UNIVERSITE LOUIS PASTEUR STRASBOURG École Doctorale 2008 Symétrie en physique des particules Exercice 1 On considère les générateurs du groupe de Lorentz dans la représentation vectorielle : (J αβ ) µ ν = η αµ δ β ν η βµ δ α ν. Montrer que l on a les relations de commutation suivantes : [ J αβ,j γδ] = η βγ J αδ η αγ J βδ + η δβ J γα η δα J γβ Montrer que l on a Exercice 2 chϕ shϕ 0 0 1 0 0 Λ = exp (ϕj 01 ) = shϕ chϕ 0 0 0 0 1 0 R = exp (θj12 ) = 0 cosθ sin θ 0 0 sinθ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Interpreter Λ et R. Exercice 3 On définit J i = L jk (i,j,k en permutation circulaire) et K i = L 0i. 1 Montrer les relations de commutation (i,j,k en permutation circulaire) [J i,j j ] = J k, [J i,k j ] = K k, [K i,k j ] = J k. 2 Calculer les opérateurs de Casimir Q 1 = 1 4 J µνj µν, Q 2 = 1 4 ε µνρσj µν J ρσ.
Exercice 4 On pose N i = 1 2 (J i + ik i ), Ni = 1 2 (J i ik i ), montrer [N i,n j ] = N k, [ Ni, N j ] = Nk, [ Ni, N j ] = 0. Les transformations ci-dessus sont valables dans le complexifié de so(1, 3), so(1, 3) C = so(1, 3) R C et montrent que so(1, 3) C sl(2, C) sl(2, C). Si on reprend la forme réelle correspondante à l algèbre de Lorentz, il faut se rappeler que N i et N i sont complexes conjugés l un de l autre et donc qu en fait so(1, 3) sl(2, R) sl(2, R). Dans la littérature on voit parfoit écrit que so(1, 3) su(2) su(2), ce qui n est pas tout à fait exact. Exercice 5 ( ) 0 σµ On introduit γ µ = et σ σ µ 0 µν = 1(σ 4 µ σ ν σ µ σ µ ), σ µν = 1( σ 4 µσ ν σ µ σ µ ) et M = exp ( ) ( 1 2 θµν σ µν, M = exp 1 θµν σ ) 2 µν. 1 Calculer les relations de commutation [σ µν,σ αβ ], [ σ µν, σ αβ ]. Y-a-t-il un sens à calculer [σ µν, σ αβ ]? 2 Montrer que M = exp ( i2 θ. σ 12 ) ϕ. σ, M = exp ( i2 θ. σ + 12 ) ϕ. σ. 3 En déduire que pour la représentation spécifiée par les matrices σ µν (resp. σ µν ) on a N i = i 2 σ i, N i = 0 (resp. N 1 = 0, N i = i 2 σ i). Exercice 6 1 Montrer que la matrice complexe conjuguée de M, notée M est équivalente à M, c est-à-dire qu il existe une matrice P telle que M = PM P 1. 2 En déduire que les spineurs gauchers sont complexes conjugués des spineurs droitiers. On dit que les représentations ( 1, 0) et (0, 1 ) de so(1.3) sont isomorphes aux représentations 2 2 2 (représentation complexe de dimension 2 de sl(2, C)) et 2 (la complexe conjuguée de 2 )
Exercice 7 Montrer que si λ et ψ anticommutent alors ψ α λ α = λ α ψ α. Montrer que ψ α λ α et ψ α λ α sont des scalaires. Exercice 8 Exercice 9 1 Soit x µ les composantes d un quadrivecteur. On note X = x µ σ µ. Exprimer x µ en fonction de X. Quel est le déterminant de X? Interpréter. 2 En déduire que si X se transforme sous l action de SL(2, C) en X = MXM, M SL(2, C), on a det(x ) = det(x). En déduire qu à une telle transformation correspond la transformation Λ, dont les éléments de matrices sont donnés par Λ µ ν = 1 2 Tr( σ µ Mσ ν M ). 3 Montrer que la transformation M SL(2, C) conduit à la même transformation de Lorentz. On dit que SL(2, C) est le groupe de recouvrement universel de SO 0 (1, 3) et on a SO 0 (1, 3) = SL(2, C)/Z 2. L application ci-dessus, de SL(2, C) SO 0 (1, 3) est un homorphisme 2 : 1 à deux élements distincts de SL(2, C) correspond un unique élement de SO 0 (1, 3). Autrement dit, I, (I étant l identité), est dans le noyau de l application précédente. 4 En déduire que est un scalaire. ψ α σ µ α α λ α Exercice 10
Montrer que ε βα σ µα α ε β α = σ µ ββ. Justifier les notations ψ M = Exercice 11 ( ψα ψ α ) pour un spineur de Majorana. Indications : rechercher une matrice B telle que γ µ = Bγ µ B 1. Exercice 12 Soit un champ Φ M se transformant dans une représentation du groupe de Lorentz spécifiée par les matrices J µν : Φ M (x ) = R M N Φ N (x), où R = exp( 1 2 θµν J µν ). On note δφ M (x) = Φ (x) Φ(x) (attention on est au même point). 1 Montrer que pour une transformation infinitésimale, on a δφ M (x) = 1 2 θαβ ( (x α β x β α )δ M N + (J αβ ) M N ) Φ N (x). Interpréter les différents termes. 2 Si on note L µν = x µ ν x ν µ vérifier que les relations de commutation de L µν sont bien celles de l algèbre de Lie du groupe de Lorentz, so(1,3). Exercice 13 Soient L µν = x µ ν x ν µ et P µ = µ les générateurs de l algèbre de Poincaré iso(1,3), établir les relations de commutation. Exercice 14 Soit W µ = 1 2 ε µνρσ l opérateur de Pauli-Lubanski. 1 Calculer les commutateurs [L µν,w α ] et [P µ,w ν ]. 2 En déduire que W 2 = W µ W µ est un opérateur de Casimir (i.e. commute avec tous les générateurs de l algèbre de Poincaré).
Exercice 15 Montrer que le petit groupe pour les particules non-massives est en fait ISO(2), c est-à-dire le groupe des rotations-translations en deux dimensions. Le petit groupe ISO(2) étant non-compact, ses représentations unitaires sont de dimension infinie. Comme on préfère en général avoir des rep. de dimension finie, on représentera T 1,T 2 par zéro, et le petit groupe deviendra SO(2). Il existe cependant des rep. unitaires pour lesquelles T 1,T 2 ne sont pas nuls; on parle alors de spin continu. Exercice 16 Soit le lagrangien d un électron couplé au champ électromagnétique : L = 1 4 F µνf µν + ψ(iγ µ D µ m)ψ, où F µν = µ A ν ν A ν est le tenseur de Maxwell, A µ le quadrivecteur potentiel électromagnétique, D µ = µ + ia µ la dérivée covariante de jauge, ψ le champ Dirac de l électron et ψ = ψ γ 0 son adjoint. 1 Montrer que les équations d Euler-Lagrange conduisent à : 2 Interpréter les différents termes. (iγ µ D µ m)ψ = 0 µ F µν = ψγ ν ψ. Exercice 17 Soient T A,A = 1,...,N 2 1 les générateurs de su(n). On donne les relations de commutation de su(n) Et on normalise les générateurs tel que [T A,T B ] = f AB C T C. Tr(T A T B ) = 1 2 δ AB, forme de Killing. 1 Calculer les matrices N N (représentation fondamentale) dans le cas où N = 2, 3. Attention la normalisation dans le membre de droite des relations de commutation ci-dessus est différente de celle usuellement utilisée en physique. En effet, le membre de droite est réel et non pas purement imaginaire. Le signe moins de la
forme de Killing provient du fait que les matrices T A sont anti-hermitiennes; pour des matrices hermitiennes, on aurait un signe plus! Si on veut avoir une notation en accord avec la littérature physique, il faut faire la substitution suivante : T A T A = it A 2 Soit A µ = A A µt A un champ de jauge se transformant de la façon suivante sous une transformation de Jauge : Montrer que A µ(x) = UA µ (x)u + U µ U, avec U = exp (ω A T A ). δa A µ(x) = A µ(x) A µ (x) = µ ω A + f BC A ω B A C µ. Exercice 18 Soit F µν = [D µ,d ν ], avec D µ = µ + A µ, A µ = A A µt A la dérivée covariante de jauge (D µ est une matrice N N) 1 Montrer que F µν = µ A ν ν A µ + [A µ,a ν ]. 2 Montrer que si on pose F µν = F A µνt A, on a F A µν = µ A A ν ν A A µ + f BC A A B µ A C ν. Exercice 19 On considère la théorie de Grand-Unification basée sous le groupe de jauge SU(5), c est-àdire que l on plonge le groupe de jauge du modèle standard : de la façon suivante 1 : SU(3) c SU(2) L U(1) Y SU(5), su(3) su(5) = 1 0 0 0 0 3 ( ) ( ) su(3) 0 0 0 0 1 0 0 0 3, su(2) su(5) =, Y = 0 0 0 su(2) 0 0 1 0 0 3 0 0 0 1 0. 2 0 0 0 0 1 2 1 En toute rigueur comme dans nos conventions, les matrices sont anti-hermitiennes, la matrice Y ci-dessus est plutôt i fois l hypercharge.
On donne le contenu en quarks et leptons du modèle standard en fonction des nombres quantiques de su(3) c su(2) L u(1) Y ( ) ul q L = = (3,2, d 1), u 6 R = (3,1, 2), d 3 R = (3,1, 1), 3 ( L ) νl l L = = (1,2, 1), e 2 R = (1,1, 1). e R 1 Montrer que la représentation de dimension 5 de su(5) se décompose dans le plongement su(5) su(3) c su(2) L u(1) Y en 5 = (3, 1, 1 3 ) (1,2, 1 2 ) = l L d c R, où d c L est le conjugué de d L, donc un spineur gaucher. 2 Montrer que. 5 5 = 10 15, avec 10 un tenseur d ordre deux antisymetrique et 15 un tenseur d ordre 2 symetrique. 3 En déduire que dans le plongement su(5) su(3) c su(2) L u(1) Y, on a 10 = (3,2, 1 6 ) (3,1, 2 3 ) (1,1, 1) = q L u c R e c R.