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Mathématiques AL Complexes DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS IMMÉDIATES... 3. DÉFINITION HISTORIQUE 3. DÉFINITION MATHÉMATIQUE 3.3 POLYNÔMES DANS C 5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NOTATIONS... 6. REPRÉSENTATION EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES 6. REPRÉSENTATION EN COORDONNÉES POLAIRES 6.3 IDENTIFICATION AUX VECTEURS 7.4 NOTATION EXPONENTIELLE 7 3 OPÉRATIONS SUR LES COMPLEXES... 8 3. DANS LEURS DIFFÉRENTES REPRÉSENTATIONS 8 3. MULTIPLICATION PAR UN COMPLEXE DE MODULE 0 3.3 PUISSANCES D UN NOMBRE COMPLEXE 3.4 RACINES N IÈMES D UN NOMBRE COMPLEXE 3.5 FORMULES D EULER ET LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES 3 4 APPLICATIONS EN PHYSIQUE... 4 4. REPRÉSENTATION DE FRESNEL D UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE 4 4. APPLICATION AU DIPÔLE RL SÉRIE 4 Page sur 4
Définitions et propriétés immédiates. Définition historique.. A l origine Mathématiques AL Complexes L idée de départ fut de créer des nombres non réels, dits «imaginaires», solutions d équations du second degré dont le discriminant est négatif, dans lesquelles on pourrait envisager d écrire la racine carrée d un nombre négatif. De nos jours, on appelle «complexes» ces nombres. C est ainsi qu au XVI siècle (vers 545) les mathématiciens italiens Bombelli et Cardano (Cardan) ont eu l idée d introduire le nombre i tel que : i² = -, i et i étant les solutions de l équation x² + = 0. Le symbole i fut choisi pour «imaginaire». Il représente, d après l équation ci-dessus, une «racine carrée de». La notion de racine carrée doit alors être employée avec un certain recul : La racine carrée d un réel positif B est l unique réel positif b tel que b² = B Ex : 5 = 5, et pas 5. Une «racine carrée» d un réel négatif B est un imaginaire b i (b réel) qui, mis au carré, donne B. (bi)² = b²i² = -b² = B (de même que (-bi)² = (-)²b²i² = b²i² = B). bi et bi sont, en ce sens, les deux racines carrées du réel négatif B. B = ± (-(-B)) = ± (-). (-B) = ±i (-B). (l utilisation du signe est impropre puisqu en l appliquant sur un nombre complexe elle peut renvoyer deux résultats) Ex : «(-5)» = ± (-). 5 = ± 5i ; «(-)» = ± (-). = ± i Aucun des imaginaires i, -i, i, -i, bi ou bi ne peut être déclaré positif ou négatif. Cette notion n a tout simplement pas de sens dans l ensemble des nombres imaginaires... Nombre complexe Une «racine carrée d un nombre réel négatif» a pour forme b i où b est un réel et est aujourd hui appelée imaginaire pur. La «somme» d un réel a et d un imaginaire pur bi forme ce qu on appelle un nombre complexe : = a + ib (si tant est que cette pseudo- addition, entre deux objets de natures différentes, ait un sens )..3 Utilité Les calculs avec les nombres complexes permettent : D écrire les solutions d équations polynômiales De simplifier certaines écritures, notamment trigonométriques De résoudre certaines équations différentielles, de calculer certaines intégrales réelles D écrire sous forme de calculs des résultats et des fonctions géométriques De simplifier les calculs traditionnels notamment en électricité, mécanique, automatisme, etc. (Lorsque les physiciens utilisent ces nombres, il y a risque de confusion avec l intensité i du courant électrique, aussi en physique utilisera-t-on le symbole j en lieu et place de i : j² = -). Définition mathématique.. Définition stricte Tout nombre complexe est tout couple donc ordonné -(a, b) de nombre réels. a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire. a, b = a, b a = a et b = b On décide que ( ) ( ) Page 3 sur 4
Mathématiques AL Complexes On munit l ensemble des nombres complexes, noté C, de deux «lois de composition internes», à savoir ici une addition, notée +, et une multiplication, notée, définies comme suit : a, b a, b a a, b b a, b a, b = a a b b, a b + b a ( ) + ( ) = ( + + ) et ( ) ( ) ( ).. Légitimité et utilité de l écriture = a + ib Supposons qu on se permette d écrire le complexe = (a, b) sous la forme = a + ib (on se permet donc d additionner des choux et des carottes). L égalité a + ib = a + ib signifie, d après la définition ci-dessus : a = a b = b a + ib + a + ib = a + a + i b + b. L addition donne : ( ) ( ) ( ) Ceci vérifie la définition mathématique de l addition. La multiplication donne : = a + ib a + ib = a a + a ib + ib a + i b b = a a b b + i a b + a b ( )( ) ( ) Ceci vérifie également la définition mathématique du produit de deux complexes. L écriture = a + ib est équivalente à la définition mathématique d un nombre complexe dans ses propriétés algébriques, si on lui associe le fait que i² = -. On peut voir en particulier que les nombres complexes (a, 0) de partie imaginaire nulle sont assimilables aux nombres réels a. L imaginaire pur ib est le complexe (0, b) et i, quant à lui, s écrit 0 + i et est donc le complexe (0, ). On utilisera dans un premier temps l écriture = a + ib pour mener à bien des calculs sur les nombres complexes...3 Propriétés des opérations élémentaires L addition est : associative : ( + ) + 3 = + ( + 3 ) + + = commutative : Elle admet un élément neutre : le complexe nul (0, 0), qui «est» donc le réel 0 dans la notation x + iy. La multiplication est : associative : ( ) = ( ) 3 3 commutative : = + = + distributive sur l addition :( ) 3 3 3 Elle admet un élément neutre : (, 0), assimilable au réel, ainsi qu un élément absorbant : (0, 0), assimilable au réel 0...4 Définitions associées Soit un nombre complexe = a + ib. * son conjugué est le nombre complexe : = a ib propriétés : 3 Page 4 sur 4
Mathématiques AL Complexes * son opposé est le nombre complexe : = a ib Soustraire un complexe, c est ajouter son opposé. * son module est le nombre réel positif : = a + b * son inverse est le nombre complexe : 4 (tente de démontrer la seconde égalité) Diviser par un complexe, c est multiplier par son inverse. Nb : comme dans le corps des réels, le complexe nul est l unique élément qui ne possède pas d inverse..3 Polynômes dans C.3. Généralités Un polynôme est une expression de type P() = a n n + a n- n- + + a + a + a 0. Comme dans R, les exposants sont des entiers positifs et n est le degré du polynôme P(). Par contre, la variable est ici un nombre complexe, ainsi que les coefficients a k. Théorème fondamental de l algèbre (théorème de d Alembert-Gauss) : Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C. Conséquence immédiate : Tout polynôme non constant à coefficients complexes est scindé, c est à dire que tout polynôme de degré n peut être écrit comme le produit d un coefficient complexe par n facteurs polynomiaux de degré : P() = a n n + a n- n- + + a + a + a 0 = a n ( ) ( ) ( n ) Cela signifie que tout polynôme de degré n admet au moins une et au plus n racines distinctes dans C (parmi les racines,,, n, certaines peuvent éventuellement être égales)..3. Polynômes du second degré Les propriétés citées au point..3 assurent que tout polynôme du second degré, a² + b + c, peut être résolu par la même méthode que celle utilisée dans R : * Calculer = b² - 4ac ( est alors un nombre complexe) b ± * Les racines sont obtenues par la formule : = a (l existence de est toujours assurée dans C, même si sa recherche manuelle n est pas toujours immédiate voir partie 3.4).3.3 Factorisation Lorsqu on connaît une racine d un polynôme P() de degré supérieur ou égal à, on peut souhaiter factoriser ce dernier par ( ). Pour cela, il est possible d utiliser la méthode de division polynomiale décrite dans le document «Calcul et raisonnement» de remise à niveau. Il faut alors poser la division de P() par le polynôme du premier degré ( ), par puissances décroissantes. Page 5 sur 4
Représentation graphique et notations. Représentation en coordonnées cartésiennes Mathématiques AL Complexes Nous considérons un repère orthonormé (O, Ox, Oy). A tout point M de coordonnées (a, b) correspond de manière unique le nombre complexe = (a, b) = a + ib. Le plan est isomorphe à l ensemble des complexes, si bien que nous pourrons l appeler «le plan complexe». Nous dirons que M est l image du nombre complexe. et que est l affixe du point M Résultats immédiats (voir figure au-dessous) : Le point O est l image de = 0 ; Les points de l axe Ox sont les images des nombres réels ( = a). (Ox) est appelé l axe «Réel» Les points de l axe Oy sont les images des nombres imaginaires purs ( = ib) (Oy) est appelé l axe «Imaginaire» Les images de et - (opposés) sont symétriques par rapport à O. Les images de et (conjugués) sont symétriques par rapport à (Ox).. Représentation en coordonnées polaires Dans le plan il est aussi possible de définir M par ses coordonnées polaires : ρ et θ Liens avec la représentation cartésienne : En observant les représentations dans le plan, on peut à partir du module et de l argument calculer les parties réelle et imaginaire : a = ρ cos θ et b = ρ sinθ On s aperçoit que ρ = a + b =, module de. Ox, OM, modulo π, il se nomme argument de, Arg(). Quant à θ, mesure de l angle orienté ( ) b On a en particulier : tan( θ ) = a On définit ainsi l écriture trigonométrique d un nombre complexe : = ρ ( cosθ + i sinθ ) associée à son écriture polaire sous forme de couple : = (ρ, θ ) remarque : un complexe est nul si et seulement si ρ = 0. En effet, aucune valeur de θ ne peut rendre nul si ρ ne l est pas. Page 6 sur 4
Mathématiques AL Complexes Opposé et conjugué : ( ) ( cos sin ) ( cos sin ) cos( ) sin ( ) = ρ θ + i θ = ρ θ i θ = ρ θ + π + i θ + π Donc : - 5 = ρ = et Arg(-) = θ + π = Arg() + π ( ) ( cos sin ) cos( ) sin( ) = ρ θ i θ = ρ θ + i θ Donc : 6 = et Arg( ) = -Arg().3 Identification aux vecteurs On notera aussi qu au nombre complexe = (a, b) correspond le vecteur OM a = b On note que ρ = a + b = = OM = OM Ox, OM. et que θ = Arg() = ( ) Soustrayons les deux complexes et affixes de deux points M et M : ( a a) i( b b) Or MM a a = b b est donc le représentant du vecteur MM, module : = MM Arg = O x, MM argument : ( ) ( ) = +..4 Notation exponentielle On montre (voir ci après) qu un nombre complexe peut aussi être écrit sous forme exponentielle (travaux d Euler, Mathématicien Suisse 707-783) : e i θ = ρ Cette dernière notation permet de simplifier de nombreux calculs. On peut la démontrer comme suit à partir de la notation trigonométrique : Page 7 sur 4
7 ( cos( ) i sin ( )) = ρ θ + θ d ( ) dθ = + d iρ ( isin θ cos θ ) i dθ = + = ' = i, sans oublier que pour θ = 0, = ρ Dérivons par rapport à θ : ρ sin ( θ ) i cos ( θ ) Mettons i en facteur : ( ) ( ) Ainsi on a : Ceci est une équation différentielle du er ordre dont la solution est nécessaires à utiliser sur les fonctions à variable complexe) Mathématiques AL Complexes ρ i = e θ. (passons sur les résultats 3 Opérations sur les complexes 3. dans leurs différentes représentations Cartésienne Trigonométrique Addition et soustraction + = a + a + i b + b ( ) ( ) ( ) ( ) = a a + i b b ( ρ cosθ ρ cosθ ) i( ρ sinθ ρ sinθ ) + = + + + aucune simplification possible, ni avec la soustraction Multiplication et division = a a b b + a b + b a i ( ) ( ) ( a a + b b ) + i ( a b a b ) = a + b [( cos cos sin sin ) ] ( ) = ρ ρ θ θ θ θ ( cosθ sinθ sinθ cosθ ) cos ( ) isin ( ) + i + = ρ ρ θ + θ + θ + θ ainsi : = et Arg( ) = Arg( ) + Arg( ) ( cos ( ) + isin ( )) ( ρ cosθ ) + ( ρ sinθ ) ρρ θ θ θ θ = ρ = + ρ ( cos ( θ θ ) isin ( θ θ )) ainsi : = = et Arg Arg ( ) Arg ( ) Page 8 sur 4
Mathématiques AL Complexes Addition et soustraction θ θ + = ρ e + ρ e i aucune simplification possible, ni avec la soustraction i Multiplication et division ( ) e i θ e i θ e i θ + θ = ρ ρ = ρ ρ d où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique Exponentielle ρ e ρ iθ = = iθ ρe ρ e ( θ θ ) i d où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique + représente le vecteur OM + OM ON = OM OM x, x O ON = O, OM + O x, OM ( ) ( ) ( ) Vectorielle et graphique représente le vecteur MM OM ON = OM Ox, ON = Ox, OM Ox, OM = OM, OM ( ) ( ) ( ) ( ) Page 9 sur 4
3. Multiplication par un complexe de module Mathématiques AL Complexes 3.. Multiplication par i Considérons les deux nombres complexes écrits sous leur forme géométrique polaire : π = ( ρ, θ) et i =, ou encore sous leur forme exponentielle : ei θ = ρ et i e i π =. π π i =,, =, + ρ θ ρ θ (voir aussi avec l écriture exponentielle) Formons leur produit : ( ) π Le module de i est égal à celui de mais son argument est augmenté de. Ainsi le point image π M de i se déduit du point image M de par une rotation de centre O et d angle de rotation. Exemple : Donner les coordonnées du point B, image de A(5 ; ) par rotation de centre O et d angle 90. 8 B = i. A = i( 5 + i) = + 5i donc B = (,5) 3.. Cas général Soit un complexe 0 de module. En écriture exponentielle : 0 e e e i ( θ + θ ) 0 0. i θ i θ = ρ = ρ M ( 0 ) se déduit du point M() par la rotation de centre O et d angle θ 0. Exemple : Donner les coordonnées de B, image de A(5 ; ) par la rotation de centre O et d angle 60. 9 π π π 3 Il faut multiplier A par le complexe, = cos + i sin = + i : 3 3 3 3 5 5 3 5 5 3 B = ( 5 + i) + i = 3 + i +. Donc B = 3, + 3..3 Rotation autour d un point quelconque Les nombres complexes peuvent nous faire déterminer la position de l image A d un point A par une rotation de centre W, point du plan autre que l origine de notre repère. En effet, les vecteurs WA et WA sont décrits par les nombres complexes A W et A W. Or, comme vu précédemment, une rotation d angle θ 0 se traduit en nombres complexes par la multiplication par 0 e iθ 0. D où : e iθ ( ) = A W A W Page 0 sur 4
Mathématiques AL Complexes Exemple : Quelles sont les coordonnées de B, image du point A(5 ; ) par la rotation de centre C(3 ; ) et d angle 60? 0 π π π 3 Il faut multiplier A par le complexe, = cos + i sin = + i : 3 3 3 3.3 Puissances d un nombre complexe Considérons le nombre complexe : ( i ) cos sin e i θ = ρ θ + θ = ρ. Nous voulons calculer n. iθ n n iθ n n inθ Grâce à la notation exponentielle, on voit que ( ρe ) = ρ ( e ) = ρ e n ( cos sin ) n n n = ρ θ + i θ = ( ρ, θ ) = ( ρ, nθ ) Cela exprime la formule de Moivre : Cette formule permet d obtenir les formules trigonométriques exprimant cos(nθ), sin(nθ), tan(nθ) en fonction de cos(θ), sin(θ), tan(θ). 3.4 Racines n ièmes d un nombre complexe On appelle racine n ième de tout nombre complexe w = ( r, α ) tel que w n =. On obtient : n r = ρ, et comme ρ est positif, on a : nα = θ + k.π 3 n n r = ρ = ρ θ k α = +. π, k 0; n n [ n ] Page sur 4
Mathématiques AL Complexes A chaque valeur de l entier k entre 0 et n- correspond un angle α particulier, donc un point du plan particulier et un nombre complexe w particulier. Cependant, à deux valeurs de k distantes de n ( k = k + n) correspondent deux valeurs de α distantes de π soit le même nombre complexe! n On a donc n solutions distinctes à l équation w =. Les points images dans le plan complexe de ces n solutions sont les sommets d un polygone régulier à n côtés centré sur l origine O. Exemple graphique des racines sixièmes de = 64e, qui sont les π k complexes w k de module 6 64 = et d arguments α k = +.π, k 8 6 entier valant de 0 à 5 : 3π i 4 Etudions dans le cas général la somme S de ces n racines : n θ k Soit n wk = ρ, +. π, 0 k n et S = wk n n k = 0 Soit le complexe u, π = n. Calculons le produit u. w k :., π θ k k,., n θ + n u wk = ρ + π = ρ + π = wk + n n n n n Nous pouvons alors calculer le produit u.s : n n n car w n = w 0 (vérifie-le). 4 u. S = u. w = u. w = w = S k k k + k = 0 k = 0 k = 0 π Ainsi nous pouvons écrire : S ( u ) = 0. Or u =,, donc u 0. n Donc, pour que l égalité encadrée soit vérifiée on a nécessairement S = 0. La somme des n racines n ièmes d un nombre complexe quelconque est nulle : n k = 0 w k = 0 Page sur 4
3.5 Formules d Euler et lignes trigonométriques Mathématiques AL Complexes ix Soit la notation exponentielle d un nombre complexe de module, e = cos x + i sin x, e ix = cos x + i sin x = cos x isin x. Il vient en changeant x en x : ( ) ( ) Additionnons puis soustrayons membre à membre ces deux expressions. Nous obtenons deux expressions pour les fonctions trigonométriques usuelles, les deux formules d Euler : 5 e + e e e cos x = ; sin x = i ix ix ix ix Note : On peut alors écrire 6, qui, une fois développé puis ses termes réorganisés, aboutit à des combinaisons de fonctions trigonométriques au premier degré d angle double, triple, etc. Par de tels procédés, on retrouve très facilement toutes les formules usuelles de linéarisation de trigonométrie. Exemple : linéarisons cos 3 x : 7 ix ix 3 3 e + e 3 3 3 cos cos 3 cos i x i x ix ix i x i x ( ) cos x = = e + 3e e + 3e e + e 8 3 3 i x i x ix ix e + e e + e = ( e + e + 3( e + e )) = + 3 8 4 3 x = ( x) + x 4 4 i3x i3x ix ix Page 3 sur 4
4 Applications en physique 4. Représentation de Fresnel d une grandeur sinusoïdale Considérons la fonction sinusoïdale suivante : U t = A ωt + ϕ ( ) sin( ) d amplitude A et de pulsation ω. Dans le plan xoy, à chaque valeur de t correspond un vecteur OM ( t) d affixe un complexe (t) de module A et d argument t + ω ϕ Mathématiques AL Complexes Lorsque t augmente à vitesse constante (comme le fait le temps, par hypothèse ), le vecteur OM ( t) décrit une rotation à la vitesse angulaire (pulsation) constante ω (rad.s - ). La valeur U(t) de la fonction U est ici l ordonnée du point M(t) et oscille entre A et A à un rythme sinusoïdal. Dans chaque quart de cercle (délimité par les axes), l angle moyen parcouru vaut π/4 et donc la valeur moyenne de U() vaut, en valeur absolue, Asin(π/4) = A/, valeur efficace du signal. Cette représentation permet de combiner des vibrations sinusoïdales de même pulsation (ou fréquence) ou d observer le déphasage entre deux signaux (écart d angle entre les deux vecteurs correspondants). Il s agit de la représentation de Fresnel (physicien Français 788 87). Les sommes ou différences entre deux ou plusieurs signaux sont traités de manière commode par les calculs avec les nombres complexes que l on peut leur associer. 4. Application au dipôle RL série La figure ci-contre, à gauche, représente un dipôle RL série. Les amplitudes des tensions aux bornes des dipôles sont : U = R R I et U = Lω I. Le courant et la tension L aux bornes de la résistance sont en phase. L inductance déphase la U = U R + U L tension à ses bornes de 90 en avance par rapport au courant électrique (intensité). En représentation de Fresnel, le vecteur U L présente donc un angle de +90 par rapport au vecteur U R (voir ci-dessous, à droite, et diapo) ; en notation complexe, cela revient à une multiplication par j (avec j² = -, et non i pour ne pas confondre avec l intensité) : ul = Li avec L = jl ω ur = Ri avec R = R La tension U se décrit donc dans un schéma de Fresnel par la création du vecteur U, égal à la somme U + U, et en nombres complexes : u = u R + u L. Quant à la tension réelle U(t) du circuit, elle vaut la R L deuxième coordonnée du vecteur U, c est à dire la partie imaginaire de u. U u = u R + u L. = Ri + jlω i = ( R + j Lω) i. Ainsi si nous appelons l impédance complexe de l association de ces dipôles : = R + jl ω Son impédance réelle, quant à elle, est le rapport des modules des tension et intensité, soit : I U R R R + j Lω = R + L ω L U L U U R U L I Page 4 sur 4