M1 MEEF PRÉPARATION À L ÉCRIT DU CAPES DE MATHÉMATIQUES ANALYSE

M1 MEEF PRÉPARATION À L ÉCRIT DU CAPES DE MATHÉMATIQUES ANALYSE Matthieu Fradelizi Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée 2015-16

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Table des matières 1 Les esembles N, Q et R 5 1.1 Propriété fodametale de N et récurrece........................... 5 1.2 Propriété de la bore supérieure et ombre réels....................... 7 2 Suites umériques 13 2.1 Programme............................................ 13 2.2 Gééralités............................................ 13 2.3 Suite récurrete liéaire..................................... 18 2.4 Suite défiie par ue relatio de récurrece u +1 = f(u ).................. 18 2.5 Vitesse de covergece...................................... 22 3 Séries umériques et séries etières 25 3.1 Gééralités............................................ 25 3.2 Séries à termes positifs...................................... 26 3.3 Séries à termes quelcoques................................... 27 3.4 Séries etières........................................... 28 3

4 TABLE DES MATIE RES

Chapitre 1 Les esembles N, Q et R Les esembles de ombres : etiers aturels (N) et relatifs (Z), ratioels (Q), décimaux (D), réels (R) ou complexes (C) sot supposés cous. O va simplemet rappeler les propriétés fodametales vérifiées par N et R. 1.1 Propriété fodametale de N et récurrece O itroduit d abord la otio d ordre. Défiitio. Soit E u esemble. Ue relatio d ordre sur E, otée, est ue relatio biaire qui vérifie les propriétés suivates : - réflexivité : pour tout x E, x x - atisymétrie : pour tous x, y E, x y et y x implique x = y. - trasitivité : pour tous x, y, z E, x y et y z implique x z. L ordre est dit total si deux élémets de E sot toujours comparables : quelques soiet x, y E, x y ou y x. Exemples : L ordre aturel sur N, D, Q, R est total. Soit A est u esemble, l esemble des foctios de A das R est mui de l ordre : f g si, pour tout x A, f(x) g(x). Exercice 1. Motrer que l iclusio sur l esemble P(E) des parties d u esemble E qui possède au mois deux élémets est pas u ordre total. Motrer de même que l ordre sur les foctios réelles est pas total. Défiitio. Soit (E, ) u esemble ordoé. O dit qu u élémet m de E est u plus petit élémet de E, si pour tout x E, m x. O défiit de même la otio de plus grad élémet et o vérifie l uicité de celui-ci. Exercice 2. Motrer que si u esemble ordoé a u plus petit élémet, il est uique. Exercice 3. Motrer qu u esemble fii totalemet ordoé o vide T admet u plus petit et u plus grad élémet. Propriété fodametale de N. Toute partie o vide de N admet u plus petit élémet. O dit que N est bie ordoé ou que est u bo ordre sur N. De plus N vérifie aussi la propriété suivate : Toute partie o vide majorée de N admet u plus grad élémet. 5

6 CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R Exercice 4. O défiit iductivemet ue suite u par u 0 = u 1 = 1 et u = 2u 1 + u 2 pour tout 2. E utilisat u raisoemet par l absurde et la propriété fodametale de N, motrer que tous les termes de la suite sot impairs. Théorème de la récurrece. Pour tout etier aturel, soit P () ue relatio portat sur l etier. Si P (0) est vraie et si pour tout N, l implicatio P () P ( + 1) est vraie, alors P () est vraie pour tout etier aturel. Das ue démostratio par récurrece, l assertio P () est appelée l hypothèse de récurrece. Exercice 5. Démotrer le théorème de la récurrece. Ue variate utile (et équivalete) de ce théorème cosiste à predre pour hypothèse de récurrece, la cojoctio des relatios P (0), P (1),..., P (). Cette variate est parfois appelée récurrece forte. Théorème de la récurrece (bis). Pour tout etier aturel, soit P () ue relatio portat sur l etier. Si P (0) est vraie et si pour tout N, l implicatio ( P (0), P (1),..., P () ) P ( + 1) est vraie, alors P () est vraie pour tout etier aturel. Exercice 6. Motrer que tout etier aturel supérieur ou égal à 2 possède u diviseur premier. Exercice 7. Essayos de motrer par récurrece que tous les etiers sot pairs. Pour tout etier 0, cosidéros la relatio P () : tous les etiers k sot pairs. La relatio P (0) est vraie. Soit u etier, supposos P () vraie, alors + 1 est la somme de deux etiers pairs, car d après l hypothèse de récurrece, les etiers et 1 sot pairs. L implicatio P () P ( + 1) est doc vraie. Trouver l erreur. Exercice 8. Motrer par récurrece que pour tout etier 1, k = k=1 ( + 1), 2 (2k 1) = 2, k=1 k 2 = k=1 ( + 1)(2 + 1), 6 ( ) 2 ( + 1) k 3 =, 2 k=1 k=1 1 2 k = 1 1 2. Exercice 9. O cosidère ue propriété P () portat sur l etier 0. Quelle est la égatio de l assertio : la propriété P () est vraie à partir d u certai rag? Exercice 10. Soit P () ue propriété portat sur l etier 0. O suppose qu elle est vraie pour ue ifiité d etiers et que P (0) est vraie. O suppose e outre que pour tout etier > 0, P () = P ( 1) (ati-récurrece). Motrer que P () est vraie pour tout etier 0. Exercice 11. O défiit la suite de Fiboacci (F ) N par F 0 = 0, F 1 = 1 et F +2 = F +1 + F, pour tout etier aturel. Motrer que pour tout etier, le ombre de Fiboacci F est pair si et seulemet si est multiple de 3. Théorème de la costructio par récurrece. Soiet E u esemble, a E et f ue applicatio de E das E. Il existe ue uique suite (u ) IN de E vérifiat { u0 = a u +1 = f(u ) pour tout etier.

1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS 7 À propos du raisoemet : E gééral, la démostratio d ue implicatio ( x E)(P (x) Q(x)) commece par : soit x E (x est alors fixé, sas d autre particularité d apparteir à E) et o par x E. O dit parfois, soit x u élémet quelcoque (ou arbitraire) de E. O motre que si P (x) est vraie alors Q(x) est vraie (raisoemet direct) ou bie l o procède par cotrapositio, o motre que si oq(x) est vraie alors op (x) est vraie (raisoemet par cotraposée). Le raisoemet par l absurde cosiste à supposer P (x) vraie et Q(x) fausse, o aboutit à ue cotradictio. Si au cotraire, o veut motrer que la propositio ( x E)(P (x) Q(x)) est fausse, o doit motrer qu il existe u élémet x de E tel que P (x) et oq(x) sot vérifiées ; o cherche alors u cotre-exemple. Défiitio. Soit l R, o dit qu ue suite de réels (u ) ted vers l ( ou coverge vers l) quad ted vers l ifii, si quel que soit le ombre réel ε > 0, il existe u etier N N, tel que pour tout etier N, o ait u l < ε. O dit qu ue suite réelle est divergete si elle est est pas covergete. Exercice 12. diverge. Ecrire mathématiquemet : la suite (u ) diverge. Motrer que la suite (( 1) ) 1 1.2 Propriété de la bore supérieure et ombre réels Exercice 13. U exercice simple et si importat. Que dire d u ombre réel x qui vérifie x ε quel que soit le ombre ε > 0? Doer ue démostratio élémetaire ; par l absurde, par cotrapositio. O suppose l iégalité a < b + ε vérifiée pour tout ε > 0, peut-o e déduire que a < b? Repredre l exercice avec e outre l hypothèse ε D. Il e s agit plus alors d u problème formel, pourquoi? Défiitio. Soiet (E, ) u esemble ordoé et A ue partie de E. O dit qu u élémet M E est u majorat de A, si pour tout x A, x M. O défiit de même la otio de miorat. O dit qu ue partie A d u esemble E est majorée, respectivemet miorée, si elle admet u majorat, respectivemet u miorat. Ue partie à la fois miorée et majorée est dite borée. Défiitio. Soiet (E, ) u esemble ordoé et A ue partie de E. Si l esemble des majorats de A das E admet u plus petit élémet M, o dit que M est la bore supérieure de A das E et o ote M = sup A. Bore supérieure das R. Soit A ue partie de R. U élémet a R est la bore supérieure de A et l o ote a = sup A, si et seulemet si : 1) pour tout x A, x a (a est u majorat) 2) pour tout ε > 0, il existe x A tel que x > a ε. Iégalité stricte ou iégalité large? Il est parfois utile das l étude de limite ou de bore supérieure, de savoir si par exemple das la propriété 2) qui précède, il suffit d avoir l iégalité large x a ε pour coclure de même, que a est la bore supérieure. Expliquer pourquoi cela est possible et doer d autres exemples. Motrer l iégalité if A α, c est motrer que pour tout x A, o a x α. Par cotre, pour motrer que if A > α, il e suffit pas de motrer que x > α quel que soit x A ; si A = {1/; N }, alors x > 0 quel que soit x A, mais if A = 0. Pour motrer que if A > α, o motre qu il existe u ombre β > α tel que x β quel que soit x A, ou ce qui reviet au même, o motre qu il existe u ombre

8 CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R ε > 0 tel que x α + ε quel que soit x A. Seules les iégalités larges se coservet par passage à la limite. L esemble des réels, cotrairemet à l esemble Q des ombres ratioels, est sas lacues du poit de vue de l ordre. Cette propriété de complétude pour l ordre est u axiome ou u théorème, cela déped de la costructio de R. Théorème. Toute partie o vide et majorée de R admet ue bore supérieure. O dit que R possède la propriété de la bore supérieure. Exercice 14. Motrer que 2 est irratioel. E déduire que Q e possède pas la propriété de la bore supérieure. Exercice 15. A quelle coditio la racie carrée d u etier aturel est-elle ratioelle? Exercice 16. Soit a la bore supérieure d ue partie A de R. Motrer que si a / A, alors pour tout ε > 0, l itervalle [a ε, a] cotiet ue ifiité de poits de A. Exercice 17. Soit A ue partie o vide de R. Si A est majorée motrer qu il existe ue suite de poits de A qui coverge vers sup A. Si A est pas majorée motrer qu il existe ue suite de poits de A qui coverge vers +. Le théorème suivat est ue propriété de R équivalete à la propriété de la bore supérieure. Il est parfois appelé théorème de la limite mootoe. Théorème. Toute suite croissate majorée coverge. Exercice 18. Démotrer le théorème ci-dessus. Que peut-o dire si la suite est pas majorée? Exercice 19. U pricipe de localisatio. Soit A et B deux parties o vides et majorées de R et soit C = A B. Motrer que C admet ue bore supérieure et que sup C = max(sup A, sup B). E déduire que si B cotiet u majorat de A, alors sup C = sup B. O a localisé la bore supérieure. Motrer e outre que si B admet u plus grad élémet, alors c est aussi le plus grad élémet de C. Exercice 20. Soit (u ) ue suite réelle qui ted vers 0 et telle que u 0 > 0. Motrer que l esemble {u ; N} a u plus grad élémet. Exercice 21. élémet. Soit (u ) ue suite réelle qui ted vers +. Motrer que {u ; N} a u plus petit Exercice 22. Théorème des valeurs itermédiaires. Soiet [a, b] u itervalle de R et f : [a, b] R ue foctio cotiue. O suppose que f(a) f(b). Soit k R tel que f(a) k f(b). O veut motrer qu il existe c [a, b] tel que f(c) = k. O défiit l esemble E par E = {x [a, b]; f(x) k}. Motrer que E admet ue bore supérieure otée c. Motrer que c E. Motrer que, pour tout etier N, f(c + 1 ) > k. Coclure. E déduire que pour tout itervalle I de R et toute foctio cotiue f : I R, l image directe f(i) de I par f est u itervalle. Exercice 23. Motrer qu ue foctio croissate de [0, 1] das [0, 1] admet u poit fixe (o pourra motrer que l esemble A = {x [0, 1] ; f(x) x} admet ue bore supérieure a, puis que a A, esuite que f(a) A. E utilisat que a est u majorat de A o pourra e coclure que f(a) = a). E est-il de même pour ue foctio décroissate?

1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS 9 Ue quatité b si grade soit-elle peut toujours être comparée à ue quatité a si petite soit-elle, e ce ses que l o peut la recouvrir par u ombre fii de quatités a. Cette propriété géométrique est essetielle pour la mesure des gradeurs ; c est l axiome d Archimède (ici bie etedu les gradeurs sot positives et a est o ul). Propositio (R est archimédie). Quels que soiet les ombres réels a et b tels que a > 0, il existe u etier aturel tel que b < a. Quel que soit ε > 0, quel que soit le réel x, il existe u uique etier relatif p tel que pε x < (p + 1)ε. E effet soit u etier tel que x ε, l esemble A = {k Z ; kε x} est o vide puisque A, e outre A est majoré par. Il admet doc u plus grad élémet p qui vérifie bie pε x < (p + 1)ε. Maiteat, si q est u autre etier vérifiat les mêmes iégalités, alors qε x < (p + 1)ε implique q < p + 1 ou q p. Par symétrie, o a aussi p q, d où l uicité de p. E preat ε = 1, o voit qu il existe u uique etier p Z tel que p x < (p + 1). Cet etier est par défiitio, la partie etière de x, o le otera [x] ou x. Défiitio (desité). Ue partie de R est dese das R si elle recotre tout itervalle ouvert o vide. Exercice 24. Motrer qu ue partie A de R est dese das R si et seulemet si pour tout réel x il existe ue suite (a ) d élémets de A qui coverge vers x. Théorème. Les esembles des ombres décimaux, ratioels et irratioels sot tous deses das R. Exercice 25. Démotrer le théorème précédet. Idicatio : soit x u réel quelcoque. Pour tout etier aturel, o défiit p = [10 x] et x = p 10. Motrer que (x ) coverge vers x. E déduire que les ombres décimaux et ratioels sot deses das R. Modifier la costructio pour motrer que les ombres irratioels sot deses das R. Approximatio et développemet décimal Soit x u ombre réel, le ombre x = [10 x] 10 défii ci-dessus est l approximatio décimale de x à 10 près par défaut. Par défiitio de la partie etière, pour tout etier aturel, o a x x < x + 1 10. Si o pose d 0 = [x], la partie etière de x, et pour tout etier, d +1 = [10 +1 x] 10 [10 x]. O a doc 0 d +1 < 10, pour tout etier 0. Par costructio, pour tout etier 0, x +1 = x + d +1 10 +1 et x = d 0 + Par défiitio, x est l approximatio décimale de x à 10 près par défaut. O predra garde que la suite (x ) des approximatios décimales par défaut du ombre 1/3 est de la forme 1 + 0, 66 666 et o pas 0, 33 333. Pour tout réel positif x, la suite (d ) défiit le développemet décimal propre du réel x. Supposos qu à partir d u etier N, d = 9 pour tout etier N, autremet dit que la suite (d ) soit statioaire à 9. Alors pour tout etier N, x x N = k=n+1 k=1 d k 10 k 9 10 k = 10 N 10.

10 CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R E faisat tedre vers +, o obtiet x x N = 10 N, ce qui cotredit l iégalité x N x < x N +10 N. La suite d etiers (d ) vérifie doc d 0 Z 0 d < 10, pour tout etier 1 pour tout etier N, il existe u etier N tel que d 9 La série d k 10 k coverge et l o a x = d 0 + k 1 d k 10 k et lorsque x 0, x = d 0, d 1 d 2... d... Iversemet, la doée d ue suite (d ) qui vérifie les trois propriétés plus haut, permet de défiir les suites (u ) et (v ) : d k u = d 0 + 10 k et v = u + 10. k=1 O a v v +1 = d +1 10 1 + 10 10 1 = (9 d +1 )10 1. O e déduit que la suite (v ) est décroissate. Il est facile de coclure que les deux suites sot adjacetes. Soit x leur limite commue. D après la relatio v v +1 = (9 d +1 )10 1 et la propriété ( ) de la suite (d ), la suite (v ) est pas statioaire. O a doc u x < v pour tout etier. Les ombres 10 u et 10 v sot des etiers successifs. Par suite 10 u = [10 x] et (u ) est l approximatio décimale par défaut de x. La relatio k 1 9 10 k = 1 met e évidece deux écritures décimales illimitées. Soit (d ) ue suite qui vérifie les propriétés ( ) et ( ) (o oublie u istat la troisième). O pose x = d 0 + k 1 Si la suite (d ) est statioaire à 9, alors x est de la forme x = y + k N avec y D et N 1 u etier. Or k N 9 10 k = 10 (N 1). Par suite, x est u ombre décimal. U ombre décimal o ul a doc deux écritures de la forme x = d 0 + k 1 avec (d ) ue suite qui vérifie les propriétés ( ) et ( ). Efi les ombres décimaux sot les seuls à posséder ces deux écritures. O dit que le développemet décimal avec ue suite (d ) statioaire à 9 est impropre. Das la costructio précédete, la propriété ( ) écarte u évetuel développemet impropre du type 0, 999... Ecriture décimale L écriture décimale d u etier x > 0, à l aide des chiffres c 0, c 1,... de la base {0, 1,..., 9} s obtiet par divisio euclidiee suivat la relatio d k 10 k 9 10 k d k 10 k x = 10x +1 + c, x 0 = x tat que x > 0.

1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS 11 Puisque ces ombres décroisset strictemet, il y a u ombre fii m de chiffres et x = 10 m c m + + 10c 1 + c 0. La costructio des ombres décimaux est à rattacher à la mesure des gradeurs (divisio de l uité par 10). Les ombres ratioels costruits, les décimaux sot les ombres ratioels x tels que 10 x Z pour u etier N. O pourra rechercher les élémets iversibles. Soit x = p q, p et q 1 des etiers premiers etre eux. A quelle coditio x est-il décimal? Le calcul de l approximatio décimale par défaut d u ombre ratioel x = p q, p N, q N s obtiet de la même maière. O pred d abord la partie etière d 0 de x ; la divisio euclidiee doe p = qd 0 +r 1. Esuite, o défiit par récurrece les restes (r ) et les décimales (d ) 1 à l aide de la divisio euclidiee : O motre par récurrece que 10r = qd + r +1 d {0, 1,..., 9}. x = d 0 + d 1 10 + d 2 10 2 + + d 10 + r +1 q 10 O étudiera la périodicité du développemet. O pourra repredre l esemble de cette étude das ue autre base d écriture. Défiitio (cardial, fii, déombrable). Soit 1 u etier, o dit qu u esemble E est - de cardial, s il est e bijectio avec [1; ] - fii s il est de cardial, pour u etier aturel N - déombrable s il est e bijectio avec N. Exercice 26. Les parties ifiies de N sot déombrables. Z et Q sot déombrables. Théorème. L esemble des réels est pas déombrable Démostratio : Soit ϕ ue applicatio de N das R. Ecrivos le développemet décimal propre de ϕ() : ϕ() = d (0,) + k 1 d (k,) 10 k. Pour tout etier k 0, o pose a k = 0 si d (k,k) 0 et a k = 1 sio. Soit x = a 0 + k 1 a k10 k, c est u développemet décimal propre et pour tout etier, ϕ() x ; o e coclut que ϕ est pas surjective et doc que R est pas déombrable. Exercice 27. Iégalité triagulaire : motrer que pour tous x, y R, x y x + y x + y. Quel est le cas d égalité das l iégalité triagulaire sur R? Faire la même étude das l espace euclidie R.

12 CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R

Chapitre 2 Suites umériques 2.1 Programme Théorèmes à savoir démotrer et utiliser : Programme de Termial S. - Ecrire u algorithme pour détermier à partir de quel rag les termes d ue suite qui ted vers + sot supérieurs à u réel A doé. - Si ue suite est croissate et coverge vers l alors elle est majorée par l. - Si u v à partir d u certai rag et u ted vers + alors v ted vers +. - Opératios sur les limites. - Si ue suite est croissate et o majorée alors elle ted vers +. - Exemples de suites arithmético-géométriques. - Applicatios du théorème de la limite mootoe. Programme de MPSI et MP. - Ue suite covergete est borée. - Opératios sur les limites. - Théorème des gedarmes (admis e TS). - Théorème de la limite mootoe : toute suite mootoe possède ue limite (admis e TS). - Théorème des suites adjacetes. - Suite extraite. Si ue suite ted vers ue limite alors toutes ses suites extraites possèdet la même limite. - Théorème de Bolzao-Weierstrass : de toute suite réelle borée o peut extraire ue suite covergete. - Suite arithmétique, géométrique, suite arithmético-géométrique. - Suite récurrete liéaire homogèe d ordre 2 à coefficiets costats. - Exemples de suites défiies par ue relatio de récurrece u +1 = f(u ). 2.2 Gééralités Défiitios à coaître. Suite majorée, miorée, borée, statioaire, mootoe, strictemet mootoe. Exercice 28. Ue suite (u ) N de ombres réels ou complexes est borée si et seulemet si ( u ) N est majorée. Exercice 29. Boritude des séries trigoométriques Soit θ ]0, 2π[ fixé. O défiit la suite (S ) N par S = k=0 si(kθ). Soit (C ) N la suite de ombres complexes défiis par C = k=0 eikθ. Calculer C. Motrer que si (( ) ) +1 C = e iθ 2 2 θ si ( ). θ 2 13

14 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES E déduire que la suite (C ) N est borée. E coclure que la suite (S ) N est borée. Théorème (rappel). Toute suite croissate majorée coverge. Notatio. O ote R = R {+ } { } la droite achevée. Défiitio. Soit (u ) N ue suite de réels et l R. O dit que la suite (u ) ted vers l quad ted vers + et o le ote u l ou lim + u = l si - pour l R : pour tout ε > 0, il existe N N, tel que pour tout etier N o a u l ε. - pour l = + : pour tout A R, il existe N N, tel que pour tout etier N o a u A. - pour l = : pour tout A R, il existe N N, tel que pour tout etier N o a u A. Exercice 30. Uicité de la limite. Défiitio. O dit qu ue suite (u ) N de réels est covergete ou coverge s il existe l R tel que (u ) ted vers l. Das le cas cotraire, o dit que la suite (u ) est divergete ou diverge. Noter qu il y a deux types de suites divergetes. Exercice 31. Doer des exemples des deux types de suites divergetes. Défiitio (suites arithmétique, géométrique et arithmético-géométrique). Soit (u ) N ue suite de réels. O dit que (u ) N est ue suite : - arithmétique s il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, o a u +1 = u + q. - géométrique s il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, o a u +1 = qu. - arithmético-géométrique s il existe deux réels a et b tels que pour tout N, o a u +1 = au + b. Le réel q ci-dessus est appelé la raiso de la suite. Exercice 32. Soit (u ) N ue suite arithmético-géométrique de réels tels que pour tout N, o a u +1 = au + b. Motrer que si a 1 alors la suite (v ) N défiie par v = u b 1 a, pour tout etier aturel, est géométrique de raiso a. E déduire ue expressio de u e foctio de u 0 et de. Théorème. Toute suite covergete est borée. Opératios sur les limites. Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels covergeat vers des réels l 1 et l 2. - combiaiso liéaire : pour tous a, b R la suite (au + bv ) N coverge vers al 1 + bl 2. - produit : la suite (u v ) N coverge vers l 1 l 2. - quotiet : si u 0 pour tout etier et l 1 0 alors la suite (1/u ) N coverge vers 1/l 1. Exercice 33. Cojectures. Pour chacue des propositios suivates, dites si elle est vraie ou fausse. Démotrez la si elle est vraie, doez u cotre-exemple si elle est fausse. 1. Si (u 2 ) N coverge, alors (u ) N coverge. 2. Si ( u ) N ted vers 0, alors (u ) N ted vers 0. 3. Si ((cos u ) N ted vers 1, alors (si u ) N coverge. 4. Si ue suite (u ) N vérifie lim + (u +1 u ) = 0, alors elle coverge. 5. Si ue suite est mootoe et positive, alors elle coverge. 6. Si (u ) N est strictemet positive et ted vers 0, alors (u ) N décroit à partir d u certai rag.

2.2. GÉNÉRALITÉS 15 Exercice 34. Divergece des suites trigoométriques. O suppose que (si()) N coverge. Exprimer si( + 1) e foctio de si(), cos(), si(1) et cos(1). E déduire que cos() coverge. Exprimer de la même faço cos( + 1). E coclure que les suites (si()) N et (cos()) N diverget. Exercice 35. Motrer que le produit d ue suite borée et d ue suite de limite ulle admet ue limite et la détermier. Exercice 36. Si ue suite (u ) coverge vers l > 0 motrer que u > 0 à partir d u certai rag. Exercice 37. Utilisatio de la défiitio : covergece au ses de Césaro. suite réelle. O défiit la suite (S ) N par Soit (u ) N ue S = u 0 + + u. + 1 1. Démotrer, e utilisat la défiitio de la covergece, que si (u ) N ted vers 0, alors la suite (S ) N ted aussi vers 0. 2. E déduire que si la suite (u ) N coverge, la suite (S ) N coverge vers le même réel. O dit que la suite coverge e moyee ou au ses de Césaro pour qualifier ce secod fait. 3. Réciproquemet, si ue suite coverge e moyee, coverge-t-elle écessairemet? Théorème de covergece par ecadremet aussi dit théorème des gedarmes. Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites de réels telles que u v w, pour tout etier aturel et lim(u ) = lim(w ) = l R. Alors la suite (v ) coverge et lim v = l. Théorèmes de divergece par mioratio ou majoratio. Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels telles que u v, pour tout etier aturel. Si u ted vers + alors v ted vers +. Si v ted vers alors u ted vers. Exercice 38. Les suites suivates sot-elles mootoes? covergetes? ( ) ( ) ( ) ) 2 (!) 2 1 2 ; ; (2)! + ( 1) ; ( + ( 1) N N 2 1 ; ( ( 1) + 1 ). 1 Exercice 39. Détermier la limite des suites suivates, lorsque cette limite existe : ( 2 +1 + 3 +1 ) (( 2 + 3 ; 1 + 1 ) ) ( ( )! ; 2 + ) ; N 1 N ; 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 si() l() ( 1) si ; 1 2 ; ; ; + 1 N 2 + si() 1 + 1 N ( (2 + 3 ) 1 ) 1 ( ) si(). + 1 N Exercice 40. A l aide d u ecadremet adéquat, motrer que la suite (u ) N, défiie pour tout N par 1 u = + k coverge et préciser sa limite. k=1 Exercice 41. Soit (u ) N ue suite réelle positive telle que u +1 lim = λ, + u avec λ [0, 1[. Motrer qu il existe ε > 0 et 0 N tels que λ + ε < 1 et u (λ + ε) 0 u 0, 0. E déduire que lim + u = 0. Applicatio : Détermier les limites des suites ( ) ) α a où α > 0 et a > 1. N, ( a! N et (! ) N ;

16 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES Défiitio (suites adjacetes). O dit que deux suites de réels sot adjacetes si l ue est croissate, l autre est décroissate et la différece ted vers 0. Théorème des suites adjacetes. Si deux suites de réels (u ) et (v ) sot adjacetes alors elles coverget vers la même limite. De plus, si (u ) est croissate et (v ) est décroissate et si l o ote l leur limite commue alors o a u l v, pour tout etier aturel. Pour tout ε > 0, dès que l etier aturel vérifie v u ε, alors u approche l à ε près par défaut et v approche l à ε près par excès. Exercice 42. Approximatio de e. O défiit deux suites (u ) N et (v ) N pour tout N par u = k=0 1 k! v = u + 1!. Motrer que les suites (u ) N et (v ) N sot adjacetes. O ote e leur limite commue. Motrer que, pour tout N, o a! k! <!e < 1 +! k!. k=0 E déduire, e raisoat par l absurde, que e est u ombre irratioel. Doer ue méthode pour approcher e à 10 10 près par défaut et par excès. Exercice 43. Nombres harmoiques et approximatio de γ. O défiit la suite (H ) 1 des ombres harmoiques par H = k=1 1 k, pour 1. O défiit égalemet les suites (u ) 1 et (v ) 1 par u = H 1 l() et v = H l(), pour tout etier 1. x 1. Motrer que 1+x l(1 + x) x pour tout réel x > 1. E déduire que pour tout etier 1 ( 1 + 1 l 1 + 1 ) 1. 2. Motrer que les suites (u ) 1 et (v ) 1 sot adjacetes. O ote γ leur limite commue. 3. Motrer que H l(). A partir de quel etier, la suite v doe-t-elle ue approximatio de γ à 10 10 près? Défiitio (suite extraite). Soit (u ) N ue suite de réels et ϕ : N N ue foctio strictemet croissate. La suite (u ϕ() ) N est appelée suite extraite (ou sous-suite) de la suite (u ). k=0 Exercice 44. Si ue suite possède ue limite, motrer que toutes ses suites extraites possèdet la même limite. E déduire que la suite (u ) défiie par u = si(π/2) diverge. Exercice 45. Soit (u ) N ue suite réelle dot les suites extraites d ordre pair et impair coverget. La suite coverge-t-elle écessairemet? Même questio si (u 2 ) N, (u 2+1 ) N et (u 3 ) N coverget. Exercice 46. Motrer qu ue suite mootoe, dot ue suite extraite coverge, coverge vers la même limite. Exercice 47. Lemme des pics. Le but de l exercice est de motrer que de toute suite réelle o peut extraire ue sous-suite mootoe. Soit (x ) ue suite réelle. Soit E = { N; x > x p, p > }. 1. Si E est ifii, motrer qu o peut extraire de (x ) ue sous-suite décroissate (strictemet). 2. Si E est fii motrer qu il existe N N tel que pour tout N, il existe p > tel que x p x. E déduire ue costructio par récurrece d ue sous-suite croissate.

2.2. GÉNÉRALITÉS 17 Theorème de Bolzao-Weierstrass. De toute suite réelle borée o peut extraire ue sous-suite covergete. Exercice 48. Démostratio par le lemme des pics. Démotrer le théorème de Bolzao-Weierstrass e utilisat le lemme des pics. Exercice 49. Démostratio par dichotomie. Soit (u ) ue suite borée de réels. O costruit par récurrece deux suites réelles (a ) N et (b ) N de faço à ce que, pour tout etier aturel, a b, l itervalle [a, b ] cotiet ue ifiité de termes de la suite (x ) et b +1 a +1 = b a 2. Posos a 0 = if u, b 0 = sup u et c 0 = a0+b0 2. Pour tout etier aturel, si a et b sot costruits, o pose c = a+b 2. Comme [a, b ] = [a, c ] [c, b ], l u des itervalles [a, c ], [c, b ] cotiet ue ifiité de termes de la suite (x ). - si [a, c ], cotiet ue ifiité de termes de la suite (x ) alors o pose a +1 = a et b +1 = c - si [c, b ], cotiet ue ifiité de termes de la suite (x ) alors o pose a +1 = c et b +1 = b. Motrer que a +1 b +1, [a +1, b +1 ] cotiet ue ifiité de termes de la suite (x ) et b +1 a +1 = b a 2. E déduire que les suites (a ) et (b ) sot adjacetes. Pour tout etier, o pose I = {k N; x k [a, b ]}. Motrer que pour tout etier, l esemble I est ifii. O costruit ue foctio ϕ : N N par récurrece. O pose ϕ(0) = mi I 0 = 0 et pour tout etier 1, ϕ() = mi{k I ; k > ϕ( 1)}. Motrer que ϕ est strictemet croissate et que pour tout etier, a x ϕ() b. E déduire que la suite (x ϕ() ) coverge. Exercice 50. Démostratio par limite supérieure. Soit (u ) ue suite borée de réels. Pour tout etier, soit E = {u k ; k }. 1. Motrer que pour tout etier, l esemble E est o vide et majoré, o pose v = sup E = sup u k. k 2. Motrer que (v ) est décroissate. E déduire que (v ) coverge. O ote l sa limite. 3. Motrer que pour tout etier, il existe k tel que v 1 u v. 4. E coclure ue costructio par récurrece d ue sous-suite de u qui coverge vers l. Exercice 51. Moyee arithmético-géométrique Soit (u ) N et (v ) N deux suites défiies par 0 < u 0 < v 0 et les relatios : u +1 = u v v +1 = u + v. 2 1. Motrer que u v, N puis étudier la mootoie de (u ) N et (v ) N. 2. E déduire que (u ) N et (v ) N coverget et admettet la même limite. Exercice 52. Négligeabilités successives. Soiet (u ) N et (v ) N deux suites réelles de limite +, telles que u = o(v ) à l ifii. Motrer qu il existe ue suite (w ) N de limite + telle que u = o(w ) et w = o(v ). Exercice 53. Cojectures sur les équivalets. Pour chacue des propositios suivates, dites si elle est vraie ou fausse. Démotrez la, si elle est vraie, doez u cotre-exemple, si elle est fausse. O rappelle que vers sigifie que : avec. 1. Si (u ) N et (v ) N coverget vers la même limite, alors u v. 2. Si u v alors lim + u v = 0. 3. Si (u ) N a ue limite, fiie ou ifiie, et si u v alors (v ) N a la même limite. 4. Si u v et si (u ) N décroit et ted vers 0, alors (v ) N décroit aussi, au mois à partir d u certai rag.

18 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES Exercice 54. Equivalets et opératios. Soiet (u ) N et (v ) N sot deux suites de réels vérifiat u v. 1. A-t-o e u e v? Même questio si o suppose e outre que (u ) N et (v ) N sot borées. 2. Si l o suppose que pour tout etier N, u > 0 et v > 0 a-t-o l(u ) l(v )? Même questio si (u ) N et (v ) N sot à valeurs das ]0, a[, a < 1, ou das ]a, + [, a > 1. 2.3 Suite récurrete liéaire homogèe d ordre 2 à coefficiets costats Défiitio (Suite récurrete liéaire homogèe d ordre 2 à coefficiets costats). O dit qu ue suite (u ) N de réels est ue suite récurrete liéaire homogèe d ordre 2 à coefficiets costats s il existe deux réels a et b tels que pour tout etier, u +2 = au +1 + bu. L équatio r 2 = ar + b est appelée équatio caractéristique de la suite, le polyôme X 2 ax b est appelé polyôme caractéristique de la suite. Exercice 55. Suite de Fiboacci. O défiit la suite de Fiboacci (F ) N par F 0 = 0, F 1 = 1 et F +2 = F +1 +F, pour tout etier aturel. Calculer l équatio caractéristique de la suite et détermier ses racies. Théorème de caractérisatio des suites récurretes liéaires homogèes d ordre 2 à coefficiets costats. Soiet a et b deux réels et (u ) ue suite récurrete liéaire homogèe d ordre 2 vérifiat u +2 = au +1 + bu pour tout etier aturel. Soit le discrimiat du polyôme caractéristique P. - Si > 0 alors le polyôme caractéristique admet deux racies réelles distictes r 1 et r 2 et il existe λ, µ R tels que u = λr 1 + µr 2, pour tout etier aturel. - Si < 0 alors P admet deux racies complexes cojuguées r 1 = ρe iθ et r 2 = ρe iθ, avec ρ R + et θ [0, 2π[ et il existe λ, µ R tels que u = ρ (λ cos(θ) + µ si(θ)), pour tout etier aturel. - Si = 0 alors le polyôme caractéristique admet ue racie réelle double r et il existe λ, µ R tels que u = (λ + µ)r, pour tout etier aturel. Exercice 56. Démostratio du théorème. O ote E l esemble des suites (u ) N vérifiat u +2 = au +1 + bu pour tout etier aturel. Motrer que c est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites réelles R N. Motrer que l applicatio f : E R 2 défiie par f((u ) N ) = (u 0, u 1 ) est u isomorphisme d espace vectoriel. E déduire que E est de dimesio 2. Motrer que si r est ue racie du polyôme caractéristique P alors la suite géométrique (r ) N appartiet à E. Coclure. Exercice 57. Suite de Fiboacci 2. Détermier le terme gééral de la suite de Fiboacci. Exercice 58. Détermier le terme gééral d ue suite (u ) vérifiat u +2 = 2u +1 u, pour tout etier. Exercice 59. Détermier le terme gééral d ue suite (u ) vérifiat u +2 = u, pour tout etier. 2.4 Suite défiie par ue relatio de récurrece u +1 = f(u ) Défiitio (Suite défiie par ue relatio de récurrece u +1 = f(u )). Soit I u itervalle de R et f : I I. La suite (u ) N défiie par u 0 I et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel est bie défiie.

2.4. SUITE DÉFINIE PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE U N+1 = F (U N ) 19 Notez bie que l hypothèse f : I I sigifie que l itervalle I est stable par f, c est à dire que f(i) I. C est ce qui permet d affirmer que la suite est bie défiie. Si l itervalle de défiitio de f est pas stable, alors o e peut pas défiir la suite, par exemple, si l o pose f : R + R défiie par f(x) = l(x) alors il existe pas de suite (u ) vérifiat u +1 = f(u ), pour tout etier aturel. Théorème (limite évetuelle). Soit I u itervalle de R et f : I I ue applicatio cotiue. Soit (u ) N défiie par u 0 I et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel. Si la suite (u ) coverge vers ue limite l I alors écessairemet f(l) = l. Remarque : Si l itervalle I est fermé, il est iutile de supposer à priori que la limite l appartiet à I. C est u théorème facile mais très itéressat. Il suffit de démotrer que la suite coverge (par exemple e motrat qu elle est croissate et majorée) et ce théorème permet d idetifier la limite. Défiitio (Poit attractif, répulsif). Soit f : I I. O cosidère la suite (u ) N défiie par u 0 I et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel. O dit qu u poit fixe l de f est : - attractif, s il existe u voisiage V de l, tel que quelle que soit la valeur iitiale u 0 V I, la suite coverge vers l. - répulsif, s il existe u voisiage V de l, tel que quelle que soit la valeur iitiale u 0 V I, u 0 l, il existe u etier N tel que le terme u N de la suite (u ) des itérés de valeur iitiale u 0, vérifie u N / V. Attetio : la suite des itérés peut coverger vers u poit fixe répulsif, e état statioaire. Théorème du poit fixe das R. Soit I u itervalle fermé et f : I I ue foctio k-lipschitziee avec 0 < k < 1. Alors f admet u uique poit fixe l I. De plus, pour tout a I, la suite des itérés défiie par u 0 = a et u +1 = f(u ) pour tout etier 0 coverge vers l et pour tout etier 1, u l k u 0 l. Remarque. Si f est dérivable sur I et s il existe 0 < k < 1 tel que f (x) k pour tout x das I alors par l iégalité des accroissemets fiis, f est k-lipschitziee sur I. Remarque. O otera l importace de l hypothèse I fermé. Das le cas cotraire, f peut e pas avoir de poit fixe. Défiitio. O dit qu u poit fixe l de f : I I est superattractif, si f (l) = 0. Soit l u poit fixe de f tel que f (l) > 1. Soiet J u itervalle ouvert coteat l et a J I. O suppose que f (x) K > 1 pour tout x J I. Soit (u ) la suite récurrete associée à f de valeur iitiale a. O suppose que a l. Combie de temps, les itérés peuvet-ils rester das J I? E déduire que l est répulsif. Propositio. Soit l u poit fixe de f. si f (l) < 1, alors l est u poit fixe attractif si f (l) > 1, alors l est u poit fixe répulsif. O verra plus loi différets types de comportemet lorsque f (l) = 1. Théorème (f croissate). Soit I u itervalle de R et f : I I croissate. Alors la suite (u ) N défiie par u 0 I et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel, est mootoe. - Si u 0 u 1 alors (u ) est croissate. - Si u 0 u 1 alors (u ) est décroissate. La représetatio graphique est e escalier.

20 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES Exercice 60. Approximatio d ue racie carrée : méthode de Héro. Soit a > 0, o cosidère la foctio f défiie sur I = R +, par f(x) = 1 2 ( a ) x +, x I. x Motrer que I est stable par f. E déduire que pour tout u 0 I, o défiit ue suite par récurrece par la doée de la valeur iitiale u 0 et la relatio de récurrece Il s agit de la méthode de Héro. O a u +1 = 1 2 ( u + a u ). f (x) = x2 a 2x 2. Motrer que la suite (u ) 1 est décroissate et miorée par a. E déduire qu elle coverge. Motrer qu elle coverge vers a. O e déduit la représetatio graphique ci-joite. 3.5 3 2.5 2 1.5 1 a 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Motrer que pour tout etier Figure 2.1 Méthode de Héro : a = 3 u +1 a ( u +1 + a = u a ) 2. u + a E déduire que pour tout etier 1, u a ( u + a = u0 a ) 2 u 0 +. a Si u 0 > a > v 0 > 0, pour u certai réel v 0, motrer que 0 < u ( u0 v ) 2 0 a < 2u 0. u 0 + v 0 Soit K = u0 v0 u 0+v 0 < 1, o retrouve le fait que la suite coverge vers a. Mais o a aussi ue idicatio sur la vitesse de covergece, pour tout etier 1, 0 < u a < 2u 0 K 2.

2.4. SUITE DÉFINIE PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE U N+1 = F (U N ) 21 Soit par exemple à calculer ue valeur approchée de 3. O peut predre v 0 = 1 et u 0 = 2, o a alors 0 < u ( 1 2 3 < 4. 3) Calculer ue valeur approchée de 3 à 10 8 près. Ecrire u programme sur calculatrice. Exercice 61. Soit f : R + R défiie par f(x) = x 2 pour tout x R +. Motrer que la suite (u ) N défiie par u 0 R + et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel est bie défiie et mootoe. Détermier sa mootoie e foctio de u 0. Puis détermier sa limite e foctio de u 0. Représeter graphiquemet les termes de la suite. Théorème (f décroissate). Soit I u itervalle de R, f : I I décroissate et (u ) N défiie par u 0 I et u +1 = f(u ), pour tout etier aturel. Alors les suites (u 2 ) N et (u 2+1 ) N sot mootoes de mootoies opposées. - Si u 0 u 2 alors (u 2 ) est croissate et (u 2+1 ) N est décroissate. - Si u 0 u 2 alors(u 2 ) est décroissate et (u 2+1 ) N est croissate. Si f est cotiue et que l ue des suites extraites coverge vers l I alors l autre coverge vers f(l). La représetatio graphique est e colimaço. Exercice 62. Etudier la suite récurrete (u ) défiie par u 0 R et la relatio de récurrece u +1 = cos u pour tout etier 0. Motrer que u 2 [0, 1]. Motrer que f([0, 1]) [0, 1]. Motrer que f est décroissate sur [0, 1], cotiue et possède u uique poit fixe l ]0, 1[. Motrer que (u 2 ) et (u 2+1 ) coverget vers l. E déduire que (u ) coverge vers l. O a ue représetatio graphique e colimaço. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figure 2.2 u +1 = cos(u ) Exercice 63. Soit (u ) la suite défiie par la doée iitiale u 0 [0, 1] et la relatio de récurrece u +1 = (1 u ) 2. Soit f la foctio défiie sur I = [0, 1] par f(x) = (1 x) 2, x [0, 1]. Motrer que f est décroissate de I das I. 1. Calculer f(0) et f(1). E déduire que 0 et 1 sot des poits fixes de f f. Détermier les poits fixes de f. Motrer que f possède u uique poit fixe l = (3 5)/2 das I. 2. Motrer que f([0, l]) [l, 1] et f([l, 1]) [0, l]. E déduire que [0, l] et [l, 1] sot des itervalles stables pour f f. Trouver les poits fixes de f f. Etudier le sige de f f(x) x. 3. Si u 0 [0, l[ motrer que (u 2 ) est décroissate. Motrer qu elle coverge vers 0. E déduire que (u 2+1 ) est croissate et coverge vers 1. 4. Si u 0 ]l, 1], motrer que (u 2 ) est croissate. Motrer qu elle coverge vers 1. E déduire que (u 2 ) est décroissate et coverge vers 0.

22 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES 1 0.9 0.8 1 0.9 0.8 φ 0.7 0.7 0.6 0.5 0.6 0.5 φ φ 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figure 2.3 u +1 = (1 u ) 2. A gauche la suite (u ), à droite les suites (u 2 ) et (u 2+1 ) Méthode de Newto. Soiet a et b deux réels et f : [a, b] R ue foctios de classe C 2. O suppose que f(a) < 0, f(b) > 0, f (x) > 0 et f (x) > 0 pour tout x [a, b]. 1. Motrer que f s aule e u uique poit de [a, b] que l o ote c. 2. Soit d l abscisse du poit d itersectio de la tagete au graphe de f e b avec l axe des abscisses. Motrer que c < d < b. 3. Soit (x ) N la suite défiie par x 0 = b et x +1 = x f(x) f (x ). Motrer que la suite est bie défiie et qu elle coverge vers c. 2.5 Vitesse de covergece Défiitio. Soiet (u ) et (v ) deux suites rélles covergeat vers u ombre réel l. O dit que la suite (u ) coverge plus vite que la suite (v ) si (u l) = o(v l). Défiitios de l ordre de covergece. Soit (u ) ue suite qui coverge vers u ombre réel l. O suppose que u l e s aule pas. Soit p 1, o dit que la covergece de la suite est d ordre p, si a ue limite λ strictemet positive. u +1 l u l p La suite (u ) est souvet associée à ue méthode umérique qui la défiit par u procédé d approximatios successives ; o parle alors de méthode d ordre p. Si p = 1, o parle de méthode d ordre 1 ou de vitesse de covergece liéaire. Si p = 2, o parle de méthode d ordre 2 ou de vitesse de covergece quadratique. Les méthodes d ordre p > 1 sot dites superliéaires. Si u +1 l lim = 0 u l o parle de covergece rapide. Si o parle de covergece lete. lim u +1 l u l = 1

2.5. VITESSE DE CONVERGENCE 23 Soit (u ) ue suite qui coverge vers u ombre réel l. O pose e = u l et x = log 10 e. La suite (x ) est ue mesure du ombre de décimales exactes de l approximatio au rag. Si la covergece est d ordre p et lim +1 l u u l = λ > 0, alors x p +1 px log 10 λ. Autremet dit, pour grad, e égligeat le terme e λ, u +1 a p fois plus de décimales exactes que u. Exercice 64. Exemples. Etudier les vitesses de covergece des suites u = ( + 1)2 2 + 1, v = 1 + 2, w = 1 + 2 2. O classe ici, trois types de vitesse de covergece et les types d erreur associée. 1. O suppose que lim u +1 l u l = λ et 0 < λ < 1. La méthode est d ordre 1, sas être rapide, elle e fait pas partie des covergeces letes. Pour tout etier 0, o pose e = u l. Soit K tel que λ < K < 1. Il existe u etier m tel que e+1 e K pour tout etier m. O motre par récurrece que e +m e m K pour tout etier 0. Autremet dit, à partir d u certai rag, l erreur est de ature géométrique de raiso K < 1. 2. O suppose qu il existe p > 1 tel que lim u +1 l u l p = λ > 0. La méthode est d ordre p, elle est superliéaire. Soit L tel que λ < L. Il existe u etier m tel que e+1 L pour tout etier m. Il est commode d écrire cette iégalité sous la forme e p Ce +1 (Ce ) p avec C = L 1/(p 1). Il est e effet facile de cojecturer puis de démotrer par récurrece que e +m 1 C (Ce m) p pour tout etier 0. Autremet dit, l erreur est de ature supergéométrique. Si la suite coverge, (Ce m ) ted vers 0 avec m. O peut doc choisir m de sorte que K = Ce m < 1. O a alors K < 1 et O ote que la valeur de λ importe peu das ce cas. 3. Das le cas d ue covergece lete, C est le cas par exemple, lorsque pour ue certaie valeur de C et α > 0. e +m 1 C Kp pour tout etier 0. lim u +1 l u l = 1. e C α

24 CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES Remarque : O motrera que si la limite lim u +1 l u l existe et si la suite (u ) coverge vers l, alors λ 1. Exercice 65. Exemples. O va motrer que la covergece vers e de la suite u = 1 + 1 1 + 1! est rapide tadis que celle de v = (1 + 1 ) est lete. 1. Motrer que pour tout etier o a u u +1 e u + 1.!. E déduire que u e 1.!. E coclure que la covergece est rapide. 2. E faisat u développemet limité, motrer que v e e 2. E coclure que la covergece est lete. = λ

Chapitre 3 Séries umériques et séries etières 3.1 Gééralités Das tout le chapitre les suites sot à valeurs R ou C. Défiitio. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. O appelle série de terme gééral u la suite des sommes partielles (S ) où S = k=0 u k. O la ote u. - o dit que la série u coverge si la suite des sommes partielles coverge. Das ce cas, la limite de la série est appelée somme de la série et otée + =0 u. O ote alors R = + k=+1 u k la suite des restes. - o dit que la série u diverge si la suite des sommes partielles diverge. Exercice 66. Soit z C fixé et u (z) = z, pour N. Calculer e foctio de z la somme partielle k=1 u k(z). A quelle coditio sur z C la série z coverge-t-elle? Propositio. Si la série u coverge alors la suite (u ) ted vers 0. Si la suite (u ) e coverge pas vers 0 alors la série u diverge. O dit qu elle diverge grossièremet. Exercice 67. Détermier la ature des séries 2 2 + 1 2 + 2 + 3, 1 ( + 1), l(1 + 1 ). Exercice 68. Motrer que la série (u +1 u ) coverge si et seulemet si la suite (u ) coverge. Propositio. Soiet u et v des séries covergetes et λ, µ C. Alors la série (λu + µv ) est covergete. Exercice 69. Motrer la covergece de la série ( 2 + ) 1. ( + 1) Théorème de comparaiso série-itégrale. Si f : R + R + est ue foctio cotiue par morceaux et décroissate alors la série f() et l itégrale gééralisée + f(t)dt sot de même ature. De plus, 1 - si elles sot covergetes alors R + f(t)dt. - si elles ot divergetes alors S 1 f(t)dt. Exercice 70. Démotrer le théorème. 25

26 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES ET SÉRIES ENTIÈRES Exercice 71. Séries de Riema et de Bertrad 1. A quelle coditio sur α R la série 1 α Doer u équivalet de + k= 1 k 3. 2. A quelle coditio sur α, β R la série 1 α l() β coverge-t-elle? coverge-t-elle? Doer u équivalet de k=1 1 k. Exercice 72. E utilisat que k=1 1 k = l() + γ + o(1), motrer que ( 1) + =1 3.2 Séries à termes positifs ( 1) = l(2). coverge et que Les séries à termes positifs sot particulières car la suite des sommes partielles est alors croissate. Il suffit doc de motrer que la suite des sommes partielles (S ) est borée (par ue costate idépedate de ) pour e coclure que la série coverge. E pratique, o utilise les théorèmes de comparaiso suivats. Propositio. Soiet u et v des séries vérifiat 0 u v, pour tout etier aturel. Alors - si v coverge alors u coverge et l o a + =0 u + =0 v. - si u diverge alors u diverge. Propositio. Soiet u et v des séries vérifiat u 0, pour tout etier aturel et u v. Alors u coverge si et seulemet si v coverge. Exercice 73. Détermier la ature des séries 1 1 + 2, 2 + 5 ( + 1)( + 12), 1 + l() 2 + cos(), e, e. Exercice 74. Formule de Stirlig. O défiit les suites u = e! et v = l ( u+1 1. Exprimer u+1 u e foctio de. E déduire u équivalet de v à l ifii. 2. E déduire que v coverge. O ote S = 1 v la somme de la série. 3. Motrer que la suite (l(u )) coverge et détermier sa limite. E déduire qu il existe ue costate c > 0 telle que ( )! c. e Critère de d Alembert. Soit (u ) ue suite de ombre réels positifs telle que u+1 u l. - si l < 1 alors u coverge. - si l > 1 alors u diverge. u ). Critère de Cauchy. Soit (u ) ue suite de ombre réels positifs telle que (u ) 1 l. - si l < 1 alors u coverge. - si l > 1 alors u diverge. Exercice 75. Détermier, suivat la valeur de x R +, la ature des séries (!) 2 (2)!, x!, x 2, x.

3.3. SÉRIES À TERMES QUELCONQUES 27 3.3 Séries à termes quelcoques Théorème. Soit (u ) ue suite de ombre réels ou complexes. Si la série u coverge alors la série u coverge. O dit que la série u coverge absolumet. Exercice 76. Motrer que si() 2 coverge. Corollaire. Soit (u ) ue suite de ombre complexes et (v ) ue suite d élémets de R + tels que u v, pour tout etier. Si v coverge alors u est absolumet covergete doc covergete. Corollaire. Soit (u ) ue suite de ombre complexes. Si u+1 u l ou u 1 l avec l < 1 alors la série u coverge absolumet. Exercice 77. Détermier, suivat la valeur de z C, la ature des séries z!, z 2, z. Critère de covergece des séries alterées. Soit (u ) ue suite décroissate de ombres réels qui coverge vers 0. Alors la série ( 1) u coverge. De plus la suite des restes R = + k=+1 ( 1)k u k est du sige de so premier terme et vérifie R u +1. Exercice 78. Démostratio du critère. Motrer que les suites (S 2 ) et (S 2+1 ) sot adjacetes. Exercice 79. Détermier, suivat la valeur de x R, la ature des séries x, ( 1) x. O a vu das u exercice précédet que + =1 = l(2). A partir de quel idice est-o sûr que la somme partielle de la série approche l(2) à 10 3 près? Critère d Abel. Soit (u ) ue suite décroissate de ombres réels qui coverge vers 0 et soit (v ) ue suite de ombres complexes dot les sommes partielles sot borées (il existe C > 0 tel que k=0 v k C pour tout ). Alors u v coverge. Exercice 80. Démostratio du critère. etier N N N N u v = u (V V 1 ) = =1 =1 =1 Soit V = k=0 v k, pour N. Motrer que pour tout N 1 u V =0 Motrer que la série (u u +1 )V coverge. Coclure. N 1 u +1 V = u N V N u 1 V 0 + Exercice 81. Détermier, suivat la valeur de z C, la ature des séries z, z. =1 (u u +1 )V. Produit de Cauchy de séries umériques. Soiet (a ) et (b ) deux suites de ombres complexes absolumet covergetes. Soit c = k=0 a kb k. Alors la série c, appelée produit de Cauchy des séries a et b, est covergete et l o a ( + =0 c + ) ( = =0 a + ) =0 b.

28 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES ET SÉRIES ENTIÈRES 3.4 Séries etières Das cette partie la suite (a ) est ue suite de ombres complexes. O appelle série etière la série a z, où z C. Lemme d Abel. Soit z 0 C. Si la suite (a z 0 ) est borée alors, pour tout ombre complexe z tel que z < z 0, la série etière a z est absolumet covergete. Exercice 82. Démotrer le lemme d Abel. Défiitio (rayo de covergece). O appelle rayo de covergece de la série etière a z le ombre { R = sup r > 0; } a r coverge. Exercice 83. Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Motrer que si 0 r < R alors la suite (a r ) ted vers 0 et si r > R alors la suite ( a r ) est pas borée. Théorème. Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Alors - pour tout z < R, la série etière a z coverge absolumet. - pour tout z > R, la série etière a z diverge grossièremet. Théorème. Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Alors la série etière coverge ormalemet sur tout disque fermé de rayo r < R. Exercice 84. Motrer que les séries etières a z et a z ot même rayo de covergece. E déduire que les séries etières a z, a z 1 et z a +1 +1 ot même rayo de covergece. Rappel. Ue série etière est de classe C à l itérieur de so disque de covergece. Et si f(z) = + =0 a z alors f (z) = + =1 a z 1 a même rayo de covergece que f. Produit de Cauchy de séries etières. Soiet a z et b z deux séries etières qui coverget sur u disque de rayo R > 0. Soit c = k=0 a kb k. Alors la série etière c z, appelée produit de Cauchy des séries etières a z et b z, est covergete sur le disque de rayo R et l o a ( + =0 c + ) ( z = =0 a + ) z =0 b z. Règle de d Alembert. Si a+1 a l alors le rayo de la série etière a z est R = 1 l. Exercice 85. Détermier les rayos de covergece des séries etières suivates : Exercice 86. suivates : z!, z 2,!z, log()z. Après avoir doé leur rayo de covergece, détermier la somme des séries etières z, 2 z, z 2, z + 2, z 2 + 1, + =1 ( k=1 ) 1 z. k