Méhodes Mahémaiques pour l Ingénieur uie de la boie à ouils en 5 séances de cours + 5 séances de TD
ommaire Veceurs e valeurs propres des marices Applicaions au ssèmes d équaions différenielles Inégrales curvilignes e muliples
Objecifs Auo-évaluaion A la fin de la maière, l éudian doi pouvoir: calculer les valeurs e veceurs propres d une marice de dimension ou. appliquer la décomposiion en élémens propres à la résoluion d un ssème d équaions différenielles calculer des inégrales curvilignes, de surface, de volume avec changemen de variables
Veceurs e valeurs propres des marices 4
Inroducion Deu grandes classes de problèmes en algèbre linéaire: Résoudre un ssème linéaire d équaions Déjà vu en TE AX b Trouver les élémens propres d une marices X: veceur propre : valeur propre AX X L objecif de ce cours 5
Pourquoi faire? La déerminaion des élémens propres d une marice carrée a de muliples applicaions: résonnance, raiemen d image, géomérie, recherche sur le web, balançoire, vibraion, marché financier, résoluion de ceraines équaions au dérivées parielles équaion de la chaleur, des ssèmes d équaions différenielles ordinaires EDO, Voici un eemple concre à parir du ssème d EDO suivan 6
Eemple inroducif sème différeniel de aille : Les inconnues son les foncions v e w dv d dw d 4v 5w v w Il s agi d un problème au condiions iniiales el que souven renconré en praique e: modèle de pe proie-prédaeur Ici on prendra v08 e w05 e le bu du jeu es de rouver v e w pour>0 7
Eemple inroducif Ce ssème peu facilemen êre écri sous forme maricielle. On pose pour cela: U v w A 4 5 Le ssème différeniel es alors équivalen à: du d AU, avec 8 U0 5 C es une équaion linéaire du premier ordre pour la nouvelle inconnue U 8
u Eemple inroducif On sai résoudre cee équaion sans problème dans le cas scalaire Uu es une foncion réelle e plus un veceur: du d La soluion es alors connue: au, avec u0 u a u 0 e, en fai : u Re 0 [ ] a u0 e u 0 cosβ e Le comporemen pour les grandes valeurs de dépend de la valeur du paramère évenuellemen complee aα+iβ: α > 0: soluion insable α< 0: soluion amorie qui end vers zéro β 0: soluion oscillane amorie, insable ou à ampliude consane α 9
Eemple inroducif Reour au cas du ssème: on cherche une soluion avec une dépendance eponenielle: En injecan dans on obien: ze w e v forme la sous cherchée soluion de Qui se simplifie en 0 z e e z e z e e e 5 4 z X X AX avec ou en noaion maricielle 5 4 z z z
Eemple inroducif On obien donc le problème au valeurs propres suivan: AX X i l on sai résoudre ce problème d algèbre linéaire, c es-à- dire déerminer la ou les valeurs propres e les veceurs propres associés X [ z], alors on connai la soluion du ssème différeniel : v w e ze
Résoluion de AXX On remarque ou d abord que: AX A I 0 X peu s'écrire égalemen : X On se ramène à un problème de résoluion de ssème linéaire du pe : MX b avec: M A I e b 0 Mais b0, X0 es oujours soluion!! Fin de l hisoire? NON bien sûr! On cherche une soluion Xnon nulle pour qu elle puisse avoir une uilié pour la résoluion du ssème
Résoluion de AXX Rappel du cours sur les ssèmes linéaires: MX b avec M marice carrée adme : -soluion unique si : dem 0-0 ou une infinié de soluions si : dem 0 Dans le cas dem 0, on di que M es singulière Conséquence pour le problème au valeurs propres: Puisque X 0 es oujours soluion de de A I des soluions X 0, on se place dans le cas où M A I es singulière Auremen di on cherche les valeurs propres de A en résolvan l'équaion : A I 0 X 0 e que l'on cherche
Reour sur l eemple Avec la marice A de l eemple on a: Le déerminan de cee marice de aille se calcule 5 4 0 0 5 4 I A simplemen: C es un polnôme d ordre aille de la marice de dépar. On l appelle polnôme caracérisique de A es racines annulen le déerminan de A-I; ce son donc les valeurs propres de A 4 5 4 I A de
Reour sur l eemple Le polnôme caracérisique de Aes d ordre ; il adme - e + comme racine Aadme donc valeurs propres que l on noera : e Le cours sur les ssèmes linéaires indique que pour les choi ou e uniquemen pour ces choi, l équaion AXX adme des soluions X non nulles 5
Reour sur l eemple Calcul du veceur propre X associé à : ses composanes,z vérifien le ssème d équaions: 4 5z z z Les deu lignes de ce ssème son en fai ideniques e équivalenes à : z 0, vérifiée noammen par z Par conséquen, ou veceur non nul proporionnel à [,] es veceur propre de Aassocié à -. 6
Reour sur l eemple Calcul du veceur propre X associé à : ses composanes,z vérifien le ssème d équaions: 4 5z z + + z Les deu lignes de ce ssème son en fai ideniques e équivalenes à : 5z 0, vérifiée noammen par 5 e z Par conséquen, ou veceur non nul proporionnel à [5,] es veceur propre de Aassocié à +. 7
Résoluion de AXX Elle se fai en éapes ssémaiques:. Calcul du déerminan de A-I. Déerminaion des racines du polnôme caracérisique obenu en écrivan : dea-i0. Pour chaque racine chaque valeur propre, résoudre le ssème linéaire AXXafin de déerminer le ou les veceurs propres associés. 8
Re-Reour sur l eemple Deu soluions on éé obenues pour le problème AXX: avec X proporionnel à e + avec X proporionnel à 5 Cela correspond à deu soluions pour le ssème différeniel : - 5 U e e U e Comme le ssème différeniel es linéaire, oue combinaison linéaire de ces deu soluions es poeniellemen soluion. La soluion générale es alors: U C e - + C e 5 9
Re-Reour sur l eemple Les consanes C e C son à déerminer en uilisan les condiions iniiales: + 5 8 0 5 C C 0 U U Cela revien à résoudre le ssème linéaire suivan La soluion recherchée pour le ssème différeniel es finalemen: 0 C C soluion es don la 5 8 C C 5 + + + - - - e e 5e e dire : à c'es 5 e e U w v
Elémens propres de quelques marices simples Marice diagonale: 0 ; 0 ; 0 0 X X A Marice de Projecion Marice de roaion 0; ; / / / / X X A non réel ; non réel ; / / / / X X A i + i
Elémens propres de quelques marices simples Marice défecive:!! ; ; 0 X X X A Valeur propre double Marice non normale + + 0 0 ; 0 ; 0 ; 0 0 0 / / 0 / / X X X A 0 On remarque que : ; ; + X X X X A
Quelques observaions Le nombre de valeurs propres évenuellemen complees es TOUJOUR égal à la aille de la marice Le nombre de veceurs propres réels PEUT êre inférieur à la aille de la marice qui es alors die défecive Une marice ne peu êre défecive que si elle adme une valeur propre muliple. Auremen di, deu valeurs propres disinces admeen des veceurs propres disincs La sommedes valeurs propres d une marice es égale à la racede cee marice Le produides valeurs propres d une marice es égal au déerminan de cee marice
Diagonalisaion des marices i Aes une marice de aille n qui adme n veceurs propres disincs linéairemen indépendans, alors on di que Aes diagonalisable. i on noe la marice don les colonnes son les n veceurs propres de A, alors on monre facilemen: Dans ces rois égalié équivalenes, Λ es une marice diagonale don les élémens diagonau son les valeurs propres de A: 4 Λ A ; A Λ ; Λ A M M M M M M M M K M M M M O n n X X X Λ
Au suje du erme «diagonalisable» i Ae Bson deu marices carrées de même aille e qu il eise une marice inversible elle que A B ; B A alors on di que Ae Bson semblables. ; A B Aes donc diagonalisablesi elle es semblableà une marice diagonale. 5
Variables caracérisiques i la marice A es diagonalisable: A Λ avec Λ marice diagonale Le ssème différeniel iniial peu s écrire: du du AU Λ U soi : Λ U d d On inrodui alors les variables caracérisiques: W U qui permeen d écrire le ssème sous la forme: On noera dans la suie: W W W dw d Λ W 6
Re-Re-Reour sur l eemple Ecri à parir des variables caracérisiques, le ssème différeniel es découplé: dw d ΛW dw d dw d W W W W Les variables caracérisiques évoluen de manière indépendane l une de l aure W W W W 0 e 0 e 7
Re-Re-Reour sur l eemple Les condiions iniiales pour les variables caracérisiques s obiennen simplemen: 8 5 0 5 0 5 5 avec v W U W Les variables caracérisiques son finalemen égales à 8 e W e W 5 8 5 0 0 5 0 0 d'où w v W W
Re-Re-Reour sur l eemple Connaissan les variables caracérisiques, on peu rerouver les variables primiives v e w: W U U c'es à dire : W v 5e e w On rerouve évidemmen la même soluion que précédemmen: v e w e - - + 5e + e 9
Base propre i Aes une marice diagonalisable, elle adme n veceurs propres linéairemen indépendans. Ces veceurs consiuen une base appelée «base propre» Les colonnes de la marice coniennen les composanes des veceurs propres dans la base canonique: c es aussi par définiion la marice de passage de la base canonique base B à la base proprebase B i un veceur adme Xcomme composanes dans la base canonique e X dans la base propre, alors: ATTENTION!! X PBB' X', PBB' 0
Changemen de base Dans le cas d un ssème différeniel, cee formule de changemen de base perme de passer des variables primiives au variables caracérisiques e inversemen W U U W En géomérie Euclidienne, elle perme de déerminer les composanes d un même veceur lorsque représené dans différenes bases : r r r r r V V i + V j V i ' + V j' Les composanes son liées par : dans la base B ' V V ' V PBB' V' avec V ; V V' V ' e les colonnes de PBB' coniennen les r r composanes de eprimées ' B' i ', j' r r i, j r j' r j V r i r i r ' X X
Une applicaion géomérique On s inéresse à la courbe C d équaion : ous forme maricielle : X AX 5 4, avec X 7 + + 4 e A 4 5 7 On monre que A es diagonalisable : A Λ 0, avec Λ e 0 On remarque que es orhogonale: I ou bien -. C es oujours le cas pour les marices smériquesa A ou même simplemen normalesa AAA La courbe C adme donc égalemen pour équaion: X Λ X, ou encore : X Λ X
Une applicaion géomérique Eprimée à l aide des coordonnées X X - X, l équaion de la courbe C devien alors plus simple: X' ΛX', ou encore : ' C es l équaion d une ellipsede grand ae e de pei ae + ' θ X X L analse en valeurs propres perme de déerminer la bonne base pour observer /décrire la courbe C. Cee base es la base propre associée à la marice A. La formule de changemen de base perme de se placer effecivemen dans cee base.
Veceurs e valeurs propres des marices Consuler les noes de cours Algèbre linéaire pour plus de propriéés e définiions 4
Inégrales curvilignes e muliples 5
Inroducion Inégrale de Riemann bien connue pour les foncions numériques à une variable f: f a b b a f d On a éudié en TE les foncions de plusieurs variables e leur différeniabilié: Dérivée direcionnelle, parielle Gradien, Différenielle Marice Jacobienne e Jacobien Dans les sciences de l ingénieur, il es souven uile voire indispensable de généraliser la noion d inégrale au foncions de plusieurs variables 6
Inégrales curvilignes Le domaine d inégraion es une courbe de l espace une rajecoire. Eemple: la quanié d énergie dépensée par un véhicule pour aller du poin A au poin B suivan un iinéraire Ne peu pas êre représenée par une inégrale de Riemann qui vau nécessairemen zéro lorsque AB Doi dépendre du chemin parcouru A B 7
Inégrales curvilignes On se donne une courbe C de R pourrai êre R lian les deu poins A e B On se donne une suie de poins M 0, M,, M n elle que M 0 A M n B oues les longueurs M i M i+ son ideniques: M 0 M M M M i M i+ M n- M n M i M i+ M n M 0 M A B On se donne égalemen une foncion f de deu variables: f :, a f, f M, où M es le poin géomérique de coordonnées, 8
On noe alors n la somme: Inégrales curvilignes n n f M i M im i+ avec M im i+ la longueur du segmen i i+ i [ M M ] E on défini l inégrale curviligne de fsur le parcours Ccomme la limie suivane: C f, dl n Remarques: imilarié avec la définiion de l inégrale de Riemann passage à la limie ingrédiens doiven impéraivemen êre choisis pour définir l inégrale curviligne: la foncion f, le parcours C, l élémen différeniel dl ici la longueur de l élémen de parcours dl i elle eise, cee inégrale es un nombre si fes une foncion scalaire lim n 9
Un eemple concre I C: A B dl? Rq : AB C : A B dl 5 0 A, 0 B, dles la longueur parcourue sur le parcours Clorsque les coordonnées e évoluen de de d dl d + Le parcours C es le segmen de droie [AB]. on équaion es par eemple: d + avec 40
Un eemple concre I C: A B dl? A, B, 0 0 Le calcul de l inégrale curviligne I se fai en la reformulan comme une inégrale de Riemann classique en I dl d + d 5 d + 5 d d d d + 4 5 d [ ] AB 5 4
Inégrales curvilignes On peu définir de manière analogue les inégrales curvilignes suivanes avec g une foncion vecorielle définie sur C: C C C f, dl r g, dl : g r, dl : c'es un veceur : c'es un scalaire c'es un veceur Dans le cas où AB, C es un conour fermé e on noe C C df... dg : c'es un scalaire : c'es un veceur C au lieu de C 4
Inégrales curvilignes Propriéés: C: A B C: A O + C: O B aveco un poin du parcoursc C: A B C: B A df C: A B f B f A si df es une différenielle eace de primiive f C df 0 si df es une différenielle eace Calcul praique: on se ramène à une inégrale de Riemann en uilisan l équaion du parcours C sous une des formes suivanes: ; ; A, B [ ] 4
Un eemple concre suie I C: A B dl? Rq : AB C : A B dl 5 0 A, 0 B, Le parcours C es le segmen de droie [AB]. on équaion es par eemple: + avec 0 + dles la longueur parcourue sur le parcours Clorsque le paramère évolue d d d dl d + d d + d 4 + 5d d d 44
Un eemple concre suie I C: A B dl? A, B, 0 0 Le calcul de l inégrale curviligne I se fai en la reformulan comme une inégrale de Riemann classique en I + 5d 5 AB 0 0 5 45
Inégrales curvilignes Eemples: longueur de la courbe paramérée par : ' ' e enre longueur du graphe de : ' : + + B B A B A C d dl f d dl 46 - horaire aire conenue dans C supposée fermée e parcourue dans le sens ani ' ' le long de circulaion du champ de viesse : : B A A C C C C C d d d d d C V dl V r r
Inégrales de surface Le domaine d inégraion es une surface de l espace Eemple: la quanié de pluie qui ombe sur le oi d une habiaion La surface es orienée par son veceur normal uniaire Elle peu êre ouvere ou fermée r n : veceur uniaire normal à d Élémen de surface d 47
Inégrales de surface On se donne une surface de R On se donne une famille de N de porions élémenaires de : d 0, d,, d n elle que L inersecion des d i es nulle pas de recouvremen Tou poin de apparien à un unique d i pas de rou Les aires da i des élémens de surface d i son oues ideniques: da da da i da N d d d On se donne égalemen une foncion fde deu variables: f :,, z a f,, z f M, où M es le poin géomérique de coordonnées,, z 48
Inégrales de surface On noe alors n la somme: n n i f M i da i r n i avec M i le cenre de l'élémen de surface d i E on défini l inégrale de surface de fsur la surface comme la limie suivane: f,, r z nd n Remarques: imilarié avec la définiion de l inégrale de Riemann passage à la limie ingrédiens doiven impéraivemen êre choisis pour définir l inégrale surfacique: la foncion f, la surface orienée, l élémen différeniel ici l aire de l élémen de surface fois le veceur normal uniaire i elle eise, cee inégrale es un veceur fes une foncion scalaire lim n 49
Un eemple concre I : riangle ABC d? Rq : Aire de ABC d : : riangle ABC 0 B, A, C,0 0 des l élémen de surface généré lorsque les coordonnées e évoluen de de d d dd La surface es le riangle ABC. on équaion es par eemple: + + e 50
Un eemple concre? riangle ABC : d I B, A, 0 ABC de Aire Rq : riangle ABC : d C,0 5 0 riangle ABC : [ ] d d d d I + + + + + + 8 8 8 Le calcul de l inégrale de surface I se fai en la reformulan comme une inégrale de Riemann double classique en e ABC de Aire 8 + d d I
Inégrales de surface On peu définir de manière analogue les inégrales de surface suivanes avec g une foncion vecorielle définie sur : r f,, z d : c'es un scalaire dg,, z : c'es un veceur r g,, z d r r g,, z nd : c'es un veceur : c'es un scalaire... r r g,, z nd Dans le cas où es une surface fermée on noe : c'es un veceur au lieu de 5
Inégrales de surface Calcul praique: on se ramène à une inégrale double de Riemann en uilisan l équaion de la surface sous une des formes suivanes: [ ] [ ] ma min ma min,,,,,, ;, ;, ;, v v v u u u v u z z v u v u z z z z Théorème de Fubini: E aussi: 5 d c b a d c b a b a d c d h d g d d f d d f h g f,, alors :, paramères fiés e si a,b,c e d son des si d c b a b a d c d d f d d f,, a,b,c e d son des paramères fiés alors : si
Inégrales de surface Cas pariculier: es une parie du plan conenue enre les graphes de deu foncions numériques: a b Alors: a b f, dd b a b f a, d d 54
Inégrales de surface Changemen de variables: v,,,, v v u u v u v u Alors: 55 0,, ransformaion : le Jacobien de la avec,,,, ' v u J J dudv J v u v u f dd f u
Inégrales de surface Eemples: dd : Aire de f + f + Aire de la surface z dd : f, au dessus de [ f, g, ] dd : Volume compris enre les surfaces z f, e z g, r r V nd r : Flu du champ de viessev à ravers la surface 56
Inégrales de volume Le domaine d inégraion es une parie volume de l espace Eemple: la quanié de nirae dans une rivière On se donne une foncion de l espace: f :,, z a f,, z f M, où M es le poin géomérique de coordonnées,, z Par une consrucion similaire à celle uilisée pour les inégrales de surface, on défini l inégrale volumique de fsur un domaine Ωde l espace e on noe: Ω f,, z dddz 57
Inégrales de volume La plupar des propriéés énoncées pour les inégrales de surface se généralisen direcemen pour les inégrales de volume: Théorème de Fubini Changemen de variables avec l aide du Jacobien Pour ou domaine Ω de l espace: Ω dddz : Volume de Ω ρ Ω,, z dddz : Masse de Ω don la masse volumiquees ρ,, z 58