Cours de mathématques 9 Entraˆnement au calcul Lcée La Bruère 0 avenue de Pars 78000 Versalles c 0, Polcopé du cours de mathématques de premère année.
8. Mode d emplo de ce document 8. Révson des fondamentau. 8.. Logque Compléter les séres suvantes (a) 6 48 4 7 (b) 69 695 698 697 70 700 (c) D F H J L N (d) C F K N O (e) 7 5 7 7 7 9 8 8 Trouver l ntrus (a) tenns-bllard-pétanque-polo-sk (b) cuvre-fer-étan-bronze-alumnum (c) procédure-requête-husser-procès-assgnaton (d) volon-flûte-orgue-cornemuse-accordéon (e) sénateur-député-canddat-parlementare-élu Compléter la sére 5 8 4 4 0 7 4 (f) 5 0 9 58 (g) D E G J N S (h) A F D I G L () 5 8 () 4 4 7 7 (f) 5 86 4 8 9 (g) 87 46 54 (h) 4 7 89 6 56 () rads-carotte-navet-ognon-betterave () 45 69 89 8 47 6?? Compléter la sére 5 7 9 8 9 Compléter la sére 6 7 5 4 4 6 8?? 5 8 5 5 0 4 0 6?? 6 8.. Proportonnalté Le côté d un carré est rédut de 0%. Eprmez en pourcentage : (a) la réducton de son pérmètre (b) la réducton de son are Le côté d un cube est rédut de 0%. Eprmez en pourcentage :
8. Révson des fondamentau. (a) la réducton de sa surface (b) la réducton de son volume La deuème fgure est obtenue par agrandssement proportonnel de la premère. Trouver a et b. 5 0 9 0 a b 8.. Nombres réels et négaltés Calculer très rapdement (a) (48 9) (48 9) (b) (7 57) (7 7) (c) (57 64) + (57 6) (d) (48 87) + (48 ) (e) (94 7) + (94 7) Calculer très rapdement (a) (, 5 6, 7) + (, 5, ) (b) (5, 5, 6) + (5, 4, 4) (c) (0, 54 80, 5) + (0, 54 9, 5) (d) (8, 6 7, 9) + (8, 6 8, ) (e) (, 6 5, 5) + (, 6 48, 5) (f) 0 (g) 5 99 (h) 75 98 () 6 97 () 55 0 (f) (9 (4 + )) + (9 (5 + )) (g) ( ( + 4 )) + ( (6 + 4 )) (h) ( (90 + 6 5 )) ( (9 5 )) () (6 (97 + 7 4 )) + (6 ( + 4 )) () (8 ( + 5 )) + (8 (4 + 7 )) Calculer très rapdement (a) (b) 60 40 (c) 77 (d) 9 8 (e) 8 8 Calculs élémentares (f) 7, 9, (g) 6, 7, (h) 5, 4, 9 () 5, 8 4, () 9, 4 0, 6
4 (a) 8 6 9 ( 4 (b) ) ( + ) (c) ( ) ( ) + ( ) (d) + + (e) 7 ( 6 5 ) ( 7 ) 6 5 (f) (g) 4 5 + 4 5 + + 0 5 (h) 8 0 5 ( () + 5 + ) 5 () + + Smplfez les epressons suvantes sous la forme + où et sont des ratonnels a = + + ; b = + ; c = + + + + + + Smplfer les sommes suvantes (a) + + + 4 + + 97 + 98 + 99 (b) + + 5 + 7 + + 77 + 79 (c) 6 + 7 + 8 + + 56 + 57 (d) + + 4 + 8 + + 56 (e) + 9 7 + + 79 87 Smplfez les epressons suvantes (a) (a )(b + c) (ac + b) (b) (b a) a(b a) (c) a c + (a b)(b c)(a + b) (d) (a + ) (4a + b)(a ) (e) + a( + a( + b( + a))) Développez les epressons suvantes (a) (a b) (b) (a + b) + (a b) (c) ((a + b) ) (d) (b + c) 4 (e) (a b ) (a + b ) Résoudre les equatons suvantes (a) ( 7) (4 0) = 0 (b) ( + ) + ( ) = 8 (c) ( + ) + (9 4 ) + ( 5) = 0 (d) 8( + ) 8 + 0 = 0 (e) ( 9) + ( 6)( + 7) = 0 (f) + 4 + + 97 98 + 99 (g) + + + 4 + + 7 + 8 (h) + 4 8 + + 56 () 4 + 5 + 6 + + 7 () + 4 + 7 + 0 + + 46 (f) (a b)(a c) + (b c)(a ) (g) c( a)( b)+b( a)( c)+b( a)( c) (h) (a b + c) ( a b + c) + (a + b + c) () (ab + ac + bc)(a + b + c) (a + b + c )(b c) () (a ((a (a b) ) ) ) (f) (a + b + c) (g) (a + a ) (h) (a a ) () (a + a )4 () ( a b + b a )4
8. Révson des fondamentau. 5 Factorser les epressons suvantes (a) ( )( + ) ( 4)( ) (b) ( )( + ) + ( + )( 4 + 4) (c) + 5 + 6 (d) 5 + 6 (e) 5 6 Factorsatons (sute) (f) ( ) ( + 5) (g) 5 + 5 0 (h) 4 9 () + 6 7 () + (4 )) (a) développez (a b)(a + ab + b ) (b) factorsez et + (c) factorsez + (d) factorsez 4 + Résoudre les equatons suvantes (a) + = 0 (b) 4 8 + 0 = 0 (c) + 5 + 0. = 0 (d) 5 + = 0 (e) 5 + 7 = 0 Rangez les nombres suvants dans l ordre crossant (f) + 4 = (g) + = 9 + (h) (5 )( ) = () 7 + 7 = 0 () + 9 = 0 5 ; ; 7 5 ; 7 ; 0; 9 5 ; Rangez les nombres suvants dans l ordre crossant Smplfez les négaltés suvantes (a) (a b) + c > c b (b) (a + c ) + c(a c) ac + (c) ab (a b)b < b + c (d) (a + ac) 4ac > a c (e) b(b + ) > (b + )(b + ) (f) (a b) > ab + a Résoudre les néquatons suvantes (a) 4 < (b) (7 ) + (c) 5( ) + 6 > 0 (d) ( ) > 0 90; 8; 8 8 ; 8 0 ; 90; 9 (f) 5 + 6 < 0 (g) 7 6 (h) (5 )( ) < () > + 6 (e) + 0 () + 9 > 0 Mettre les epressons suvantes sous la forme d un (seul) quotent (a) + +
6 (b) (c) n n + n + + + + (d) + + (e) + 5 On pose =. Eprmer au moen de seulement, les epressons suvantes a = + ; b = ; c = 4 + 4 ; 8..4 Valeur absolue et ntervalles Donnez l ensemble soluton des néquatons suvantes sous forme d ntervalle ou d unon d ntervalles (a) + 4 > 7 (f) + 5 < 0 (b) + 5 + (c) 5 > 4 (d) + > 0 (e) + + Résoudre les équatons suvantes + (g) 5 + 6 0 (h) ( + )( 5) > (4 0)( + ) () + > + 8 () 4 > (a) + 4 = 7 (f) + 5 = (b) = (g) + 5 = 7 (c) 4 = 5 (h) ( + )( 5) = 4 (d) 5 = 6 () + = + (e) + 5 = 7 () + 8 9 = Résoudre les néquatons suvantes en donnant l ensemble soluton sous forme d un ntervalle ou d une réunon d ntervalles (a) + 4 < 7 (f) + 5 > (b) (c) 4 > (d) 5 6 (e) + 5 > 7 Résoudre les équatons et néquatons suvantes + (g) 5 + 6 < (h) ( + )( 5) > () + < + () + 8 9 <
8. Révson des fondamentau. 7 (a) = 0 (b) 5 = 0 (c) + 5 = 5 (d) = + (f) < 0 (g) + 5 0 (h) 6 > 4 + () > 9 (e) + = + () Réecrre les néquatons suvantes à l ade de la valeur absolue (a) < < 5 (b) 7 < < (c) + 0 (d) ( )( + 5) 0 (e) < ( ) 8..5 Eposants Smplfez les epressons suvantes (f) > ou > (g) ( + ) 6 (h) + < 4 (a) 8 (f) ( ) + 4 (b) (4 )0 + 4 9 (g) ( + ) ( + ) 8 4 (h) (5 ) (c) 7 4 (9 ) 4 4 () 0 ( + + ) (d) 5 (e) 0 + 0 0 () ( 8 9) 5 00 Eprmer les nombres suvants sous la forme m 0 n où m et n sont des enters relatfs (avec m non multple de 0) 0, 0 (a) 00000 (b) 0, 04 0, 005 60 000 0, (c) 0, 006 (d), 5 0 6 400 0, 0, 00 (e) 0, 0 0, 05 0 5 8..6 Polnômes Détermner dans chacun des cas suvants les réels a et b sachant que (a) 5 + 7 a se factorse par (b) + a 5 se factorse par + (c) + a + b se factorse par ( + )( + ) (d) a + + b se factorse par ( )( + ) Résoudre dans R les équatons suvantes après avor factorsé l epresson (a) + = 0 (b) + 8 + 4 = 0 (c) + = 0
8 (d) + + + = 0 (e) + = 0 Détermner des racnes évdentes au équatons suvantes, pus les résoudre dans R (a) + = 0 (b) 8 + = 0 (c) + = 0 (d) 6 + 7 = 0 (e) + + 5 = 0 8..7 Sstèmes lnéares Résoudre dans R, lorsque c est possble, les sstèmes lnéares suvants { + = (S ) = { + = (S ) = { + 4 = (S ) + 6 = { + = (S 4 ) = { ( ) + = (S 5 ) + ( + ) = { ( 6 ) + ( 7 5) = (S 6 ) ( 7 + 5) + ( 6 + ) = 0 Résoudre, dans R, les sstèmes lnéares suvants + z = (S 6 ) z = 5 + z = + = (S 7 ) + z = z = 0 Détermner le ou les polnômes de degré au plus vérfant (a) P( ) =, P(0) = 0, P() = (b) P(0) =, P (0) = et P (0) = (c) P( ) =, P() = et P() = (d) P () + P () + P() =, pour tout R (e) P() = P () = et P () = Résoudre, dans R, les sstèmes suvants (S 8 ) + = 5 { (S 9 ) = Résoudre dans R les sstèmes suvants + 5 = + = + + z = 9 (S 0 ) + + z = + z + z = 7 ( + + z) = (S ) ( + + z) = z( + + z) = 5
8. Révson des fondamentau. 9 8..8 Dans le plan Calculez la dstance séparant les ponts A et B dans chacun des cas suvants (a) A = (, 9); B = (, 8) (b) A = (47, 5684); B = (47, 5680) (c) A = (a, ); B = (a +, 6) (d) A = (a, b); B = (b, a) (e) A = (, 5 7 ); B = ( 8, 9 4 ) Calculez la pente de la drote passant par les ponts A et B dans chacun des cas suvants (a) A = (, ); B = (, 6) (b) A = (, 6); B = (, 4) (c) A = (, + ); B = (, ) (d) A = ( 4, 5 6 ); B = ( 7 9, 7 ) (e) A = (, ); B = (, ) Représenter graphquement les courbes d équaton (a) = (b) = + (c) = + (d) = (e) = 5 Détermnez une équaton de la drote passant par les ponts A et B dans chacun des cas suvants (a) A = (, 9); B = (, 8) (b) A = (a, ); B = (a +, 6) (c) A = (a, b); B = (b, a) (d) A = (, 5 7 ); B = ( 8, 9 4 ) Détermnez une équaton de la drote passant par le ponta et drgée par le vecteur u dans chacun des cas suvants (a) A = (, 9); (b) A = (a, ); (c) A = (a, b); u = (, 7) u = (a +, 6) u = (b, a) (d) A = (, 5 7 ); u = ( 5, 4 ) Dans chacun des cas suvants, donnez un pont et un vecteur drecteur de la drote d équaton : (a) = 4 (b) 5 + 8 = (c) = 5 (d) = 7 (e) =
0 Détermner les coordonnées du pont B pour que P sot le mleu du segment [AB] (a) A = (, 0), P = (0, ) (b) A = (, ), P = (, ) (c) A = (0, ), P = (, 0) (d) A = ( 4, 7 ), P = (, 7 6 ) (e) A = ( 5, 8 5 ), P = (, ) 8..9 Cercles et paraboles Détermnez une équaton du cercle de centre A et de raon r dans chacun des cas suvants : (a) A = (, ); r = (b) A = (, 6); r = (c) A = (, + ); r = (d) A = ( 4, 5 6 ); r = Détermnez une équaton du cercle tracé dans chacun des cas suvants : 0 0 Détermnez, dans chacun des cas suvants, le centre et le raon du cercle d équaton : (a) + + = 4 (b) + + 8 + 4 + = 0 (c) + 6 + 6 8 = 0 Détermnez, dans chacun des cas suvants, les coordonnées du sommet de la parabole d équaton : (a) = 4 + 7 (b) = + 8 5 (c) = + 4
8. Révson des fondamentau. 8..0 Transformatons Représenter l mage de la fgure par la refleon d ae 0 0 0 0 Représenter l mage de la fgure par la translaton de vecteur u u 0 0 u
u u 0 0 Détermner les coordonnées de l mage M du pont A par la refleon d ae dont une équaton est ndquée (a) A = (, ), : = + (b) A = (, ), : = (c) A = (, ), : = (d) A = ( 5 4, 9 4 ), : = (e) A = (, 5), : = 4 Détermner les coordonnées de l mage M du pont A par la translaton de vecteur u (a) A = (, ), (b) A = (, ), u = (, ) u = (4, ) (c) A = (, 5 ), u = (, 5 6 ) (d) A = ( 5 4, 8 ), u = (, ) (e) A = (, ), u = (, 5 6 ) 8. Nombres complees. Smplfez les epressons suvantes dans lesquelles désgne le nombre vérfant =. On pose z = +, z = + et z =. (a) z + z + z (b) z z + z z + z z (c) z z z (d) z + z + z (e) z + z + z z z z Calculer le module des nombres complees suvants (a) ( + )( + 5) ( + ) (b) (c) ( 5 + 4 5 ) (d) + + + (f) z z z z (g) z + z z + z (h) + + z z z
8. Nombres complees. (e) ( ) ( ) 7 Mettre les nombres complees suvants sous forme trgonométrque ( + ) (a) (f) (b) + + (c) ( ) (g) (d) (e) (h) ( ) () ( + ) 8 Smplfer les epressons suvantes (a) ( + ) 4 (b) ( ) 04 (c) ( )78 (d) ( + )5 ( ) 8 (e) ( 4 4 )45 () ( )( + )( + ) Smplfez les epressons suvantes dans lesquelles désgne le nombre vérfant =. (a) ( )( + )(5 4) (b) ( ) 6 ( ) 8 + + + (c) + 6 + + (d) 0 + + 74 + 47 (e) 4 7 8 9 Résoudre dans C les équatons suvantes (a) z + 4 = 0 (b) z z + 5 = 0 6 (f) z = (g) z = + (c) z + 4z + 5 = 0 (h) (z ) = (d) z + 8 = 0 () z = (e) z + z + = 0 () ( + )z = + 7 Décrre géométrquement l ensemble des ponts M d affe z tels que (a) Re(z) = (b) Im(z) = (c) z = (d) z + = z (e) z = Re(z) (f) Re(z) = Im(z) (g) Re(z) = z (h) z = z () z = z () z z =
4 8.4 Fonctons et représentatons graphques Détermnez le domane de défnton des epressons suvantes : (a) f () = + (b) f () = + (c) f () = + (d) f () = + 9 (e) f () = 8 (f) f () = 4 7 (g) f () = (h) f () = () f () = () f () = + + Parm les courbes c-dessous, lesquelles représentent une foncton et pourquo? 0 0 0 0 0 0 8.4. Image vs antécédent Détermner graphquement, dans chacun des cas suvants, les mages par la foncton f de, et 7 4
8.4 Fonctons et représentatons graphques 5 0 0 0 0 Détermner graphquement, dans chacun des cas suvants, le ou les antécédents par la foncton f de, 0 et 0 0 0 0 Détermnez dans chaque cas, le ou les antécédents de b par la foncton f défne par la formule ndquée (a) f () = +, b = 7 (b) f () = +, b = (c) f () = +, b = 4 (d) f () = +, b = (e) f () =, b = 0.5 On pose f () = ( + ) ( ) pour tout réel {0, }. Calculer (f) f () = +, b = 5 (g) f () = 5, b = (h) f () = + +, b = () f () = +, b = 4 () f () = +, b = 8
6 (a) f ( ) ( ) (b) f ( (c) f ) ( ) (d) f ( ) (e) f 8.4. Composton Dans chaque cas, donner une epresson de f (g()) (a) f () = +, g() = (b) f () =, g() = + (c) f () =, g() = ( + ) (d) f () = ( + ), g() = (e) f () = + + 5, g() = + Représentez graphquement les fonctons défnes par (a) f () = + (b) f () = (c) f () = + 4 (d) f () = 4 (e) f () = + (f) f () =, g() = + (g) f () =, g() = 4 (h) f () = 4, g() = () f () =, g() = ( + ) () f () = +, g() = + (f) f () = (g) f () = ( ) + (h) f () = () f () = () f () = 8.5 Lmtes et dérvaton 8.5. Lmtes Détermnez, lorsqu elles estent, les lmtes suvantes + h (a) lm h0 h h 4 (b) lm h h h (c) lm h0 + h h (d) lm h h0 h + h (e) lm h0 h + h (f) (g) h + lm h+ h + lm h+ h 5h + h 7 h 5h + 6 (h) lm h h 6h + 8 4h () () (k) lm h+ lm h lm h+ h h + h h + h h 8.5. Nombre dérvé Détermnez les lmtes lorsque h tend vers 0 des epressons suvantes
8.5 Lmtes et dérvaton 7 (a) ( h) 4 h (b) (c) (d) h h h h + h +h +h h (e) (h + ) h + h 8.5. Dérvée de polnômes (f) (g) (h) 9 + h 4 h (4h ) ( + h) 8 h ( 4 + h ) Donnez les fonctons dérvées des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = + 7 (b) f () = ( )( + ) (c) f () = ( + 7) ( ) (d) f () = ( + + ) (e) f () = ( ) 5 ( ) 4 Eprmez les epressons polnômales suvantes sous la forme a( + ) + b( + ) + c( + ) + d (a) + 5 + + (b) 7 + 4 (c) 4 + + 6 (d) + (e) + 0 8.5.4 Produts et quotents Donnez les fonctons dérvées des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = + (a) f () = + 4 5 (b) f () = (5 ) (b) f () = ( + ) 4 (c) f () = ( (c) f () = ) (d) f () = + + + (d) f () = + (e) f () = ( + ) (e) f () = + 8.5.5 Composton Donnez les fonctons dérvées des fonctons défnes par f () = u(v()) (a) u() =, v() = + (b) u() =, v() = +
8 (c) u() = +, v() = + (d) u() = +, v() = + (e) u() = +, v() = + 8.5.6 Equatons de tangente Détermner une équaton de la tangente à la courbe d équaton = f () au pont ( 0, f ( 0 )) donné (a) f () = 4 +, 0 = (b) f () = +, 0 = 4 (c) f () = + + +, 0 = (d) f () = + +, 0 = (e) f () = ( 7), 0 = 0 + 8.6 Calcul ntégral 8.6. Théorème fondamental du calcul ntégral Calculez les ntégrales suvantes (a) (b) (c) (d) (e) 0 8 4 5 d ( + )d ( + ) d ( + ) d ( + 5) 4 d (f) (g) (h) () () 4 + d 9 + d d ( + ) 4 d + d 8.6. Calcul Calculer l are du domane comprs entre l ae des abcsses et la courbe dans chacun des cas suvants 0 0
8.7 Trgonométre 9 = sn( π ) 0 = 0 Calculer l are de la lunule délmtée par les deu arcs de paraboles = ( ) + 0 = ( ) + 8.7 Trgonométre 8.7. Représentaton graphque Représenter graphquement les courbes d équaton (a) = sn (b) = + cos (c) = sn( π 4 ) (d) = tan (e) = sn (f) = sn() (g) = sn + cos (h) = tan () = sn () = cos 8.7. Calcul trgonométrque Valeurs remarquables (a) sn π (b) cos π (c) cos π (d) sn 5π 6 (e) cos π 4 Smplfez les epressons suvantes (a) sn( + π ) (b) cos( π ) (c) sn( π ) (d) cos( 7π ) (e) sn( + 5π ) cos( 7π ) Résoudre les équatons suvantes dans [0, π] (f) sn π 4 (g) cos π 6 (h) tan π 4 () tan π 6 () tan 7π sn + sn (f) cos + cos cos 4 cos (g) sn + sn 4 (h) cos( π 4 ) () tan( + π 4 ) () tan( 5π 6 )
0 (a) sn = (b) sn cos sn = 0 (c) cos = 0 (d) sn cos π = 4 + cos sn π (e) sn = (cos sn ) Etablr les relatons suvantes (a) tan = sn + cos (b) cos = tan + tan (c) cos() = cos (d) cos() = 4 cos cos (e) tan() = tan tan (f) sn + sn = 0. (g) sn + cos = 0 (h) sn() = () cos + sn + cos sn = () cos + sn = (f) sn = sn ( π 4 ) (g) cos 4 = 8 cos 4 + cos + 8 (h) sn 4 + cos 4 = ( + cos ) () 4(cos 6 + sn 6 ) = + cos () tan( π + sn 4 + ) = cos 8.7. Dérvaton et ntégraton Donner les epressons des dérvées des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = cos (f) f () = cos( ) + sn (b) f () = (cos ) (g) f () = sn(cos ) (c) f () = + cos (h) f () = sn (d) f () = sn sn + cos () f () = (e) f () = tan( ) sn cos () f () = sn( ) Détermner les mamum et mnmum des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = sn cos (b) f () = cos() + cos (c) f () = sn 0 cos + (d) f () = 0 cos 6 sn cos + sn (e) f () = cos + cos ( + π ) cos cos( + π ) Calculez les ntégrales suvantes en utlsant le théorème fondamental du cal cul ntégral (a) (b) (c) (d) (e) π 4 0 π 0 π 0 π 0 sn d cos sn d cos(π)d cos d sn (cos ) d (a) (b) (c) (d) (e) π π 6 π 0 π π π 6 π π 4 0 cos sn d cos ( + sn ) 4 d cos(5)d ( + tan ) tan d sn sn d
8.8 Eponentelle et logarthme 8.8 Eponentelle et logarthme 8.8. Fonctons eponentelle et logarthme Résoudre dans R les équatons suvantes (a) e = (b) e + e = 4 e (c) + e = (d) ln( + + ) = ( ) + e (e) ln = + e ln(e + e ) Résoudre dans R les néquatons suvantes (a) ln > 0 (b) e e (c) ln + ln( ) ln( + ) (d) (ln ) ln + > 0 (e) e + e 4 0 On pose ch = e + e, sh = e e relatons suvantes (a) (ch) (sh) = (b) (th) = (ch) (c) sh( + ) = shch + shch (d) ch( + ) = chch + shsh th + th (e) th( + ) = + thth (f) ln( + ) = (g) ln( ) + ln( + 6) = ln + ln 5 (h) ln ( +) = () ln( + + ) = () ln( 4) + ln( + ) = ln(5 + 4) ( ) (f) ln > 0 + ln (g) + ln < (h) ln( + + ) > () ln + ln < () ln( ) 0 et th = sh pour tout réel. Etablr les ch (f) sh + sh = sh( + )ch( ) (g) ch + ch = ch( + )ch( (h) ch ch = sh( + () ch() = (ch) () sh() = shch ) )sh( ) 8.8. Représentaton graphque Représenter graphquement les courbes d équaton (a) = ln( + ) (b) = e (c) = e (d) = + ln (e) = e (f) = e (g) = ln (h) = + ln () = e () = e + e 8.8. Dérvaton Détermner la dérvée des fonctons défnes par les formules suvantes
(a) f () = e (b) f () = e (c) f () = e (d) f () = + e (e) f () = + e (f) f () = e + e (g) f () = e (h) f () = e + e e e () f () = e e () f () = + e Détermner la dérvée des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = ln (b) f () = ln (c) f () = ln( + ) (d) f () = ln + ln (e) f () = ln + 8.8.4 Intégraton (f) f () = ln( + e ) (g) f () = ln( + + ) (h) f () = ln( + ) () f () = ln( + ) ( ) () f () = ln + Calculez les ntégrales suvantes en utlsant le théorème fondamental du cal cul ntégral (a) (b) (c) (d) (e) e e e 0 π 4 0 d ln d tan d e ln( + e )d (ln ) d (f) (g) (h) () () 0 0 (ln ) d + d e d d e d 8.9 Problèmes dvers 8.9. Décompostons Etablr les denttés suvantes ( + )( + ) ( )( + ) (a) Pour tout réel, ( + ) = ( + )( + )( + ) (b) Pour tout réel, ( + )( + ) = 4 (c) Pour tout réel {0, }, (d) Pour tout réel {0,, }, (e) Pour tout réel {0, }, ( + ) = ( )( + )( + ) 4 + ( + )( + ) = ( ( + ) = ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) Utlser les denttés précédentes pour smplfer les sommes suvantes )
8.9 Problèmes dvers (a) + + 4 + + 8 9 + 9 0 (b) + 4 + 4 5 + + 8 9 0 (c) (d) (e) + + 4 + + 8 9 + 4 + 4 5 + + 7 8 9 + 4 + 5 + + 8 0 8.9. Lmtes Détermnez les lmtes suvantes ln( + ) (a) lm 0 (b) lm 0 e (c) lm ln ln (d) lm (e) lm + e Détermnez les lmtes suvantes sn (a) lm 0 sn (b) lm 0 sn (c) lm π ( sn ) cos (d) lm sn 0 (ln ) 4 (e) lm + cos (f) lm 0 sn (g) lm + sn(π) (h) lm () lm + e ln( + e ) () lm ln(e ) ln 0 (f) lm 0 ln( + sn ) e (g) lm 0 sn( ) ln( + ) (h) lm 0 () lm () sn + e + lm ln( + + ) + 8.9. Contnuté Détermner le domane de contnuté des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = (b) f () = 5 6 (c) f () = (d) f () = ln( + ) (e) f () = ln(ln ) (f) f () = ln(ln ) (g) f () = ln(cos ) (h) f () = ln( + sn ) ( e ) () f () = ln () f () = sn Par quelle valeur dot on défnr la foncton f au pont 0 pour que celle-c sot contnue en 0?
4 (a) f () = sn, 0 = 0 (b) f () = cos, 0 = 0 (f) f () = ln +, 0 = (g) f () = ( + ) ln +, 0 = (c) f () = e, 0 = 0 (d) f () = ln( + (h) f () = e ), 0 = 0, 0 = 0 () f () = cos, 0 = 0 (e) f () = 8 4, 0 = () f () = ln(cos ), 0 = 0 Détermner a et b pour que les fonctons défnes c-dessous soent contnues s < s < f () = a + b s f () = 5 + 7 s > + a b s s > s < 4 f () = a s < + b + s 4 a+ f () = b s + + 7 s > + +4 s > 8.9.4 Théorème des valeurs ntermédares En utlsant le théorème des valeurs ntermédares, vérfer que l équaton ndquée admet une soluton dans l ntervalle I proposé (a) 4 + = 0, I = [0, ] (b) cos =, I = [0, π ] (c) + =, I = [0, ] (d) =, I = [0, ] e (e) 5 = +, I = R + Détermnez, dans chaque cas, l ntervalle mage par la foncton f de l ntervalle I (a) f () =, I = [, ] (b) f () = ln, I =]0, e] (c) f () = e, I = [, + [ (d) f () = sn + cos, I = [ π 6, π 4 (e) f () = + +, I = R 8.9.5 Dérvablté ] Détermner le domane de dérvablté des fonctons défnes par les formules suvantes (a) f () = ( ) (b) f () = ln + (f) f () = cos + cos (g) f () = ln (tan ) (h) f () = ln(ln ) e () f () = () f () = ln( sn ) (c) f () = (d) f () = (e) f () = ln Etuder, dans chacun des cas c-dessous, la dérvablté en 0 de la foncton f défne par la formule donnée
8.9 Problèmes dvers 5 { e ln s > 0 (a) f () = s = 0 { (b) f () = ln s > 0 0 s = 0 { ln( + ( ln ) (c) f () = ) s > 0 0 s = 0 { sn( (d) f () = ) s 0 0 s = 0 { (e) f () = e s 0 0 s = 0 { cos (f) f () = s 0 0 s = 0 8.9.6 Varatons Etuder les varatons des fonctons défnes par les formules c-dessous (a) f () = 9 (b) f () = ( )( 6) (c) f () = (d) f () = (e) f () = ( ) + (f) f () = (g) f () = ( + ) + 5 (h) f () = () f () = + Etuder les varatons des fonctons défnes par les formules c-dessous () f () = + + (a) f () = (f) f () = e (b) f () = + (g) f () = sn (c) f () = ln ln( + ) (d) f () = ln + (h) f () = (e) f () = e () f () = ln( + ) cos sn () f () = ( + cos ) Pour chaque relaton = f () c-dessous, eprmer en foncton de (a) = 8 (f) = (b) = ln (g) = ( ) (c) = ln (h) = + + (d) = () = e ln e (e) = ln( + () = ln(e + ) + + e ) 8.9.7 Concavté Défnton. Une foncton dérvable f est convee sur un ntervalle I lorsque f est crossante sur I. Une foncton dérvable f est concave sur un ntervalle I lorsque f est décrssante sur I. Pour chaque foncton f c-dessous, détermner les ntervalles sur lesquels f est convee et les ntervalles sur lesquels f est concave
6 (a) f () = (b) f () = + (c) f () = + (d) f () = + (e) f () = + (f) f () = e (g) f () = ln (h) f () = + () f () = ln () f () = e (k) f () = ln + ( ) ln( ) 8.9.8 Représentaton graphque Représenter, dans chaque cas, la régon du plan formée des ponts dont les coordonnées (, ) vérfent (a) > (b) < (c) (d) > (e) + > 8.9.9 Mamum et mnmum (f) > ln (g) e < (h) + () + () ln Etudez les mamum et mnmum des fonctons défnes par les formules suvantes sur l ntervalle I ndqué à chaque fos (a) f () = + +, I = R (f) f () = e, I = R (b) f () = + (g) f () = ln( + sn ), I = R, I = [, ] (h) f () = sn sn, I = [ π, π] (c) f () = ( ), I = [0, ] (d) f () = +, I = R (e) f () = + 7, I = [0, ] 8.9.0 Prmtves () f () = (ln ), I =]0, ] () f () = 4 + 4, I = R Détermner une prmtve pour chacune des fonctons défnes c-dessous (a) f () = 4 + 5 (f) f () = ln + (b) f () = ( + tan ) + + (g) f () = (c) f () = cos cos (h) f () = e + e (d) f () = e (e) f () = () f () = e + e + 8.9. Inégaltés Etablr les négaltés c-dessous (a) Pour tout enter naturel n et tout réel >, ( + ) n + n () f () = ln( + ) + +
8.0 Probabltés 7 (b) Pour tous réels et, + + (c) Pour tous réels postfs et, (d) Pour tout réel > 0, ln (e) Pour tout réel, e + (f) Pour tout réel, sn (g) Pour tout réel >, ln( + ) + (h) Pour tout réel >, + + + + () Pour tout réel, e + + () Pour tout enter naturel n N et tout réel > 0, ( + n) n e. (k) Pour tous réels et de ]0, [, ln + ( ) ln ( ) (l) Pour tout réel R + \{}, 0 ln (m) Pour tout réel R +, ( + cos ) > sn (n) Pour tout ]0, π [, cos < sn (o) Pour tout réel, + ln( + + ) + 8.0 Probabltés Soent A, B deu événements. On donne P(A) =, P(B) = 4 et P(A B) = 6. Calculer (a) P(A) (b) P(A B) (c) P(B A) (d) P(A B) (e) P(A B) Soent A, B, C tros événements. Etablr les relatons suvantes : (a) P(A B) + P((A\B) (B\A)) + P(A B) = (b) P(A B) + P(A) + P(A B) = (c) P(A B C)+ P(A)+ P(A B)+ P(A B C) = (d) P(A B) P(A)P(B) = P(A B) P(A)P(B) (e) P(A B) = P(B)P B (A) (f) P B (A)P C (B)P A (C) = P A (B)P B (C)P C (A) (g) P(A) P(B) = P A B(A) P A B (B) (h) P A(B) P(B) + P(A) P(A) = P B(A) P(A) + P(B) P(B) Soent A, B deu événements. On donne P(A) =, P(B) = 4 et P(A B) = 6. Calculer (a) la probablté qu au mons un des événements A ou B se produt, (b) la probablté qu un seul des événements A ou B se produt On lance tros dés classques à s faces. On note a, b et c les résultats obtenus et on consdère l équaton a + b + c = 0. Quelle est
8 (a) la probablté que les solutons soent réelles et dstnctes? (b) la probablté que la parabole d équaton = a + b + c ne rencontre pas l ae des abscsses? (c) la probablté que l ae des abscsses sot tangent à la parabole d équaton = a + b + c? Calculer l espérance et la varance de la varable aléatore X dans chacun des cas suvants (a) P(X = ) = 4, P(X = 0) =, P(X = ) = 4 (f) P(X = ) = (b) P(X = ) = 4, P(X = 0) =, P(X = 5) = 4 (c) P(X = 5) = 4, P(X = 0) =, P(X = ) = 4 (d) P(X = 5) = 0, P(X = 0) = 0.98, P(X = 4) = 0 (g) P(X = 0) = 5, P(X = ) = 5, P(X = ) = 5 (h) P(X = 0) = 4 7, P(X = ) = 7, P(X = ) = 7 () P(X = 0 ) = 0, P(X =.0) = 0.99 (e) P(X = 0) =, P(X = ) = On lance un dé honnête à s faces. Un oueur reçot euros s le dé montre la face, ou, euros s le dé montre la face 4 ou 5, et 6 euros s le dé montre la face 6. Sot X le gan du oueur. Calculer (a) l espérance E(X) (b) la varance V(X) On lance quatre pèces à Ple ou Face. On note X le nombre de fos que le côté Face est apparu. Calculer : (a) l espérance E(X) (b) la varance V(X) On lance deu fos de sute un dé classque à s faces. Quelle est la probablté d obtenr (a) un seul s? (b) deu nombres mpars? (c) des faces dont la somme est 8? (d) des faces qu dffèrent d une unté? (e) des faces dont le produt est un multple de? La durée en mnutes d une conversaton sut une lo eponentelle de paramètre 5. Calculer (a) la probablté que la conversaton dure plus de cnq mnutes, (b) la probablté que la conversaton dure entre cnq et s mnutes, (c) la probablté que la conversaton dure mons de tros mnutes, (d) la probablté que la conversaton dure mons de s mnutes sachant qu elle dure plus de tros mnutes, (e) la durée moenne de la conversaton.
8. Rasonnement par récurrence 9 8. Rasonnement par récurrence Observer les égaltés c-dessous pus conecturer une formule générale à démontrer par récurrence = 0 + + + 4 = + 8 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 7 0 + + + + 4 + 5 + 6 = 7 + 64 Observer les égaltés c-dessous pus conecturer une formule générale à démontrer par récurrence = 0 + + = 4 + + 5 = 9 + + 5 + 7 = 6 Observer les égaltés c-dessous pus conecturer une formule générale à démontrer par récurrence = 4 = ( + ) 4 + 9 = + + 4 + 9 6 = ( + + + 4) Observer les égaltés c-dessous pus conecturer une formule générale à démontrer par récurrence! =! +! = 5 6! +! + 4! = 4! +! + 4! + 4 5! = 9 0 Observer les égaltés c-dessous pus conecturer une formule générale à démontrer par récurrence! =! +! = 5! +! +! =! +! +! + 4 4! = 9 Démontrer par récurrence, les proprétés suvantes : () Pour tout n N, + + + + n = n(n+) () Pour tout n N, + + 5 + + (n ) = n
0 () Pour tout n N, + + + + n = n(n+)(n+) 6 (4) Pour tout n N, + + + + n = n (n+) 4 Démontrer par récurrence, les proprétés suvantes : () Pour tout n N, + + + (n ) n = (n )n(n+) () Pour tout n N, ( ( ) ( ) ( ) 4) 9 6 n = n+ n () Pour tout n N, + + + (n ) n = n n (4) Pour tout n N, a(a+b) + (a+b)(a+b) + (a+b)(a+b) + + (a+(n )b)(a+nb) = Démontrer par récurrence, les négaltés suvantes : () Pour tout n N, n > n () Pour tout enter n, n > + n n () Pour tout enter n, 5 (n ) 4 6 (n) n+ n a(a+nb)