ère S Probabilités I. Exemples itroductifs ) Exemple O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à lacer ue pièce o truquée. O ote le côté qu elle présete. O dira que la probabilité d obteir pile est égale à. O dira que la probabilité d obteir face est égale à. L expériece aléatoire est modélisée par ue loi de probabilité P doée das le tableau : ) Exemple Résultat Pile Face Probabilité Total O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à lacer ue pièce truquée telle qu il y ait ue chace sur qu elle présete le côté pile. O ote le côté qu elle présete. O dira que la probabilité d obteir pile est égale à. O dira que la probabilité d obteir face est égale à 3. L expériece aléatoire est modélisée par ue loi de probabilité P doée das le tableau : II. Loi de probabilité ) Défiitio Résultat Pile Face 3 Probabilité Total O défiit ue loi de probabilité sur l esemble des résultats e, e,, e d ue expériece aléatoire e leur attribuat des ombres fixes p, p,, p vérifiat les deux coditios suivates : i,,...,, 0 C : pour tout etier C : p p... p ) Tableau p i 3 ) Notatio O ote P la loi de probabilité. O écrira P e p (probabilité du résultat e ), P e p (probabilité du résultat e )... O dira que l expériece aléatoire est modélisée par la loi de probabilité P. ) Iterprétatio p i est u ombre compris etre 0 et l qui mesure la chace que le résultat e i a de se réaliser. III. Probabilité d u évéemet ) Exemple O lace u dé cubique truqué. O ote le uméro de la face supérieure. O suppose que l expériece aléatoire est modélisée par la loi de probabilité P ci-dessous. Résultat 3 5 Probabilité 0, 0, 0, 0, 0, 0,5 Total = O cosidère l évéemet : «obteir u uméro pair». ttetio à l orthographe du mot évéemet, il y a bie deux accets aigus cotrairemet à ce que laisserait supposer la proociatio usuelle ; il s agit d ue aomalie due à ue erreur de typographie commise au XVII e siècle. 0,7 P P P P P ) Défiitio La probabilité d u évéemet est doée par la formule P somme des probabilités des résultats qui costituet. 3 ) Iterprétatio P est u ombre compris etre 0 et qui mesure la chace que l évéemet a de se réaliser. IV. Cas d équiprobabilité ) Défiitio Résultats e e Probabilités p p e p Total O dit que l o est das u cas d équiprobabilité lorsque tous les résultats possibles pour l expériece aléatoire ot la même probabilité.
) Tableau V. Vocabulaire des évéemets Résultats e e Probabilités : ombre de résultats possibles 3 ) Vocabulaire e Total ) Exemple O lace u dé cubique. O cosidère les évéemets : «obteir u uméro iférieur ou égal à» B : «obteir u uméro pair» C : «obteir u uméro iférieur ou égal à» D : «obteir u uméro strictemet supérieur à». O ote l esemble de tous les résultats possibles pour l expériece (uivers des possibles). O dit que la loi de probabilité P qui modélise l expériece aléatoire est ue loi d équiprobabilité ou ue loi équirépartie. ) Probabilité d u évéemet (Formule de Laplace) Das le cas de l équiprobabilité, la probabilité d u évéemet est doée par la formule ombre de résultats possibles pour P ombre de résultats possibles pour l'expériece aléatoire,,3,,5,,,3, B,, C D ) Défiitio de l uivers des possibles B 3 5 5 ) Démostratio O ote k le ombre de résultats possibles pour. P somme des probabilités des résultats qui costituet. O a vu que : Doc P... (k termes) P k k P ombre de résultats possibles pour P ombre de résultats possibles pour l'expériece aléatoire ) Exercice-type (avec rédactio) Ue ure cotiet 3 boules rouges R, R, R 3 et boules oires N et N. O tire ue boule au hasard. O ote la couleur de la boule tirée. O cosidère l évéemet : «obteir ue boule rouge». Calculer la probabilité de. Esemble de tous les résultats possibles pour l expériece aléatoire : e e e 3 ) Défiitio d u évéemet quelcoque U évéemet est ue partie ou u sous-esemble de. ) Défiitios d évéemets particuliers évéemet certai : évéemet impossible :,,..., évéemet élémetaire : évéemet costitué d u seul résultat (sigleto) 5 ) Réuio et itersectio de évéemets B : itersectio de et B (évéemet costitué des résultats possibles pour et B) B : réuio de et B (évéemet costitué des résultats possibles pour ou B (ou iclusif)) N.B. : B B et B B. Le tirage état effectué au hasard, o peut adopter le modèle d équiprobabilité, c est-à-dire que l o modélise l expériece aléatoire par ue loi d équiprobabilité P. Le ombre de résultats possibles pour l expériece aléatoire est égal à 5. Le ombre de résultats possibles pour est égal à 3. 3 D après la formule de Laplace, P. 5 3
) Exemple Hypothèses du ). : «obteir u uméro iférieur ou égal à» B : «obteir u uméro pair» B : «obteir u uméro iférieur ou égal à et pair» B, B 3 5 VI. Propriétés des probabilités (Les démostratios sot quasimet évidetes), P) est u espace probabilisé. ) Propriété (probabilité de l évéemet certai) P ) Propriété (probabilité de l évéemet impossible) B : «obteir u uméro iférieur ou égal à ou pair» P 0 B,,3,, 7 ) Evéemet cotraire \ ( privé de ou complémetaire de das : évéemet costitué de tous les résultats qui appartieet pas à 8 ) Evéemets icompatibles O dit que deux évéemets et B sot icompatibles pour exprimer que B (aucu résultat commu). Exemple : U évéemet et so cotraire. 5 ) Lois de Morga et B sot deux évéemets quelcoques. B B B B 3 ) Propriété 3 (probabilité de la réuio de évéemets icompatibles) et B sot évéemets icompatibles ( B ) P B P P B ) Propriété (probabilité de la réuio de évéemets) et B sot évéemets quelcoques de. P B P P B P B 5 ) Propriété 5 (probabilité d u évéemet cotraire) est u évéemet quelcoque de. P P ) Propriété (probabilités d évéemets iclus l u das l autre) Si B, alors P P B. De plus, o a : P B \ P B P. B Rappel : la barre veut dire cotraire. «privé de» 5
VII. Simulatios d expérieces aléatoires ) Pricipe simuler = faire comme si La simulatio permet de remplacer ue expériece aléatoire par ue expériece plus facile à réaliser que l'o peut reproduire u grad ombre de fois das les mêmes coditios, à l'aide des outils moderes, calculatrices et ordiateurs. ) Itérêt d ue simulatio d expériece aléatoire Doer ue idée d u résultat permettat d amorcer ue modélisatio. Lie etre probabilités et statistiques (voir VIII). 3 ) Simulatios sur ordiateur ou sur calculatrice (voir exercices) Nombres au hasard VIII. Échatilloage ) Défiitio Si ue populatio est trop importate pour l'étudier complètemet, o utilise u échatilloage de cette populatio. Si ue expériece aléatoire est répétée fois, la série statistique obteue est u échatillo de taille. O peut alors détermier la distributio des fréqueces de cet échatillo. ) Fluctuatio d'échatilloage Pour ue même expériece aléatoire, les distributios de fréqueces de deux échatillos de même taille sot le plus souvet différetes. O appelle ceci la fluctuatio d'échatilloage. Le même phéomèe s'observe avec le sodage de deux groupes de même taille, mais composés de persoes différetes : les résultats serot le plus souvet différets. O costate empiriquemet que plus la taille de l'échatillo est grade, plus la distributio des fréqueces s'approche de la distributio théorique des fréqueces. La plupart des calculatrice et des tableurs (Excel e particulier) possède ue «foctio» qui géère des «ombres aléatoires» (ou plutôt «pseudo-aléatoires»). Sur calculatrice, o utilise la touche «RNDOM». Sur tableur, o utilise la «foctio» LE( ). Elle «géère» u ombre aléatoire compris sas l itervalle [0, [ comme par exemple 0,897. ttetio, cela peut laisser croire que le hasard est ue foctio ce qui est complètemet faux. Exemple : simulatio de lacers d u dé cubique o truqué sur u tableur Il s agit d ue loi empirique. 3 ) Notio de modélisatio Fréqueces (variables) Probabilités (fixes) Il suffit doc de multiplier ce ombre par, de lui ajouter et d'elever la partie décimale pour obteir u ombre etier aléatoire etre et. La foctio qui pred la partie etière d'u ombre est la foctio ENT. O utilise la formule suivate : =ENT(LE( )*+) pour géérer ue simulatio de jet de dés. réalisatio expériece aléatoire modélisatio Voir mise e oeuvre e exercices. doées expérimetales (qui est variable) adéquatio loi de probabilité (immuable) lgorithmes : O utilise des boucles Pour. Voir exercices. ) Itervalle de cofiace Voir cours de statistiques. 7 8
Progressio du cours de probabilités (d après site de l académie de Greoble «Voyage autour d'ue expériece aléatoire») Commet décrire ue expériece aléatoire? Du lagage des chaces aux probabilités rbres Préseter les résultats d ue expériece aléatoire : Lacer d ue pièce o truquée De la loi de probabilité à la probabilité Le lagage des évéemets Loi de probabilité et résultats statistiques (simulatio) Et si o jouait pour de l'arget? Objectif du cours : revoir les otios de 3 e et de e Lacer d u dé o truqué Pile Face 3 5 9 0
Défiitio d ue expériece aléatoire : Ue expériece dot o coaît tous les résultats possibles sas savoir avat de réaliser l expériece lequel de ces résultats va se produire est appelée expériece aléatoire. U même évéemet peut être formulé e fraçais de plusieurs maières différetes, suivat les circostaces de l expériece aléatoire (et e utilisat la logique, comme o le verra e exercice). Exemple : o tire 3 boules simultaémet d ue ure coteat 5 boules blaches et boules oires. : «obteir au mois ue boule blache» est l évéemet certai. Même traductio : : «obteir trois boules de la même couleur» B : «obteir trois boules blaches» Extrait du livre Trasmaths ère S Couverture verte Simulatio RPPELS La simulatio permet de remplacer ue expériece aléatoire par ue expériece plus facile à réaliser que l'o peut reproduire u grad ombre de fois das les mêmes coditios, à l'aide des outils moderes, calculatrices et ordiateurs. Lorsqu'o répète fois ue même expériece aléatoire o obtiet u échatillo de taille. Les distributios des fréqueces pour des échatillos de même taille fluctuet ; cette fluctuatio d échatilloage deviet plus faible et les fréqueces se stabiliset lorsque deviet grad. Exemple. O lacé u dé et o examie la fréquece de sortie d'u uméro sur des échatillos de même taille ( = 00) de tailles différetes (00, 000, 0 000)
La plupart des tableurs (Excel e particulier) possède ue «foctio» qui géère des ombres aléatoires. Cette foctio est la foctio LE( ). Elle géère u ombre aléatoire compris etre zéro et u (zéro compris) comme par exemple 0.897. Il suffit doc de multiplier ce ombre par, de lui ajouter et d'elever la partie décimale pour obteir u ombre etier aléatoire etre et. La foctio qui pred la partie etière d'u ombre est la foctio ENT. Nous allos doc utiliser la formule suivate : dés. =ENT(LE( )*+) pour géérer otre simulatio de jet de ttetio, cela peut laisser croire que le hasard est ue foctio ce qui est complètemet faux. Cette foctio géère des ombres pseudo-aléatoires. Evéemet cotraire et égatio d ue propositio Exemples simples : «Persoe e m écoute». Cotraire de cette propositio? «u mois ue persoe m écoute.» «Tout le mode parle.» Cotraire de cette propositio? «u mois ue persoe e parle pas.» Rôle du cotre-exemple pour démotrer qu ue propositio uiverselle est fausse. Commet modéliser le hasard? Poit-méthode U exemple Ue ure cotiet : - 3 boules R ; - boules N. O tire successivemet deux boules avec remise. Il y a types de tirages possibles : N-N // R-N // N-R // R-R Néamois o e peut pas dire que la probabilité de chacu de ces tirages est égale à. Retour sur réuio et itersectio Exemples sur la droite réelle a) Itersectio [ [ ] ] L itersectio est costituée des élémets commus aux deux. «L itersectio c est ce qu il y a e commu». Itersectio : rouge et bleu. b) Réuio Ce serait cotraire à l expériece. [ [ ] ] Ce chapitre est l occasio de reveir sur la logique mathématique. Logique mathématique logique de tous les jours. E mathématiques, o a ue logique biaire : u éocé est toujours soit vrai soit faux (pas de demimesure). E mathématiques, les mots ot leur ses fort : «tout» sigifie «pour tout», sas exceptio. La réuio est costituée des élémets qui appartieet soit à l u soit à l autre, soit aux deux à la fois. «La réuio c est la somme des deux.» Réuio : rouge ou bleu ou les deux. Poit-méthode pour chercher la probabilité de l itersectio de deux évéemets 3
Il y a pas de formule à appliquer Pour chercher la probabilité d ue itersectio, o cherche les résultats qui vérifiet la coditio des deux évéemets. 3 Poit-méthode pour chercher la probabilité de la réuio de deux évéemets O utilise la formule Google «Le problème des 3 portes simulatio» Le problème des 3 portes, u paradoxe probabiliste Jea Paul Delava, sio Wikipedia Le mot «u» e mathématiques : otio 5