D E V O I R S U R V E I L L E MATIERE : MATHEMATIQUES CLASSE de : SALLE : PROFESSEUR : DATE : HEURE Début : HEURE fi : MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON Rappel : Tous les prêts, échages et sorties de documets sot strictemet iterdits durat les devoirs, tout élève doit prévoir le matériel dot il a besoi Compéteces : C C C6 EXERCICE N ( poits) Cet eercice est u QCM qui comporte questios, umérotées de à 4, idépedates les ues des autres À chaque questio, ue seule des trois réposes otée a, b ou c est eacte O demade au cadidat pour chaque questio, d idiquer directemet sur la feuille d éocé la boe répose e etourat la lettre correspodate Aucue justificatio est demadée Ue répose eacte rapporte poit Chaque répose fausse elève poit Ue absece de répose est comptée 0 poit Si le total est égatif, la ote est rameée à 0 / f défiie sur ] ; [ alors : a) 4 9 f ' b) 4 f ' c) f ' 8 9 / La courbe représetative C d ue foctio f passe par A ( ; 4 ) La tagete à C e A passe par le poit B ( ; 6 ) a) f ' b) f ' c) f ' u la suite arithmétique dot o coait les termes u et u 7 8 O pose Su0 u u u0 a) S 0 b) S 0 c) S / Soit 4/ Soit u la suite défiie par : u 4u et 0 0 u La suite u est a) croissate b) décroissate c) o e peut pas coclure u la suite défiie par : u u et 0 v par : u a) géométrique b) arithmétique c) i arithmétique, i géométrique / Soit u O défiit la suite v, avec La suite v est : EXERCICE N (, poits) 6 Soit f la foctio défiie sur \ { } par : f 0 Etudier les variatios de la foctio f sur so domaie U idustriel veut réaliser u lecteur MP dot l'écra ait ue aire de 6 cm² et dot l'aire globale soit la plus petite possible O ote et les dimesios du lecteur Par ailleurs, l'idustriel souhaite cm d'espacemet etre l'écra et les bords latérau du lecteur, aisi qu'etre l'écra et le bord supérieur Il désire de plus, cm d'espacemet etre l'écra et le bord iférieur ( figure ci-cotre, qui 'est pas à l'échelle ) écra,
/ A quel itervalle appartiet? / Motrer que : 6 6 / E déduire que l'aire totale du lecteur MP est égale à f où f est la foctio défiie das la partie A 4/ Quelles doivet être les dimesios du lecteur pour que l'aire globale soit la plus petite possible? Obtiet-o des dimesios cohéretes das la pratique? EXERCICE N ( 9, poits) Les parties suivates peuvet être traitées de faço idépedate O doe ci-cotre la courbe C représetative d'ue foctio f sur [, ] Détermier parmi les trois courbes doées ci-après (,, ) celle qui peut représeter la dérivée de f Justifier la répose C 0 0 - - 0 0 0 0 - - - - - - - - 0 Soit f la foctio défiie sur [, ] par : f ab 9 das u repère orthoormé / Eprimer ', avec a et b réels o uls O ote C sa courbe représetative f e foctio de a, b et ( L epressio e sera pas écessairemet simplifiée! ) / O souhaite détermier les réels a et b tels que C admet e A ( 0, ) ue tagete parallèle à la droite d'équatio : a) Doer f 0 et ' 0 f b) E déduire les valeurs des réels a et b Partie C Soit f la foctio défiie sur [, ] par : f 7 9 O ote C sa courbe représetative das u repère orthoormé / Motrer que f' 7 9, pour tout réel de ], [ 9 / E déduire les variatios de f sur [, ] / Soit la droite D d'équatio 7 a) Motrer que pour tout de [, ], o a : f 7 b) Etudier la positio relative de C et de D 78 9
EXERCICE N / CORRECTION f ; La foctio f est dérivable sur ] ; [ et o a : 6 4 ' / La tagete à C e A(- ;4) passe par le poit B ( ; 6 ), doc ' f ; Répose b B A 6 4 0 f ' ; Répose a / Soit B A f est le coefficiet directeur de la droite ( AB ) u la suite arithmétique dot o coait les termes u et u 8, doc u u r, soit 8 r et doc r Das ce cas, u u r, doc u 0 = = 0 7 7 u0 u0 u0 0r 4 Alors, Su0 u u u0 ; Répose c u la suite défiie par : u 4u et u 0 Motros que la suite u est décroissate ( et positive ), à savoir : 0 < u u, 0 ** Motros que l ecadremet est vrai pour 0 : 4/ Soit u u 4 6 6, doc 0 < u < u 0 4 0, ** Supposos que l ecadremet soit vrai au rag Motros qu il reste vrai au rag : D après HR, o a : 0 < u u, doc 0 4u 4u, puis 4u 4u et 0 4u 4u car la foctio racie carrée est croissate sur [, [ O a doc, 0 < u + < u + ** D après le raisoemet par récurrece, 0 < u u, 0 La suite u est décroissate ; Répose b / Soit u la suite défiie par : u u et u 0 O défiit la suite Calcul : v u u u 0 u v La suite v par : v u, avec N v est géométrique de raiso q ; Répose a EXERCICE N Soit f la foctio défiie sur R \ { } par : et o a : f ( ) = (+0)( ) (6 +0) ( )² Calcul : 44 40 84 Doc 6 0 0 admet deu solutios qui sot : = 8 6 Tableau de siges : = 4( 6) 4 6 f La foctio f est ue foctio ratioelle doc dérivable sur R \ { } 0 = ² +0 0 6 0 = 6² 0 ( )² ( )² = 6 ~ 06 et = +8 6 = 4(+ 6) 4 6 + 6 6² 0 + 0 0 + ( )² + + 0 + + f () + 0 0 + La foctio f est croissate sur ] ; 6 ] et sur [ + 6 ; + [ La foctio f est décroissate sur [ 6 ; [ et sur ] ; + 6 ] = + 6 ~,6 +
/ L'idustriel souhaite cm d'espacemet etre l'écra et les bords latérau du lecteur, doc > Doc, ], [ Remarque : si, l'écra 'eiste pas!! / L'écra doit avoir ue aire de 6 cm², doc ()(-6)=6 soit -6 = 6 6 soit = 6+ / L'aire totale du lecteur MP est égale à : = ( 6 + 6 6 6+6 ) = ( ) = ( 6+0 ) = 6²+0 4/ E e travaillat que sur ], [, o retiet de la partie A que la foctio f est décroissate sur ] ; + 6 ] et la foctio f est croissate sur [ + 6 O e déduit que = 6 + 6 + 6 ; + [ Elle admet doc u miimum e + 6 ~, 6cm = 6 = 48 = 4 = 4 6 = 4 6 ~9,8 cm + 6 6 6 6 Notre lecteur a ue forme bie " allogée ", pas très pratique, i esthétique!! EXERCICE N La foctio f est croissate sur [, ] et décroissate sur [, ] doc f ' est positive sur [, ] et égative sur [, ] Seule est au dessus de l'ae des abscisses sur [, ] et e dessous de l'ae des abscisses sur [, ] La courbe possible est Soit f la foctio défiie sur [, ] par : f ab 9, avec a et b réels o uls / La foctio f est dérivable sur ], [ et o a : f () = a 9 ² + (a + b) = a 9 ² + (a + b) 9 9 ² / a) C passe par A, doc f 0 et C admet e A ue tagete parallèle à d'équatio :, doc f (0)= b) f 0 doe : 0 9 0 b b doc b 7 a 0, doc a 9 0 f ' 0 doe : 9 0 0 7 a Partie C Soit f la foctio défiie sur [, ] par : f 7 9 / La foctio f est dérivable sur ], [ et o a : f () = 9 ² + ( + 7) 9 = 9 ² + ( + 7) = ( 9 ) 7 9 9 ² = 7+9 9 ² 7 / Calcul : 49 7, doc 7 9 0 admet deu solutios qui sot : et 4 Tableau de siges : - 7 + 9 + 0 9 ² 0 + + f () + 0 7 9 4 La foctio f est croissate sur [, ] et décroissate sur [, ]
Tableau de variatios : - f () + 0 6 f() 0 0 / Soit la droite D d'équatio 7 a)f() ( + 7) = ( + 7) 9 ( + 7) = ( + 7)( 9 ) 9 7 9 b) 8 0 8 ou Tableau de siges : - - + 7 + + + 8 ² 0 + 0 + 9 ² + + + f() ( + 7) 0 + 0 C est au dessus de D sur 7 9 9 (+7)(8 ) + 9 ² 9, et e dessous de D sur,,