5 Dans chacun des cas suivants, dire si la suite(u n )

ANALYSE Récurrece et suites Coaissaces écessaires à ce chapitre Calculer les termes d ue suite Coaître les propriétés des suites arithmétiques et des suites géométriques Auto-évaluatio Soit la suite umérique (u ) défiie par récurrece par u 0 = 2 et u = 2u pour tout. ) Calculer u, u 2 et u. 2) Exprimer u e foctio de u pour tout N. 2 Soit la suite umérique (v ) défiie par récurrece par v 0 = et v = v 4 pour tout 0. ) Calculer v, v 2 et v. 2) Exprimer v e foctio de v pour tout N. Doer le terme gééral de : ) la suite arithmétique (x ) de premier terme x 0 = 4 et de raiso 2 ; 2) la suite géométrique (y ) de premier terme y = 2 et de raiso. 4 (u ) et (v ) sot deux suites arithmétiques. ) a) Que vaut u 96 sachat que u 0 = et que la raiso de (u ) est 4? b) À partir de quel rag a-t-o u > 00? 2) a) Quelle est la raiso de la suite (v ) sachat que v = 6 et v 8 = 5? b) E déduire v 000. Étudier le ses de variatio d ue suite Calculer ue somme de termes d ue suite arithmétique ou géométrique Des ressources umériques pour préparer le chapitre sur mauel.sesamath.et @ 5 Das chacu des cas suivats, dire si la suite(u ) est géométrique. ) u = 2 pour tout N 2) u = 54 pour tout N ) u = 2 pour tout N 4) u 0 = et u = 7u pour tout N 6 Calculer les sommes suivates : ) 24 4950 2) 927 0 ) 4) k=0 k=0 5 k (7k 2) 7 Étudier le ses de variatio de la suite (u ) défiie pour tout N par : ) u = 5 4 4) u = 2 2) u = 5 2 4 5) u = ( ) ) u = u et u 0 = 8 Écrire u et u e foctio de pour la suite (u ) défiie pour tout N par : ) u = 5 2) u = ) u = 9 Voir solutios p. 49 9

Activités d approche DÉBAT Domios, quad l u tombe... Catalia et Farid ot chacu disposé des domios e ragée, respectivemet e bleu et e vert, comme ci-cotre (e vue de côté). Les deux affirmet «si je fais tomber le premier domio, tous les autres tomberot». Discuter cette affirmatio das chacu des cas. ACTIVITÉ 2 Dépassera, dépassera pas? INFO CALC Hugo et Léa aimet bie se défier sur des petits jeux : Hugo demade à Léa de choisir u ombre etre 000 et 2 000 et Léa choisit le ombre 200. Hugo lui dit : Tu preds sa moitié puis tu lui ajoutes 5 60. Tu repreds la moitié du résultat obteu puis tu ajoutes de ouveau 5 60. Tu peux cotiuer aisi autat de fois que tu veux, je suis sûr que tu e dépasseras jamais 000! Léa commece ses calculs. Après quelques étapes, elle dit : «C est étrage. Quad je vois les premiers ombres que j obties, j imagie que je vais dépasser 000. Je e te crois pas!». ) a) À l aide d u tableur ou de la calculatrice, détermier les premiers ombres obteus par Léa après quelques étapes. b) Que peut-o peser de l affirmatio d Hugo? c) Le tableur permet-il d affirmer qu elle est toujours vraie, quel que soit le ombre d étapes que fera Léa? O modélise la situatio à l aide de la suite (u ) doat le ombre obteu après étapes, de sorte que u 0 = 200. 2) a) Exprimer u e foctio de u. b) Pour justifier correctemet l affirmatio d Hugo, il faut procéder de «proche e proche» : o dit que l o fait u raisoemet par récurrece. i) Traduire l affirmatio de Hugo par ue relatio sur u. ii) L affirmatio d Hugo est-elle vraie pour = 0? O dit que la propriété est iitialisée. iii) Soit u etier aturel. Supposos que u 000. Motrer qu alors le terme suivat u est lui aussi iférieur à 000. O viet de motrer que la propriété est héréditaire, c est-à-dire que si elle est vraie à u rag alors elle est égalemet vraie au rag suivat (elle se trasmet au rag suivat). iv) Sas calcul, justifier que u 000 puis u 2 000 puis u 000, etc. Le pricipe de récurrece permet d affirmer que si ue propriété est iitialisée et héréditaire alors cette propriété est vraie pour tout à partir du rag de l iitialisatio. Comme c est le cas ici (à partir de = 0), o peut affirmer que : u 000 pour tout 0. ) La propriété reste-t-elle vraie si Léa choisit 600 comme valeur de départ? 4) Supposos qu o e tiee plus compte des cotraites du premier ombre et qu o choisisse 5 000 comme ombre de départ. La propriété reste-t-elle vraie das ce cas? 0 Chapitre A. Récurrece et suites

Activités d approche ACTIVITÉ Vers l ifii... INFO ALGO O cosidère les suites (x ),(y ) et(z ) défiies pour tout N par x = 2, y = 4 2 et z = ( ). ) a) Tabuler ces trois suites à l aide d u tableur ou d ue calculatrice : A B C D X Y Z 2 0 0 b) Commet semblet se comporter ces suites lorsque ted vers? 2) O cosidère les trois algorithmes ci-dessous. Programme. Liste des variables utilisées 2. : etier aturel. A, x : réels 4. Etrées 5. Saisir A 6. Affecter à la lll valeur 0 7. Affecter à x la lll valeur 0 8. Traitemet 9. Tat que x A faire 0. Affecter à la llllll valeur. Affecter à x la llllll valeur 2 2. Fi tat que. Sortie 4. Afficher Programme 2. Liste des variables utilisées 2. : etier aturel. A, y : réels 4. Etrées 5. Saisir A 6. Affecter à la lll valeur 0 7. Affecter à y la lll valeur 8. Traitemet 9. Tat que y A faire 0. Affecter à la llllll valeur. Affecter à y la llllll valeur 4 2 2. Fi tat que. Sortie 4. Afficher Programme. Liste des variables utilisées 2. : etier aturel. A, z : réels 4. Etrées 5. Saisir A 6. Affecter à la lll valeur 0 7. Affecter à z la lll valeur 8. Traitemet 9. Tat que z A faire 0. Affecter à la llllll valeur. Affecter à z la llllll valeur ( ) 2. Fi tat que. Sortie 4. Afficher a) Pour A = 0, dire pour chacu des programmes s il s arrête ou o. Si oui, doer so affichage à l aide de la questio a, si o, justifier qu il e s arrête pas. b) Même questio pour A = 0 000. ) Laquelle des défiitios ci-dessous est correcte? O dit qu ue suite (u ) a pour ite quad ted vers lorsque, quel que soit le réel A, o a u > A à partir d u certai rag. O dit qu ue suite (u ) a pour ite quad ted vers lorsque, quel que soit le réel A, o a u > A pour u certai rag. «quel que soit le réel A» doit se compredre «quel que soit A, aussi grad que l o veut». 4) E s ispirat de la questio précédete, proposer ue défiitio de u =. Chapitre A. Récurrece et suites

Activités d approche ACTIVITÉ 4 Covergece vers 2 INFO ) Tabuler la suite(u ) défiie pour tout N par u = 2 avec le tableur. 2) a) Doer u rag à partir duquel il semble que l écart etre le ombre réel 2 et les termes de la suite soit strictemet iférieur à 0,0. b) Même questio avec 0,000 0. ) a) Soit r > 0. Motrer que u ]2 r ; 2r[ pour tout etier supérieur à r. b) Que viet-o de motrer? ACTIVITÉ 5 Ue suite qui a vraimet aucue ite O cosidère la suite(u ) défiie par u = ( ) pour tout N. ) Représeter graphiquemet les 0 premiers termes de cette suite das u repère. 2) Quelle cojecture peut-o faire sur la ite évetuelle de cette suite? ) Nous allos motrer que (u ) e diverge pas vers, e diverge pas vers et e coverge vers aucu réel. a) Trouver u ombre A tel que u A pour tout N. Que viet-o de motrer? b) Motrer de même que(u ) e diverge pas vers. c) Das cette questio, o va motrer que(u ) e coverge vers aucu réel l 0. Soit doc l u réel tel quel 0. ] [ i) Placer l sur l axe des ordoées et y matérialiser l itervalle I = ; (e rouge). 2 ii) Justifier que l o e peut pas trouver u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das I. O viet de motrer que(u ) e coverge vers aucu réel égatif. d) Soit l u réel tel quel > 0. i) Placerl sur l axe des ordoées et y matérialiser l itervalle I = ] 2 ; [ (e bleu). ii) Justifier que l o e peut pas trouver u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das I. iii) Que peut-o e déduire e terme de ite de (u )? 4) Coclure. DÉBAT 6 E pleie idétermiatio Soit (u ) et(v ) deux suites. Dire lesquelles de ces propositios sot fausses. Doer u cotre-exemple pour chacue de celles-ci. Propositio : Si u = et v = alors u v =. Propositio 2 : Si u = 0 et v = alors u v = 0. Propositio : Si u = et v = alors u v = 0. Propositio 4 : Si u = et v u = alors =. v Voir exercice 6 page 2 pour la (ou les) démostratio(s) de la (ou des) propositio(s) vraie(s). 2 Chapitre A. Récurrece et suites

Activités d approche ACTIVITÉ 7 Gedarmes et comparaiso Partie A : Théorème des gedarmes O cosidère la suite (a ) défiie pour tout par a détermier la ite. = si() 2 dot o souhaite ) Peut-o détermier a à l aide des théorèmes d opératios et des suites de référece? 2) Motrer que 2 a 2 pour tout N. ) Vers u théorème a) Das u repère, placer u réellsur l axe(oy) et tracer la droite d équatio y = l. b) Représeter graphiquemet deux suites (u ) et (w ) qui coverget vers l et telles que que u w pour tout N. c) Représeter graphiquemet ue suite(v ) telle que u v w pour tout N. d) Que peut-o peser de la ite évetuelle de la suite(v )? 4) E admettat la propriété observée à la questio d, détermier a. Partie B : Théorème de comparaiso O cosidère la suite(b ) défiie pour tout par b = si() 2. ) Justifier que b pour tout. 2 2) Calculer. Que peut-o alors peser de 2 b? ) Expliquer la différece avec la méthode de la partie A. DÉBAT 8 À la suite de quoi? Das u exercice sur les suites, Tom est pris d u doute et demade à sa professeure : «Madame, si ue suite est strictemet croissate alors elle ted vers?». Sa professeure représete au tableau ue suite de la maière suivate : 0 Tom lui demade : «Quelle est l expressio de cette suite?». La professeure lui répod : «u = 2 pour». ) Justifier que la suite doée par la professeure est u cotre-exemple de l affirmatio de Tom. 2) Parmi les quatre affirmatios ci-dessous, ue seule est vraie. Laquelle? Pour éier les trois autres, o doera u cotre-exemple. A : «Si ue suite est majorée alors elle coverge» ; B : «Si ue suite est croissate et o majorée alors elle ted vers» ; C : «Si ue suite ted vers alors elle est croissate» ; D : «Si ue suite est pas majorée alors elle ted vers». Chapitre A. Récurrece et suites

Das tout ce chapitre, les suites cosidérées sot des suites umériques réelles.. Démotrer par récurrece MÉTHODE Démotrer par récurrece ue propriété Ex. 6 p. 26 La démostratio par récurrece est u type de démostratio utilisé pour démotrer qu ue propriété est vraie pour des etiers positifs à partir d u rag doé 0. Pour démotrer par récurrece qu ue propriété est vraie pour tout etier positif 0, o procède par étapes : O éoce la propriété à démotrer. Iitialisatio : o vérifie que la propriété est vraie pour = 0. Hérédité : o vérifie que si l o suppose que la propriété est vraie à u rag 0 (c est ce que l o appelle l hypothèse de récurrece) alors la propriété est vraie au rag (le rag suivat ). Coclusio : la propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire ; doc par récurrece elle est vraie pour tout 0. Exercice d applicatio Soit (v ) la suite défiie par v 0 = 4 et v = 2v 7 pour tout etier aturel. Démotrer par récurrece que v = 7 2 pour tout 0. Correctio O veut motrer que v = 7 2 pour tout 0. O cosidère la propriété : «v = 7 2». Iitialisatio : Pour = 0, o a v 0 = 4 et 7 2 0 = 4. O a doc bie v 0 = 7 2 0 : la propriété est vraie pour = 0. Hérédité : O va motrer que si la propriété est vraie à u certai rag 0 alors elle est vraie au rag. Supposos doc que v = 7 2 (o suppose la propriété vraie pour : c est l hypothèse de récurrece), o a alors : 2v = 2(7 2 ) (par l hypothèse de récurrece) 2v 7 = 2(7 2 ) 7 2v 7 = 4 2 7 v = 7 2. O a doc bie v = 7 2, c est-à-dire que la propriété est vraie au rag. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et est héréditaire ; doc par récurrece elle est vraie pour tout 0 c est-à-dire que v = 7 2 pour tout 0. REMARQUES : Attetio à bie repérer la valeur du rag de l iitialisatio 0. Das l hérédité, o aurait aussi pu dire que v = 2v 7 = 2(7 2 ) 7 = 7 2. Il faut bie s assurer que la propriété est iitialisée et héréditaire : ue propriété fausse peut être iitialisée mais pas héréditaire ou héréditaire mais pas iitialisée (voir exercices 4 et 5 page 25). 4 Chapitre A. Récurrece et suites

RAPPEL : Dire qu ue propriété est vraie au rag, c est vérifier qu elle est vraie quad o remplace par (das la pratique, quad o traite l hérédité, o écrit toujours la propriété au rag au brouillo pour savoir «où l o va»). Exemples Soit la propriété au rag : «u». La propriété au rag est «u». Soit la propriété au rag : «u 2». La propriété au rag est «u () 2». Soit la propriété au rag : «u 2u». La propriété au rag est «u 2 2u». Soit la propriété au rag : «4 est u multiple de». La propriété au rag est «4 est u multiple de». MÉTHODE 2 Étudier le ses de variatio d ue suite par récurrece Ex. 27 p. 27 O peut motrer qu ue suite est croissate e motrat par récurrece que u u pour tout. O peut motrer qu ue suite est décroissate e motrat par récurrece que u u pour tout. Toutes les méthodes vues e Première e permettaiet pas de prouver le ses de variatio de certaies suites. Cette méthode viet doc e complémet de celles-ci. Exercice d applicatio Soit (u ) la suite défiie par u 0 = 5 et u = 5 u pour tout etier aturel. Motrer que la suite(u ) est décroissate. Correctio O veut motrer que u u pour tout 0. O cosidère la propriété : «u u». Iitialisatio : Pour = 0, o a u 0 = 5 et u = 5 u 0 = 4. O a doc bie u u 0 : la propriété est vraie pour = 0. Hérédité : O va motrer que si la propriété est vraie à u certai rag 0 alors elle est vraie au rag. Supposos que u u (hypothèse de récurrece), o a alors : 5 u 5 u 5 u 5 u u 2 u. O a doc bie u 2 u c est-à-dire que la propriété est vraie au rag. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et est héréditaire ; doc par récurrece elle est vraie pour tout 0 c est-à-dire que u u pour tout N. O viet de motrer que la suite(u ) est décroissate. REMARQUE : Das cet exemple avec ue suite défiie par récurrece, les méthodes de Première S e permettaiet pas de justifier les variatios. Il faut doc coaître toutes ces méthodes pour choisir judicieusemet celle qui correspod le mieux à chaque situatio (pour retravailler les autres méthodes, voir le chapitre A6 du mauel de Première S). Chapitre A. Récurrece et suites 5

2. Suites miorées, majorées, borées DÉFINITIONS O dit qu ue suite(u ) est majorée par u ombre réel M si u M pour tout. M est alors u majorat de la suite(u ). O dit qu ue suite(u ) est miorée par u ombre réel m si m u pour tout. m est alors u miorat de la suite (u ). Si ue suite(u ) est à la fois majorée et miorée, o dit que(u ) est borée. Exemples O cosidère la suite(w ) défiie pour tout etier 0 par w = cos() dot la représetatio graphique est doée ci-dessous. O cosidère(r ) la suite défiie par r 0 = 6 et r = r 4 pour tout etier aturel dot la représetatio graphique est doée ci-dessous. 4 2 0 Cette suite semble borée par 2 et 4. Pour le justifier, o utilise u ecadremet du cosius : pour tout etier aturel, o a cos() doc 2 cos() 4 c est-à-dire que pour tout etier aturel, o a 2 w 4. La suite (w ) est bie borée car elle est miorée par 2 et majorée par 4. 0 0 2 u u 2 u 4 5 u 0 7 O peut observer graphiquemet (sur l axe des abscisses) que cette suite semble borée par 2 et 6. C est e effet le cas : ue démostratio est proposée das la questio 4 de la méthode. REMARQUES : Quad ue suite umérique réelle est majorée, il y a pas qu u seul majorat. Par exemple, si ue suite est majorée par 4 alors elle est aussi majorée par 5. U majorat ou u miorat est u ombre fixé qui e déped pas de la variable. PROPRIÉTÉ Ue suite(u ) croissate est miorée par so premier terme. E effet u 0 u u 2 u. Ue suite(u ) décroissate est majorée par so premier terme. E effet u 0 u u 2 u. 6 Chapitre A. Récurrece et suites

MÉTHODE Motrer qu ue suite est miorée, majorée, borée Ex. 4 p. 28 Pour détermier ou justifier l existece de miorats ou de majorats d ue suite, plusieurs méthodes peuvet être utilisées parmi lesquelles : l utilisatio de majoratios, de mioratios ou d ecadremets évidets ; l utilisatio des variatios de f das le cas u = f() ; l étude du sige de la différece etre les termes de la suite et le majorat ou le miorat évetuel ; l utilisatio d ue démostratio par récurrece. Exercice d applicatio ( ) ) Doer u miorat de la suite(u ) défiie pour tout etier 0 par u = 52. 2) Doer u majorat de la suite(s ) défiie pour tout etier 0 par s = 2 2 8. ) Motrer que la suite(v ) défiie par v = 6 2 pour tout N est majorée par. 2 4) Soit (r ) la suite défiie par r 0 = 6 et r = r 4 pour tout etier aturel. Motrer par récurrece que 2 r 6 pour tout etier 0. Que peut-o e déduire? Correctio ( ) ) Comme 0 o e déduit que, pour tout etier aturel, o a 2 0 puis que ( ) 52 5 c est-à-dire que u 5 pour tout etier aturel : la suite (u ) est doc bie miorée par 5. 2) O a s = f() avec f la foctio défiie sur R par f(x) = 2x 2 8x. 8 Comme 2 < 0, f atteit so maximum e = 2, qui est alors f(2) =. 2( 2) O e déduit que la suite(s ) défiie, pour tout N, par s = f() est majorée par. ) Pour 0, o calcule la différece etre v et : v = 62 2 = 62 (2 ) 6 2 6 = = 2 2 2 2. Or comme 0, o e déduit que 2 > 0 et doc que 2 < 0. Doc pour tout N, v < 0, c est-à-dire v < : la suite (v ) est majorée par. 4) O veut motrer que 2 r 6 pour tout 0. O cosidère la propriété : «2 r 6». Iitialisatio : Pour = 0, o a r 0 = 6 doc 2 r 0 6 : la propriété est vraie pour = 0. Hérédité : O va motrer que si la propriété est vraie à u certai rag 0 alors elle est vraie au rag. Supposos doc que 2 r 6 (hypothèse de récurrece), o a alors : 6 r 4 0 6 r 4 0 car la foctio racie carrée est croissate sur [0 ; [ 2 r 4 6 car 2 6 et 0 6 2 r 6. O a doc bie 2 r 6 c est-à-dire que la propriété est vraie au rag. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et est héréditaire ; doc par récurrece elle est vraie pour tout 0 c est-à-dire 2 r 6 pour tout 0. O viet de motrer que la suite(r ) est borée par 2 et 6. Chapitre A. Récurrece et suites 7

. Limites de suites A. Défiitios et ites usuelles DÉFINITIONS O dit qu ue suite(u ) a pour ite quad ted vers lorsque, quel que soit le réel A, o a u > A à partir d u certai rag. O ote alors A u =. O dit qu ue suite(u ) a pour ite quad ted vers lorsque, quel que soit le réel A, o a u < A à partir d u certai rag. O ote alors u =. 0 2 4 5 6 7 8 9 0 A 0 2 4 5 6 7 8 9 0 REMARQUES : Cocrètemet, u = veut dire que l o peut redre u aussi grad que l o veut e preat suffisammet grad. L expressio «à partir d u certai rag» peut se traduire par «pour tout 0» où 0 est u etier fixé. Das les démostratios, o utilisera parfois la trocature à l uité d u ombre positif x otée E(x) et appelée partie etière de x. Par exemple : E(7,62) = 7, E(π) =, etc. Notos que pour x 0, E(x) est le plus petit etier strictemet supérieur à x. Exemple Motrer que la suite(u ) défiie pour tout N par u = a pour ite e. Correctio Soit A u réel. Si A < 0 alors u = > A quel que soit le rag N. Si A 0 alors u = > A pour tout > A 2 doc à partir du rag E ( A 2). Aisi, quel que soit le réel A, o a u > A à partir d u certai rag : o viet de motrer que =. REMARQUE : Sas perte de gééralité, o peut uiquemet cosidérer le cas où A 0 pour justifier que u = (et A 0 das le cas où u = ). DÉFINITION Soit l u réel. O dit qu ue suite (u ) a pour ite l quad ted vers lorsque, quel que soit l itervalle ouvert I coteat l, I cotiet toutes les valeurs de(u ) à partir d u certai rag. O ote alors u = l et la suite(u ) est dite covergete (vers l). [ l[ 0 2 4 5 6 7 8 9 0 8 Chapitre A. Récurrece et suites

REMARQUES : Ue suite covergete admet qu ue seule ite (voir exercice 02 page 42). Ue suite o covergete est divergete : elle peut soit diverger vers, soit diverger vers, soit e pas avoir de ite, comme la suite de terme gééral ( ) pour tout N (voir activité 5 page 2). Exemple Motrer que Correctio =. Soit I u itervalle ouvert coteat : u tel itervalle est de la forme] r, r [ avec r > 0 et r > 0. Il s agit doc de motrer que l o a r < r r r > 0, à partir d u certai rag. = r = r = r = r < r, c est-à-dire r < 0 pour tout N car r > 0 et > 0. est du sige de r car > 0. < 0 et Résolvos doc r > 0 r > > r car r > 0 : o viet de motrer que r > 0 pour tout > r doc à partir du rag E ( r ). O viet de motrer que, quel que soit l itervalle ouvert I coteat, o a I à partir d u certai rag : autremet dit que =. REMARQUE : Nous verros das les parties suivates des méthodes plus simples pour justifier ue ite. PROPRIÉTÉS =, k = pour k N. = 0, =, k = 0 pour k N. 2 =, = 0, 2 = 0, = et, plus gééralemet, = 0 et, plus gééralemet, La suite de terme gééral q coverge vers 0 si < q <, diverge vers si q >, a pas de ite si q. PREUVE Soit A R. O a motré das u exemple précédet que d u certai rag. = doc que > A à partir Comme, par ailleurs, o a k pour N et k N, o déduit que k > A à partir d u certai rag quel que soit A : o viet de motrer que k =. Les ites de,,, etc. se déduirot des propriétés doées à la partie suivate. 2 Voir le théorème de comparaiso à la partie C pour le cas q >, l activité 5 page 2 pour le cas q = et l exercice 9 page 40 pour les cas < q < et q <. Chapitre A. Récurrece et suites 9

B. Opératios sur les ites PROPRIÉTÉS Soit l et l deux ombres réels, ± veut dire ou. Somme de ites : l l l l v ll F.I. Produit de ites : l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 ± 0 l ± ± v ll ± F.I. Quotiet de ites : u l l ± ± l = 0 ± 0 v l = 0 ± l = 0 ± 0 ou 0 0 ou 0 0 u v l l 0 ± F.I. ± ± F.I. REMARQUES : Quelques démostratios de ces propriétés sot présetées à l exercice 6 page 2. Ces règles doivet se compredre autat que s appredre : quad o ajoute ue grade quatité à ue autre grade quatité, o obtiet ue grade quatité. Ituitivemet, cela explique que si u = et v = alors u v =. Le «F.I.» préset das ces tableaux veut dire Forme Idétermiée et sigifie que l o e peut pas coclure. v = 0 (respectivemet 0 ) sigifie que (v ) coverge vers 0 et que v > 0 (respectivemet v < 0) à partir d u certai rag. Das les cas où le résultat est±, o coclut e utilisat la règle des siges. Par exemple, si u = et v = alors u v = car, à partir d u certai rag, u > 0 et v < 0 doc u v < 0. E remarquat que u v = u ( v ), o peut déduire les propriétés sur les différeces de ites. E pratique, ce sot ces propriétés que l o utilisera (plutôt que la défiitio) pour calculer des ites. Exemple Motrer la propriété du cours k = 0 pour k N e utilisat les propriétés d opératios sur les ites. E prérequis, o cosidérera coue la propriété Correctio O a = et k =. k = doc, par quotiet de ites ( e coloe), k = 0. 20 Chapitre A. Récurrece et suites

MÉTHODE 4 Utiliser les propriétés d opératios sur les ites Ex. 47 p. 0 Pour calculer ue ite de suite, o peut décomposer le terme gééral de cette suite e somme(s), différece(s), produit(s) ou quotiet(s) de termes de ite coue. Exercice d applicatio Détermier 42. Correctio 4 = 4 et 2 = doc = 0 = car > 42 = par produit de ites Par somme et différece de ites, o e déduit que 42 =. REMARQUE : O peut aussi préseter les calculs comme suit : 4 = 4 2 = 42 = = 0 = 42 =. MÉTHODE 5 Lever ue idétermiatio Ex. 49 p. 0 Quad le terme gééral d ue suite est sous forme polyomiale ou ratioelle, o peut lever ue évetuelle idétermiatio e factorisat par le terme k ayat le degré le plus élevé (pour le umérateur et pour le déomiateur das le cas d ue forme ratioelle). Exercice d applicatio Calculer : 2 ) 22 2) 5 4 8 2 Correctio ) Comme 22 = et =, o est e présece d ue forme idétermiée. ( Pour lever cette idétermiatio, o factorise par 2 : 2 2 = 2 2 ) puis 2 = ( 2 ) = 22 =. 2 = 2 2 2) C est ue forme idétermiée doc o factorise le umérateur par et le déomiateur (2 ) par 4 : = 0 2 5 4 8 2 = 2 = 2 5 8 2 = 5 ( 4 5 8 2 ) = 2 5 8 2 2 5 8 2 = 2 5 4 8 2 = 0. REMARQUE : O peut aussi utiliser la règle «du plus haut degré» (voir 52 et 5 page ). Chapitre A. Récurrece et suites 2

C. Théorèmes de comparaiso et des gedarmes THÉORÈME : De comparaiso Soit (u ) et(v ) deux suites telles que u v à partir d u certai rag. Si u = alors v =. 0 2 4 5 6 7 8 9 v u Si v = alors u =. 0 2 4 5 6 7 8 9 v u ROC PREUVE Soit A u réel, comme u =, o sait que u > A à partir d u certai rag. D autre part, o sait que u v à partir d u certai rag doc v u > A à partir d u certai rag quel que soit A : o viet de motrer que v =. Le deuxième poit peut se démotrer de faço aalogue. THÉORÈME : Des gedarmes Soit (u ), (v ) et (w ) trois suites telles que u v w à partir d u certai rag. Si u = w = l avecl R alors v = l. l w v u 0 2 4 5 6 7 8 9 0 Bie qu u peu techique, proposos ue démostratio de ce théorème. PREUVE Soit I =]a ; b[ u itervalle ouvert coteat l. Comme u = l, tous les termes de (u ) sot das I à partir d u certai rag. Comme w = l, tous les termes de(w ) sot das I à partir d u certai rag 2. Par éocé, il existe u rag à partir duquel u v w. Posos 4 = max( ; 2 ; ) le plus grad des trois ombres, 2 et. u I Pour tout 4, o a w I doc a < u v w < b d où v I. u v w O viet de motrer que, quel que soit l itervalle ouvert I coteat l, il existe u rag à partir duquel tous les termes de(v ) sot das I, c est-à-dire que v = l. 22 Chapitre A. Récurrece et suites

MÉTHODE 6 Utiliser les théorèmes de comparaiso et des gedarmes Ex. 62 p. Pour calculer ue ite de suite, o peut essayer de trouver ue iégalité (respectivemet u ecadremet) sur le terme gééral de la suite et appliquer le théorème de comparaiso (respectivemet des gedarmes). Exercice d applicatio Détermier : ) 2 ( ) 2) si ( 2) Correctio ) O a ( ) doc ( ) puis 2 ( ) 2. De plus, 2 = doc 2 ( ) = par le théorème de comparaiso. ( 2) O ecadre le sius : si 2) puis o e déduit que si( 2). De plus, = = 0 doc si ( 2) = 0 par le théorème des gedarmes. REMARQUES : Das le premier poit de la méthode, o peut d abord ecadrer 2 ( ) au brouillo e utilisat ( ) puis e garder que l iégalité utile pour utiliser le théorème de comparaiso. D ue maière géérale, quad le terme gééral d ue suite fait apparaître u cosius, u sius ou ( ), o commece par les ecadrer par et (o e coservera évetuellemet qu u membre de l ecadremet si o applique le théorème de comparaiso). PROPRIÉTÉ : Iégalité de Beroulli et ite de q Soit a > 0. L iégalité ( a) a est vraie pour tout N. Il e résulte que q = pour q >. ROC PREUVE pour tout N. Commeços par motrer par récurrece que, pour a > 0, o a ( a) a O cosidère la propriété : «( a) a». Iitialisatio : Pour = 0, o a (a) 0 = et 0a = doc ( a) 0 0a : la propriété est vraie pour = 0. Hérédité : O va motrer que si la propriété est vraie à u certai rag 0 alors elle est vraie au rag. Supposos doc que(a) a. E multipliat les deux membres de l iégalité par le réel a > 0, o obtiet : (a) = (a) ( a) (a)(a). De plus, ( a)(a) = aaa 2 = ()aa 2 ( )a puisque a 2 0. O a doc bie( a) ()a : la propriété est vraie au rag. La propriété est vraie pour = 0 et est héréditaire doc par récurrece elle est vraie pour tout 0 c est-à-dire que(a) a pour tout N. Pour q >, e posat q = a > 0, o obtiet q = a avec a > 0 doc o peut appliquer la propriété démotrée juste avat : q = (a) a pour tout N. De plus, a = puisque a > 0 : o déduit que q = par comparaiso. Chapitre A. Récurrece et suites 2

D. Covergece des suites majorées croissates et miorées décroissates THÉORÈME : De covergece des suites mootoes Ue suite croissate et majorée coverge. Ue suite décroissate et miorée coverge. Ue suite croissate (respectivemet décroissate) o majorée (respectivemet o miorée) diverge vers (respectivemet ). ROC PREUVE Les deux premiers poits sot admis. Soit (u ) ue suite croissate o majorée et A u réel. Comme(u ) est o majoré, il existe u rag 0 tel que u 0 > A. D autre part, (u ) est croissate doc u u 0 > A pour 0 : o viet de motrer que, quel que soit A, il existe u rag à partir duquel u > A autremet dit que u =. REMARQUE : Ce théorème doe ue coditio suffisate pour qu ue suite coverge mais e doe pas la ite de cette suite. MÉTHODE 7 Utiliser le théorème de covergece Ex. 7 p. 4 Exercice d applicatio Soit la suite(u ) défiie par u 0 = 4 et u = u pour tout N. Motrer que u u pour tout N et e déduire que(u ) est covergete. Correctio O veut motrer que u u pour tout N. Cosidéros la propriété : «u u». Iitialisatio : Pour = 0, o a u 0 = 4 et u = 2 doc u u 0 : la propriété est vraie au rag 0. Hérédité : O va motrer que si la propriété est vraie à u certai rag 0 alors elle est vraie au rag. Supposos doc que u u. Comme la foctio racie carrée est croissate sur R, o e déduit : u u c est-à-dire u 2 u : la propriété est vraie au rag. La propriété est vraie pour = 0 et est héréditaire doc u u pour tout N. De u u pour tout N, o déduit que (u ) est décroissate et de u pour tout N, o déduit que (u ) est miorée : (u ) est décroissate et miorée, elle est covergete. PROPRIÉTÉ : Si ue suite(u ) est croissate et coverge vers u réel l alors elle est majorée par l. ROC PREUVE Raisoos par l absurde : supposos que la suite e soit pas majorée par l c està-dire qu il existe u rag 0 tel que u 0 > l. O cosidère alors l itervalle I =] ; u 0 [. Comme (u ) est croissate, u u 0 à partir du rag 0 doc aucu terme de rag supérieur ou égal à 0 appartiet à l itervalle ouvert I coteatl:c est ue cotradictio avec le fait que u = l. Par l absurde, la suite(u ) est doc majorée par l. REMARQUE : De même, si ue suite(u ) est décroissate et coverge vers u réellalors elle est miorée par l. 24 Chapitre A. Récurrece et suites