Exercices de mathématiques Exercice 1 Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres : + 6i 4i ; ( ) 1 + i + + 6i i 4i ; + 5i 1 i + 5i 1 + i Exercice Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme a + ib, a R et b R 1 i, 1 (1 + i)( i), 1 + i 1 i, + 5i 1 i + 5i 1 + i Exercice Trouver les racines carrées de 4i et de 4 10i Exercice 4 Résoudre dans C les équations suivantes : 1 z (11 5i)z + 4 7i 0 z + z i 0 Exercice 5 Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : 1 Nombre de module et d argument π/ Nombre de module et d argument π/8 Exercice 6 1 Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 + i, z 1 i, z 4 i, z 4, z 5 e iθ + e iθ Calculer ( 1+i ) 000 Exercice 7 Représenter sous forme trigonométrique les nombres : 1 + i ; 1 + i ; + i ; 1 + i i Exercice 8 Calculer le module et l argument de u 6 i et v 1 i En déduire le module et l argument de w u v Exercice 9 Déterminer le module et l argument des nombres complexes : e eiα et e iθ + e iθ Exercice 10 Déterminer le module et l argument de 1+i 1+i Calculer ( 1 i 1 i ) Exercice 11 Calculer (1 + i ) 5 + (1 i ) 5 et (1 + i ) 5 (1 i ) 5 où θ ] π, π[ Donner une in- Exercice 1 Mettre sous forme trigonométrique 1 + e iθ terprétation géométrique 1
Exercice 1 1 Calculer les racines carrées de 1+i En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8) Calculer les valeurs de cos(π/1) et sin(π/1) Exercice 14 Trouver les racines complexes de l équation suivante : x 4 0x + 89 0 Exercice 15 Résoudre dans C l équation suivante : z 4 (1 i) / ( 1 + i ) Exercice 16 Résoudre dans C : 1 z 5 1 z 5 1 i z + i 4 z 5 z Exercice 17 On rappelle la formule (θ R) : 1 Etablir les formules d Euler (θ R) : cos θ eiθ + e iθ e iθ cos θ + i sin θ et sin θ eiθ e iθ i En utilisant les formules d Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) (a, b R) : cos a cos b ; sin a sin b ; cos a ; sin a A l aide de la formule : e ix e iy e i(x+y) (x, y R), retrouver celles pour sin(x + y), cos(x + y) et tan(x + y) en fonction de sinus, cosinus et tangente de x ou de y ; en déduire les formules de calcul pour sin(x), cos(x) et tan(x) (x, y R) 4 Calculer cos x et sin x en fonction de tan x (x π + kπ, k Z) 5 Etablir la formule de Moivre (θ R) : (cos θ + i sin θ) n cos(nθ) + i sin(nθ) 6 En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(x) et sin(x) en fonction de sin x et cos x Exercice 18 Soit x un nombre réel On note C 1+cos x+cos x+ +cos nx n k0 cos kx, et S sin x + sin x + + sin nx n k0 sin kx Calculer C et S Exercice 19 Résoudre dans R les équations suivantes : (donner les valeurs des solutions appartenant à ] π, π] et les placer sur le cercle trigonométrique) 1 sin (5x) sin ( π + x), sin ( x π ) cos ( x ), cos (x) sin (x)
Exercices de mathématiques Correction 1 Remarquons d abord que pour z C, zz z est un nombre réel + 6i 4i ( + 6i)( + 4i) ( 4i)( + 4i) 9 4 + 1i + 18i 9 + 16 15 + 0i 5 5 + 6 5 i Calculons et Donc 1 + i i ( ) 1 + i 1 (1 + i)( + i) ( ) 1 + i 1 + i, 8 + 6i 9 8 9 + 6 9 i ( ) 1 + i + + 6i 1 4i 8 9 + 6 9 5 + 6 5 i 67 45 + 84 45 i Soit z +5i Calculons z + z, nous savons déjà que c est un nombre réel, plus précisément : 1 i z + 7 i et donc z + z Correction i et + i ; 5 i et 5 + i Correction 4 1 i dont les racines carrées sont 1 i et 1 + i, d où les racines z 1 5 i et z 6 i Une racine évidente z 1 i, d où la résolution complète en effectuant la division par z i On trouve z i et z i Correction 5 1 1 + i cos π i sin π + i 8 8 Correction 8 Nous avons 6 i u ( ) i ( cos π 6 + i sin π ) e i π 6 6 puis Il ne reste plus qu à calculer le quotient : v 1 i e i π 4 u v e i π 6 e i π 4 e i π 6 i π 4 e i π 1 1
Correction 9 D après la formule de Moivre pour e iα nous avons : e eiα e cos α+i sin α e cos α e i sin α Or e cos α > 0 donc l écriture précédente est bien de la forme module-argument De façon générale pour calculer un somme du type e iu + e iv il est souvent utile de factoriser par e i u+v En effet e iu + e iv e i u+v (e i( u v ) + e i( u v ) ) ( e i u+v u cos v ) ( u cos v e ) i u+v Ce qui est proche de l écriture en coordonées polaires Pour le cas qui nous concerne : [ ] z e iθ + e iθ e iθ e iθ iθ + e cos θe iθ Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif! Donc si cos θ/ 0 (ie θ [ π + 4kπ, +π + 4kπ] avec k Z) alors cos θ est le module de z et θ est son argument ; par contre si cos θ/ < 0 le module est cos θ et l argument θ +π (le +π compense le changement de signe car e iπ 1) Correction 10 1 + i 1 i On remarque 1 i 0 i 4 i 8 i Correction 1 e iπ/4 e iπ/4 eiπ/ i 1 + e iθ e iθ (e iθ + e iθ ) cos θ e iθ Comme θ ] π, +π[ alors le module est cos θ 0 et l argument est θ Géométriquement, on trace le cercle de centre 1 et de rayon 1 L angle en 0 du triangle (0, 1, 1 + e iθ ) est θ et donc est le double de l angle en 0 du triangle (1,, 1 + e iθ ) qui vaut θ C est le résulat géométrique (théorème de l angle au centre) qui affirme que pour un cercle l angle au centre est le double de l angle inscrit Correction 1 Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées ω, ω de z 1+i, nous obtenons + 1 1 ω + i mais nous remarquons que z s écrit également z e i π 4 et e i π 8 vérifie ( ) e i π iπ 8 e 8 e i π 4
Cela signifie que e i π 8 est une racine carrée de z, donc e i π 8 cos π + i sin π est égal à ω ou ω 8 8 Comme cos π > 0 alors 8 ei π 8 ω et donc par identification des parties réelles et imaginaires : cos π 8 + 1 et sin π 8 1 Correction 19 k Z 1 sin (5x) sin ( π + x) ssi x π/6 + kπ/ ou x π/18 + kπ/, avec sin ( x π ) cos ( x ) ssi x 5π/14 + 6kπ/7 ou x π/ + 6kπ/5, avec k Z cos (x) sin (x) ssi x π/8 + kπ/ ou x π/4 + kπ, avec k Z