaître le premier terme de la suite). 2.2. Exemple Soit ( ) la suite défiie par u 0 = 3 et, pour tout etier aturel, +1 = 2 +3. Calculer u 5. A la calculatrice, o etre -3 puis EXE ou ENTER. O saisit esuite 2ANS+3, puis e appuyat sur EXE ou ENTER plusieurs fois, o obtiet successivemet u 1, u 2,... et efi u 5 =129. 2.3. Remarque Das u repère, ue suite doée par so premier terme et ue relatio de récurrece +1 = f ( ), où f est ue foctio peut être représetée à l aide de la courbe de f et de la droite Δ d équatio y=x. O place le premier terme (par exemple u 0 ) sur l axe des abscisses, la courbe de f permet de détermier le terme suivat (u 1 ) sur l axe des ordoées, et la droite Δ permet de placer ce terme sur l axe des abscisses, et aisi de suite. Exemple La suite ( ) défiie par u 0 =1, et, pour tout etier aturel, +1 = 4 +5. O utilise la courbe de la foctio f défiie sur [ 5 4 [ ;+ par f (x)= 4 x+5. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 3

Suites umériques. 3. Suites arithmétiques, suites géométriques Suite ( ) N Suite arithmétique de raiso r Suite géométrique de raiso q Défiitio O passe de chaque terme au suivat e ajoutat le même réel r : pour tout etier, +1 = +r. O passe de chaque terme au suivat e multipliat par le même réel q : pour tout etier, +1 =q. Terme gééral Pour tous etiers et p, =u 0 +r =u 1 +( 1)r =u p +( p) r Pour tous etiers et p, =u 0 q =u 1 q 1 =u p q p Somme de termes cosécutifs Cas particuliers Nb determes 1er terme+derier terme 2 k =0 u k =(+1) u 0 + 2 1+2+ += (+1) 2 termes 1 qbde Premier terme 1 q k =0 u k =u 0 1 q+1 1 q Attetio, q 1 1+q+q 2 + +q q+1 1 q Attetio, q 1 4. Le raisoemet par récurrece 4.1. Exemple préparatoire O cosidère la suite ( ) défiie par {u 0 = 3 +1 +1, N E calculat u 1 = 1 2, u 2 =2, u 3, o peut cojecturer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 2, 3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 4

Suites umériques. 4.2. Pricipe de récurrece a) Propositio p est u etier aturel fixé. O cosidère ue propriété de l'etier aturel si : La propriété est vraie pour = p (iitialisatio) La propriété est héréditaire pour tout etier aturel supérieur ou égal à p, c'est à dire : o suppose que la propriété est vraie pour fixé supérieur ou égal à p et o démotre que la propriété est vraie pour +1. Alors, pour tout etier aturel supérieur ou égal à p la propriété est vraie. b) Remarques Pour utiliser le pricipe de récurrece, il faut coaître la propriété de l'etier aturel. (soit la propriété est doée das l'éocé soit o effectue ue cojecture. Il existe des propriétés qui soiet héréditaires pour tout etier aturel et qui sot fausses pour tout etier aturel. 4.3. Exemples a) O cosidère la suite ( ) défiie par {u 0 = 3 +1 +1, N Motros par récurrece que, pour tout etier supérieur ou égal à 2, La propriété est vraie au rag 2. E effet, u 2 =2 doc u 2 O suppose que, pour u etier fixé, Motros que la propriété est vraie au rag +1 : motros que +1 O sait que >0 et que +1 +1. Or >0 etraîe +1>0 puis L hérédité est aisi prouvée. O a bie que >2, 1 +1 >0, soit +1 b) a est u ombre réel strictemet positif fixé. Démotrer e utilisat u raisoemet par récurrece que pour tout etier aturel o ul (1+a) 1+a. La propriété est vraie au rag 1. E effet, (1+a) 1 =1+a et 1+1 a=1+a doc (1+a) 1 1+1 a O suppose que, pour u etier fixé, (1+a) 1+a. Motros que la propriété est vraie au rag +1 : motros que (1+a) +1 1+(+1)a. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 5

O sait que : { (1+a) 1+a 1+a> 0 (1+a) +1 1+(+1)a+a 2. (1+a) (1+a) (1+a) (1+a) (1+a) +1 1+a+a+a 2 Or, a 2 >0 doc (1+a) +1 1+(+1)a L hérédité est aisi prouvée. Suites umériques. O a bie, d'après le pricipe de récurrece, pour tout etier aturel o ul (1+a) 1+a. 5. Ses de variatio des suites 5.1. Défiitio Soit ( ) ue suite réelle. ( ) est croissate lorsque, pour tout etier, +1. ( ) est décroissate lorsque, pour tout etier, +1. ( ) est costate (ou statioaire) lorsque, pour tout etier, +1 =. 5.2. Étude des variatios d'ue suite a) Sige de +1 Propositio : Si, pour tout etier, +1 0, alors ( ) est croissate. Si, pour tout etier, +1 0,alors ( ) est décroissate. Si, pour tout etier, +1 =0,alors ( ) est costate. Exemple : Soit la suite ( ) défiie par {u 0 +1 = + 1 +2, N 2 Pour justifier que cette suite est bie défiie, c'est à dire que pour tout etier aturel, 0, il suffit, e effectuat u raisoemet par récurrece, de démotrer que pour tout etier aturel >0 (ou 1 ). Pour tout, +1 2 +2>0 doc +1 >0, et la suite ( ) est croissate. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 6

Suites umériques. b) Cas des suites à termes strictemet positifs Propositio : Soit ( ) ue suite dot les termes sot strictemet positifs. Si, pour tout etier, +1 >1, alors (u u ) est (strictemet) croissate. Si, pour tout etier, +1 <1,alors (u u ) est (strictemet) décroissate. Si, pour tout etier, +1 =1,alors (u u ) est costate. Exemple : Soit la suite ( ) défiie par O admet que pour tout, {u 0 =3 +1 = u 2 +1, N. Pour tout etier, +1 u 2 +1, doc +1 <1 et la suite ( ) est décroissate. c) Cas des suites doées par ue formule explicite Propositio : Soit ( ) ue suite défiie par = f () où f est ue foctio défiie sur [0;+ [. Si f est croissate sur [0;+ [, alors ( ) est croissate. Si f est décroissate sur [0;+ [, alors ( ) est décroissate. Exemple : Soit la suite ( ) défiie par =2 2 12 +19. O a = f () avec f (x)=2 x 2 12 x+19, défiie sur [0 ;+ [. f est la restrictio d ue foctio triôme du secod degré, et présete u miimum (puisque le coefficiet du terme de degré 2 est 2>0) e b 12 = 2 a 2 2 =3 O e déduit que la suite ( ) est croissate à partir du rag 3. Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 7

Suites umériques. 6. Suites miorées, majorées, borées 6.1. Défiitio ( ) est défiie sur N. O dit que : ( ) est miorée s'il existe u ombre réel m tel que pour tout etier o ait m. O dit alors que m est u miorat de la suite ( ( ) est majorée s'il existe u ombre réel M tel que pour tout etier o ait M. O dit alors que M est u majorat de la suite ( ( ) est borée si elle est majorée et miorée. 6.2. Remarques Si m est u miorat de ( ) alors tout ombre réel iférieur à m est aussi u miorat de ( Si M est u majorat de ( ) alors tout ombre réelsupérieur à M est aussi u majorat de ( 6.3. Exemple Soit ( ) la suite défiie par u 0 =0 et pour tout de N, +1 2 +1. Motrer que la suite ( ) est borée. u 0 =0 ; u 1 0 2 +1 =1 ; u 2 O fait les cojectures suivates : La suite 'est pas mootoe. 1 2 +1 2 ; u 3= Tous les termes de la suite sot positifs ouls. 1 est u majorat de la suite. 1 ( 1 2 2) +1 = 4 5 5 ; u 4 = 16 4 25 +1 1 41 25 = 25 41. Démotros e utilisat u raisoemet par récurrece que pour tout etier aturel : 0 La propriété est vraie au rag 0. E effet, u 0 =0 doc 0 u 0 1. O suppose que, pour u etier fixé, 0 Motros que la propriété est vraie au rag +1 : motros que 0 +1 O sait que 0 1 ; la foctio carrée est croissate sur [0;+ [ doc 0 2 2 1 2 Et, 1 2 +1 2. La foctio iverse est décroissate sur ]0;+ [, doc 1 1 1 2 +1 1 2, soit 1 2 1 2 +1 1 soit 0 2 1 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réservés Page 8