Théorie des tests : Rappel très simplifié sur u exemple. Aexe I Test de l efficacité d u remède sur des malades atteit d u rhume. p 0 : probabilité de guérir das les huit jours avec u placebo p 1 : probabilité de guérir das les huit jours avec le remède. Deux hypothèses possibles : H 0 hypothèse ulle : p 0 = p 1 (pas d effet du remède. H 1 hypothèse alterative : p 0 p 1 (effet du remède Suite à ue expérimetatio où 0 serot traités avec le placebo et 1 avec le remède, observer le ombre de malades guéris : 0 avec le placebo et 1 avec le remède. A partir de cette observatio, deux décisios serot possibles : D 0 : H 0 est vraie ou ecore pas d effet du remède, D 1 : H 1 est vraie ou ecore effet du remède. Démarche à utiliser : Costruire ue foctio qui déped des observatios et pour laquelle, quad l hypothèse ulle est vraie, il est possible de calculer la loi de probabilité et ceci sas coaître les paramètres icous. Cette foctio appelée statistique de test sera otée ϕ ; Fixer α = risque de se tromper e décidat D 1 (c.a.d. alors que H 0 est vraie. C est le risque dit de première espèce ; Détermier ue zoe critique otée C α telle que, lorsque l hypothèse ulle est vraie, alors : P(ϕ C α α ; Etablir la règle de décisio suivate : rejet de H 0 (décisio D 1 si et seulemet si ϕ C α ; Effectuer l expériece et, suivat la valeur prise par ϕ, éocer la décisio. a costructio du test garatit que la probabilité de se tromper e rejetat l hypothèse ulle est iférieure à α. Evaluer le risque dit de deuxième espèce. C est le risque de se tromper e e rejetat pas l hypothèse ulle (décisio D 0, c est-à-dire P(ϕ / C α. Il est oté β. Avat d utiliser l exemple, rappelos les otatios suivates : Z désige ue variable aléatoire suivat ue loi ormale cetrée réduite. O ote Z N (0, 1. F Z désige la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite (souvet otée Π c est-à-dire : F Z (z = P(Z z avec Z N (0, 1. z α est le ombre réel tel que : P( z α Z z α = 1 α ou ecore P( Z z α = α. Remarque : F Z (z α = 1 α. ou Φ, Utilisatio de la démarche : O pose : f 0 = 0 0, f 1 = 1 1 et d = f 0 f 1 ; f = 0+ 1 1 0 + 1, s d = 0 + 1 1 f (1 f et ϕ = d s d O peut motrer que si p 0 = p 1, alors ϕ suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite Z N (0, 1. es coditios 0 30, 1 30, 0 p 0 5, 0 (1 p 0 5, 1 p 1 5 et 1 (1 p 1 5 permettet ue boe approximatio. 1
O pred α = 0,05 c est-à-dire 5% de chace de se tromper e disat que le remède fait de l effet. O sait que P( Z > z α = α doc e preat comme zoe critique, C α =], z α [ ]z α, + [, o a bie P(ϕ C α α. D après les tables, z 0,05 = 1,96, doc dire que la statistique appartiet à la zoe critique sigifie que d > 1,96 ou ecore que d > l avec l = 1,96s d. O rejette l hypothèse s d ulle si et seulemet si d > l. Exécutio du test. 0 = 00, 0 = 140, f 0 = 0,70, 1 = 10, 1 = 164, f 1 = 0,780 95. d = 0,08095, s d = 0,0435869, l = 1,96 0,0435869 = 0,08478 d = 0,08095 < 0,08478 = l Décisio : D 0 c est-à-dire o-rejet de H 0. O e coclut pas à u effet du remède. e risque de se tromper vaut β = P(ϕ / C α = P( z α ϕ z α. Ici β = P( 1,96 ϕ 1,96. Das le cas où o supposait p 0 = p 1 (hypothèse H 0, ϕ suivait loi ormale cetrée réduite, o avait alors P( 1,96 ϕ 1,96 = 1 0,05 = 0,95. Pour calculer le risque de deuxième espèce, il faut se placer das le cas où o se trompe e décidat p 0 = p 1, doc (puisqu o se trompe das le cas où p 0 p 1 (hypothèse H 1. Mais alors das ce cas, ϕ suit ue loi de probabilité qui déped de 0, 1, p 0, p 1 et cette loi est pas la loi ormale cetrée réduite. Pour u risque de première espèce doé α, le risque de deuxième espèce β déped de 0, 1, p 0, p 1 et de α. Il est pas égal à α. Il peut être grad et même proche de 1 α (et ici proche de 0,95!. Pour cette raiso, lorsque la décisio D 0 est prise, il faut, quad c est possible, assortir cette décisio de l évaluatio du risque de deuxième espèce, et sio, il est alors préférable de dire qu o e rejette pas l hypothèse ulle. Das le cas de ce test de comparaiso etre deux probabilités, l expressio exacte de ce risque de deuxième espèce est pas doée das cette aexe car trop complexe mais il existe des tests (voir Activités où elle peut être exprimée aisémet.
Aexe II Itervalle de cofiace. Rappel très simplifié sur u exemple. p proportio icoue de patiets ayat eu u effet secodaire suite à l absorptio d u remède. U échatillo de patiets sera observé. Sur ces patiets, ot eu u effet secodaire. Démarche à effectuer : Détermier le iveau de cofiace 1 α avec 0 < α < 1. Trouver deux foctios ϕ 1 et ϕ de (doc pour lesquelles le résultat sera aléatoire telles que P(ϕ 1 p ϕ 1 α. A la suite de l expériece, appliquer les deux foctios à. itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p sera [ϕ 1 (, ϕ (]. O pose : ϕ( = p (1, O peut démotrer que, si les coditios suivates sot réalisées : 30, p 5 et (1 p 5, alors ϕ suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite otée N (0, 1. Si Z suit ue loi ormale cetrée réduite, les tables permettet de calculer z α vérifiat : P( z α Z z α = 1 α. Doc P( z α ϕ z α = 1 α. E remplaçat ϕ par so expressio, o trouve : P(f e p f + e = 1 α avec f = et e = z α (1 O aura ici ϕ 1 ( = f e et ϕ ( = f + e. itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p sera [f e, f + e]. f(1 f = z α. Das u échatillo de = 1100 patiets ayat absorbé le remède, 583 ot eu u effet secodaire. O cherche u itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. Ici z 0,95 = 1,96 f(1 f f = 0,53 et e = 1,96 = 0,094 Ici l itervalle de cofiace est : [0,5006 ; 0,5594] Programme B.T.S. : [f 1, f + 1 ] itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. Ici [0,49985 ; 0,56015] itervalle de cofiace de iveau 0,95 pour p. 3
Aexe III Ue démostratio actuelle est la suivate : Soit p la probabilité de réalisatio de E et f la fréquece observée de l évéemet E à la suite de expérieces idépedates. O pose : Y = f p, T = p(1 p f p Y T = f (1 f Z ue variable aléatoire de loi ormale N (0, 1 D après le théorème de Moivre-aplace : Z (covergece e loi vers la loi ormale. Y p(1 p, U = 1 variable aléatoire costate. f (1 f Mais : f p (covergece presque sûre d après la loi forte des grads ombres Doc T U Puisque U est ue variable aléatoire costate : Y T ZU doc Z Z. Ceci etraîe : ( f p P z α z α P( z α Z z α = 1 α f (1 f Ou ecore : P ( f z α f (1 f f (1 f p f + z α 1 α Il est alors facile de voir que ce résultat est aussi celui de Gavarret. Posos : α = e t dt π u e chagemet de variable t = x doe : α = 1 + e x π u dx = 1 FZ (u où F Z est la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite. Doc u = F 1 Z (1 α = z α.m. Gavarret pose : s = u, ce qui lui doe l itervalle de cofiace de iveau P pour B de la forme : µ 3 [ m s, m + s]. µ µ Puisque m = f µ, = 1 f f (1 f µ et o a bie s = z α. E preat α = 0,0047 (doc P = 0,9953, z α, l itervalle de cofiace de iveau 1 α pour p (ici égal à B est bie le même que celui aocé par Gavarret. 4
i=1 Aexe IV Ue démostratio actuelle possible utilise ue gééralisatio du théorème cetral limite. O pose X (1 i B(p 1 pour 1 i 1 (resp. X ( B(p pour 1 la variable qui vaut 1 si E est arrivé das la première série (resp. das la deuxième série Soit f 1 = 1 1 X (1 i (resp. f = 1 X ( la fréquece d apparitio de E das la première série 1 (resp. la deuxième série. Soit Y j = 1 1 X (1 j si 1 j 1 et Y j = 1 X ( j 1 si 1 + 1 j 1 +. O pose ecore : =1 W (1, = Y 1 + + Y 1 + Y 1 +1 + + Y 1 + E(Y 1 + + Y 1 + Y 1 +1 + + Y 1 + var(y1 + + Y 1 + Y 1 +1 + + Y 1 + es variables Y j ot pas toutes la même loi mais sous des coditios dites de iapouov qui sot ici vérifiées, o a ecore : où Z est ue variable aléatoire de loi N (0, 1. Mais : Si o pose : W (1, Z W (1, = (f 1 f (p 1 p p1 (1 p 1 1 + p (1 p p1 (1 p 1 + p (1 p T (1, = 1 f1 (1 f 1 + f (1 f 1 D après la loi forte des grads ombres : où U est la variable aléatoire costate égale à 1. Alors : T (1, U et doc : W (1, T (1, Z.U = Z (f 1 f (p 1 p Z (1, = f1 (1 f 1 + f (1 f 1 Sous l hypothèse ulle, p 1 = p et par coséquet : P ( f 1 f 1 z α Z f 1 (1 f 1 + f (1 f 1 α 1 E repreat α = 0,0047, o retrouve la formule de Gavarret. 5