ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot por e part importate das l'appréciatio des copies Les cadidats sot ivités à ecadrer, das la mesre d possible, les résltats de lers calcls Ils e doivet faire sage d'ac docmet ; sele l'tilisatio d'e règle gradée est atorisée L'tilisatio de tote calclatrice et de tot matériel électroiqe est iterdite Exercice Das cet exercice, m désige etier atrel o l O ote id (respectivemet θ l edomorphisme idetité (respectivemet l edomorphisme l d Cl - espace vectoriel Cl m et o cosidère edomorphisme f de Cl m vérifiat : ( f λ id o ( f λ id = θ, où λ et λ sot dex complexes disticts a Vérifier qe ( ( f λ id ( f λ id = id λ λ b E dédire qe : Cl m = Ker ( f λ id Ker ( f λ id c Coclre qe f est diagoalisable et doer ses valers propres (o sera ameé à étdier trois cas Das la site de l exercice, o désige par etier atrel et l o se propose de motrer q il existe pas de matrice de M + (IR telle qe = I, où I désige la matrice diagoale de M + (IR dot les élémets diagoax valet Trover e matrice de M + (Cl telle qe = I 3 Das cette qestio, o sppose q il existe e matrice de M + (IR telle qe = I a Utiliser la première qestio por motrer qe est diagoalisable das M + (Cl et qe ses valers propres sot i et i b Por tote matrice M = (m i, j i p de M p, q (Cl, o ote M la matrice ( m i, j i p j q O ote E i et E i les sos-espaces propres de associés ax valers propres i et i Motrer qe X E i X E i c E dédire qe, si (,,, p est e base de E i, alors (,,, p est e famille libre de E i Coclre qe dim E i = dim E i d Établir efi le résltat demadé j q
Exercice a Motrer qe l o défiit bie e iqe site (, à termes strictemet positifs, e posat : = et, por tot etier spérier o égal à, = b Vérifier qe = 3, pis calcler 3 j Motrer qe la série de terme gééral est divergete et doer lim j 3 a Établir qe :, + = + b E dédire qe la site ( est covergete c Doer éqivalet de l( lorsqe est a voisiage de pis détermier la + atre de la série de terme gééral l( + d E dédire lim l(, pis motrer qe lim = a Motrer qe :, = (, où ( (! désige le coefficiet biomial!! b E tilisat la qestio, détermier lim, pis motrer qe : ( = o( 5 E tilisat le résltat de la qestio 3, motrer qe : = o( ( Exercice 3 O cosidère dex variables aléatoires X et Y, défiies sr espace probabilisé (Ω, T, P, idépedates et sivat totes dex la loi ormale cetrée rédite (de desité otée ϕ et de foctio de répartitio otée Φ O pose Z = Sp(X, Y et l o se propose de détermier la loi de Z, aisi qe so espérace et sa variace a Motrer qe Z est e variable aléatoire à desité défiie elle assi sr (Ω, T, P b Vérifier qe Z admet por desité la foctio f défiie por tot réel x par : f (x = ϕ (xφ (x t a Rappeler la valer de l itégrale e dt b E dédire la covergece et la valer de e dt c E remarqat qe, por tot réel x, ϕ (x = xϕ (x, motrer, grâce à e itégratio par parties, qe : xf ( x dx= π + t e dt π d Motrer de même qe : xf( x dx= π + t e dt π E dédire qe Z a e espérace et doer sa valer t
3 a Motrer qe X et Z sivet la même loi b Détermier E(Z, pis doer la valer de la variace de Z Problème U mobile se déplace sr les poits à coordoées etières d axe d origie O départ, le mobile est à l origie (poit d abscisse Le mobile se déplace selo la règle sivate : s il est sr le poit d abscisse k à l istat, alors, à l istat ( + il sera sr le poit d abscisse (k + avec la probabilité k o sr k le poit d abscisse avec la probabilité k + Por tot de IN, o ote X l abscisse de ce poit à l istat et l o a doc X = O admet qe, por tot de IN, X est e variable aléatoire défiie sr espace probabilisé (Ω, T, P et o pose = P(X = Partie : étde de la variable X Vérifier qe X (Ω = {, } pis doer la loi de X Motrer par récrrece qe, por tot etier atrel, X (Ω = {,,, } k 3 a Motrer qe : IN *, k {,, }, P(X = k = k + P(X = k b E dédire qe : IN, k {,,, }, P(X = k = k + k j c E remarqat qe PX ( = k =, motrer qe : IN, = k = j+ d Retrover aisi les valers de et pis détermier et 3 a E remarqat qe la relatio obtee à la qestio 3a pet s écrire sos la forme (k + P(X = k = k P(X = k, motrer qe : IN *, E(X E(X = b E dédire, por tot etier atrel o l, E(X sos forme de somme mettat e je certais termes de la site ( j c Por tot etier atrel o l, doer la valer de et vérifier qe j j + = j+ j Dédire de ces dex résltats qe : IN *, = ( j( j+ d Motrer qe, por tot de IN *, Détermier esite lim + E(X Partie : étde d premier retor à l origie O ote T l istat aqel le mobile se trove por la première fois à l origie (sas compter so positioemet a départ et o admet qe T est e variable aléatoire défiie, elle assi, sr (Ω, T, P O coviet qe T pred la valer si le mobile e reviet jamais e O Par exemple, si les abscisses sccessives d mobile après so départ sot,,,,,,, alors o a T = Si les abscisses sccessives sot :,, 3,,,, alors o a T = + + 3
a Por tot k de IN*, exprimer l évéemet (T = k e foctio d évéemets mettat e je certaies des variables X i b Motrer qe : k IN *, P(T = k = kk ( + c Détermier les costates a et b telles qe : k IN *, = a k( k + k + b k + E dédire qe P(T = =, pis iterpréter ce derier résltat La variable T a-t-elle e espérace? Partie 3 : iformatiqe Compléter les dex istrctios maqates por qe le programme Pascal sivat, das leqel est déclaré comme costate (ici =, calcle et affiche,,,, aisi qe l espérace de X qi sera stockée das la variable e Program edhec_6 ; cost = ; var i, k : iteger ; s, e : real ; : array [] of real ; Begi [] : = ; writel([] ; e : = ; For k : = to do begi s : = ; For i : = to k do begi s : = ----- ; [k] : = s ; ed ; Writel([k] ; e : = ----- ; ed ; Writel(e ; ed a Compléter le programme sivat por q il calcle et affiche la valer prise par T lors de l expériece aléatoire étdiée O rappelle qe, si k est etier atrel o l, l istrctio radom(k revoie aléatoiremet etier compris etre et k Program edhec_6bis ; var T, hasard : iteger ; Begi Radomize ; T : = ; Repeat T : = T + ; hasard : = radom (----- ; til (hasard = ----- ; Writel (T ; ed b Est-o certai qe le ombre de passages das la bocle «Repeat til» est fii?
EDHEC 6 : optio S Corrigé de l épreve de mathématiqes Exercice a ( ( f λ Id ( f λ Id = λ λ (λ λ Id = Id λ λ b D après la qestio a, o a, por tot x élémet de Cl m : Id(x = ( ( f λ Id ( f λ Id (x = ( ( f λ Id (x ( f λ Id (x, d où : λ λ λ λ x = ( f λ Id (x ( f λ Id (x, ce qe l o pet écrire, par liéarité de f : λ λ λ λ x = ( f λ Id ( x + ( f λ Id ( λ λ λ λ x E posat x = ( f λ Id ( x et x = ( f λ Id ( λ λ λ λ x, o a : x Cl m, x = x + x O va maiteat vérifier qe x appartiet à Ker (f λ Id et qe x appartiet à Ker (f λ Id ( f λ Id (x = ( f λ Id( ( f λ Id ( x = (( f λ Id o ( f λ Id ( x λ λ λ λ O vérifie, e développat, qe (f λ Id o ( f λ Id = (f λ Id o ( f λ Id d où : ( f λ Id (x = (( f λ Id o ( f λ Id ( x = θ ( x = λ λ λ λ O a doc : x Ker ( f λ Id De même : ( f λ Id (x = ( f λ Id( ( f λ Id ( λ λ x = (( f λ Id o ( f λ Id ( λ λ x O obtiet tot de site : ( f λ Id (x = θ ( x = λ λ O a doc : x Ker ( f λ Id O viet de motrer qe : Cl m = Ker ( f λ Id + Ker ( f λ Id Il reste à motrer qe cette somme est directe, soit qe Ker ( f λ Id Ker ( f λ Id = {}
Cosidéros doc élémet x de Ker ( f λ Id Ker ( f λ Id O a alors : f (x = λ x et f (x = λ x, d où λ x = λ x, ce qi s écrit : (λ λ x = Comme λ λ, o a x = Ceci prove qe Ker ( f λ Id Ker ( f λ Id {} L iclsio réciproqe état évidete (car le vecter l appartiet ax dex oyax, o a l égalité : Ker ( f λ Id Ker ( f λ Id = {} Por coclre : Cl m = Ker ( f λ Id Ker ( f λ Id c La somme directe écrite ci-desss prove q a mois des dex oyax est pas rédit a vecter l, ce qi fait qe trois cas se présetet : Ker ( f λ Id = {} d où Cl m = Ker ( f λ Id O a doc f = λ Id, ce qi prove qe f est diagoalisable avec λ comme sele valer propre Ker ( f λ Id = {} d où Cl m = Ker ( f λ Id O a doc f = λ Id, ce qi prove qe f est diagoalisable avec λ comme sele valer propre Ker ( f λ Id {} et Ker ( f λ Id {} D après b, Cl m est somme directe des dex sos-espaces propres de f (associés ax valers propres λ et λ, ce qi prove qe f est diagoalisable et qe ses valers propres sot λ et λ La matrice diagoale dot les élémets diagoax sot égax à i vérifie bie = I 3 a E cosidérat l edomorphisme f de Cl + dot est la matrice das la base caoiqe de Cl +, o pet écrire f = Id, soit : ( f i Id o ( f + i Id = θ D après la première qestio, f est diagoalisable das Cl + et soit i, soit i, soit i et i sot ses valers propres (et doc celles de Mais das le cas préset, si avait q e valer propre (i par exemple, la matrice serait semblable à i I (car est diagoalisable et il existerait e matrice P iversible telle qe : = P ii P = i P I P = i I Ceci cotredit le fait qe est e matrice réelle E coclsio : est diagoalisable et ses valers propres sot i et i b X E i X = i X X = ix X = i X Comme la matrice est réelle, o a =, d où : X E i X = i X X E i O pet doc affirmer : X E i X E i c Comme,,, p sot élémets de E i, o sait, d après la qestio précédete, qe,,, p sot élémets de E i Motros qe (,,, p est libre Soit (λ,, λ p Cl p tel qe λ i i p i= = E cojgat, o obtiet : λ i Comme (,,, p est e base de E i, c est e famille libre et o pet e dédire qe : i {,,, p}, λ i = E cojgat à ovea, o a fialemet : i {,,, p}, λ i = Coclsio : p i= i =
(,,, p est e famille libre de E i Il fat maiteat motrer qe (,,, p est e famille géératrice de E i Por tot X de E i, o sait qe X appartiet à E i (d après 3b, doc, comme (,,, p est e base de E i, il existe p complexes λ,, λ p tels qe X = λ i i E cojgat, o obtiet : X = p λ i i i=, ce qi prove qe (,,, p est e famille géératrice de E i Fialemet, (,,, p est e base de E i et o a bie : p i= dim E i = dim E i = p d D après la qestio 3a, M + (Cl = E i E i doc + = dim E i + dim E i = p Cette égalité est impossible pisqe + est impair et p est pair L hypothèse émise a débt de la qestio 3 est doc irrecevable et o coclt qe : Il existe ace matrice de M + (IR telle qe = I Exercice a O procède par récrrece forte Por =, est bie défii par l éocé et = > Si l o sppose, por etier fixé das IN ( qe,, sot bie défiis et strictemet positifs, alors j > et, comme est bie défii ( et strictemet positif, o a bie : est défii et strictemet positif Coclsio : La site ( est bie défiie et à termes strictemet positifs Por l icité, o sppose q il existe e site (v telle qe v = et, por tot etier spérier o égal à, v = v j j = Tojors par récrrece forte, o motre qe :, v = Por =, o a bie = v Si l o sppose, por etier fixé das IN ( qe : j {,,, }, j = v j, alors o a facilemet j = v j, c est-à-dire = v j = Coclsio : O défiit bie e iqe site (, à termes strictemet positifs, e posat : = et, por tot etier spérier o égal à, = j = j
b Por =, la relatio qi défiit deviet : = 3 doc : = 3 De même, 3 = 5 ( + = 5 ( + et o a : 3 3 = 5 Comme = et comme tos les j sot positifs, o a j O e dédit, comme >, qe j, soit : Comme >, o pet alors écrire :, Comme la série de terme gééral diverge (série proportioelle à la série de Riema de paramètre, le critère de comparaiso por les séries à termes positifs motre qe la série de terme gééral diverge Comme c est e série à termes strictemet positifs, o a : lim j = j = 3 a, + = Comme, par défiitio, O a doc : j = + j = ( + j +, o obtiet : + =, + = + + + ( + b D après ce qi précède, + = + = + Or > et + > doc :, + < Comme, de pls <, o a fialemet :, + < La site ( est doc décroissate Comme elle est miorée par, o pet coclre :
La site ( est covergete c Le qotiet existe et est strictemet positif, doc l( + De pls, grâce à la qestio 3a, l( = l ( + + Comme lim =, o a : l( ~ + + existe La série de terme gééral est divergete et le critère d éqivalece por les séries à termes positifs assre qe : La série de terme gééral l( est divergete k d, l( = ( k = k + k = + l( k l( k+ = l( l( = l( car l( = k O e dédit qe :, l( = l( k = k + La série de terme gééral l( est divergete et à termes positifs (car k lim l( = k = k + O pet doc coclre qe : + lim l( = + > doc : O a alors immédiatemet : a O procède par récrrece Por =, = 3 et = ( 6 lim = = L iitialisatio est faite 3 Si l o sppose, por etier fixé spérier o égal à, qe =, alors : (
+ = + = + = ( +!! (! =!! ( +! E mltipliat par + +, o obtiet :!! + = ( +! + + =!( +! ( + ( +! E mltipliat par ( + + ( +!( +!, o a efi + = + ( + ( +! = ( + ( + + Par récrrece, o a bie : b O sait qe :, = Comme lim = et lim, = j = j j =, o a : ( lim = D après la qestio a, o a = ( doc lim ( =, ce qi pet s écrire : lim ( = et o a doc : ( = o( 5 O sait qe lim = doc lim ( = E mltipliat par, o a alors : lim Ceci vet dire qe : ( = =, ce qi s écrit ecore lim o( ( / ( =
Exercice 3 a Por tot réel x, o a : (Z x = (X x (Y x Comme X et Y sot des variables aléatoires, (X x et (Y x sot des évéemets (élémets de la trib T et ler itersectio est ecore élémet de T Ceci prove qe (Z x appartiet à T et qe Z est e variable aléatoire défiie sr (Ω,T, P Par idépedace de X et Y, o a P(Z x = P(X x P(Y x, ce qi doe : F Z (x = (Φ (x Comme Φ est de classe C sr IR, il e est de même de F Z, ce qi fait de Z e variable aléatoire à desité (les atres propriétés de F Z état vérifiées pisqe Z est e variable aléatoire b E dérivat F Z, o obtiet e desité de Z défiie par : x IR, f Z (x = ϕ (x Φ (x a E référece à la loi ormale cetrée rédite, o pet affirmer qe : e t dt = π t b E effectat le chagemet de variable = das l itégrale précédete (ce qi est atorisé car c est chagemet de variable affie, o obtiet : e dt O a alors : t = π e t dt = π Remarqe : o povait obteir ce résltat directemet e remarqat qe la foctio qi à t t associe e est e desité d e variable aléatoire sivat la loi ormale N(, π c Por tot réel x, ϕ (x = π e x, doc ϕ (x = x π e x = x ϕ (x, xf( x dx= xϕ( x φ( x dx O pose (x = Φ (x et v (x = x ϕ (x, avec (x = ϕ (x et v(x = ϕ (x Les foctios et v sot de classe C sr [, ] doc o pet réaliser l itégratio par parties qi doe : xf( x dx= [ ϕ (xφ (x] + ( ϕ( x dx, d où : x xf( x dx= ϕ (Φ ( + ϕ (Φ ( + e dx π Or lim ϕ ( = et, comme Φ est e foctio de répartitio, lim Φ ( =
De pls, ϕ ( = π, Φ ( =, et lim b près passage à la limite, o obtiet : e x dx x = e dx qi coverge d après xf ( x dx= π + π + e x dx d, xf( x dx = x x x dx ϕ( φ( La même itégratio par parties qe ci-desss doe : xf( x dx = ϕ (Φ ( ϕ (Φ ( + π Or lim De pls, lim o obtiet : e x dx ϕ ( = et, comme Φ est e foctio de répartitio, lim e x dx x = e dx xf ( x dx = π + π Φ ( = qi coverge d après b près passage à la limite, e x dx Grâce à la relatio de Chasles (sr des itégrales covergetes, o a : xf ( x dx= xf( x dx + xf( x dx, ce qi doe : xf ( x dx= π e x dx, et avec le résltat de la qestio b, o a fialemet : xf ( x dx= π Les itégrales croisées e c et d sot totes les dex absolmet covergetes (elles coverget et lers itégrades sot de sige costat doc Z possède e espérace mathématiqe et : E(Z = π 3 a Tot d abord, X (Ω = IR + et, por tot réel positif x, o a : (X x = ( x X x, d où l o dédit qe : x, F X (x = Φ ( x Φ ( x, mais comme Φ ( x = Φ ( x, o obtiet : x, F X (x = Φ ( x Par aillers, Z (Ω = IR + et, por tot réel positif x, o a : (Z x = ( x Z x, d où l o dédit qe :
x, F Z (x = F Z ( x F Z ( x, mais comme, por tot z de IR, F Z (z = (Φ (z, o obtiet : x, F Z (x = (Φ ( x (Φ ( x = (Φ ( x ( Φ ( x, et e développat, o a efi : x, F Z (x = Φ ( x Les foctios de répartitio de X et Z sot égales doc o pet coclre : X et Z sivet la même loi b O dédit de la qestio 3a qe, e particlier, X et Z ot même espérace Comme X sit la loi ormale N (,, o a : E(X = V(X + (E(X = Par coséqet : E(Z = Ceci garatit qe Z a e variace doée par la formle V(Z = E(Z (E(Z, d où l o dédit : V(Z = π Problème Partie État e O a départ, le mobile pet, soit se déplacer sr le poit d abscisse (avec la probabilité, soit rester e O (avec la probabilité E coclsio : X (Ω = {, } et X sit la loi B ( L iitialisatio est faite por = car X est la variable certaie égale à Si l o sppose qe, por fixé das IN, X (Ω = [, ], alors, por tot k de [, ], si le mobile est sr le poit d abscisse k à l istat, il se trovera, à l istat ( +, soit e O, soit sr le poit d abscisse k + (avec k + [, + ] Par coséqet : X + (Ω = [, + ] O coclt par récrrece qe : IN, X (Ω = [, ] 3 a vec le système complet d évéemets (X = j j, la formle des probabilités X = j totales s écrit : k [, ], P(X = k = P ( X = k P( X = j Comme k est o l, la sele faço por le mobile d atteidre le poit d abscisse k est de proveir d poit d abscisse k O a doc : j k, PX j X k = ( = = Il reste alors : P(X = k = PX k X k = = ( P(X = k O e dédit :
k [, ], P(X = k = k k + P(X = k k b E itérat, o obtiet : k [, ], P(X = k = k + k k P(X k = Ceci se simplifie et doe, e remplaçat P(X k = par k : P(X = k = k k + Cette égalité est ecore valable por k = (elle s écrit alors P(X = = et por = (elle s écrit alors P(X = = et o a fialemet : k [, ], P(X = k = k + k Remarqe : o povait obteir ce résltat e motrat par récrrece fiie sr i qe : k + i P(X = k = P(X i = k i k + c Comme, por tot etier atrel, (X = k k est système complet d évéemets, k o a P( X = k =, ce qi s écrit ecore = k = k = k + E effectat le chagemet d idice j = k, o a alors : IN, j j+ = d Por =, la formle précédete doe = Por =, elle doe : + =, d où l o tire : = Por =, o a : 3 + + =, d où l o tire : = 3 = 5 Por = 3, o a : + 3 + + 3 =, d où l o tire : 3 = 6 5 = 3 8 a La relatio obtee e 3a s écrit : k [, ], (k + P(X = k = k P(X = k E sommat por k allat de à, o trove, après avoir scidé la première somme : k = kp( X = k + P( X = k = kp( X = k, ce qi doe : k = k = E(X + P(X = = kp( + X = k, soit : k = E(X + P(X = = E( + X Par liéarité de l espérace, o obtiet : E(X + P(X = = + E(X