D.S. º4 : Suites, Probabilités, Complexes, expoetielle TS1 Samedi 15 décembre 01, h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio : ± + Techique : ± + Raisoemet : ± + Note : 40 = 0 /9,5 Exercice 1. Timothé 1 a décide d arrêter de fumer, et aujourd'hui, il y est parveu! Mais pour la suite o admet que : S'il e fume pas u jour doé, la probabilité qu'il e fume pas le ledemai est 0,7 ; S'il fume u jour doé, la probabilité qu'il e fume pas le ledemai est 0,4. O se demade commet le comportemet de Timothée va évoluer et quelles sot ses chaces de réussite. Aujourd'hui est le jour 0 et o désige pour N l'évéemet «Timothé fume le jour» par F. O ote p la probabilité que Timothé e fume pas le jour. 1) Compléter l'arbre de probabilité ci-cotre. ) a) Doer la valeur de p 1. b) Démotrer que pour tout etier >0, o a p +1 = 10 p + 4 10. ) a) Pour N, o pose q = p 4 7. Motrer que la suite (q ) est géométrique. b) E déduire pour tout etier >0 q puis p e foctio de. 4) Étudiez si les affirmatios suivates sot vraies : a) La suite ( p ) est croissate. b) La probabilité p est supérieure à 0,5 pour tout etier >0. c) Pour suffisammet grad, la probabilité p est très voisie de 4 7. /6 Exercice. O s itéresse à l'applicatio qui à u poit M du pla complexe d'affixe z associe le poit N du pla complexe d'affixe Z= f (z) défii par Z= f ( z)= z +i. z+ i 1) O ote z= x+i y. Vérifier que Re(Z )= x +y x+ y+ x +( y+) et exprimer Im (Z ) e foctio de x et y. ) Détermier l'esemble e 1 des poits M d'affixe z tels que Z soit u imagiaire pur évetuellemet ul. Préciser sa ature et ses élémets caractéristiques. ) Détermier l'esemble e des poits M d'affixe z tels que Z soit u réel évetuellemet ul. Préciser sa ature et ses élémets caractéristiques. 1 Das le but de préserver l aoymat de cet élève de TS1, le om de famille a été supprimé. 1
/7,5 Exercice. Vrai-Faux Les questios sot idépedates. Pour chaque questio, ue affirmatio est proposée. Idiquer si elle est vraie ou fausse e justifiat la répose. Ue répose qui 'est pas justifiée e sera pas prise e compte. Ue justificatio icomplète sera valorisée. 1) Das l esemble des ombres complexes, l équatio z z z 1=0 admet au mois ue solutio. ) La suite défiie par so premier terme u 0 =1 et la relatio de récurrece N, u +1 = 1 u + est majorée par. (O e demade pas de trouver ue formule explicite pour u ). ) L'esemble des poits M d'affixe z telles que z i = z+ i est ue droite parallèle à l'axe des réels. 4) z est solutio de l équatio z 4 z+5=0 z=+i. /17 Exercice 4. Les parties II et III sot idépedates. Partie I. Étude d'ue foctio Soit f la foctio défiie sur R par f (x)=e x ( x) et soit c sa courbe représetative. 1) Détermier la limite de f e et +. ) Étudier les variatios de la foctio f puis dresser so tableau de variatios. Partie II. Positio de la courbe par rapport à ue tagete 1) Détermier l équatio de T, la tagete à c au poit A d'abscisse. ) Au moye de la calculatrice, faites ue cojecture sur les positios relatives de T et c puis prouvez votre cojecture. Partie III. Étude d'ue suite 1) Démotrer que pour tout etier aturel o ul, l'équatio f (x)= 1 admet sur R ue uique solutio. O ote cette solutio u. O défiit aisi ue suite (u ) 1. ) a) Prouver que pour tout N, u = e u. b) E déduire que la suite (u ) 1 est miorée par. ) O cosidère l'algorithme ci-cotre : a) Aïma 'aime pas les algorithmes. Il dit qu'il peut obteir avec sa calculatrice le résultat de l'algorithme sas rie programmer. Commet fait-il et qu'obtiet-il par exemple pour =1? Votre répose doit otammet motrer que vous avez compris à quoi sert l'algorithme. b) Quel est le rôle de la variable p? 4) a) Prouver que la suite (u ) 1 est décroissate. b) Prouver que la suite (u ) 1 est covergete puis détermier sa limite. Saisir x pred la valeur y pred la valeur 0 p pred la valeur 0,01 Tat que y> 1 faire x pred la valeur x+ p y pred la valeur f (x) FiTat que Afficher x p et x.
CORRIGÉ du DS 4 Exercice 1. U grad classique! proche du 7 p 51 fait e classe 1) Arbre de probabilités, voir ci-cotre. ) a) p 1 =P F0 ( F 1 )=0,7. b) Soit N. Par la formule des probabilités totales, p +1 =P ( F +1 )=P (F +1 F )+P ( F +1 F ) =P F (F +1 ) P ( F )+P F (F +1 ) P ( F ). = 0,7 p + 0,4 (1 p )=(0,7 0,4) p +0,4 O a doc démotré que pour tout etier >0, o a p +1 = 10 p + 4 10. ) a) (q ) géométrique : Soit N. q +1 = p +1 4 7 = 10 p + 4 10 4 7 = 10 p 1 70 = 10( p 4 7) = 10 q d'où N, q +1 = 10 q doc la suite (q ) est géométrique de raiso q= 10. b) E déduire pour tout etier >0 q puis p e foctio de. q 1 = p 1 4 7 = 7 10 4 7 = 9 70 d'où N, q =q 1 q 1 = 70( 9 1 ce qui etraîe N, p =q + 4 7 70( = 9 1 + 4 N,q 7 = 70( 9 1 et p = 4 7 70( + 9 1 4) Étudiez si les affirmatios suivates sot vraies : a) FAUX : p 1 = 0,7 et p 0,61 doc la suite ( p ) 'est PAS croissate. b) VRAI. N, 70( 9 1 >0 doc p = 4 7 70( + 9 1 > 4 7 0,57>0,5 La probabilité p est supérieure à 0,5 pour tout etier >0. c) VRAI : 1< 10 <1 doc par le théorème sur les limites de suites géométriques, lim 4 lim p = lim + + 7 70( + 9 1 = 4 7. Autremet dit, pour suffisammet grad, la probabilité p est très voisie de 4 7. + ( 1 =0 doc Exercice. proche d'exercices faits e classe (voir feuille d'exercices) O s itéresse à l'applicatio qui à u poit M du pla complexe d'affixe z associe le poit N du pla complexe d'affixe Z= f (z) défii par Z = f ( z)= z +i. z+ i 1) x+i y +i [( x )+i( y+1)] [ x i( y+)] Z= f (z)= = x+i y+ i x+i( y+) x i( y+) [ x( x )+( y+1)( y+)]+i[ ( x )( y+)+x( y+1)] = = x + y x+ y+ xy+ xy x+y+4 +i x +( y+) x +( y+) x +( y+) d'où Re(Z )= x +y x+ y+ x+ y+4 et Im(Z )= x +( y+) x +( y+) ) Détermier l'esemble e 1 des poits M d'affixe z tels que Z soit u imagiaire pur évetuellemet ul. Répose : M e 1 Z i R Re(Z)=0 { x +y x+ y+=0 x +( y+) 0 Soit A le poit d'affixe z A =0 i x +( y+) 0 M A
x + y x+ y+=0 ( x 1) 1+( y+ ) 9 4 +( +=0 ( x 1) y+ ) cetre Ω( 1; 5 et de rayo. Le poit A appartiet à ce cercle. ) O peut reformuler les coditios précédetes de maière géométrique : M e 1 { M C M A e 1 est doc le cercle de cetre Ω( 1; ) et de rayo 1 privé de A(0 ; ). = 5. Soit C le cercle de 4 ) Détermier l'esemble e des poits M d'affixe z tels que Z soit u réel évetuellemet ul. M e Z R Im(Z )=0 { x+y+4=0 x +( y+) 0 x+ y+4=0 y= 1 x. Soit (d) la droite d équatio y= 1 x. Le poit A (le même qu'à la questio précédete) appartiet à ce cercle. O peut reformuler les coditios précédetes de maière géométrique : M e { M (d ) M A e est doc la droite d équatio y= 1 x privée de A(0 ; ). Exercice. Vrai-Faux 1) Das l esemble des ombres complexes, l équatio z z z 1=0 admet au mois ue solutio. FAUX Avec z=x+i y, z z z 1=0 (x+i y) (x + y ) 1=0 (x y x y 1)+i x y=0 ( y 1)+i x y=0 y 1 et x y=0. Or, y état réel l'équatio y = 1 'a pas de solutio car le carré d'u ombre réel est toujours positif ou ul. L'équatio 'admet doc pas de solutio. ) La suite défiie par u 0 =1 et N, u +1 = 1 u + est majorée par. VRAI Prouvos-le par récurrece: Soit P la propriété «u» Iitialisatio : u 0 =1 doc P 0 est vraie. Hérédité : Supposos P vraie pour u certai rag. u +1 = 1 u + 1 += doc P +1 est vraie. O a doc prouvé par récurrece que N, u. ) L'esemble des poits M d'affixe z telles que z i = z+ i est ue droite parallèle à l'axe des réels. VRAI Soiet A et B les poits d'affixes respectives i et i. z i = z+ i z z A = z z B AM =BM M appartiet à la médiatrice de [AB]. Comme A et B sot sur l'axe des ordoées leur médiatrice est parallèles à l'axe des abscisses qui est l'axe des réels. 4) z est solutio de l équatio z 4 z+5=0 z=+i. FAUX Par l'absurde : si l'implicatio était vraie, cela voudrait dire que l'équatio z 4 z+5=0 'a qu'ue solutio qui est z 0 =+i. O c'est ue équatio à coefficiet réel doc si z 0 est solutio, z 0 = i aussi, ce qui cotredit l'uicité de la solutio. Exercice 4. Partie III proche du 76 p 145 (e plus facile) fait e classe Partie I. Étude d'ue foctio Soit f la foctio défiie sur R par f (x)=e x ( x) et soit c sa courbe représetative. 1) Détermier la limite de f e et +. f (x)=e x ( x)= e x x e x = e x 1 x e x. lim x e x = lim X e X =0 d'après u théorème de x X croissace comparée. De plus, lim e x = lim x X lim e x = lim e X =+ et lim x = doc par produit, lim x + X + x + x + e X =0 doc par somme lim e x 1 x x e x =0 1 0=0 e x ( x)=. 4
Fialemet, lim x f ( x)=0 et lim x + f ( x)= f (x)=e x ( x) ) Étudier les variatios de la foctio f puis dresser so tableau de variatios. f est dérivable sur R comme produit de deux foctios dérivables et f ' (x)= e x ( x)+e x ( 1)=e x ( 4 x 1)=e x ( x) La foctio expoetielle e pred que des valeurs positives doc f ' (x) est du sige de x. x + f '(x) + 0 f(x) 0 e Partie II. Positio de la courbe par rapport à ue tagete 1) Détermier l équatio de T, la tagete à c au poit A d'abscisse. f ' ( x)=e x ( x) doc f ' ()=e 4 ( 1)= e 4. De plus f ()=0. T a pour équatio y= f ' ()(x )+ f (). T a pour équatio y= e 4 (x ). ) Au moye de la calculatrice, faites ue cojecture sur les positios relatives de T et c puis prouvez votre cojecture. Cojecture : c est toujours e dessous de T. Preuve : Il suffit de prouver que pour tout réel x, f ( x) e 4 ( x ). f (x) e 4 (x ) f (x)+e 4 ( x ) 0 e x ( x)+e 4 ( x ) 0 (e x e 4 )( x) 0. O étudie le sige de chaque facteur pour compléter le tableau de sige : e x e 4 0 e x e 4 x 4 x. x + Le tableau de sige prouve que pour tout réel x + 0 x,(e x e 4 )( x) 0 càd que pour tout réel x, f ( x) e 4 ( x ), e x e 4 0 + ce qui prouve que c est toujours e dessous f (x) y T =(e x e 4 )( x) 0 de T. Partie III. Étude d'ue suite (Das l exercice 76 p 145 c était au lieu de -1/) 1) Démotrer que pour tout etier aturel o ul, l'équatio f (x)= 1 admet sur R ue uique solutio. O ote cette solutio u. O défiit aisi ue suite (u ) 1. L'idée x f '(x) + 0 f(x) 0 u + e 0 1 La rédactio Le tableau de variatios de f idique que x ], ], f (x) 0, doc l'équatio f (x)= 1 'a pas de solutio das cet itervalle. f est cotiue et strictemet décroissate sur [ ;+ [. Comme 1 ] appartiet à, e ], l'itervalle image de [ [ ;+ par f, par le théorème de la bijectio, l'équatio f (x)= 1 admet ue uique solutio das cet itervalle. O a doc prouvé que que pour tout etier aturel o ul, l'équatio f (x)= 1 uique solutio. admet sur R ue 5
) a) Soit N. u est solutio de l'équatio f (x)= 1 doc f (u )= 1 càd eu ( u )= 1 Or e u ( u )= 1 ( u )= e u (u )= e u. O a prouvé que N, u = e u. b) Soit N. La foctio expoetielle e pred que des valeurs positives et 0 doc u = e u 0 càd u. N, u. Autremet dit, la suite (u ) 1 est miorée par. ) Algorithme: (similaire à celui de l'exercice 94 p 78 fait e classe) a) L'algorithme doe u ecadremet de u : Les valeurs x p et x affichées sot telles que x p u x. O peut obteir u tel ecadremet e faisat u tableau de valeurs à la calculatrice. f est strictemet décroissate sur [,+ [, f (,01)= 0,56 et f (,0)= 1,14 doc u 1, solutio de f (x)= 1 vérifie,01 u 1,0. b) La variable p permet de choisir la précisio de l ecadremet, o obtiet e effet u ecadremet à p près. Saisir x pred la valeur y pred la valeur 0 p pred la valeur 0,01 Tat que y> 1 faire x pred la valeur x+ p y pred la valeur f (x) FiTat que Afficher x p et x. 4) a) L'idée x f '(x) + 0 f(x) 0 u +1 u + e 0 1 +1 1 La rédactio O prouve par l'absurde que la suite (u ) 1 est décroissate. Supposos que (u ) e soit pas décroissate, cela veut dire qu'il existe 0 tel que u 0 >u 0 +1. u 0 >u 0 +1 (i) f (u 0 )< f (u 0 +1) 1 0 > 1 0 +1 (ii) 1 0 < 1 0 +1 (iii) 0 > 0 +1 0>1 (i) car u 0,u 0 +1 [ ;+ [, itervalle sur lequel f est décroissate ; (ii) e multipliat par 1 ; Les iégalités sot retourées car 1<0 ; (iii) car u 0,u 0 +1 ] 0;+ [, itervalle sur lequel la foctio iverse est décroissate. O aboutit à ue cotradictio, doc la suite (u ) 1 est décroissate. b) Prouver que la suite (u ) 1 est covergete puis détermier sa limite. (u ) est décroissate d'après (4a) et miorée d'après (b) doc covergete. Soit sa limite. O a vu au (a) que u = e u 1 que lim + =0 o a lim u =+e 0=. + càd u =+e u 1. E passat à la limite das cette expressio, état doé lim u = + 6
Barème : DS04 01-1 Exercice 1 Poits 9,5 1 1 a 0,5 b a 1,5 b 1,5 4a 1 4b 1 4c 1 Exercice 6 1,5 1,5 Exercice 7,5 1 4 5 1,5 Exercice 4 17 1 limites var II 1 1,5 Eq Ta Pos Rel III 1 1,5 sol uique a 1,5 b 1 a 1,5 aima b 0,5 p 4a 1,5 4b 40 7