m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 MODELIAION DU COMPOREMEN DE PLAQUE REPOAN UR OL ELAIQUE PAR LA MEHODE DE ELEMEN FINI GUELLIL Mohamd Elhbib, AHAR ABBE Miloud, HARRICHANE hlifa mghbib@yahoo.fr Faculté ds scincs t scincs d l ingéniur, départmnt d Géni Civil(UHBC), Chlf, Algéri Faculté ds scincs t scincs d l ingéniur, départmnt d Mécaniqu(UHBC), Chlf,Algéri Résumé : L application d un analys par la méthod ds élémnts finis d un plaqu rposant sur un sol élastiqu st présnté dans c travail. La plaqu st modélisé par un élémnt fini quadrilatéral à huit nœuds t utilisé pour la modélisation d la flxion ds plaqus élastiqus tandis qu l sol st modélisé slon ls modèls d Winklr t Vlasov modifié. L cod d calcul d la flxion ds plaqus prnd égalmnt n charg l modèl plaqu sol dans sa globalité. Il détrmin ls déflctions ainsi qu ls momnts d flxion d l nsmbl plaqusol. Ls résultats obtnus sont validés par rapport aux différnts auturs t sont conforms aux prévisions d comportmnt ds modèls d Winklr t Vlasov. D plus, ds ssais d traitmnt ds sols sont ffctués pour détrminr l fft d la stabilisation ds sols médiocrs sur l comportmnt ds plaqus. Un comparaison st présnté ntr notr programm t l logicil commrcial Gotudio pour voir l fft d l épaissur d la couch amélioré sur la déflction d la plaqu. Ls résultats obtnus sont ncouragants. Enfin, dans la concption pratiqu ds fondations n utilisnt l équation d rzaghi pour détrminr l modul d réaction. A ct fft un comparaison st ffctué ntr l modul d réaction d rzaghi t qui détrminé suivant l équation d Winklr, ls résultats obtnu sont aussi ncouragants. MotsClfs : Plaqu, ol, intraction solstructur, modèl d Winklr, modèl d Vlasov.. Introduction outs ls chargs d la structur doivnt êtr transférés au sol, t l nsmbl structur t sol doivnt agir nsmbl pour supportr ls chargs. L dévloppmnt ds modèls plus réalists d fondation t ds méthods simplifiés pour résoudr c problèm complx d intraction solstructur st très important pour arrivr à ds concptions surs t économiqus. Plusiurs méthods numériqus sont miss n pratiqu pour la résolution ds modèls intraction solstructur. La méthod la plus utilisé st la méthod ds élémnts finis. Ell smbl approprié puisqu ll prmtt d définir précisémnt l comportmnt d tous ls élémnts composant l problèm (sol, fondation). Pour traitr l I, nous allons dans c travail dévloppr un outil qui prmt, tout n ayant un concption simplifié, d rproduir d manièr phénoménologiqu l comportmnt d un fondation suprficill rposant sur un surfac d sol massif smiinfini (modèl d Vlassov).. héori ds plaqus La figur montr un plaqu rctangulair orthogonal avc a t b comm côtés t épaissur h. Nous sélctionnons un systèm d coordonnés cartésinns x, y, z. Ls axs x t y sont placés dans l plan moyn d plaqu t orintés l long ds bords d la plaqu, l ax z st choisi prpndiculair au plan moyn d la plaqu c stàdir normal au plan (x,y). La plaqu st sous un chargmnt latéral dans l plan (normal t cisaillmnt). Fig. Contraints élémntairs dans un élémnt différntil d plaqu. L équation d équilibr ds momnts st: M xy xy M y y M x. x, y () x pz
m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 L intégration ds équations ds momnts fléchissant donn l'équation d la plaqu soumis aux chargs distribués P z (x,y) []: 4 w 4 w 4 w pz( x, y). () x x y y D Dans l cas d un plaqu épaiss, on utilis la théori d Mindlin. Ell st basé sur un théori d déformation utilisant ls déformations cinématiqus suivants pour ls déplacmnts dans l plan ; Où x ( x, y) t y ( x, y) rprésntnt ls déformations du planmoyn. u z. x( x, y), v z. y( x, y). (3) 3. Comportmnt du sol L dévloppmnt ds équations d comportmnt d un fondation élastiqu st ffctué comm suit. L modèl d Winklr, on suppos qu l sol d bas s compos linéairmnt ds rssorts élastiqus qui sont étroitmnt alignés t indépndants l'un d l'autr avc un rigidité k. L déplacmnt d la plaqu st indépndant du déplacmnt du sol n dhors d la région chargé. L modèl d Winklr impliqu dux problèms majurs. L prmir problèm st qu l déplacmnt d la plaqu st un constant quand il st soumis à un charg uniformémnt distribué q. Il n'y a aucun momnt d flxion ou forc d cisaillmnt dans la plaqu pndant ctt condition d charg, qui st complètmnt pu réalist t non consrvativ. L duxièm problèm st qu la valur d k n'st pas uniqu t dépnd ds divrss propriétés d la plaqu t du sol ainsi qu l chargmnt. Dans l modèl d Winklr, l rapport ntr la prssion xtrn p t la déflction w d la surfac d bas st xprimé par: p kw (4) Où w l déplacmnt vrtical du sol, st proportionnl à la prssion d contact p. La constant d proportionnalité k s'appll l modul d la réaction d sol. Cpndant Vlasov t Lont'v (966) ont mployé un nouvll approch mathématiqu pour résoudr l problèm décrit cidssus. Ils ont dévloppé un modèl d duxparamètr pour ds plaqus sur ds fondations élastiqus n utilisant un méthod d variation d la constant. Ctt méthod prnd n considération la contraint d cisaillmnt dans l sol. La rlation ntr l déplacmnt w t la charg q st comm suit: Avc t: paramètr d cisaillmnt D 4 w t w kw q, (5) Vlasov t Lont'v ont présnté un autr paramètr pour caractérisr l profil vrtical d déformation dans l sol continu. L'avantag d l'approch d Vlasov t Lont'v st l'élimination d la nécssité d détrminr ls valurs d la réaction d sol k t du paramètr d cisaillmnt t arbitrairmnt. L énrgi total ds fforts du systm solstructur st: p s V (6) Avc p : s : énrgi énrgi dans dans la l plaqu sol, t V : énrgi potntill ds chargs éxtriurs L énrgi d déformation d la plaqu t du sol s écrit comm suit: w w w w w w p,,. D.,, dxdy, x y xy x y xy (7) H s 0 x x y y zz xy xy yz yz xz xz dxdydz, (8) t cll ds forcs : V q. w. dxdy (9) Et, γ rprésnt l paramètr déformationsol qui caractéris la distribution vrtical d la déformation du sol. Dans l modèl d Vlasov l paramètr γ st détrminé comm fonction ds caractéristiqus d la structur t d la fondation (procédur itérativ).[3] w dxdy s (0) H s w dxdy
m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 4. Formulation d la plaqu t sol par la méthod ds élémnts finis Un élémnt rctangulair simpl à huit nœuds st choisi. L énrgi potntill total d la structur put êtr obtnu par sommation ds énrgis potntills totals élémntairs si ls élémnts ont la compatibilité rquis. On trouv: Où V t sont l volum t la surfac d l élémnt chargé rspctivmnt. N B DB. dv. q. d () V La minimisation d l énrgi potntill pour l'élémnt par rapport au déplacmnt nodal δ pour l'élémnt sra: Où B B DB dv N q d F... () V D. B. dv Matric d rigidité d l élémnt (3) V F N q. d Forcs nodals équivalnts pour l'élémnt (4) Modélisation du sol d Fondation : Pour l modèl d Winklr l xprssion d l énrgi d déformation dans la fondation st: k N dxdy (5) N : matric d rigidité du sol d fondation corrspondant à l élémnt d plaqu k : modul d fondation La matric d rigidité dans l élémnt d référnc pour l modl Vlasov st: N N N N t t. a. b... dd (6) a b Formulation final du systèm plaqu sur fondation élastiqu : Pour analysr l phénomèn d l intraction sol structur, l énrgi d déformation dans la fondation sra ajouté à cll d la plaqu, l énrgi potntill total du systèm plaqusol s écrit : F t (7) En appliquant l princip d minimisation d l énrgi potntill : oit : F t 0 g t (9) (8) Ls valurs du modul d la réaction du sol k t du modul d cisaillmnt t sront calculés comm suit: E sinh 4 E E cosh k 8. H. sinh (0) E sinh 4 E E cosh H t 6 sinh ()
m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 5. Applications t Discussions C problèm a été étudié n 990 par traughan [4] t résolu par la méthod ds différncs finis. Avc l tmps st rst comm modèl d validation pour ls différnts modifications d amélioration d modélisation qui st ffctué par ls différnts chrchurs (, Clik t aygun, Buczkowski t orbacki t Ozgan t Daloglo). L xmpl traité st un plaqu rctangulair sous un charg uniform t un charg concntré pour différnts profondurs d sol 3.048, 6.096, 9.44 t 5.40 m. L modul d élasticité d la plaqu t l cofficint d Poisson sont: Ep = 0 685 000 N/m² t ν = 0.0. L modul d élasticité du sol t l cofficint d Poisson sont: Es = 68 950 N/m² t ν = 0.5. La plaqu à un longuur d 9,44 m, un largur d,9 m t un épaissur d 0,54 m. L typ d chargmnt st rprésnté sur la Figur é. Ls résultats sont donnés dans l tablau. Fig. yp d Chargmnt : (a) Charg distribué uniformémnt, (b) Charg concntré. ablau. Déplacmnts maximaux dus à la charg uniform t momnts. H(m) Référncs k (kn/m 3 ) t (kn/m) w (cm) M x (kn.m/m) 706 6904 0.087 0.059 3.048 Clik t aygun 79 686 0.0853 0.0445 Buczkowski t orbacki 707 685 0.087 Ozgan t Daloglo 708 745 6839 799 0.0874 0.0877 0.0490 0.0730 6.096 9.44 5.4 Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo Clik t aygun Buczkowski t orbacki Ozgan t Daloglo L tablau montr ls résultats d la déflction d la plaqu sous un charg rparti t qui sont n bon accord avc ls résultats donnés par différnts chrchurs [5, 6, 7]. Pour ls profondurs 3.048, 6.096, 9.44 t 5.4 m, ls rrurs ffctivs d la déflction par rapport aux auturs sont 0.34%,.5%, 5.96% t.9% pour la charg uniform, tandis qu pour la charg concntré ls rrurs sont 4.5%, 4.7%, 3.38 t 6.44% rspctivmnt. Cla montr qu notr programm présnt un bonn convrgnc pour un crtain profondur (cas d la charg réparti). Ainsi, l tablau montr ls résultats ds momnts fléchissant qui sont très prochs par rapport aux résultats ds auturs [5, 6, 8] dans l cas d la charg uniform, tandis qu pour l cas d la charg concntré ls valurs ds momnts fléchissant sont compris dans l intrvall ds valurs ds auturs. 6. Efft d l amélioration ds sols sur la déflxion d un plaqu L fft d l amélioration ds sols sur la déflxion d un plaqu st étudié t analysé comm suit. L prmir sol utilisé dans ctt étud a été obtnu à partir d un sit (projt d rmblai) situé approximativmnt à 8 km au NordEst d la vill d Chlf. L duxièm sol a été obtnu à partir d un sit (projt d l autorout EstOust) situé approximativmnt à 5 km à l Est d la vill d Chlf. Cs dux sols ont été xtraits à un profondur d nviron 4 à 5 m. Ds ssais triaxiaux d cisaillmnt ont été ffctués. Ls éprouvtts étudiés sont confctionnés à partir ds différnts formulations d combinaison solajouts minéraux, D plus l évaluation ds ffts ds ajouts minéraux tls qu la chaux (L), la pouzzolan naturll (P) ainsi qu lurs combinaisons (P0L0, P0L8, P0L0, P0L4, P0L8, x P0L0 : 0 % pouzzolan naturll t 0 % chaux) sur cs valurs a été xaminé. 6. Déflxion d'un plaqu rposant sur sol amélioré 3757 3757 3758 3744 3576 9430 9377 9378 9337 9050 6366 5964 5964 594 5430 508 5040 504 5060 5547 69506 70586 50587 7390 834 9473 04664 04664 05889 39 0.54 0.56 0.530 0.533 0.50 0.890 0.893 0.896 0.98 0.80 0.070 0. 0.05 0.38 0.00 0.33 0.88 0.794 0.334 0.44 0.409 0.397 0.40 0.489 0.467 0.43 0.45 L fft d l amélioration ds sols sur la déflction d un plaqu rctangulair libr montrnt qu ls combinaisons P0L4 t P0L8 sont ls plus fficacs. En pratiqu, on n put rnforcr l sol qu pour un épaissur rlativmnt ptit sinon l procédé srait économiqumnt
m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 inaccptabl. Dans notr étud on a choisit trois typs d épaissur d sol à améliorr à savoir 0.54, 0.3048 t 0.944 m. Ls résultats sront comparés avc cux du logicil commrcial Gotudio 004. Ls Figurs 3 t 4 montrnt un comparaison ds déflctions d un plaqu sur sol rnforcé sous un charg uniform t pour différnts épaissurs ds couchs traités. On rmarqu qu la déflction diminu avc l augmntation d la couch amélioré, c drnir vari d.70 % pour la prmièr combinaison t augmnt jusqu'à 3.63 % pour la troisièm combinaison. D la mêm manièr, la modélisation avc l logicil Gotudio présnt ls mêms rmarqus (cas d un charg uniform) t l rrur ffctiv vari d.97 % jusqu à 0.9 %. 4 6 8 0 4 6 8 0 0,00 0,00 0,05 0,05 0,00 0,05 Notr résultats Go résultats 0,00 0,05 Notr résultats Go résultats (a) (b) Fig 3. Evolution d la déflction d un plaqu rposant sur sol amélioré sous un charg uniform (a) h = 0.0 m, (b) h = 0.54 m 0,00 0,05 0,00 0,05 0 4 6 8 0 Notr résultats Go résultats 0,00 0,05 0,00 0,05 4 6 8 0 Notr résultats Go résultats (a) (b) Fig 4. Evolution d la déflction d un plaqu rposant sur sol amélioré sous un charg uniform (a) h = 0.3048 m, (b) h = 0.944 m A c stad, l traitmnt ds sols st un solution rconnu pour son énorm potntil dans la construction x. routs, pour cla, il faut ds étuds préliminairs pour détrminr la combinaison du mélang t pour assurr un strict contrôl d qualité pndant son xécution. 7. Modul d réaction d sol Baucoup d chrchurs ont travaillés pour dévloppr un tchniqu pour évalur l modul d la réaction d sol, s. rzaghi (955) a mis qulqus rcommandations où il a proposé ds valurs d s pour la plaqu rigid d * ft placé sur un miliu d sol. Dans ctt étud d comparaison, on a calculé l modul d réaction suivant l équation d Winklr (4) d l xmpl d Vlasov (traughan), t après on a comparai avc ls valurs d réaction qui st obtnu suivant l équation () []. Cs valurs d s on a introduit dans l cod d calcul Winklr pour détrmin l déplacmnt t ls comparais avc ls résultats d Ozgan t Daloglo [5], ls résultats sont résumés dans l tablau. ablau. Comparaison ds résultats d Modul d réactions t lurs déplacmnts. Modul D Réaction s (N/m 3 ) H (m) 3.048 6.096 9.44.9 ks (Calculé) 937.7 5656.0 655.84 905.56 ks V 739.30 566.44 48.75 0697.05 L Déplacmnts (cm) W (Calculé) 0.075 0.40 0.86 0.390 Wv 0.0877 0.53 0.9 0.38
m Conférnc Intrnational sur l Calcul Numériqu n Géotchniqu (NUCGE 0) Algr ls 0 t novmbr 0 ks () B. ' Es. Is. I f uit aux résultats montrés dans l tablau, la comparaison ffctué ntr l modul d réaction d rzaghi t qui détrminé suivant l équation d Winklr sont aussi très ncouragants. Cs qui montrs l fficacité d notr cod d calcul. 8. Conclusions A l issu d c travail ls conclusions suivants puvnt êtr tirés: L programm élaboré st capabl d'analysr l comportmnt ds plaqus rposant un fondation élastiqu avc un xactitud satisfaisant pour un évntull concption pratiqu. L sol sous la plaqu put avoir ds caractéristiqus géotchniqus médiocrs. L amélioration d cs caractéristiqus s avèr nécssair. D plus, la pris n compt ds propriétés du sol amélioré par l biais d un variation linéair dans l programm d calcul élaboré st désormais possibl t conduit à ds résultats satisfaisants. Il st possibl d résoudr c problèm par un modèl d Winklr si la valur d s st prévu corrctmnt. 9. Référncs [] R.zilard, horis and Applications of Plats AnalysisClassical,Numrical and Enginring Mthods, Hobokn, UA, 004. [] C.D.khar and R.Roy, A critical rviw on idalization and modling for intraction among soil foundation structur systm, Computrs and tructurs, pp.579594, 00. [3] M. Mofid And M. Noroozi, A Plat on Winklr Foundation with Variabl Cofficint, harif Univrsity of chnology, hran, Iran. [4] W..RAUGHAN, B., and M., Analysis of plat on lastic foundation, PhD, Univrsitis d chnologis du xas, 990. [5].Ozgan and A..Daloglu, Efft of transvrs shar strains on plats rsting on lastic foundation using modifid Vlasov modl, hin Walld tructurs, pp.3650, 008. [6] M.Clik and A.aygub, A mthod for th analysis of plats on a twoparamtr foundation, Intrnational Journal of olids and tructurs, pp. 8995, 999. [7] R. Buczkowski and W. orbacki, Finit lmnt modling of thick plats on twoparamtr lastic foundation, Intrnational Journal for Numrical and Analytical mthods in Gomchanics, pp.40947, 00. [8] G.C.V. Vallabhan, Fllow, ACE and. Daloglu, Consistnt FEM Vlasov Modl for Plats on Layrd oil, Journal of tructural, pp.083, 999. [9] AM D850, Annual book of AM tandards, vol 04.08. Amrican ocity for sting and Matrials, Philadlphia, 003. [0] Logicil Commrcial Gotudio 004. [] J.E. Bowls, R.E., and.e, Foundation Analysis and Dsign, Poria, Illinois, UA, 5 m Edition, 997.