Atelier 7 : Clcul Intégrl Wlid ZGHAL 11 jnvier 6 1 Intégrle indéfinie Définition 1.1 Une fonction F est ppelée primitive d une fonction f si F (x) = f(x). Exemple 1 F (x) = x + sec(x) + 1 est une primitive de f(x) = x 3 + sec(x) tn(x). Définition 1. L intégrle indéfinie d une fonction f(x) est toute expression de l forme F (x) + C, où F (x) est une primitive de f(x) et C R. L intégrle indéfinie est notée comme suite : f(x)dx = F (x) + C, vec F (x) = f(x). L constnte C est ppelée constnte d intégrtion, f(x) est ppelée intégrnde et x est l vrible d intégrtion. Exemple x dx = x3 3 + C. 1
Formules de bse pour l intégrle indéfinie 1. x m dx = x m+1 m+1. sin xdx = cos x + C. + C vec m 1. 3. dx cos x = (1 + tn x)dx = tn x + C.. dx = cotn x + C. sin x 5. e x dx = e x + C. 6. dx x = ln x + C. 7. x dx = x ln + C vec >. Propriété 1.1 Soit f et g deux fonctions dmettnt une primitive lors : 1. f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx.. kf(x)dx = k f(x)dx vec k une constnte réelle. Exemple 3 Clculons l intégrle: I = cos xdx. On cos x = on trouve : cos x+1. Ainsi, I = cos x I = dx+ dx. En utilisnt les formules d intégrtion, sin x + x + C. Techniques d intégrtion Il n existe ps une méthode générle pour clculer l intégrle d une fonction. Cependnt, les techniques présentées ci-dessous permettent de clculer les intégrles simples.
Trnsformtion de l intégrnde Il est souvent utile de simplifier l expression de l intégrnde vnt d ppliquer les formules de bse. Exemple Clculons l intégrle: I = tn xdx. Trnsformons l expression de l intégrnde : tn x = sin x I = dx cos x dx = tn x x + C. cos x = 1 cos x = 1 cos x cos x 1. Ainsi, Chngement de vrible [] Dns l intégrle I = f(x)dx, remplçons x pr une fonction φ(u), u étnt l nouvelle vrible. Si x = φ(u), dx = φ (u)du, et l élément différentiel f(x)dx s écrit f(u)φ (u)du. Appelons g(u) l quntité f(u)φ (u), I s écrit : I = g(u)du Il rrive souvent qu un choix convenble de l fonction φ(u) nous permette de reconnître l fonction G(u) dont g(u)du est l différentielle, lors : I = f(x)dx = G[u(x)] + C Exemple 5 Clculons I = x x +1 dx. Posons u = x + 1,du = xdx; d où : I = 1 u du = 1 ln u + C. 3
Intégrtion pr prties Soit u et v deux fonctions différentibles de x lors : vdu = uv vdu Pr cette formule, le clcul de udv se rmène u clcul de vdu qui devrit être plus simple à clculer qund les choix de u et v ont été fits judicieusement. Exemple 6 Clculons I = xe x dx. En posnt u = x et dv = e x dx, nous obtenons du = dx et v = e x. Ainsi, I = xe x e x dx = xe x e x + C = e x (x 1) + C. Exemple 7 Clculons I 1 = e x cos xdx et I = e x sin xdx. En posnt u = cos x et dv = e x dx, nous obtenons du = sin xdx et v = e x. Ainsi, I 1 = e x cos x + e x sin xdx = e x cos x + I (1) Appliqunt l intégrtion pr prties à I en posnt u = sin x et dv = e x dx : I = e x sin x e x cos xdx = e x sin x I 1 () Le système d équtions (1) et () montre que : I 1 = ex cos x+sin x + C 1 I = ex sin x cos x + C
Intégrtion des frctions rtionnelles : Une frction rtionnelle P (x) Q(x) se décompose en une prtie entière en effectunt l division de P (x) pr Q(x) si le degré de P (x) est supérieur u degré de Q(x). 1. Chque fcteur irréductible de degré 1, de l forme (x + b) k u dénominteur engendre dns l décomposition k frctions prtielles de l forme : vec A i R. A 1 x + b + A (x + b) + A 3 (x + b) 3 +... + A k (x + b) k,. Chque fcteur irréductible de degré, de l forme (x + bx + c) k u dénominteur engendre dns l décomposition k frctions prtielles de l forme : A 1 x + B 1 x + bx + c + A x + B (x + bx + c) + A 3 x + B 3 (x + bx + c) 3 +... + A kx + B k (x + bx + c) k, vec A i et B i R. Exemple 8 Clculer x+ x(x 1) dx: x + x(x 1) = A x + B x 1 + C (x 1) Mettons les fcteurs irréductibles u même dénominteur commun : Regroupons les termes de même degré : x + x(x 1) = A(x 1) + Bx(x 1) + Cx x(x 1) x + x(x 1) = (A + B)x + ( A B + C)x + A x(x 1) Églons les numérteurs des deux membres de l équtions : x + = (A + B)x + ( A B + C)x + A Églons les coefficients de même puissnces de x : A + B = A B + C = 1 A = 5
Résolvons le système d équtions pour trouver les inconnues A, B et C : A = B = C = 3 Ainsi x + x(x 1) dx = x x 1 + 3 3 dx = ln x ln x 1 (x 1) x 1 + C. 3 Intégrle définie Théorème : Soit f est une fonction continue sur un intervlle [, b]. Si F (x) est une primitive quelconque de f(x) lors, l intégrle définie b f(t)dt est donnée pr l formule suivnte : b f(t)dt = F (b) F (). Exemple 9 [] Clculer I = 1 dx (1+x ) Posons x = tn u; dx = (1 + tn u)du. Pour x =, u = ; pour x = 1, u = π ; d où : I = π = π = 1 + π 8. 1+tn u du (1+tn u) cos u+1 du = [ = π du 1+tn u sin u + u ] π = π cos udu Soit f une fonction telle que f(x), pour tout x [, b]. S = b f(t)dt donne l ire comprise entre le grphe de f(x) et les droites d bscisses et b. L ire de S est illustrée à l figure 1. 6
y C f b x Figure 1: Aire donnée pr l intégrle b f(t)dt Exemple 1 Clculer l ire comprise entre l prbole y = x et l droite y = x : Les,5-5 -,5,5 5 -,5 Figure : Figure de l exemple 1 deux points de rencontre de l droite et de l prbole ont pour bscisses les solutions de l éqution : x = x d où x {1, }. Ainsi, l ire comprise entre l prbole y = x et l droite y = x est : S = xdx x dx = 1 6. 7
Clcul de volume de révolution : Le volume V du solide de révolution engendré pr rottion de l région délimitée pr le grphe C f et les xes x = et x = b utour de l xe des x est donné pr l formule suivnte : V = b πf (x)dx Exemple 11 Donner le volume V du solide de révolution engendré pr l rottion utour de l xe des x de l région délimitée pr le grphe y = x, et les droites x = et x = 1. Exercices Question 1 Clculer les intégrles suivntes : V = 1 x dx = x3 3 = 1 3. ) x rctn xdx. b) x+ x(x 1) dx. Question On considère l région fermée délimitée pr les courbes d équtions : ) Clculer l ire de cette région. y = 1 (x ), y =. b) Clculer le volume de révolution engendré pr l rottion de cette région utour de l xe des x. References [1] Chrron G. et Prent P.(), Clcul Intégrl, Beuchemin, édition 3. [] Alzouly E.(1983), Mthémtiques DEUG B : première et deuxième nnées cours et exercices, McGrw-Hill, tome 1. 8