Amériqu du Sud novmbr 008 EERCICE 5 points Commun à tous ls candidats Dans l plan compl rapporté à un rpèr orthonormé (O ; u, v), on considèr ls points A, B, C d affis rspctivs : a = + i, b = + 3 i, c = i.. Montrr qu l triangl ABC st isocèl n A.. Soit I l miliu d [BC] t z I son affi. a. z z I Qul st l nsmbl ds points M du plan distincts d A dont l affi z st tll qu z a soit un rél? b. Détrminr l uniqu rél tl qu z I soit un rél. a c. Soit z l affi du vctur AI AI, donnr un form trigonométriqu d z AI. 3. a. Soit G l point d affi 3. Montrr qu il ist du rotations d cntr G, dont on détrminra ls angls, tlls qu ls imags d A t I par cs rotations soint touts du sur l a ds réls. b. Soit r la rotation d cntr G t d angl d msur. Détrminr l écritur compl d r.. Soit A, B t C ls imags rspctivs d A, B, t C par la rotation r ; soint a, b t c lurs affis. Qull st l imag par r d l a d symétri du triangl ABC? En déduir qu b = c. EERCICE 5 points Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité Un unité d longuur étant choisi dans l spac, on considèr un pavé droit ABCDEFGH tl qu : AB =, AD = t AE =. On appll I l miliu d [AD]. L spac st muni du rpèr orthonormé (A ; AB, AI, AE ).. Détrminr, dans l rpèr choisi, ls coordonnés ds points F, G, H.. a. Montrr qu l volum V du tétraèdr GFIH st égal à. 3 b. Montrr qu l triangl FIH st rctangl n I. En primant V d un autr façon, calculr la distanc d du point G au plan (FIH). 3. Soit l vctur n d coordonnés ( ; ; ). a. Montrr qu l vctur n st normal au plan (FIH). b. En déduir un équation cartésinn du plan (FIH). c. Rtrouvr par un autr méthod la distanc d du point G au plan (FIH).. a. La droit (AG) st-ll prpndiculair au plan (FIH)? b. Donnr un systèm d équations paramétriqus d ctt droit. c. Détrminr ls cordonnés du point d intrsction K d (AG) t d (FIH). 5. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ mêm infructuus sra pris n considération dans l évaluation. Soit Γ la sphèr d cntr G passant par K. Qull st la natur d l intrsction d Γ t du plan (FIH)? (On n dmand pas d précisr ls élémnts caractérisant ctt intrsction) EERCICE 5 points Candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité L spac st muni d un rpèr orthonormé (O ; i, j, k ). Soit D la droit passant par l point A d coordonnés (0 ; 0 ; ) t d vctur dirctur u d coordonnés ( ; ; 0) t soit D la droit = t ' dont un rprésntation paramétriqu st : y = t ' (t R) z = L but d l rcic st d étudir l nsmbl S ds points d l spac équidistants d D t d D.. Un équation d S a. Montrr qu D t D sont orthogonals t non coplanairs. b. Donnr un rprésntation paramétriqu d la droit D. Soit M un point d l spac d coordonnés ( ; y ; z) t H l projté orthogonal d M sur D. Montrr qu MH a pour coordonnés : + y y ; ; z. En déduir MH n fonction d, y t z. Amériqu du Sud novmbr 008
+ ( + z), rlation Soit K l projté orthogonal d M sur D. Un calcul analogu au précédnt prmt d établir qu : MK = ( ) qu l on n dmand pas d vérifir. c. Montrr qu un point M d coordonnés ( ; y ; z) appartint à S si t sulmnt si z = y.. Étud d la surfac S d équation z = y. a. On coup S par l plan (Oy). Détrminr la sction obtnu. b. On coup S par un plan P parallèl au plan (Oy). Qull st la natur d la sction obtnu? c. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ mêm infructuus sra pris n considération dans l évaluation. On coup S par l plan d équation + y = 0. Qull st la natur d la sction obtnu? + y EERCICE 3 3 points Commun à tous ls candidats Dans ct rcic, on dmand au candidats d établir, n suivant la démarch proposé, du résultats d cours. On rappll qu la fonction ln st défini t dérivabl sur ]0 ; + [, positiv sur [ ; + [, t vérifi : ln = 0 Pour tous réls strictmnt positifs t y, ln ( y) = ln + ln y Pour tout rél strictmnt positif, [ln ( )]' = ln () 0,69 à 0 près. On considèr la fonction f défini sur ]0 ; + [ par f () = ln. a. Étudir ls variations d f t n déduir qu f admt un minimum sur ]0 ; + [. b. En déduir l sign d f puis qu, pour tout >, 0 < ln <. ln c. En déduir qu lim = 0. +. Soit n un ntir naturl non nul. ln On considèr la fonction f n défini sur ]0 ; + [ par : f n () =. n En utilisant la qustion., détrminr, si ll ist, la limit n + d la fonction f n. EERCICE 7 points Commun à tous ls candidats. Résoudr l équation différntill : y + y = 0 (E), dont l inconnu st un fonction défini t dérivabl sur R.. On considèr l équation différntill : y + y = ( + ) (E ) a. Détrminr du réls m t p tls qu la fonction f défini sur R par : f () = (m + p ) soit solution d (E ). b. Soit g un fonction défini t dérivabl sur R. Montrr qu g st solution d l équation (E ) si t sulmnt si g f st solution d l équation (E). Résoudr l équation (E ). 3. Étudir ls variations d la fonction h défini sur R par : h() = ( + ).. Détrminr ls limits n t n + d la fonction h. 5. Dans l plan rapporté à un rpèr orthonormé (O ; i, j ), on not C la courb rprésntativ d h t Γ cll d la fonction :. a. Étudir ls positions rlativs d C t Γ. b. Tracr cs du courbs sur un mêm graphiqu. Amériqu du Sud novmbr 008
EERCICE 5 points Commun à tous ls candidats. AB = b a = + i = 5 ; AC = c a = + i = 5 AB = AC donc l triangl ABC st isocèl n A.. a. z z I z a st un rél il ist un rél k tl qu z z I = k (z a) t z a IM = k AM t M A M A t ls points A, I, M sont alignés M décrit la droit (AI) privé d A z I b. Si st un rél alors l point M d affi appartint à l a ds réls t à la droit (AI) privé d A. a b + c I st l point d affi = + 7 i donc l cofficint dirctur d la droit (AI) st 3,5 donc 0,5 + Un équation d la droit (AI) st donc y = + 3, ctt droit coup l a ds abscisss quand = 3. c. z = + 7 i + i = 3 + 3 i = 3 AI ( + i) i or + i = + i = i donc z AI = 3 = 3 (cos + i sin ). 3. a. L point G a pour absciss l rél solution d la qustion précédnt. Il appartint donc à la droit (AI) contnant l sommt principal A t l miliu du côté opposé du triangl isocèl. Ctt droit (AI) st donc hautur, médian, médiatric t a d symétri du triangl ABC. Si G st l cntr d la rotation alors il st invariant par cll-ci donc la droit (AI) st transformé n la droit (A G). ( u, GA ) = arg( + i) donc (, GA) u = à près si A st transformé n un point A d absciss positiv, GA' st colinéair à u donc ( GA, GA' ) = si A st transformé n un point A d absciss près Il ist donc du rotations d cntr G qui transformnt A t I n du points d l a ds réls : la rotation r d angl t la rotation r d angl 3. CORRECTION négativ, GA' st colinéair à u donc ( GA, GA' ( u, GA ) donc à près ) = ( u, GA) donc à b. r a pour écritur compl st : z z G G = i (z z G ) soit z + 3 = i (z + 3).. L triangl ABC st isocèl n A donc droit (AI) st a d symétri du triangl ABC or G appartint à (AI) Un rotation transform un droit n un droit donc l imag par r d l a d symétri du triangl ABC st la droit (A G) r st la rotation qui transformnt A t I n du points sur l a ds réls donc (A G) st l a ds réls. Un rotation consrv ls distancs t ls angls orintés donc B t C étant symétriqus par rapport à (AG), B t C sont symétriqus par rapport à (A G) donc par rapport à l a ds réls donc b = c. Amériqu du Sud novmbr 008 3
EERCICE 5 points Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité. AB = AB + AE donc F a pour coordonnés ( ; 0 ; ) AG = AB + AI + AE donc G a pour coordonnés ( ; ; ) AH = AI + AE donc H a pour coordonnés (0 ; ; ). a. La bas du tétraèdr GFIH st l triangl FGH d air A = FG GH = = La hautur du tétraèdr GFIH rlativ à ctt bas st [IJ] où J st l projté orthogonal d I sur l plan (FGH) donc J st l miliu d [EH] donc h = L volum V du tétraèdr GFIH st égal à A h = 3 3 b. F a pour coordonnés ( ; 0 ; ) ; I (0 ; ; 0) donc FI ( ; ; ) donc FI = 3 H a pour coordonnés (0 ; ; ) donc HI (0 ; ; ) donc HI = ; FH a pour coordonnés ( ; ; 0) donc FH = 5 donc FH = FI + IH D après la réciproqu du théorèm d Pythagor, l triangl FIH st rctangl n I. L air du triangl FIH st égal à A = FI IH = 6, soit d la distanc du point G au plan (FIH). 6 V = A d = soit d = donc d = 3 3 6 3. a. IF st l vctur d coordonnés ( ; ; ) donc n. IF = = 0 IH st l vctur d coordonnés (0 ; ; )donc n. IH = 0 + = 0 n st orthogonal au vcturs non colinéairs IF t IH donc l vctur n st normal au plan (FIH). b. l vctur n st normal au plan (FIH) donc équation cartésinn du plan (FIH) st d la form + y z + d = 0 I (FIH) donc 0 + 0 + d = 0 donc d = Un équation cartésinn du plan (FIH) st + y z = 0 a G + b y G + c z G + d c. La distanc du point G au plan d équation a + b y + c z + d = 0 st d = a + b + c donc d = + = + + 6 = 3. a. AG a pour coordonnés ( ; ; ) donc n st pas colinéair à n vctur normal au plan (FIH) donc (AG) n st pas prpndiculair au plan (FIH). b. M (AG) il ist un rél k tl qu AM = k AG = k y = k (k IR ). z = k c. Détrminr ls cordonnés du point d intrsction K d (AG) t d (FIH). = k K (AG) il ist un rél k tl qu K y = k or K (FIH) + y z = 0 donc ls cordonnés du point d intrsction K z = k = k = k d (AG) t d (FIH) vérifint y = k t k + k k = 0 soit y = k t k = K ; ; z = k 3 3 3 z = k 5. L rayon d la sphèr st GK or GK ; ; 3 3 3 soit ; ; 3 3 3 = + 6 + = 7 9 9 9 3 soit un rayon R = 7 3. La distanc d G au plan (FIH) st 3 or 3 < 7 donc la sphèr coup l plan (FIH) suivant un crcl. 3 Pas dmandé : détrminr l cntr t l rayon du crcl : Pour détrminr l rayon R du crcl : L cntr du crcl intrsction d la sphèr (S) t du plan (FIH) M étant un point du crcl, l triangl ΩMG st rctangl n Ω st Ω projction orthogonal d G sur (FIH), donc ΩM + ΩG = MG Pour détrminr l point Ω, il suffit d : détrminr la droit orthogonal n G à (FIH) ΩM = R ; ΩG = 3 t MG = 7 3 donc ΩM = 7 = 5, l 3 3 3 son point d intrsction avc l plan (FIH) d où l point Ω 5 crcl st d rayon 3. Amériqu du Sud novmbr 008
EERCICE 5 points Candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité. Un équation d S a. D st la droit d vctur dirctur u ' d coordonnés ( ; ; 0) or u. orthogonau t D t D sont orthogonals u ' = + ( ) + 0 0 = 0 donc u t u ' sont Si D t D sont coplanairs, lls sont sécants n un point M d coordonnés (t ; t ; ) puisqu il appartint à D, d plus l point M appartint à D donc AM st colinéair à u, or AM a pour coordonnés (t ; t ; ). La drnièr coordonné n étant pas null, AM n st pas colinéair à u donc D t D n sont pas coplanairs. b. La droit D st l nsmbl ds points M tls qu AM = t u avc t R = t D st la droit dont un rprésntation paramétriqu st : y = t (t R) z = H l projté orthogonal d M sur D donc MH st orthogonal à u t H a pour coordonnés (t ; t ; ). + y MH a pour coordonnés (t ; t y ; z) t MH. u = 0 soit (t ) + (t y) + 0 ( z) = 0 soit t = + y donc t = MH + y y a pour coordonnés : ; ; z. MH + y y = + + ( z) y + ( z) donc MH = ( ) ( z) c. un point M d coordonnés ( ; y ; z) appartint à S si t sulmnt MH = MK ( ) + = ( ) ( y) + ( z) = ( + y) + ( + z) + y y z 8 8 z = + y + y z 8 + 8 z z = y.. Étud d la surfac S d équation z = y. y + y + ( + z) a. Un équation du plan (Oy) st z = 0. Un point appartint à l intrsction d S t du plan ( O y) si t sulmnt si ss coordonnés vérifint z = y 0 = y = 0 y = 0 z = 0 ou. z = z = 0 0 z = 0 L intrsction d S t du plan ( O y) st donc la réunion ds du as (O ) t (O y). b. Un équation d un plan P parallèl au plan (Oy) st z = λ. Un point appartint à l intrsction d S t du plan P si t z = y sulmnt si ss coordonnés vérifint z = λ λ λ = y y =. z = 0 z = 0 si λ 0, la sction d S par un plan P parallèl au plan (Oy) st un hyprbol. Amériqu du Sud novmbr 008 5
c. Un point appartint à l intrsction d S t l plan d équation + y = 0 si t sulmnt si ss coordonnés vérifint z = y z = y z = + y = 0 y = y = la sction d S par l plan d équation + y = 0 st un parabol. Amériqu du Sud novmbr 008 6
EERCICE 3 3 points Commun à tous ls candidats. a. f st défini dérivabl sur ] 0 ; + [ t f () = = Si >, > donc f () > 0, f st strictmnt croissant sur ] ; + [ f () = 0 Si 0 < <, 0 < < donc f () < 0, f st strictmnt décroissant sur ] 0 ; [ f admt donc un minimum n b. f admt donc un minimum n, donc pour tout d ] 0 ; + [ alors f () f () soit f () ln ln () 0,69 donc pour tout > 0, f () > 0 donc ln < Pour tout >, ln > 0 donc 0 < ln < donc pour tout >, 0 < ln <. c. lim + = lim + = 0 donc d après l théorèm ds gndarms, lim + ln = 0.. Soit = n alors = n donc ln = ln n ln = n ln donc f n () = n n st un ntir naturl non nul, donc lim = + t lim ln + + donc lim + = n ln f n () = + Amériqu du Sud novmbr 008 7
EERCICE 7 points Commun à tous ls candidats. y + y = 0 y = y ls solutions d l équation différntill : y + y = 0 (E), sont donc ls fonctions d la form y() = k avc k rél qulconqu.. a. f () = (m + p ) donc n posant u() = t v() = m + p alors u () = t v () = m + p f () = (m + p ) + ( m + p) = donc f () = [ m + ( p + m) + p ] f st solution d (E ) pour tout rél, f () + f () = ( + ) + + + m p m p pour tout rél, [ m + ( p + m) + p ] + (m + p ) = ( + ) pour tout rél, [ m + ( p + m) + p + m + p ] = ( + ) pour tout rél, m + p = + m = t p = donc pour tout rél, f () = b. g f solution d (E) (g f ) + g f = 0 g + g = f + f or d après la qustion précédnt : pour tout rél, f () + f () = ( + ) soit n rmplaçant : g f solution d (E) pour tout rél, g () + g() = ( + ) g st solution d (E ) ( + ). g solution d l équation (E ) g f solution d l équation (E) g f d la form y() = k avc k rél qulconqu. pour tout rél, g() = rél qulconqu. 3. En posant u() = donc h () = ( + ) ( + ) + k avc k rél qulconqu pour tout rél, g() = t v() = + alors u () = + + = 0 = + 5 ou = 5 ( + ) soit h () = 8 t v () = + ( + + ) soit h () = 8 La fonction ponntill st toujours positiv donc h () a l mêm sign qu + + ( + + C) avc C ( + + ) 5 + 5 + h () 0 + 0 + h( + 5 ) h h( 5 ) 0. lim = + donc lim = + ; + st un polynôm donc lim ( + ) = lim = + donc lim h() = + h() = + = Soit =, lim = + t h() = + donc lim + + + + = 0 donc lim + h() = 0 or lim n = 0 donc lim = 0 t lim + + + 5. a. Pour étudir ls positions rlativs d C t Γ, il faut détrminr pour tout rél, l sign d h(). h() = ( + ) = ( + ) + = 0 = + 5 ou = 5 = 0 Amériqu du Sud novmbr 008 8
5 + 5 + + + 0 0 + h() + 0 0 + Position rlativ C st au dssus d Γsur C st n dssous d Γsur C st au dssus d Γsur d C t Γ : ] ; 5 [ ] 5 ; + 5 [ ] + 5 ; + [ Ls courbs C t Γ ont du points d intrsction a t B d abscisss rspctivs + 5 t 5. b. En blu la courb C rprésntant la fonction h, n roug Γ. A t B sont ls points d intrsction ds du courbs, C t D ls points d C où la tangnt st horizontal. Amériqu du Sud novmbr 008 9