Atilles-Guyae septembre 5 EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits Soit u etier aturel o ul. O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels par f (x) = x e x O ote C, la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal. O défiit, pour tout etier aturel o ul, I = f ( ) d x x. : Étude de la foctio f. La foctio f est défiie sur par f (x) = x e x O admet que f est dérivable sur et o ote f sa dérivée. a. Justifier que pour tout réel x, f (x) = x e x (l x). b. Étudier les variatios de la foctio f sur. c. Détermier la limite de f e. d. x Vérifier que pour tout réel x, f (x) = e x. E déduire la limite de f e +.. E utilisat u système de calcul formel, o trouve qu'ue primitive F de la foctio f est doée par : E déduire la valeur exacte de I. x x x F (x) = e 4 Étude de la suite (I ). Soit u etier aturel o ul. a. Iterpréter graphiquemet la quatité I. b. Émettre alors ue cojecture sur le ses de variatio et sur la limite évetuelle de la suite (I ). Expliciter la démarche qui ameé à cette cojecture.. a. Justifier que, pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f + (x) = e x f (x). b. E déduire, pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f + (x) f (x). c. Détermier alors le ses de variatio de la suite (I ). 3. Soit u etier aturel o ul. a. Justifier que pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f (x) e x b. E déduire u ecadremet de la suite (I ), puis sa limite. EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats Das u supermarché, o réalise ue étude sur la vete de bouteilles de jus de fruits sur ue période d u mois. 4 % des bouteilles vedues sot des bouteilles de jus d orage; 5 % des bouteilles de jus d orage vedues possèdet l appellatio «pur jus» Parmi les bouteilles qui e sot pas de jus d orage, la proportio des bouteilles de «pur jus» est otée x, où x est u réel de l itervalle [ ; ]. Par ailleurs, % des bouteilles de jus de fruits vedues possèdet l appellatio «pur jus». O prélève au hasard ue bouteille de jus de fruits passée e caisse. O défiit les évèemets suivats : : la bouteille prélevée est ue bouteille de jus d orage, J : la bouteille prélevée est ue bouteille de «pur jus».. Représeter cette situatio à l aide d u arbre podéré.. Détermier la valeur exacte de x. 3. Ue bouteille passée e caisse et prélevée au hasard est ue bouteille de «pur jus». Calculer la probabilité que ce soit ue bouteille de jus d orage. Afi d avoir ue meilleure coaissace de sa clietèle, le directeur du supermarché fait ue étude sur u lot des 5 derières bouteilles de jus de fruits vedues. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de bouteilles de «pur jus» das ce lot. O admettra que le stock de bouteilles présetes das le supermarché est suffisammet importat pour que le choix de ces 5 bouteilles puisse être assimilé à u tirage au sort avec remise.. Détermier la loi suivie par la variable aléatoire X. O e doera les paramètres.. Détermier la probabilité pour qu'au mois 75 bouteilles de cet échatillo de 5 bouteilles soiet de «pur jus». O arrodira le résultat au millième.
Partie C U fourisseur assure que 9 % des bouteilles de sa productio de pur jus d orage cotieet mois de % de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève u échatillo de 9 bouteilles afi de vérifier cette affirmatio. Sur cet échatillo, 766 bouteilles présetet mois de % de pulpe.. Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique de la proportio de bouteilles coteat mois de % de pulpe au seuil de 95%.. Que peser de l affirmatio du fourisseur? EXERCICE 3 4 poits Commu à tous les cadidats Les trois questios sot idépedates. Toute répose doit être justifiée.. O défiit ue suite (u ) de réels strictemet positifs par : u = et pour tout etier aturel, l(u + ) = l (u ). La suite (u ) est-elle géométrique?. Soit (v ) ue suite à termes strictemet positifs. O défiit la suite (w ) par, pour tout etier aturel, w = l(v ). La propositio (P) suivate est-elle vraie ou fausse? (P) si la suite (v ) est majorée alors la suite (w ) est majorée. 3. La suite (z ) de ombres complexes est défiie par : 6 z = + 3 i et, pour tout etier aturel par z + = i z 4 4 Pour quelles valeurs de, z est-il iférieur ou égal à? EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous. O se place das le repère orthoormé ( A ; AB, AD, AE ).. a. x s Motrer que la droite (DB) admet pour représetatio paramétrique y s z, où s décrit l esemble des ombres réels. b. Motrer que les poits de la droite (AG) sot les poits de coordoées (t ; t ; t) où t est u réel.. Soit M u poit quelcoque de la droite (DB) et N u poit quelcoque de la droite (AG). Démotrer que la droite (MN) est perpediculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulemet si M et N ot pour coordoées respectives ; ; et ; ; 3 3 3. 3. Soit s et t deux réels quelcoques. O ote M(s ; s ; ) u poit de la droite (DR) et N( t ; t ; t) u poit de la droite (AG). a. Motrer que MN = 3 t s 3 6 b. E déduire la positio des poits M et N pour laquelle la distace MN est miimale. Que peut-o dire de la droite (MN) das ce cas?
EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité O cosidère l équatio 5 x 6 y = où x et y sot des ombres etiers relatifs.. Justifier, e éoçat u théorème du cours, que cette équatio admet au mois u couple solutio.. a. Doer u couple solutio (x ; y ) de cette équatio. b. Détermier l esemble des couples solutios de cette équatio. O fait correspodre à chaque lettre de l alphabet u ombre etier comme l idique le tableau ci-dessous: A B C D E P G H I J K L M 3 4 5 6 7 8 9 N O P Q R S T U y W X Y Z 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 Afi de coder ue lettre de l alphabet, correspodat à u etier x compris etre et 5, o défiit ue foctio de codage par f (x) = y, où y est le reste de la divisio euclidiee de 5 x + par 6. La lettre de l alphabet correspodat à l etier x est aisi codée par la lettre correspodat à l etier y.. Coder la lettre N.. E utilisat la partie A, détermier l etier a tel que a 5 et 5 a [6]. 3. Démotrer que si la lettre correspodat à u etier x est codée par ue lettre correspodat à u etier y, alors x est le reste de la divisio euclidiee de a y + par 6. 4. Détermier alors la lettre qui est codée par la lettre N. 5. O applique fois de suite la foctio de codage f à u ombre x correspodat à ue certaie lettre. Quelle lettre obtieto? CORRECTION EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits : Étude de la foctio f u( x) x u '( x) x. a. Soit doc f (x) = x e x + x ( e x ) x x v( x) e v '( x) e f (x) = x e x x ( x e x ) doc pour tout réel x, f (x) = x e x (l x). b. La foctio expoetielle est strictemet positive sur doc f (x) a le même sige que x ( x) L expressio du secod degré x ( x) = x + x s aule e et doc : x + f (x) + + e f c. f (x) = x e x = (x e x ) or lim x e x = + doc lim x d. f (x) = (x e x ) or x e x x = x doc pour tout réel x, f e x (x) = e x. x e x lim doc lim x x x e x doc lim x f (x) =. I = F () F () = e 4 4 = 5 e 4 4 x e x = doc lim x f (x) = + Étude de la suite (I ). a. La foctio f est cotiue positive sur [ ; ] doc I mesure l aire du domaie pla limité par la courbe de f, l axe des abscisses et les droites d équatio x = et x = b. Soit et deux etiers aturels, < alors pour tout x de [ ; ], x x doc e x e x doc f (x) f (x) doc l aire I est supérieure à l aire I doc la suite (I ) est décroissate.. a. Pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f + (x) = x e ( + ) x = x e x e x f + (x) = e x f (x). b. Pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f + (x) = e x f (x). or x doc < e x, la foctio f état positive sur [ ; ] alors f + (x) f (x). c. Les foctios f + et f sot défiies cotiues sur [ ; ] et f + (x) f (x) doc I + I La suite (I ) est décroissate.
3. a. Pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f (x) = x e x x et e x > doc x e x e x doc f (x) e x b. Pour tout etier aturel o ul et pour tout réel x apparteat à [ ; ], f (x) e x doc I x x e e d x e doc I lim e = et lim doc e e lim doc d après le théorème des gedarmes, lim I e x d x EXERCICE 5 poits Commu à tous les cadidats.. % des bouteilles de jus de fruits vedues possèdet l appellatio «pur jus». p(j) =, =,4,5 +,6 x doc,6 x =, soit x = 6 3. p J () = p( J R ), 4, 5 p( J ),. O a ue successio de 5 expérieces aléatoires idetiques et idépedates, chacue d elles a deux issues : la bouteille est «pur jus» (p =,) la bouteille est pas «pur jus» (q = p =,8) doc la variable aléatoire X qui doe le ombre de bouteilles «pur jus» parmi ces 5 bouteilles suit ue loi biomiale de paramètres (5 ;,).. A la calculette : p(x 75) = P(X 74) =,9984 Partie C. = 9, p =, doc I =,, 98,, 98,9,96 ;,9,96 9 9 [,884 ;,997]. Das l échatillo, il y a 766 bouteilles présetat mois de % de pulpe, doc la fréquece de bouteilles présetat mois de % de pulpe est f = 766,85, f I doc l affirmatio du fourisseur est fausse 9 EXERCICE 3 4 poits Commu à tous les cadidats u. l(u + ) = l (u ) = l (u ) l e = l doc u + = e e u La suite (u ) est géométrique de raiso e.. Pour tout etier, la suite la suite (w ) est pas majorée. est à termes strictemet positifs et majorée par or w = + l ( + ) et lim w = +,
3. 6 i doc z + = 4 4 ( z ) est ue suite géométrique de raiso z 3 l l( 3 ) z, de premier terme z = 3 doc z = 3 l ( 3 ) l 37 3. EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité x s. a. Le poit D a pour coordoées ( ; ; ) et B ( ; ; ). Le poit de la droite Δ de représetatio paramétrique y s, de z paramètre s = a pour coordoées ( ; ; ) doc est le poit D. Le poit de la droite Δ de paramètre s = a pour coordoées ( ; ; ). doc est le poit B. B D doc la droite Δ est la droite (DB). b. Le poit G a pour coordoées ( ; ; ) et A ( ; ; ) doc AG a pour coordoées ( ; ; ). x t La droite (AG) est l esemble des poits M (x ; y ; z) tels que AM t AG soit tels que y t où t est u réel. z t Les poits de la droite (AG) sot les poits de coordoées (t ; t ; t) où t est u réel.. La droite (MN) est perpediculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulemet si MN. DB et MN. AG t s DB et MN t s et AG t MN. DB et MN. AG (t s) + ( ) (t + s ) + t = et (t s) + (t + s ) + t = s + = et 3 t = t et s. 3 la droite (MN) est perpediculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulemet si M et N ot pour coordoées respectives ; ; et ; ; 3 3 3. 3. Soit s et t deux réels quelcoques. O ote M(s ; s ; ) u poit de la droite (DR) et N( t ; t ; t) u poit de la droite (AG). a. t s MN t s doc MN = (t s) + (t + s ) + t = t t s + s + t + s + t + t s s + t t MN = 3 t t + s s + or 3 t s = 3 t t s s 3 6 3 9 4 6 3 t s = 3 t t s s 3 6 3 6 3 t s = 3 t t + s s + doc MN = 3 t s 3 6 3 6 b. 3 t s doc MN 3 6 La distace MN est miimale si 3 t s soit t et s 3 3 M et N ot pour coordoées respectives ; ; et ; ; 3 3 3. La droite (MN) est la perpediculaire commue aux deux droites (AG) et (BD). doc pour t et s. 3
EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité. Les deux ombres 5 et 6 sot premiers etre eux doc d après le théorème de Bézout, l équatio 5 x 6 y = où x et y sot des ombres etiers relatifs, admet au mois u couple solutio.. a. 6 = 5 doc 5 ( ) 6 ( ) =, le couple ( ; ) est solutio de cette équatio. b. Détermier l esemble des couples solutios de cette équatio. 5 x 6 y doc par différece terme à terme : 5 (x + ) 6 (y + ) = 5 6 5 (x + ) = 6 (y + ) doc 5 divise 6 (y + ) or 5 et 6 sot premiers etre eux doc 5 divise y + Il existe u etier relatif k tel que y + = 5 k E remplaçat das 5 (x + ) = 6 (y + ) alors 5 (x + ) = 6 5 k doc x + = 6 k Si (x ; y) est solutio de 5 x 6 y = alors, il existe u etier relatif k tel que x = 6 k et y = 5 k Vérificatio : Si x = 6 k et y = 5 k alors 5 x 6 y = 5 (6 k ) 6 (5 k ) = 5 + 6 = (6 k ; 5 k ) est solutio de 5 x 6 y =. A N est associé x = 3, 5 x + = 5 3 + = 665 = 6 5 + 5 doc y = 5, la lettre N est codée par P. 5 a [6] il existe u etier b tel que 5 a = 6 b + il existe u etier b tel que 5 a 6 b = a = 6 k (k ) d après la questio. b. de la partie A. a 5 doc 6 k 6 soit 6 a = 6 = 5 k, k est u etier relatif doc k = 3. Si la lettre correspodat à u etier x est codée par ue lettre correspodat à u etier y, alors y 5 x + [6] 5 x y [6] doc 5 a x a (y ) [6] or 5 a [6] doc x a (y ) [6] a = 5 doc x 5 a 5 [6] or 5 = 5 doc 5 [6] doc x 5 y + [6] x 5 et x 5 y + [6] doc x est le reste de la divisio euclidiee de 5 y + par 6. 4. A N est associé y = 3, doc x 5 3 + [6] or 5 3 + = 6 + 5 doc x 5 [6] N est décodé par P. 5. O applique fois de suite la foctio de codage f à u ombre x correspodat à ue certaie lettre. Quelle lettre obtieto? Soit x le ombre correspodat à la lettre choisie Ω. Elle se code e ue lettre Ω correspodat au ombre x, reste de la divisio de 5 x + par 6, doc x 5 x + [6]. E codat Ω, o obtiet la lettre Ω correspodat au reste x de la divisio de 5 x + par 6 doc x 5 x + [6]. x 5 x + [6] et x 5 x + [6] doc e remplaçat : x 5 (5 x + ) + [6] x 6 x + 4 [6] or 6 = 6 + doc 6 [6] et doc 6 x x [6] 4 = 6 4 doc 4 [6] doc x 6 x + 4 [6] x x [6] x et x sot tous les deux des restes das la divisio par 6 doc compris etre et 5, x = x. E appliquat deux fois la foctio de codage f à u ombre correspodat à ue certaie lettre, o retrouve ce ombre : f (f (x)) = x. Ce sera ecore vrai si o applique u ombre pair de fois la foctio de codage. Doc si o applique fois de suite la foctio de codage f à u ombre correspodat à ue certaie lettre, o obtiet la lettre du départ.