Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD LA MESURE EN MECANIQUE QUANTIQUE I-/ O cosidère le mouvemet d ue prticule ss spi régi pr u Hmiltoie Ĥ. O suppose coue l équtio ux vleurs propres de Ĥ : Ĥ, = +, vec : ', ', = δ δ ( ), ', ' Où et sot des etiers positifs. O suppose qu à l istt t = 0 l prticule est ds l étt ormlisé à l uité : bt = 0g =, + b, Où et b sot des costtes réelles positives. -/ Détermier et b scht que l vleur moyee de l éergie à l isttt = 0 est. -/ Détermier l étt t b g de l prticule à u istt t -/ Soiet ˆ ˆ Â, =, A et B deux observbles de l prticule telles que : ˆB, =, Quelles sot, à u isttt > 0, les vleurs possibles des résultts de mesures de A et B et leurs probbilités respectives? II-/ O cosidère u système physique S dot ue grdeur est représeté ds ue bse orthoormée l,, q pr l mtrice F 0 0I A = 0 G 0 0 J H -/ O mesurep, quelles vleurs peut-o trouver? -/ Si l o prépre le système S ds l étt, qu obtiet-o comme résultt de mesure et vec quelle probbilité? -/ Ue secode grdeur P du système S est représetée ds l même bse,, l q pr l mtrice B = F H G K 0 0 0 0 O mesurep, quelles vleurs peut-o obteir? 4-/ O mesurep, ds quel étt se trouve le système? O mesure esuitep, qu obtiet-o P suivt le résultt de mesure de? 5-/ O mesurep, ds quel étt se trouve le système? O mesure esuitep, qu obtiet-o suivt le résultt de mesure de P? > 0. I K J P D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD,, 6-/ O cosidère ue troisième grdeur P représetée ds l bse mtrice C = F HG 0 0 O mesurep, qu obtiet-o? Ds quels étts se trouve le système? Puis o mesurep, qu obtiet-o? I KJ l q pr l 7-/ O mesure P puisp, qu obtiet-o? 8-/ O mesurep, quelle est l vleur moyee de P ds chcu des étts possibles du système? 9-/ O cosidère ue 4ème grdeur P 4 représetée ds l bse,, mtrice Peut-o mesurer P 4? D = F HG 0 0 0 0 0 0 I KJ l q pr l D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD Les outils... -/ Descriptio de l étt d u système : A u istt doé t fixé, l étt d u système est défii pr l doée d u ket 0 t 0 bg pprtet à l espce des étts E. Remrque : E étt u espce vectoriel, ce postult implique u pricipe de superpositio : ue combiiso liéire de vecteurs d étt est u vecteur d étt. -/ Descriptio des grdeurs physiques : Toute grdeur physique mesurble A est décrite pr u opérteur opérteur est ue observble.  gisst ds E ; cet -/ Mesure des grdeurs physiques : ) résultts possibles L mesure d ue grdeur physique A e peut doer comme résultt qu ue des vleurs propres de l observble  correspodte. Remrque : ue mesure de A doer toujours ue vleur réelle puisque hermitique.  est pr défiitio b) pricipe de décompositio spectrle b-) cs d u spectre discret o dégééré : Lorsqu o mesure l grdeur physique A sur u système ds l étt ormé, l probbilité P d obteir comme résultt l vleur propre b g o dégéérée de l observble  correspodte est : P u bg= u est le vecteur propre ormé de  ssocié à l vleur propre. b-) cs où est dégéérée : (de degré de dégéérescece ) g b g = i= P o tb = g où u i où u i i ggest u système orthoormé de vecteurs formt ue bse ds le sous-espce propre E ssocié à l vleur propre. b-) cs d u spectre cotiu o dégééré : L probbilité dp α bg= bg d obteir u résultt compris etre α α α et + d vut : dp α v dα où v α est le vecteur propre correspodt à l vleur α propre α de l observble  ssociée à A. D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 4 4-/ Réductio du pquet d odes : Si l mesure de l grdeur physique A sur le système ds l étt doe le résultt, l étt du système imméditemet près l mesure est l projectio ormée ˆP de sur le sous espce propre ssocié à. P 5-/ Evolutio ds le temps : L évolutio ds le temps du vecteur d étt t b g est régie pr l équtio de Schrödiger : d i () t Ĥ() t () dt = t où Ĥ () t est l observble ssociée à l éergie totle du système. 6-/ Règles de qutifictio : Pour ue prticule ss spi soumise à u potetiel sclire : * à l positio r x, y, z * à l impulsio pp p p b g de l prticule est ssociée l observble R ˆ ( X,Y,Z ˆ ˆ ˆ) d x, y, zi de l prticule est ssociée l observble P ˆ ( P ˆ ˆ ˆ X,P Y,PZ) R,R ˆ ˆ i j P,P ˆ ˆ = i j = 0 telles que : R,P ˆ ˆ i j = i δ ij L observble  qui décrit ue grdeur physique A défiie clssiquemet, s obtiet e remplçt ds l expressio coveblemet symétrisée de A, r et p pr les observbles ˆ R ˆ et P respectivemet. 7-/ Pricipe de superpositio et prévisios physiques : R ) Soiet et = = deux étts ormés et orthogoux : S = 0 et sot pr exemple deux étts propres d ue même observble ˆB ssociés à deux vleurs propres différetes b et b. Cosidéros u étt ormé, superpositio liéire de et : = λ + λ e λ + λ =j ; lors l probbilité de trouver b lors d ue mesure de B est λ, celle de trouver b est λ. b) Si deux observbles A ˆ et Bˆ (correspodt à deux grdeurs physiques A et B) commutet A,B ˆ ˆ  = α = 0 lors ue bse commue m r, soit : ˆB = β Pour prédire les résultts de mesure de A et B, o développe l étt du système sur l bse m r des étts propres commus à A ˆ et Bˆ : =. T D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 5 b g α i vec l probbilité i Si mesure A, le système imméditemet près l mesure est ds l étt i, étt propre de ˆB. L mesure de B doer doc β i vec l probbilité i et réciproquemet. l prédictio des résultts de mesures est lors idépedte de l ordre des mesures. c) Si A,B ˆ ˆ 0 Il fut lors décomposer l étt du système sur l bse des vecteurs propres de A ˆ ou Bˆ selo que l o mesure d bord A ou B. Â = α et = = b Φ ˆB Φ = β Φ Si mesurebg A α i vec l probbilité i, le système imméditemet près l mesure est ds l étt i. Comme i est ps u vecteur propre de ˆB, il fut décomposer i sur l bse mφ r, soit : i = c Φ. L mesure de B doer doc β i vec l probbilité c i et le système, imméditemet près l mesure ser ds l étt Φ i. Si o mesure à ouveu A, il fudr de ouveu décomposer Φ i sur l bse m r. L prédictio des résultts de mesures est doc dépedte cette fois de l ordre des mesures. d) E.C.O.C. O ppelle «Esemble Complet d Observbles qui Commutet» u esemble miiml d observbles qui commutet deux à deux et tel que l doée d u jeux de leurs vleurs propres suffit à détermier ss mbiguïté u vecteur propre uique de leur bse commue de vecteurs propres. D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 6 Corrigé I-/ -/ vleur moyee de l éergie : ( t = 0) Hˆ ( t=0) or ˆ ( ) = ˆ ( + b ) = ( + ) + b( + ) H t=0 H,,,, d où : ( t = 0) Hˆ ( t=0) = + 5b = ( ) d utre prt, t = 0 () et () R S T b g est ormé à l uité : t = 0 t = 0 = b g b g = + b b g = b = b g b g d où t = 0 = +,, -/, est étt propre de Ĥ vec l vleur propre ;, est étt propre de Ĥ vec l vleur propre 5. D utre prt Ĥ est idépedt du temps. i i t 5t Pr coséquet () btg = e, + e, 4 -/, et, sot étts propres de  vec l vleur propre, pr coséquet l mesure de A u temps t doer comme résultt, vec l probbilité : bg t, + bg t, = + =, est étt propre de ˆB vec l vleur propre, pr coséquet l mesure de B u temps t doer comme résultt, vec l probbilité : bg t, =, est étt propre de ˆB vec l vleur propre, pr coséquet l mesure de B u temps t doer comme résultt, vec l probbilité : bg t, = II-/ -/ Le résultt d ue mesure de P est écessiremet ue des vleurs propres de l mtrice A soit : ou R S -/ Les vecteurs propres ormés de A sot : (ottios évidetes) : = ' = + = + T O prépre le système S ds l étt, qui est ps étt propre de P. O développe sur l bse des étts propres de P : b g D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 7 = + + ' ' soit : = 0 = ' = = Le système S étt prépré ds l étt, l mesure de doer : vec l probbilité 4 vec l probbilité 4 -/ De même ue mesure de P doer ou, vleurs propres de l mtrice hermitique B. Les vecteurs propres ormés correspodts étt : (ottios évidetes) : R b = + b = S T b' = + 4-/ O mesure P : supposos que l mesure it doé comme résultt. Imméditemet près l mesure, le système S se trouve écessiremet ds u étt pprtet u sousespce de dégéérescece de l vleur propre, sous-tedu pr les deux vecteurs de bse = = b et ' = + = b Toute combiiso liéire ormée α b + β b α + β = du système S. b et b étt étts propres de P, ue mesure de P doer comme résultt : P (d près le théorème de projectio). f est doc u étt possible vec l probbilité α vec l probbilité β supposos mitet que l mesure de P it doé - comme résultt. Le système S se trouve lors ds l étt = + = b', étt propre de P. L mesure de P doer doc - vec certitude. 5-/ O mesure mitet P. O peut doc trouver : soit et le système se trouve lors ds l étt b = + = ' soit - et l étt ormé du système est lors γ b + δ b' = γ + δ γ + δ = Ds le premier cs l mesure de Ds le secod cs l mesure de δ. P P doer vec certitude. doer vec l probbilité γ ou vec l probbilité c h D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 8 6-/ Les vleurs propres de C étt, et, ue mesure de doer, et comme résultts possibles. Les étts propres correspodts sot : c = + = b = ' c = + c = + + Supposos que l mesure de it doé comme résultt. Le système est lors ds l étt c P = b, étt propre de correspodt à l vleur propre. Ue mesure de P doer P doc vec certitude. Supposos que l mesure de P it doé - comme résultt. Le système est lors ds l étt c = +. Développos c sur l bse des étts propres de P c = b b c + b b c + b' b' c 0 c = b b' Ue mesure de P doer doc : - vec l probbilité + = Supposos que l mesure de P it doé comme résultt. Le système est lors ds l étt = + +. Développos c sur l bse des étts propres de P c = b b c + b b c + b' b' c c Ue mesure de 0 P c b b = + ' doer doc : - vec certitude. 7-/ Supposos que l mesure de P it doé + comme résultt. Le système est lors ds l étt c = ', étt propre de P correspodt à l vleur propre. Ue mesure de P doer doc vec certitude. Supposos que l mesure de P it doé - comme résultt. Le système est lors ds l étt c = +. Développos c sur l bse des étts propres de P P D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 9 c = c + ' ' c + c 0 c = Ue mesure de P doer doc : vec l probbilité ou vec l probbilité Supposos que l mesure de it doé comme résultt. Le système est lors ds l étt c P = + +. Développos c sur l bse des étts propres de P c = c + ' ' c + c 0 c = + Ue mesure de P doer doc : vec l probbilité ou vec l probbilité. 8-/ Supposos que l mesure de P it doé + comme résultt. Le système est lors ds l étt c = ', étt propre de P correspodt à l vleur propre. L vleur moyee de P est lors : A P ' ' = ' ' = Supposos que l mesure de it doé - comme résultt. Le système est lors ds l étt c =. L vleur moyee de P est lors : c ˆ A c, soit : ˆ A Supposos que l mesure de = + = = P it doé comme résultt. Le systèm e est lors ds l étt c = +. L vleur moyee de P est lors : c ˆ A c, soit : ( + ) A ˆ ( ) ( )( ) + = + = = Remrque : Les clculs précédets de P ot pour but que de mipuler l otio de vleur moyee cr les résultts étiet doés pr l questio précédete où l o clculé les résultts de mesures de vec leur probbilités : P D.Mrchd
Trvux Dirigés de Physique Qutique : TD 0 Résultt de mesure de P Avec l probbilité x= - - 9-/ P est ps ue observble puisque l mtrice D est ps hermitique. 4 P x -x = x -x = - D.Mrchd