MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par (u). O ote u le terme d idice de la suite. O appelle ce terme, terme gééral de la suite. Il existe sortes de suites u = f() exemple : u = u + = f(u) appelée suite récurrete. exemple : suites arithmétiques, suites géométriques, u + =. u + 3.. Suites particulières... Suites arithmétiques O appelle suite arithmétique (u ) de raiso r et de premier terme u 0 ϒ u + = u + r ou u = u 0 +. r r est ue valeur costate réelle (qui e déped pas de ) si r > 0, alors la suite est croissate. si r < 0, alors la suite est décroissate. si r = 0, alors la suite est costate. et S = ( u + u ) ( u +. r) uk ( + ) 0 = ( + ) 0 k = 0 Exemple : a) u + = u + est pas ue suite arithmétique car u + - u = est pas costate (déped de ). b) u = + est ue suite arithmétique e posat r = et u 0 =... Suites géométriques O appelle suite géométrique (u ) de raiso q * et de premier terme u 0 ϒ u + = q. u ou u = u 0. q si q < 0, alors la suite est pas mootoe (ses termes sot alterativemet positifs ou égatifs). si q > 0 Suites umériques / A Chevalley
si 0 < q < si < q si u 0 > 0 ( u ) est décroissate ( u ) est croissate si u 0 < 0 ( u ) est croissate ( u ) est décroissate MT8 et si q et > alors S = q + uk = u0. k = 0 q Exemples : u = 3 u = ( ) u = u = u = 4 5..3. Suites périodiques Défiitio : Soit k u etier aturel o ul et différet de. O dit qu ue suite (u ) est périodique de période k ssi pour tout etier, u +k = u. Ue telle suite est i croissate i décroissate. Exemple : u = cos π u 0 = u = 0 u = - u 3 = 0 u 4 = u 5 = 0 u +4 = u. La suite est périodique de période 4..3. Croissace et décroissace Défiitios : Ue suite (u ) est croissate à partir du rag 0, si pour tout etier supérieur à 0, u u + Ue suite (u ) est décroissate à partir du rag 0 si pour tout etier supérieur à 0, u u + Ue suite (u ) est costate ou statioaire à partir du rag 0 si pour tout etier supérieur à 0, u = u + Ue suite (u ) est mootoe si et seulemet si elle est croissate ou décroissate. Exemples : a) La suite de terme gééral u = - + est croissate. π b) La suite de terme gééral u = si ( ) est décroissate avec 3 *. Suites umériques / A Chevalley
MT8.4. Majoratio Mioratio.4.. Défiitios La suite (u ) est majorée si et seulemet si, il existe u ombre réel M tel que pour tout etier aturel, u M M est le majorat de la suite (u ) La suite (u ) est miorée si et seulemet si, il existe u ombre réel m tel que pour tout etier aturel, m u m est le miorat de la suite (u ) Ue suite est borée si et seulemet si, elle est majorée et miorée. Propriétés : Ue suite croissate est miorée par so premier terme. Ue suite décroissate est majorée par so premier terme. Exemple : a) La suite défiie par u = + + + est miorée par. b) Soit la suite ( u ) défiie pour, par u = +. Cette suite est borée par et 3. Remarque : Certaies suites e sot i majorées i miorées. Exemple : u = ( ). pred alterativemet des valeurs de plus e plus grades positives et de plus e plus petites égatives. Suites umériques 3 / A Chevalley
MT8 La suite des etiers aturels est pas majorée..4.. Suites majorates Suites miorates Ue suite (v ) est majorate de la suite (u ) si pour tout etier aturel, u v Ue suite (v ) est miorate de la suite (u ) si pour tout etier aturel, v u Exemple : Soit la suite u = cos +. Suites de terme gééral de la forme u = f ().. Sige de u + u Si le ses de variatio de la foctio f est difficile à étudier, le sige de la quatité u + u permettra de coaître la mootoie évetuelle de la suite. Théorème : Si pour tout, u + u 0, alors la suite (u ) est croissate. Si pour tout, u + u 0, alors la suite (u ) est décroissate Exemple : u =! u+.. Etude de (cas d ue suite à termes positifs) u Théorème : Suites umériques 4 / A Chevalley
u+ Si pour tout, u, alors la suite (u ) est croissate. u+ Si pour tout, u, alors la suite (u ) est décroissate. MT8.3. Etude du ses de variatio de la foctio.3.. Défiitio Si f est croissate sur [ 0 ; + Si f est décroissate sur [ 0 ; + Si f est costate sur [ 0 ; + [ alors la suite (u ) défiie par u = f () est croissate. [ alors la suite (u ) défiie par u = f () est décroissate. [ alors la suite (u ) défiie par u = f () est costate. Remarques : a) Ue suite costate implique pas ue foctio costate sur [ 0 ; + [!! Exemple : Soit f ( x ) = si ( x) Cette foctio est pas costate. Cepedat la suite (u ) l est car si ( ) = 0 pour tout etier aturel. b) Ue suite croissate implique pas ue foctio croissate sur [ 0 ; + [!! Exemple : Soit f ( x ) = x + si ( x). L étude des variatios de f motre qu elle est pas mootoe sur [ 0 ; + [. Cepedat la suite (u) défiie par u = f () est strictemet croissate ; e effet pour tout etier aturel, u =. c) Il existe des suites o mootoes. C est le cas des suites alterées (suites dot les termes sot alterativemet positifs et égatifs). Exemple : u = ( - ). (termes d idice pair positifs et termes d idice impair égatifs)..3.. Propriétés Les suites ( ), ( ² ), ( 3 ), ( ), ( α ) avec α > 0, a avec a >, sot croissates et lim u = + Les suites ( l ) et ( e ) sot croissates.,,,, α Les suites 3 avec α > 0, a Suites umériques 5 / A Chevalley + avec a > sot décroissates et lim u = 0 +
MT8 3. Suites de terme gééral de la forme u + = f (u ), suites récurretes 3.. Stabilité Soit ue foctio g défiie sur u itervalle I, o dit que I est stable par g si et seulemet si g(i) I 3.. Défiitio d ue suite récurrete Soit g ue foctio laissat stable u itervalle I, u 0 choisi das l itervalle I, o dit que la suite (u ) est récurrete si et seulemet si pour tout etier, u + = g (u ) 3.3. Pricipe du raisoemet par récurrece P() désige ue propositio qui déped d u etier aturel. 0 désige u etier aturel. Pour démotrer que pour tout etier aturel 0, P() est vraie, il suffit de vérifier les étapes suivates : - Iitialisatio : vérifier que la propositio P est vraie pour 0 P (0) est vraie. - Hypothèse de récurrece : supposos que pour u etier aturel quelcoque 0, P est vraie pour P() est vraie. - Démostratio : démotros que P est vraie pour + alors P(+) est vraie. - Coclusio : P est vraie pour tout 0 P() est vraie pour tout 0. Exemples : a) Démotrer par récurrece que la suite ( u ) défiie par u 0= 300 et pour tout N, u + = 0,6.u + 50 est décroissate? b) Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = et pour tout N, u + = + u A partir de la croissace de la foctio g défiie par g ( x ) = + x, motros par récurrece que la suite ( u ) est croissate? 3.4. Représetatio graphique Suites umériques 6 / A Chevalley
MT8 Exemple : a) Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = et pour tout N, u + = + u g ( x ) = + x 0 3 4 5 6 u =.44.553.598.6.66.67 et + x = x pour x =,68 = + 5 b) Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = 5 / 4 et pour tout N, u + =. u u 0 3 4 5 6 u 5/4 6..83.54.65.60 g ( x ) = x x Raisoemet par récurrece c) ( u ) suite arithmétique de raiso r avec r = 3 / et u 0 = / et u + = u + r g ( x ) = x + 3 / Suites umériques 7 / A Chevalley
MT8 d) ( u ) suite géométrique de raiso q avec q = 3 / et u 0 = / u + = q. u g ( x ) = 3 /.x e) ( u ) suite arithmético-géométrique de la forme u + = a u + b avec u 0 = / et g ( x ) = /.x + 5 / ½ x + 5/ = x x = 5 4. Limites Suites divergetes, covergetes O peut détermier la limite des suites de la forme u = f () quad ted vers l ifii. O ote : lim + u 4.. Suites divergetes 4... Défiitio Toute suite ( u ) telle que lim u = + ( + ou - ) est divergete (vers l ifii) lim = + Exemples : + lim + = + 3 lim + = + lim = + + lim l = + + lim e + = + lim - = + lim ( ) + = 4... Théorèmes Suites umériques 8 / A Chevalley
Soit f ue foctio défiie sur [ 0 ; + Si lim f ( x ) = + alors lim u = + x + + Si lim f ( x ) = alors lim u = x + + [ et ( u ) la suite de terme gééral u = f () MT8 Théorème de comparaiso : Soiet ( u ) et ( v ) deux suites telles que pour tout etier 0, u v Si ( u ) diverge vers + alors ( v ) diverge vers + Si ( v ) diverge vers - alors ( u ) diverge vers - Exemple : u = et v = u + + or lim u = lim = + et u v doc lim v = + 4..3. Applicatio aux suites arithmétiques et géométriques Soit ( u ) ue suite arithmétique de raiso a o ulle lim u = + lim u = Si a > 0 alors Si a < 0 alors + + Soit ( v ) ue suite géométrique de raiso q supérieure à lim v Si v 0 > 0 alors = + lim v Si v 0 < 0 alors = + + 4.. Suites covergetes 4... Défiitio Ue suite ( u ) coverge vers 0 ssi elle admet 0 comme limite. O ote lim u 0 =. + Ue suite ( u ) coverge vers u ombre réel L, ssi elle admet L comme limite. O ote lim u = L. + 4... Exemples : lim = 0 + lim = 0 + lim = 0 3 + lim = 0 + lim = 0 l + lim e = 0 + 4..3. Propriétés ) La limite d ue suite covergete est uique ) Lie avec la foctio associée Soit ( u ) ue suite de terme gééral u = f () et L u ombre réel, Si lim f ( x ) = L alors lim u = L x + + Suites umériques 9 / A Chevalley
MT8 4..4. Applicatio aux suites géométriques Soit ( v ) ue suite géométrique de raiso q telle que 0 < q <, lim = 0 alors v + S = S = v = v lim i 0. i= 0 q 4..5. Applicatio aux suites récurretes Théorème : Soit f ue foctio cotiue sur u itervalle I stable par f et ( u ) ue suite défiie par u 0 I et u + = f (u ) Si ( u ) coverge vers L alors L vérifie l équatio L = f ( L ) Ce théorème permet de détermier la limite d ue suite si l o sait qu elle est covergete ou de prouver qu ue suite admet pas de limite fiie. Exemple : a) Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = 0 et u = + u 5 3 + 4 b) Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = 0 et u = + u 3 3 + 4.3. Suites adjacetes 4.3.. Défiitio Deux suites ( u ) et ( v ) sot adjacetes ssi u v, ( u ) est croissate, ( v ) est décroissate et lim ( v - u ) = 0 + 4.3.. Propriété Si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes avec ( u ) croissate et ( v ) décroissate, alors pour tout etier, u v Suites umériques 0 / A Chevalley
Deux suites adjacetes sot covergetes et ot la même limite. MT8 Exemple : Soiet ( u ) et ( v ) deux suites telles que : u = +... 3 3 3 + 3 + + et pour tout. Démotrer que ( u ) et ( v ) sot adjacetes. v = u + 5. Récapitulatif sur les suites (voir feuille) Suites umériques / A Chevalley
U = f ( ) Mootoie SUITES U+ = g (U ) Suites récurretes MT8 U+ U termes positifs foctio f(x) Mootoie Raisoemet par récurrece : propositio P Iitialisatio : P0 est vraie u0 u ou u0 u u u + x [ 0, + [ et Df Hypothèse de récurrece : supposos P vraie u u+ ou u u+ Démostratio (Hérédité) : démotros que P+ est vraie Equatio simple (opératios) foctio associée g(x) I >0 ou <0 > ou < dérivée et f ou f fct croissate fct décroissate u u+ ou u u+ (u) ou (u) (u) o mootoe Coclusio : Pour tout, P est vraie lim Calcul de + Limite u (e foctio de ) Limite L = f ( L ) uique Suites umériques / A Chevalley