Mthémtique Sylvie Jncrt sylvie.jncrt@ulg.c.be Octobre 2015
Introduction L notion d intégrle répond à deux problèmes de nture différente: l une lgébrique, l utre géométrique. Une fonction étnt donnée, existe-t-il une fonction dont elle soit l dérivée? Comment l clculer? Une telle fonction s ppelle primitive de l fonction donnée et l ensemble des primitives de cette fonction est ppelé intégrle indéfinie Etnt donné une fonction f définie sur un intervlle [, b] et positive sur cet intervlle, comment évluer l ire comprise entre le grphe de f et l xe des x et les droites d éqution x = et x = b? Il suffir de trouver une primitive F de l fonction. L ire ser donnée pr F (b) F (). Cette propriété, ppelée théorème fondmentl du clcul intégrl, fit le lien entre les deux problèmes posés. Applictions
Les primitives Définition Soient f : [, b] R et F : [, b] R où < b. On dit que F est une primitive de f sur [, b] si : F (x) = f (x), x [, b]. Théorème Soit f : [, b] R une fonction possédnt une primitive F. Alors toute utre primitive de f est de l forme où c désigne une constnte réelle. F + c Exemple : une primitive de f (x) = 2x est donnée pr F (x) = x 2 cr F (x) = 2x = f (x). De plus, toutes les primitives de f (x) = 2x sont données pr x 2 + c. L expression R f (x) dx désigne donc un ensemble de fonctions et se lit intégrle de f, dx.
Les primitives Dns cette expression R f (x) dx, l lettre x joue un rôle muet : on peut, u lieu de x, utiliser n importe quelle utre lettre : f (x) dx = f (t) dt = f (u) du = On donc F (x) = f (x) dx <=> F (x) = f (x). Exemples : R x dx = x2 2 + c, R cos x dx = sin x + c où c désigne une constnte. Le processus qui permet de clculer une primitive de f est ppelé intégrtion de l fonction f. L intégrtion n est ps toujours isée. Souvent on cherche à rmener l fonction dont l intégrle n est ps immédite à d utres, dont l primitive est usuelle. Pour ce fire, il fudr mémoriser un certin nombre de primitives, en prticulier celles qui suivent.
Les primitives Primitives immédites dx = x + c ; k dx = kx + c ( k = cte ); x n dx = x n+1 + c ( n 1, n Q ); n + 1 (x + ) n dx = (x + )n+1 n + 1 cos x dx = sin x + c ; + c ( n 1, n Q ); sin x dx = cos x + c.
Les primitives Primitives immédites suite 1 dx =tn x + c ; cos 2 x 1 sin 2 x 1 1 x 2 dx = cot x + c. dx = rcsin x + c ; 1 dx = rctn x + c. 1 + x 2 e x dx = e x + c ; 1 x dx = ln x + c ;
Intégrtion pr décomposition Théorème Soient f et g deux fonctions continues et α R. On : α f (x) dx = α f (x) dx, α = cte, [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx;. On remplce l intégrle d une somme de fonctions pr une somme d intégrles. Exemples : (2x 3 3x 2 + 1) dx et (sin x + cos x) dx
(2x 3 3x 2 + 1) dx = 2 x 3 dx 3 x 2 dx + dx = 2 x 4 4 3 x 3 3 + x + c. (sin x + cos x) dx = sin x dx + cos x dx = cos x + sin x + c.
Intégrtion pr substitution u = g(x) Nous llons décrire cette technique u moyen de quelques exemples. Dns chcun des cs, il s gir de se rmener à des intégrles déjà connues en posnt u = g(x) et donc g (x)dx = du Exemple 1 : soit à clculer R cos 3x dx On sit que R cos u du = sin u. On se rmène u clcul de l primitive d un cosinus. Pour ce fire, on pose u=3x et donc u du = dx = (3x) = 3. nottion de Leibnitz On peut écrire : du = 3 dx ou dx = du 3
Comme u = 3x et dx = du 3 cos 3x dx = cos u du 3 = 1 3 cos u du = 1 sin u + c, vec u = 3x 3 = 1 sin 3x + c (retour à l vrible de déprt!) 3
Exemple 2 : dx 1 4x dx = (1 4x) 2 1 dx. 1 4x On sit que u 1 2 du = u 1 2 +1 1 2 + 1 + c = 2 u 1 2 + c
Intégrtion pr substitution dx = (1 4x) 2 1 dx. 1 4x On sit que On v donc poser u 1 2 du = u 1 2 +1 1 2 + 1 + c = 2 u 1 2 + c u = 1 4x u = du dx = 4 dx = 1 4 du
ce qui donne (1 4x) 1 1 2 dx = 4 = 1 «4 u 1 2 du 2 u 1 2 + c où u = 1 4x = 1 2 u + c où u = 1 4x = 1 2 1 4x + c ( retour à l vrible originelle!) Exercice Clculer l ensemble des primitives de f (t) = t 2 1 + t 3
Soit f (t) = t 2 1 + t 3 posons u = 1 + t 3 u = du dt = 3t2 ce qui donne t 2p 1 + t 3 dt = 1 3 u 1 2 t 2 dt = 1 3 du du = 1 3. 2 3 u 3 2 + c = 2 9 `1 + t 3 3 2 + c ( retour à l vrible originelle!)
Intégrtion pr chngement de vrible x = φ(t) Si f est une fonction définie sur un intervlle I, primitivble et φ(t), dérivble à vleurs dns I lors R f (x)dx = R f (φ(t))dt vec x = φ(t) et donc dx = φ (t)dt Exemple 1 : l fonction contient 2 x 2 On pose x = sin t et donc dx = cos tdt p1 x 2 dx = p 1 sin 2 t cos t dt où x = sin t, dx = cos t dt = cos 2 t dt = 1 (1 + cos2t) dt utiliser Crnot 2 = t 2 + 1 sin 2t + c 4 = rcsin x 2 vec 1 sin t cos t = 1 sin 2t 2 4 + x 2 p 1 x 2 + c ( retour à l vrible originelle!)
Intégrtion pr chngement de vrible Exemple 2 : si l fonction contient x 2 2 (Même procédé) Cette fois on pose x = sin t et donc dx = cos t sin 2 t dt Exemple 3 : si l fonction contient (x + b) 1 n On pose x + b = t n Exemple : t 2 1 On obtient t x x + 1 dx. On pose x + 1 = t 2 et dx = 2tdt 2t dt = 2 Retour à l vrible originelle t 2 1 dt = 2 t3 3 2t + c x x + 1 dx = 2 3 p (x + 1)3 2 x + 1 + c
Intégrtion pr prties Soient f, g : [, b] R, continûment dérivbles. f (x) g (x) dx = f (x) g(x) f (x) g(x) dx Exemple : clculer R x sin x dx : on pose f (x) = x et g (x) = sin x insi f (x) = 1 et g(x) = cos x donc x sin x dx = x cos x R cos x dx = x cos x + sin x + c Remrque : si on vit choisi de poser f (x) = sin x et g (x) = x lors f (x) = cos x et g(x) = x2 2 On voit lors que l intégrtion pr prties ne fit que compliquer les choses. C est l expérience qui permet de sentir l décomposition ppropriée.
Intégrtion pr prties Exercices : 1 x e x dx x 2 dx x + 1 3 x 2 ln x dx
Intégrtion pr prties Réponses : 1 x e x dx = xe x e x + c x 2 dx = 2x 1 + x 4 x + 1 3 (1 + x) 2 3 + c 3 x 2 ln x dx = x 3 3 ln x x 3 9 + c
L intégrle définie Soit f : [, b] R une fonction continue et bornée et soit F (x) une primitive quelconque de f. On ppelle intégrle définie de l fonction f sur l intervlle [, b] le nombre F (b) F (), que l on note R b f (x) dx ou [F ]b. On donc b f (x) dx = F (b) F () On ppelle l borne inférieure, b l borne supérieure, [, b] l intervlle d intégrtion et x l vrible d intégrtion. Remrque : Toute fonction continue/monotone sur un intervlle [, b] y est intégrble.
Propriété Soit f : [, b] R une fonction continue et bornée. L intégrle définie de l fonction f sur l intervlle [, b] est l quntité R b f (x) dx qui représente l ire comprise entre l xe des x, le grphe de f, les droites d éqution x = et x = b. Cette ire est comptée positivement lorsque f (x) > 0 et négtivement lorsque f (x) < 0.
L intégrle définie Exemple : considérons l fonction f (x) = 2x 3 et clculons l ire hchurée A de l figure suivnte : y = 2x 3 2 1 1 A U 0 1 0 1 On : A = 1 0 2x 3 dx = 2 1 0 x 3 dx. Une primitive de x 3 est donnée pr F (x) = x4. 4 Dès lors,» x 4 1 «1 4 A = 2 = 2 4 4 04 = 1 4 2. 0 Ceci signifie que l ire A vut 1 fois l ire choisie comme unité qui est l ire U 2 du crré dont l longueur du côté est 1.
L intégrle définie Propriétés : Soient f, g : [, b] R intégrbles, k R Conventions Linérité Additivité b f (x)dx = 0 f (x)dx = b b (f (x) + g(x))dx = b f (x)dx f (x)dx + b b b < c < b k.f (x)dx = k b f (x)dx = c f (x)dx f (x)dx + c g(x)dx b f (x)dx
L intégrle définie Propriétés (suite): Monotonie f (x) g(x) Conséquence de l monotonie b f (x)dx b g(x)dx m < f (x) < M x [, b] m(b ) b f (x)dx M(b ) Théorême de l moyenne Si f est une fonction continue sur [, b] lors il existe c [, b] : b f (x) dx = f (c)(b ) (interpréttion géométrique) http://www.uel.eduction.fr/consulttion/reference/ mthemtiques/integrtion/pprendre/intriemnn/videog.htm
L intégrle définie m < f (x) < M x [, b] m(b ) b f (x)dx M(b ) b f (x) dx = f (c)(b )