[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calculs algébriques Équatios et systèmes Exercice [ 06 ] [Correctio] Observer que x 3 0 + 4 + 3 0 4 est solutio d'ue équatio de la forme x 3 αx + β avec α, β R Résoudre cette derière et détermier x Exercice [ 07 ] [Correctio] Résoudre les systèmes d'icoue x, y R : a x + y x + xy 0 b x + y xy c x y y x Exercice 3 [ 08 ] [Correctio] Résoudre les systèmes suivats d'icoue x, y, z R 3 : x + y z x + y z x + y + z a x y + z b x y + z c x y + 3z xyz 0 3x y + z 3 x y + z 3 a x x [] b 3x x [π] c x 0 [π] avec N Exercice 6 [ 0509 ] [Correctio] Soiet a u réel o ul Détermier les triplets x, y, z de réels o uls vériat : x + y + z a x + y + z a Sommes Exercice 7 [ 006 ] [Correctio] Parmi les formules suivates, lesquelles sot vraies : a i α + a i α + i a i b i a i + b i i a i + i b i c i αa i α i a i d i a ib i i a i i b i e α i aα i i a i f j i a i,j i j a i,j? Exercice 4 [ 09 ] [Correctio] Résoudre le système x ay + z x + a + z 3 x + ay + 3z 4 d'icoue x, y, z R 3, a désigat u paramètre réel Exercice 5 [ 05 ] [Correctio] Résoudre les équatios suivates d'icoue x R : Exercice 8 [ 0063 ] [Correctio] Établir l'ue des trois formules suivates : a + b ++ 6 c 3 Exercice 9 [ 0064 ] [Correctio] À partir des valeurs coues de et, calculer : a + b + + + + + 4
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Exercice 0 [ 0065 ] [Correctio] Calculer Sommes géométriques Exercice 6 [ 0070 ] [Correctio] Calculer, pour tout θ R, la somme eiθ Exercice [ 0066 ] [Correctio] Motrer que la suite de terme gééral u + est strictemet croissate Exercice 7 [ 007 ] [Correctio] Calculer, pour tout q C, la somme q Exercice [ 0067 ] [Correctio] Motrer N, Exercice 3 [ 0068 ] [Correctio] Calculer Exercice 4 [ 0069 ] [Correctio] a Calculer! +! +! p! b Soit p N Motrer que pour tout 0, p +!, il existe u uplet 0,,, p N p+ tel que c Justier l'uicité d'ue telle suite 0 ; p, 0 et Exercice 5 [ 050 ] [Correctio] Soiet N et x R Motrer cosx + 5 8 p! Exercice 8 [ 0053 ] [Correctio] Soit N Résoudre, lorsqu'elle a u ses, l'équatio : Sommes doubles cosx cos x 0 Exercice 9 [ 0073 ] [Correctio] À partir des valeurs coues de, et 3, calculer : a i,j i + j b i<j ij c i,j mii, j Exercice 0 [ 0074 ] [Correctio] Soit N Calculer C p<q p + q e remarquat Produits p,q p + q C + p p Exercice [ 0075 ] [Correctio] Parmi les formules suivates, lesquelles sot vraies : a i αa i α i a i b i a ib i i a i i b i c i a i + b i i a i + i b i?
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés 3 Exercice [ 0076 ] [Correctio] Calculer + E déduire A /3, B 3 /3 et C 3 + /3 3 + Exercice 3 [ 0077 ] [Correctio] O désire calculer le produit pour tout x R P x 0 a Commecer par traiter le cas x 0 [π] cos x b Pour x 0 [π], simplier sixp x et exprimer P x Exercice 8 [ 0088 ] [Correctio] Développer a + b + c Exercice 9 [ 0089 ] [Correctio] a Soit N Calculer Exercice 4 [ 03498 ] [Correctio] Pour N, simplier Nombres factoriels + 3 Exercice 5 [ 0079 ] [Correctio] Exprimer 4 puis 3 + à l'aide de factoriels Formule du biôme b Soiet, l, N tels que l Comparer l c Soit x ue suite de réels O pose Motrer que N, y N, x l et l l l0 x l l y Exercice 6 [ 008 ] [Correctio] Calculer pour tout N : a S 0 Exercice 7 [ 0084 ] [Correctio] Soit N Calculer b S p0 j p p c S Coeciets biomiaux Exercice 30 [ 0087 ] [Correctio] Calculer pour, p N, la somme p i + j i0 j
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés 4 Exercice 3 [ 0090 ] [Correctio] Motrer que pour tout N + Exercice 3 [ 0368 ] [Correctio] Soit N avec a O suppose que est premier Motrer,, }, divise b Iversemet, o suppose que est composé Motrer,, }, e divise pas Exercice 33 [ 03688 ] [Correctio] Soiet N a Justier, + b E déduire que pour tout etier vériat / < et pour tout etier vériat / < + c Commet iterpréter simplemet les iégalités qui vieet d'être obteues? Exercice 34 [ 03689 ] [Correctio] Motrer N, +
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 5 Correctios Exercice : [éocé] O remarque x 3 6x + 40 } 8 b S 9, 4 9, 7 9 } 5 c S 4, 3 8, 8 4 est solutio apparete de cette équatio x 3 6x 40 x 4x + 4x + 0 Les solutios de l'équatio sot 4, + i 6, i 6 Le ombre x correspod à la seule solutio réelle doc x 4 Exercice 4 : [éocé] O a x ay + z x + a + z 3 x + ay + 3z 4 x ay + z ay + az ay + z x ay + z ay + az az 0 Exercice : [éocé] a Si x, y est solutio alors xx + y 0 doc x 0 ou y x Si x 0 alors doe y ±/ Si y x alors doe x ±/ 3 Iversemet : o Fialemet : S 0, /, 0, /, / 3, / 3, / 3, / 3 } b Si x, y est solutio alors doe x y 0 d'où x y puis doe x y ± Iversemet : o Fialemet S /, /, /, / } c Si x, y est solutio alors et doet x 4 x d'où x 0 ou x Si x 0 alors y 0 Si x alors y Iversemet : o Fialemet, Exercice 3 : [éocé] S 0, 0,, } a Si x, y, z est solutio alors 3 doe x 0, y 0 ou z 0 Si x 0 alors y 3, z 5 Si y 0 alors x 3, z Si z 0 alors x 5 3, y 3 } Iversemet : o Fialemet S 0, 3, 5, 3, 0,, 53, 3, 0 Si a alors le système a pour solutio les triplets Si a alors le système équivaut à 3 z, z, z avec z R x ay ay z 0 Si a 0, il 'y a pas de solutios Si a 0, alors le système possède pour solutio l'uique le triplet Exercice 5 : [éocé] 3, /a, 0 a x x [] x [] x [], S Z [ b 3x x [π] 4x [π] x π ] } 4, S π+ 4 Z c x 0 [π] x 0 [ π ], S π } Z
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 6 Exercice 6 : [éocé] Soit x, y, z u triplet de réels o uls E passat l'icoue z e secod membre avat de réduire au même déomiateur, x + y + z a x + y + z a x + y a z x + y a z x + y a z x + y z a xy az x + y a z x + y x + y xy az O poursuit l'étude e distiguat deux cas Cas: x + y 0 Le système se réduit à la seule équatio z a ce qui produit les solutios x, x, a avec x R Cas: x + y 0 O simplie la deuxième équatio par x + y et o obtiet le système somme-produit x + y a z xy az Les solutios de ce derier système e les icoues x et y sot les racies de l'équatio r a zr az 0 c'est-à-dire r ar + z 0 Ses racies sot a et z ce qui coduit aux triplets solutios a, z, z et z, a, z avec z R Fialemet, les triplets solutios sot ceux formés par a et deux réels o uls opposés Exercice 7 : [éocé] b c f Exercice 8 : [éocé] Chacue des formules peut être acquise e raisoat par récurrece Exercice 9 : [éocé] a E séparat la somme b O réécrit et o réorgaise + + + + + + + + Exercice 0 : [éocé] D'ue part p et d'autre part Aisi + + 3 + p l + l p l p+ p p + p + + + 6 / si est pair + / si est impair Exercice : [éocé] E état attetif à l'expressio de la somme associée à u +, o a u + u + + + + + + + + + + > 0
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 7 Exercice : [éocé] Par récurrece sur N, sachat +! + +! +! +! Exercice 3 : [éocé] E écrivat au umérateur + Exercice 4 : [éocé] +! a E écrivat + p! + +!! +!! +! +! p +!! p +! b Par récurrece forte sur p 0 Pour p 0 : o Supposos la propriété établie jusqu'au rag p 0 Soit 0, p +! Réalisos la divisio euclidiee de par p +! : qp +! + r avec 0 r < p +! Puisque 0 < p +! o a 0 q p + Par hypothèse de récurrece, o peut écrire r p! et e preat p+ q o a p+! Récurrece établie c Supposos p! p! avec les coditios requises Si p < p alors p p! p p! +! p + p! < pp! p! Ceci est absurde doc écessairemet p p puis par symétrie p p O simplie alors le terme p p! et o repred le pricipe pour coclure à l'uicité Exercice 5 : [éocé] Il 'est pas possible d'exprimer simplemet la somme O miore celle-ci e employat l'iégalité cost cos t Pour tout 0 ;, o a cosx [ ; ] et doc cosx cos x E sommat ces iégalités, il viet cosx cos x O peut calculer la somme e secod membre e liéarisat cos x O sait cosa cos a et doc cos x + cosx O e déduit cos x + + cosx + cosx Cas: x 0 [π] O a cosx pour tout 0 ; et doc O a alors cosx + cosx + 5 + 8 ce que l'o peut aussi trouver par u calcul direct Cas: x 0 [π] O peut calculer la somme des cosx comme cela a déjà été réalisé das le sujet 08 et o obtiet cosx cosxsi + x six O trasforme l'expressio e employat sia cosb et o écrit cosx si + x + six 4 six sia + b + sia b 4 si + x six + 4
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 8 Étudios esuite la foctio ϕ doée par ϕx si + x six pour x 0 [π] Exercice 7 : [éocé] Si q alors q q+ q somme géométrique de raiso q Si q alors q + Celle-ci est π périodique et paire ce qui permet de limiter so étude sur ]0 ; π/] Soit x ]0 ; π/] Si x π/ +, la valeur ϕx est positive Sio, o a π six si + et l'iégalité si + x etraîe ϕx si + x six six si O e déduit puis cosx 4 E, e employat l'iégalité o coclut Exercice 6 : [éocé] Si θ 0 [π] alors si π + cosx + + 4 si six π x π + pour tout x [0 ; π/] cosx + 5 8 somme géométrique de raiso e iθ Si θ 0 [π] alors e iθ e iθ ei+θ e iθ + π + Exercice 8 : [éocé] L'équatio a u ses pour x π/ [π] E exploitat cosx Ree ix, o peut écrire cosx cos x Re e ix cos x ce qui apparaît comme ue somme géométrique Si x 0 [π] alors q eix cos x et e ix cos x cos + x e i+ x cos x cos x e ix Il reste à e détermier la partie réelle Puisque o obtiet Alors, pour les x cosidérés e ix cos x cos + x cos + x i si + x cos x i si x cosx cos x Si x 0 [π] alors x 'est pas solutio car si + x si xcos x cos x cos 0 si + x 0 x [ ] π x 0 + Fialemet, les solutios sot les cosx cos x + π + avec Z, o mutiple de + et o multiple impaire de + / lorsque est impair et a de teir compte de la coditio x π/ [π]
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 9 Exercice 9 : [éocé] a O développe puis i,j i,j i i + j i j i j i + ij + j i + j i + ij + b Il s'agit d'ue somme triagulaire puis i<j i<j ij i ij i ji+ i + i + i j ij i i j + 7 + 5 6 ji+ j + 3 + 4 c O orgaise la somme a de résoudre la valeur du mi i mii, j j + i puis i,j i,j mii, j i ii + i j + i i ji+ + + 6 et d'où Exercice : [éocé] b Exercice : [éocé] Exercice 3 : [éocé] + p q C p + q + + + 3 + + a Cas: x 0 [π] Tous les facteurs sot égaux à doc P x Cas: x π [π] Tous les facteurs sot égaux à sauf le premier qui vaut O a doc P x b E exploitat successivemet la formule sia sia cosa doc sixp x six cosx cosx cos x + si+ x P x si + x + six Exercice 0 : [éocé] Après réorgaisatio des termes Or p,q p + q C + p + p p p Exercice 4 : [éocé] Pour, o a puis après simplicatio + 3 + 3 + 5 3 5 3 + 3 + 3 + 3
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios 0 et pour + 3 5 ce qui red la formule précédete ecore valable Exercice 7 : [éocé] Par la formule du biôme j p + j e i π 3 cos π p 3 p0 Exercice 5 : [éocé] E extrayat u das chaque facteur 46 3! O a aussi et par ce qui précède A + B + C + A + jb + j C e i π 3 cos π 3 E itroduisat les facteurs pairs itermédiaires 35 + Exercice 6 : [éocé] a Par la formule du biôme b + x + x doe c doc doe doc 3456 + 46 S 0 + x + x S +!! x + x x + x + x + x + x x + x + x + x S + + puis aussi par cojugaiso A + j B + jc π i e 3 cos π 3 O e déduit après résolutio A + cos π π 3 3 cos, B π + cos cos π 3 3 3 3 et C 3 Exercice 8 : [éocé] a + b + c l0 Exercice 9 : [éocé] a Par la formule du biôme b O a ell + π + cos cos π 3 3 ell a b l c l et l +!! l!l! si 0 0 sio!!!! l! l!! l! l! l!! l! ell l l
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios c O a y Or avec Par suite l l0 x l l l0 x l l l l l l l l l l l l l si l 0 sio y x Exercice 30 : [éocé] O commece par exprimer le produit comme u rapport de ombres factoriels p i + p! i + j i! i0 i0 j j puis o itroduit u coeciet du biôme p i + p i + j p! i La somme itroduite peut être calculée grâce à la formule de Pascal p p + + p + +! i + j p! p +! i0 j Exercice 3 : [éocé] Par récurrece sur sachat : + + + + + i0 i0 + + + l Or + doc + + Exercice 3 : [éocé] + + + + + + + + + + + a O suppose premier O sait doc ce qui permet d'armer que divise l'etier Or est premier et doc premier avec puisque < Par le théorème de Gauss, o peut alors armer que divise b Supposos maiteat composé O peut itroduire p u facteur premier de avec p < Nous allos alors motrer que e divise par p ce qui permet de coclure Par l'absurde, supposos que m p soit u etier O peut écrire! mp! p! Puisque p divise, o peut aussi écrire pq avec q etier et doc pq! mp! pq! Das les produits déissat pq! et pq!, o retrouve les mêmes multiples de p, à savoir p, p, q p O peut doc écrire pq! a et pq! b avec regroupat le produit des multiples de p précédets et a et b o divisibles par p La relatio iitiale se simplie alors pour doer a mp!b ce qui etraîe que a est divisible par p C'est absurde!
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Correctios Exercice 33 : [éocé] a O peut écrire!!! + ce qui doe directemet la relatio soumise!! +! b Si / alors < + et doc + > puis + > La deuxième iégalité s'e déduit par la relatio de symétrie c Pour xé, la suite ie des coeciets biomiaux croît puis décroît e état extrémale e so milieu Exercice 34 : [éocé] O a + Or, pour xé, la suite ie des coeciets biomiaux est maximale e so milieu doc 0, et doc puis l'iégalité proposée +