CALIBRATION DU COUT DU RISQUE D UN PORTEFEUILLE BANCAIRE

CALIBRATION DU COUT DU RISQUE D UN PORTEFEUILLE BANCAIRE Utlsaton de la méthode sem-analytque de prcng de CDO 02 Ma 2005-04 Novembre 2005 Sanaa BENNEHHOU Flère : CDR Opton : Mathématques Applquées PROMO : 2005 Tuteurs Ecole : Opton : Lonel GABET Flère : Danel GOUVENOT Maîtres de stage : Benoît ROGER Vven BRUNEL

REMERCIEMENTS Je tens à remercer en premer leu messeurs Km Ly et Franck Taeb pour m avor accuelle dans leur servce et m avor offert la possblté de mener cette étude. Je remerce également messeurs Benoît Roger et Vven Brunel qu m ont encadrée, consellée et drgée pendant ces sx mos. J a partculèrement apprécé leur grande expérence du méter et leur professonnalsme à toute épreuve. Je termnera en remercant tous les membres de l équpe RISQ/RCE pour leur constante dsponblté. 2

SOMMAIRE Introducton.4 I. Généraltés sur les dérvés de crédt...5 a. Le marché des dérvés de crédt b. Défnton de quelques produts de base. Les CDS. Les n to default. Les CDOs II. Prcng des produts dérvés de crédt par des méthodes sem-analytques.0 a. Prcng des CDS b. La méthode de Hull&Whte pour le prcng des n to default et des CDOs. Le modèle monofactorel. Extenson au modèle multfactorel. La premère méthode de Hull&Whte : récurson sur le nombre de défauts v. Le seconde méthode de Hull&Whte : probablty bucketng v. Applcaton au prcng des n to default v. Applcaton au prcng des CDOs III. La problématque de la corrélaton.20 a. Corrélaton composée et smle de corrélaton b. Corrélaton de base c. Comment reprodure le smle de corrélaton IV. Applcaton à la mesure de rsque d un portefeulle bancare..23 a. Généraltés sur les mesures de rsque. Défnton d une mesure de rsque cohérente. Quelques mesures de rsque b. La transformée de Wang c. Dstrbuton des pertes d un portefeulle bancare d. Calbraton du coût du captal. Défntons. Len avec la transformée de Wang. Méthodologe de la calbraton du coût du captal v. Hypothèses sur les données rsque neutre et hstorque de l Itraxx v. Dstrbutons des pertes hstorque et rsque neutre v. Dynamque de % ϕ( α ) Concluson..34 Annexes 3

Introducton : L es banques sont tenues de couvrr leurs actfs et, dès lors, les crédts qu elles octroent par des fonds propres. Cette oblgaton est rége par l Accord de Bâle sur les fonds propres (accord dt de Bâle I), conclu en 988, qu fxe des exgences mnmales concernant les fonds propres destnés à couvrr les rsques lés aux opératons de crédt et vse à renforcer la stablté du système bancare nternatonal. Le coût du captal correspond à la rémunératon qu attendent les actonnares pour ce captal qu ls ont ms à dsposton. Dans cette étude on cherche à évaluer celu du portefeulle bancare s l état coté sur le marché des CDOs. Pour cela,on assmlera le portefeulle bancare à un CDO pus on calbrera le coût du rsque de la banque sur l Itraxx, un ndce des CDOs. Dans une premère parte on présentera les produts dérvés de crédt de base qu sont cotés ans qu une méthode sem analytque de leur évaluaton. On examnera ensute la problématque du smle de corrélaton pus on applquera cet outl de prcng pour la calbraton d une foncton qu fera le len entre le coût du rsque de l ndce Itraxx et celu du portefeulle bancare. Le coût du rsque obtenu permettra alors de recalculer le coût du captal. 4

I. Descrpton de quelques produts dérvés de crédt et généraltés : a. Le marché des dérvés de crédt : Les produts dérvés de crédt sont des nstruments fnancers qu offrent à leurs utlsateurs des moyens de geston et de maîtrse du rsque de crédt. Ils permettent, tout en conservant les ttres exposés, d soler leur composante rsque de crédt, pour la transférer vers un ters. Sur quelques ponts, ls se rapprochent des produts dérvés classques, d actons et de taux d ntérêt par exemple. Premèrement, comme des marchés dérvés tradtonnels d actons et de taux, le marché des dérvés de crédt permet de gérer son exposton à un rsque fnancer, dans ce cas, le rsque de crédt. Il permet de mettre en lason les nvestsseurs ayant pour objectf d élmner le rsque de crédt et ceux apportant une réponse à leurs souhats. Deuxèmement, comme une opton sur acton permet une maîtrse du rsque de marché du sous-jacent, le dérvé de crédt est un contrat fnancer qu donne à son détenteur la possblté de se défare du rsque de crédt résultant d un premer contrat. Certans l ont à juste ttre comparé à une sorte d assurance sur le rsque de crédt. Le vendeur de la protecton est l assureur et l acheteur de la protecton l assuré. Depus quelques années le marché des dérvés de crédt se caractérse par une crossance rapde. On s attend à une crossance de 5000G USD à la fn de cette année et de 8200G USD en 2006. Credt Dervatves Internatonal Debt Securtes 67,8 992,7 7503 8 206 6363,7 3480,2 4285,2 5353,5 3 548 5 02 80 350 586 893 89 952 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004(e) 2006(e) Evoluton du volume des dérvés de crédt Les CDS sont les produts dérvés de crédt les plus lqudes suvs par les CLOs. 5

parts des produts dans le marché des dérvés de crédt ( fn 200 ) CDS CLO CLN Asset sw aps TROR Produts sur paner CSO De nombreux domanes d actvté y sont représentés. Les acteurs prncpaux sont les banques et les nvestsseurs nsttutonnels tels que les compagnes d assurance. acheteurs de procton en fn 2004 Banques Brokers Entreprses Assureurs et réassureurs Autres( dont hedge funds ) Les banques, à la recherche d outls de geston optmale de leurs lgnes de crédt, ont recours à ces produts pour rédure leur concentraton en crédt dans un secteur d actvté partculer. Les dérvés de crédt leur permettent également de dversfer leurs portefeulles de prêts. Par cette technque fnancère, elles peuvent contnuer à prêter tout en mnmsant leur exposton au rsque de crédt. D autres rasons tant économques que commercales explquent le développement rapde du marché des dérvés de crédt. D un pont de vue économque, l peut offrr une grande rentablté, en rason de la possblté d nterventon dans des domanes d actvté où le rsque de crédt est très élevé. D un pont de vue commercal, les dérvés de crédt, parce qu ls sont des nstruments fnancers de transfert de rsque sans cesson de la créance sous-jacente, permettent à leurs utlsateurs de conserver dans leurs portefeulles des nvestssements présentant des perspectves de crossance réelles. 6

b. Défnton de quelques produts de base :. Le Credt Default Swap : Le Credt Default Swap est le produt dérvé de crédt le plus lqude. Il s agt d un contrat entre deux partes : un acheteur de protecton (A) et un vendeur de protecton (B). C est une protecton de l acheteur A contre un éventuel défaut d une entté de référence (C). Cette protecton est valable jusqu à la maturté du swap. En échange de cette protecton, l acheteur A verse pérodquement au vendeur B une prme et ce jusqu au défaut de C ou jusqu `a maturté du swap. En contre parte, le vendeur de protecton s engage à effectuer un paement dans le cas d un évènement de défaut de l entté C (fallte de la socété, défaut de paement, accélératon de la dette, restructuraton de la dette ).Ce paement équvaut la dfférence entre le nomnal de la dette et le taux de recouvrement à la date du défaut. Le graphque c-dessous est un exemple de CDS dont la prme est de 20 bps par an.. Les n to default (ou basket defaut swap) : Les n to default sont des swaps smlares aux CDS. L unque dfférence est au nveau de la défnton d un évènement de défaut : celu-c n est plus dépendant d une seule entté mas d un portefeulle de crédt. L acheteur dans le cas d un n to default reçot un paement lorsque le nème nom fat défaut ( n défauts ). Les nvestsseurs sont alors exposés à la tendance de ces noms à évoluer dans le même sens (fare défaut ou survvre) d où l appartenance de ces produts à une catégore dte de «produts de corrélaton». Paement de la prme : Contnue jusqu au n ème défaut ou maturté Acheteur du n to default spread du n to default Vendeur du n to default Paement de la protecton : Unquement s événement de défaut de n noms. Acheteur du n to default (-R) sur les noms ayant fat défaut Vendeur du n to default 7

. Les CDOs : Les CDO ou «Collateralsed Debt Oblgatons» sont des émssons de ttres fnancers adossés à un portefeulle d actfs fnancers de nature dverses : On parle de CBO dans le cas d oblgatons et de CLO dans le cas de prêts. La structure d un CDO est celle d un montage de ttrsaton classque. Elle est composée de tros mécansmes : - La créaton d un portefeulle de référence composé de ttres fnancers ou de créances bancares. - La déconnexon entre les actfs et le cédant à travers un SPV( Specal Purpose Vehcle ) ou fonds commun de créances dont l actvté est lmtée à la transacton. Les actfs à ttrser dovent être transférés de manère absolue au SPV. Les actfs cédés sont alors consdérés comme n appartenant plus au cédant permettant ans d évter qu en cas de défaut du cédant, ces actfs pussent fare parte de sa fallte. - L allocaton des flux aux nvestsseurs en foncton de leur tranche. Le découpage en tranches correspond à une prorté dans le paement de la prme et le remboursement du captal. On dstngue 3 types de tranches : La tranche equty : l s agt de la tranche la plus rsquée et donc la meux rémunérée. Son rendement est fortement lé à celu du portefeulle sousjacent. Elle est la premère à absorber les pertes dans le cas de défauts dans le portefeulle. Les tranches mezzannes : l s agt de tranches ntermédares, mons rsquée que la tranche equty et donc de spreads plus fables. La tranche senor : c est la dernère tranche d un CDO donc la mons rsquée. Elle n est attente que s un grand nombre d entreprses font défaut. La fnalté de ce montage est de transférer le rsque de chacun des émetteurs du portefeulle aux nvestsseurs. Toutefos l exste des mécansmes de rehaussement de crédt qu permettent une protecton des tranches senor et mezzannes tels que : le surdmensonnement de l actf, la créaton d un compte de réserve, la retenue de marge d ntérêt excédentare. Il exste pluseurs types de CDO qu on peut classer selon l objectf poursuv ( geston de blan ou arbtrage ), le mode de ttrsaton ( cash ou synthétque ) ou les actfs sous-jacents ( prêts bancares, ttres oblgatares, CDS, produts structurés ( CDO d ABS, CDO de CDO ), portefeulles hybrdes ). Selon l objectf poursuv : Les CDO de blan sont des opératons de ttrsaton qu permettent de sortr du blan des actfs et les dettes assocées ce qu allège le blan, amélore un certan nombre de ratos fnancers et lbère des fonds propres. Les CDO d arbtrage sont des transactons où l ntateur construt lu-même son portefeulle sousjacent va des achats dans le marché et génère une marge d ntérêt à partr de l écart entre le rendement moyen du portefeulle sous-jacent et la rémunératon des détenteurs des tranches. 8

Selon le mode de ttrsaton : On parle de CDO cash lorsqu on a non seulement un transfert de rsque mas également un transfert de proprété au SPV. Le SPV acquert les drots sur sous-jacents lorsque ceux-c sont des oblgatons, des prêts bancares et commercaux ou des actfs mmoblers par exemple. Un CDO synthétque est un CDO dont les sous-jacents sont des dérvés de crédt, le plus souvent des CDS. Dans ce qu sut, nous nous ntéresserons prncpalement aux CDOs synthétques, à leur structure ans qu à leurs méthodes d évaluaton. 9

II. Prcng des produts de corrélaton par des méthodes semanalytques : a. Evaluaton d un CDS : L une des données essentelles pour le prcng de la plupart des produts de corrélaton et plus partculèrement les CDOs sont les spreads des CDS du portefeulle sous-jacent. Il est alors fondamental de pouvor évaluer ce produt de base. On défnt un CDS correspondant à un nom d ntensté de défaut λ de maturté T, avec N paements en cas de non-défaut (les paements s effectuent avec une pérodcté δ =T/N) et de spread s qu on cherche à calculer. L acheteur de protecton paye un spread s au vendeur jusqu à maturté ou défaut du nom. Dans le cas d un défaut, le vendeur de protecton paye ( -recouvrement )* nomnal. Un CDS fonctonne alors comme un swap tradtonnel comportant deux jambes : Acheteur du CDS Payment Leg Default Leg Vendeur du CDS Default leg : Il s agt du payement du vendeur en cas de défaut : τ DL = ( R). E exp rt dt. ( τ T ) 0 Payment leg : Il s agt des paements régulers de l acheteur de protecton jusqu au défaut ou la maturté : t N P L = E s. δ.( τ t ). ex p r. u d u f = 0 où t sont les nstants de paement du spread. S on consdère que l nstant de défaut sut une lo de posson d ntensté condtonnant par τ, on trouve : λ t alors en T t DL = ( R). E λ + t.exp ( ru λu ) du dt 0 0 et : n t PL= E s. δ.exp ( ru + λu ) du = 0 0

Le spread d un CDS est alors obtenu en égalant les deux jambes du swap : T t E λ t.exp ( ru + λu ) du dt 0 0 s = ( R) n t E δ.exp ( ru + λu ) du = 0 Le prx d un CDS dépend alors du modèle qu on consdère pour les ntenstés de défaut et du modèle du taux d ntérêt. Dans le cas le plus smple où l ntensté de défaut et le taux court sont supposés constants, on peut approcher le spread d un CDS par : s = ( R). λ Les ntenstés de défaut sont des paramètres essentels pour le prcng des dérvés de crédt. Elles sont usuellement dédutes des prx des CDS. On procède en consdérant une ntensté de défaut constante par morceaux ou stochastque pus en la calant sur les prx des CDS. b. La méthode de Hull&Whte pour le prcng des nth to default et des CDOs : Il exste dfférentes méthodes de modélsaton des temps de défauts et des corrélatons entre les noms d un portefeulle de crédt donné. Les tros plus grandes classes de modèles sont : - Le modèle structurel : les actfs des noms suvent des processus lognormaux de brownens corrélés et on défnt un défaut comme l attente d une barrère représentant la dette. - Les modèles à forme rédute : On modélse des ntenstés de défaut stochastques qu soent corrélées. - Les modèles à copule où on calcule les probabltés de défaut jontes à partr des probabltés de défaut spécfques. Une fos le modèle chos, on cherche à construre la dstrbuton des pertes. Les prncpales méthodes sont la méthode de Monte Carlo (avec réducton de varance tel que l mportance samplng), la transformée de Fourer (Laurent&Gregory) et les méthodes sem-analytques (Andersen ou Hull&Whte). Nous nous ntéressons c au modèle mono-facteur à copule gaussenne et à la méthode de prcng sem-analytque de Hull&Whte.. Le modèle monofactorel : A chaque nom on assoce une varable X qu peut être consdérée comme «le rendement d actf» et une varable τ suvant une lo de posson qu représente le temps de défaut du nom. On modélse X par : X = a. M + a ε Où M représente un paramètre systémque, ε un paramètre spécfque et a est tel que ρ( X,X j)=a a j et - a.on prend auss M, ε des varables ndépendantes suvant des los de moyenne nulle et de varance. 2

On parle de copule gaussenne lorsque (X, X 2,.X N) est un vecteur gaussen. S on prend M et ε suvant des los de Student on parle d une copule «double t». * On suppose qu on a défaut lorsque X passe au dessous d une barrère X avant une maturté T. On suppose alors que : τ T X X * On a alors la probablté de défaut de chaque nom donnée par : T * Q ( T ) = P( τ T ) = exp ( s) ds = P( X X ) = F ( X λ 0 F étant le dstrbuton de X. Condtonnellement au facteur systématque M, les varables X sont ndépendantes et on peut alors faclement calculer les probabltés de défaut jonte comme on le verra plus tard. On utlsera pour cela les probabltés de défaut condtonnelles de chaque nom qu est donnée par : F ( Q ( T )) a M P( τ < T M ) = H 2 a où H est la dstrbuton des facteurs ε. Extenson au modèle multfactorel : Le modèle décrt c-dessus peut être étendu à un modèle multfactorel. Il est en effet plus judceux de supposer que la corrélaton entre les noms d un portefeulle dépend du secteur auquel ls appartennent et qu un nom est plus dépendant de «l économe» du secteur auquel l appartent. Au leu de consdérer un seul facteur systématque on suppose alors qu on a m facteurs systémques où chacun pourrat représenter un secteur ndustrel par exemple. Le modèle devent alors : * ) m, j. M j + j= Où (M j) et ε sont des varables ndépendantes X = m j= a a 2, j. ε La corrélaton entre 2 noms devent alors : ρ ( X, m X j ) = a k k = a jk = A. A t L une des méthodes pour détermner les facteurs (a j) est alors de consdérer que la matrce A est alors la matrce de Cholesky de la matrce de corrélaton. Le prncpal nconvénent d un modèle multfactorel est un temps de calcul plus long. Hull&Whte décrvent deux modèles pour le prcng de CDO et nth to default. Le premer est plus adapté aux portefeulles homogènes avec des condtons smplfcatrces telles qu un taux de recouvrement constant et s appue sur une méthode de récurrence sur le nombre de défauts. Il permet ans de faclement évaluer les n to default. Le second modèle est utlsable pour des portefeulles non homogènes et peut être adapté pour des cas plus complexes. 2

On présentera c-après les deux méthodes proposées pus on les utlsera pour évaluer les n th to default et les CDO.. La premère méthode de Hull & Whte On note π T(k) la probablté d avor k défauts avant l nstant T et S (T) la probablté de surve du nom avant T. On note I k={ O k, ensemble de k noms parm N noms du portefeulle} πt ( k M ) = S ( T M ) ( S ( T M )). I k O k O k comme π ( 0 M ) S ( T M ) alors, T = N = π ( k M ) π (0 M ). w T T Ik O k avec w = ( S ( T M )) S ( T M ) = Il reste alors à calculer la somme sur tous les sous ensembles de cardnal k de l ensemble des noms du portefeulle : u w,... w ) = w On note v k k ( N = N,... w N ) j= I k O k ( w w. k k = = + On peut montrer par récurrence que : k. u k ( ). v. u k ; u 0 = ; u = v Cec permet de calculer toutes les probabltés condtonnelles d avor k défauts par une méthode en cascade. Il sufft alors d ntégrer sur le facteur systématque pour dédure les probabltés d avor k défauts avant un nstant T donné. Pour cela, on a utlsé une méthode d ntégraton numérque de Gauss- Legendre. Après l mplémentaton de cette approche, on remarque quelques problèmes d nstablté car des nombres très grands ou très petts entrent dans l expresson de récurrence et ndusent des erreurs de calcul : on peut alors obtenr des probabltés plus grandes que! v. La deuxème méthode de Hull & Whte(probablty bucketng approach ) Dans cette seconde méthode, on construt la dstrbuton des pertes à un nstant T condtonnellement aux facteurs systématques. Cette méthode s adapte parfatement aux cas de portefeulles non homogènes et dans le cas d une modélsaton de taux de recouvrement stochastque. On se place dans le cas de taux de recouvrement détermnste et on suppose que notre portefeulle de crédt comporte N noms. 3

On dvse l ensemble des pertes potentelles en ntervalles : [0,b 0], ]b 0,b [, [b,b 2[, [b K-, [. On appellera [0,b 0] le 0 ème ntervalle, [b k-,b k[ le k ème ntervalle et [b K-, [ le K ème ntervalle. On veut calculer la probablté que la perte sot dans un ntervalle k pour chaque k [0,K]. Dans certanes crconstances l est préférable de prendre b 0=0 pus des ntervalles de même largeur (on se ramène à la méthode sem-analytque de Andersen ). Cependant lorsqu on veut évaluer une seule tranche, l est préférable d utlser des ntervalles plus étrots pour les pertes correspondant à la tranche et plus larges alleurs. On note Pk = PT ( k M ) la probablté condtonnelle que la perte sot dans le kème ntervalle et A k la perte moyenne condtonnelle sachant qu on est dans le kème ntervalle. On procède par récurrence sur le nombre de noms. N = 0 : P0 = ; Pk = 0 pour k > 0 Ak = 0.5 * ( bk + bk ) A0 = 0; A K = bk N = j > j : on note u(k) l'ntervalle contenant la s u(k) > k : *:les valeurs avant l'ajout du nom j α : la probablté de défaut de j j perte A k + LGD j * * Pk = Pk Pk. α j * * Pu(k) = Pu ( k ) Pk. α j * A k = Ak * * * * Pu ( k ). Au ( k ) + Pk. α j ( Ak + LGD j ) Pu(k) = * * Pu ( k ) + Pk. α j s u(k) = k : * Pk = Pk * A k = Ak + α. LGD j j Cette méthode permet également de calculer la sensblté de la dstrbuton des pertes à l ajout ou la suppresson d un nom du portefeulle. Cec est très utle pour le calcul des grecs. On peut par exemple calculer la sensblté de la dstrbuton des pertes à la probablté de défaut d un nom du portefeulle. Pour cela, l sufft de supprmer ce nom du portefeulle pus le rajouter avec une probablté de défaut plus élevée. v. Applcaton au prcng des nth to default 4

Valorsaton d un nth to default : Détermnons tout d abord l expresson du spread d un nth to default avant d applquer la seconde méthode de Hull&Whte pour l évaluer. On consdère un nth to default avec un nomnal N et de tenor ( T ). On sat que la valeur actualsée des payoffs d un nth to default est donnée par: VA ( payoffs ) = N. s. ( T T ) B(0, T ) Ρ( τ ( n) > T ) On n a un payoff que s on n a pas n défauts dans le portefeulle. Dans le cas d une l événement de n défauts, on a un paement de protecton dont la valeur actualsée est : VA( protecton) = ( R) N B(0, T ) Ρ( T < τ ( n) < T ) Comme, Ρ( τ ( n) > T ) = π T ( n) Ρ( T < τ ( n) < T ) = π T ( n) π ( n) T On obtent alors le spread d un n th du default : s = ( R ) ( T B ( 0, T T ) B )[ π ( 0, T T ( n ) )( π π T T ( n )] ( n )) Résultats obtenus et nfluence des dfférents paramètres : - Influence de l ntensté de défaut et de la corrélaton sur les spreads des nth to default : On étude comment ces paramètres mpactent le spread d un nth to default CDS de maturté 5 ans d ntensté de défaut 0.0, et de corrélaton 0.3. Les résultats obtenus avec la premère méthode de Hull&Whte sont les suvants : Lorsqu on augmente les ntenstés de défaut l événement de défaut est plus probable donc les spreads de tous les n to default augmentent. 5

200 nfluence de l'ntensté de défaut sur le spread d'un n to default CDS 000 800 spread 600 400 200 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n nt enst é=0.0 nt ensté=0.02 nt ensté=0.03 Lorsqu on augmente les corrélatons entre les noms, on augmente la probablté d avor beaucoup de défauts et on dmnue la probablté d avor un fable nombre de défauts. Par exemple, pour un frst to default, augmenter la corrélaton est équvalent à se ramener à un seul nom de probablté de défaut plus fable. On remarque alors une dmnuton des spreads pour n pett et une augmentaton des spreads pour n grand. 600 nfluence de la correlaton sur le spread d'un n to default CDS 500 400 spread 300 200 00 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n correlaton=0.6 correlaton=0.3 correlaton=0 - Influence du chox de la dstrbuton des paramètres systématques : Comme on l a vu précédemment, l est possble de chosr entre pluseurs types de copules dans le cas d un modèle factorel. Nous essayons de vor c comment la dstrbuton des paramètres systématques nfluence les prx d un nth to default. Nous prenons le cas d une copule gaussenne (queues de dstrbuton fnes ) et nous le comparons au cas où M et ε ont des dstrbutons à queues épasses. S on consdère des queues épasses pour M, les évènements extrêmes de X seront dus au facteur M et seront donc lés aux évènements extrêmes des autres X. Il est alors plus probables que pluseurs noms fassent défaut. S on consdère cela pour les facteurs ε alors les évènements extrêmes dus à des facteurs dosyncratques seront plus probables pour chaque nom. On s attend alors aux effets suvant sur les spreads des n to default : 6

Chox Queues épasses pour M ( n M pett ) Queues épasses pour ε ( n ε pett ) Effet sur le spread pour n grand pour n pett pour n pett pour n grand Consdérons M et ε suvant des los de Student de paramètres n M et n ε.rappelons que lorsque n M et n ε on se ramène à une copule gaussenne. Comme M et ε auront des varances égales à n M /( n M 2) et n ε /( n ε 2) alors on aura des facteurs correctfs dans le modèle factorel pour ce ramener à une varance de. Le modèle devent alors : n M n ε 2 X = a 2. M + a 2 ε n M n ε L applcaton de la premère méthode de Hull&Whte pour nth to default CDS de maturté 5 ans d ntensté de défaut 0.0, et de corrélaton 0.3 permet de vérfer l effet du chox de la copule sur les spreads. n M= / n ε = n M=5/ n ε = n M= / n ε = 5 n M=5/ n ε = 5 449 425 476 455 2 3 26 27 4 3 50 50 45 4 4 2 22 8 9 5 9 7 0 6 4 5 3 5 7 2 3 8 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Les résultats donnés pour les n to default dans l artcle de Hull&Whte sont assez proches de ceux obtenus sute à l mplémentaton de cette méthode. La dfférence observée pourrat être explquée par les erreurs dues par exemple à l ntégraton numérque. 7

v. Applcaton au prcng des CDOs Valorsaton d un CDO: On consdère un CDO de N noms. Chaque nom est caractérsé par un nomnal N, un taux de recouvrement R et un temps de défaut τ. La perte cumulée du portefeulle jusqu à l nstant t est donnée par : L( t) N = N ( R ) τ t = à un nstant t de paement du coupon, l espérance de la perte cumulée d une tranche [L,H] est donnée par : e =Ε[(mn( L( t ), H) L ) + ] La prme espérée du détenteur de la tranche [L,H] pendant la durée du contrat est alors : PL = n = s.( T T ). B(0, T )( H L e ) L espérance de la perte de la tranche entre t et t - est donnée par e -e -. L espérance actualsée de la perte totale du portefeulle pendant la durée du contrat est alors : DL = n = B ( 0, T )( e e ) Le spread d une tranche de CDO est alors donné par : s = n = n = ( T T B(0, T )( e e ). B(0, T )( H L e ) Applcaton pour un CDO: ) La dstrbuton des pertes obtenue par la méthode de Hull&Whte permet de calculer les spreads d un CDO donné. Consdérons un CDO homogène composé de 00 noms d ntenstés de défaut 0.0, de corrélaton 30%, avec un taux de recouvrement de 40%. On suppose que le CDO a une maturté de 5 ans et que les coupons sont trmestrels. On prend également un taux sans rsque flat de 3%. Les spreads obtenus pour chaque tranche sont : 0-3% 3-6% 6-9% 9-2% 2-22% Spread 32% 480 222 25 39 Où la tranche equty est rémunérée par un upfront de 32% pus un spread de 500bp. Calcul de l upfront pour la tranche equty : Pour les tranches equty, la cotaton est exprmée en pourcentage du nomnal de la tranche consdérée - l'upfront - auquel l faut ajouter un spread constant de 500 ponts de base. Ce mode de cotaton provent du fat que les tranches equty sont très exposées au rsque de défaut, par conséquent on demande un versement mmédat d'une parte du nomnal de la tranche. 8

Essayons c de défnr la méthode qu permet d obtenr l upfront à partr du spread équvalent (runnng spread ) obtenu précédemment. On suppose qu l y a un versement mmédat d un upfront s ( par exemple 20% ) pus s 2=500bps/an trmestrellement. La «premum leg» devent PL = s n ( H L) + s2.( T T ). B(0, T )( H L e ) = donc en égalsant les deux jambes du swap: s n n ( H L) + s2.( T T ). B(0, T )( H L e ) = B(0, T )( e e ) = = Le spread s équvalent de la tranche equty vérfe : s = n = n = ( T T B(0, T )( e e ). B(0, T )( H L e ) ) DL d où : s = s, ce qu permet de calculer l upfront s 2 à partr du spread équvalent s de DL sh la tranche Equty. 9

III. La problématque de la corrélaton : a. Corrélaton composée et smle de corrélaton : Comme on l a vu précédemment, le prx d un CDO dépend des ntenstés de défaut et de la corrélaton entre les sous-jacents. On sat que l ntensté de défaut peut être dédute des spreads des CDS cotés. Il reste alors à dédure la corrélaton à partr des prx des tranches de CDO cotées. Pour cela, on utlse des méthodes telles que la dchotome ou la méthode de Newton Raphson. De façon smlare à l obtenton d un smle de volatlté lorsqu on trace les volatltés mplctes des optons obtenues par B&S en foncton du strke, on obtent un smle de corrélaton en nversant les spreads des tranches de CDO et en traçant la corrélaton obtenue en foncton de la subordnaton des tranches lorsqu on utlse le modèle monofactorel à copule gaussenne. La corrélaton constante supposée par le modèle à copule gaussenne n est pas vérfée sur le marché. La corrélaton mplcte est généralement nféreure sur les tranches mezzannes et supéreure sur les tranches equty et les tranches senor. Intutvement, le phénomène de smle s explque par les fats suvant : - la corrélaton mplcte de la tranche senor est supéreure à celle des autres tranches donc le marché accorde une mportance démesurée au rsque d un scénaro catastrophe. - Comme la tranche mezzanne a en général des ponts d attachement autour de l espérance des pertes cumulées et qu on observe sur le marché une corrélaton mplcte très fable en comparason avec les autres tranches, cec suppose qu l est très peu probable que les pertes soent concentrées autour de leur moyenne. ( s on fat cette hypothèse on dmnue le spread accordé à cette tranche ). - Le rsque de la tranche equty étant lé au rsque de défauts dosyncratques, comme la corrélaton observée sur le marché est élevée, cec suppose que ce rsque n est pas prs en compte par le marché ( dans le cas contrare, la corrélaton mplcte serat plus fable ). Pour se caler au marché, l faut alors consdérer des corrélatons dfférentes selon la tranche du CDO.Le fat d utlser un seul paramètre de corrélaton n est pas suffsant pour contenr toutes les nformatons du marché. L utlsaton d un matrce de corrélaton explquerat meux le smle mas cela donnera beaucoup plus de paramètres à caler. Le prncpal problème rencontré lors du calcul de la corrélaton composée est l absence d uncté de la corrélaton mplcte donnant le prx d une tranche mezzanne. En effet, dans ce cas, la relaton entre le spread d une tranche et la corrélaton n est pas bjectve. Il arrve que des spreads donnés correspondent à deux corrélatons et d autres à aucune. 20

Ce problème est résolu en passant par la corrélaton de base qu est strctement crossante en fonctons des ponts de détachement des tranches. b. Corrélaton de base : Cette méthode se base sur l observaton que les pertes moyennes des tranches sont addtves en foncton de leurs ponts d attachement : EL[0,H]=EL[0,L]+EL[L,H] L avantage de cette corrélaton est que les spreads sont strctement crossants en foncton de la corrélaton de base. On effet, comme on utlse des tranches equty fctves, les spreads sont monotones avec la corrélaton mplcte. Elle permet également de prcer des tranches non tradées sur le marché par nterpolaton. Par exemple, connassant les spreads des tranches de l ndce Itraxx, on cherche à calculer celu d une tranche [4%,8%]. A partr d une nterpolaton lnéare de la corrélaton de base, on peut trouver les corrélatons correspondantes aux tranches [0,4%] et [0,8%] ce qu permet de calculer les pertes moyennes de la tranche [4%,8%] pus d en dédure le spread de cette tranche non tradée sur le marché. Comment calculer les corrélatons de base : On procède par Bootstrappng pour détermner les pertes moyennes de tranches «fctves» EL[0, K]: EL[0,K 2]=EL[0,K ]+EL[K,K 2] Connassant le spread de la tranche [0,K ], on en dédut la corrélaton de base de cette tranche qu n est que la corrélaton composée pus on calcule les pertes moyennes de cette tranche aux dfférents nstants de paement des prmes. En effectuant une dchotome, on cherche ensute la corrélaton de base la tranche [0,K 2] qu vérfe : spread( K, K ) 2 n = = n B(0, T )( e (0, K ) e = ( T T 2 ). B(0, T )( K (0, K ) e (0, K 2 2 K e (0, K 2 2 ) + e (0, K )) 2 ) + e (0, K )) On en dédut les pertes moyennes de la tranche [0,K 2] pus on procède de même pour calculer la corrélaton de base des autres tranches [0, K ]. Le graphe s-dessous représente la courbe de la corrélaton de base à dfférentes dates. 2

70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 09/03/2005 09/02/2005 0/0/2005 08/0/2004 0-3% 3-6% 6-9% 9-2% 2-22% c. Comment reprodure le smle de corrélaton : Le modèle à copule gaussenne qu est actuellement le modèle standard utlsé en dérvés de crédt ne permet pas de reprodure le smle de corrélaton observé sur le marché. Dfférents modèles ont été proposés pour obtenr ce smle. Une premère catégore de ces modèles repose sur l utlsaton d une autre copule que la copule gaussenne telles que la copule de Clayton, la copule de Student ou la copule «double t». Ces copules permettent d obtenr des dstrbutons de pertes à queues plus épasses et donc assocent une probablté plus forte aux évènements extrêmes. D après Hull&Whte, la copule «double t» permet de ben capter le smle de corrélaton observé sur le marché. La seconde catégore de modèles s appue sur l utlsaton d une corrélaton ou d un taux de recouvrement aléatores. Les modèles les plus étudés en ce moment sont le modèle RFL (Random Factor Loadngs) de Andersen& Sdenus où le facteur systémque est supposé aléatore et les modèles où la corrélaton est aléatore est dépendante du facteur systémque. Ces modèles tradusent le fat que plus le facteur systémque est bas plus l économe se porte mal et les défauts sont corrélés. 22

IV. Applcaton à la mesure de rsque d un portefeulle bancare : a. Généraltés sur les mesures de rsque. Défnton d une mesure de rsque cohérente : L une des plus grande problématque dans la geston des rsque est la détermnaton d une mesure qu pusse prendre en compte les dfférentes caractérstques de la dstrbuton des pertes : la forme de la dstrbuton, la forme des queues de dstrbuton, la varance des pertes Artzner( 999) défnt les proprétés qu dovent être vérfées par une mesure de rsque afn qu elle sot cohérente. Sot H une mesure de rsque et X,Y deux varables de perte. Ces proprétés sont les suvantes : La lnéarté : H (a.x+b)=a.h(x)+b Cette proprété est une combnason de deux proprétés : nvarance par translaton et homogénété. La sous-addtvté : H(X+Y) H(X) + H(Y) La fuson de deux centres de proft ne crée pas de rsque supplémentare. Au contrare, la dversfcaton tend à rédure le rsque global. La monotone : X Y H(X) H(Y) S les pertes encourues avec le rsque X sont toujours supéreures à celles obtenues avec Y, le beson en captal pour X dot être supéreur à celu pour Y. La VaR:. Quelques mesures de rsque : la VaR est l une des mesures de rsque les plus populares qu se base sur un prncpe de quantle. On consdère un portefeulle rsqué de maturté fxée caractérsé par une varable de perte de dstrbuton F(x). La Value-at-Rsk est un montant tel que le portefeulle perdra mons de cette valeur avec une probablté spécfée α. VaR(α)=Mn {x F(x) α }. Pour des dstrbutons usuelles, VaR(α)=F - (α). L une des falles de la VaR est qu elle ne dépend que de la fréquence des pertes et non de leurs talles. Par exemple, doubler la plus grande perte n aura aucun mpact sur la VaR. D autre part, la VaR n est pas une mesure de rsque cohérente pusqu elle n est pas sousaddtve. Une évaluaton plus consstante du rsque d un portefeulle nécesste alors l utlsaton d une mesure de rsque cohérente autre que la VaR. L une de ces mesures est la Tal-VaR ou Condtonal Tal Expectaton (CTE). La Tal-VaR : La Tal-VaR représente l espérance des pertes extrêmes. Elle reflète non seulement la fréquence des pertes mas auss leur valeur. En plus cette mesure est cohérente. Elle est donnée par : CTE(α)=E( X X F - (α)). 23

Ben que cette mesure sot cohérente, elle reflète unquement les pertes excédant le quantle VaR. La Tal-VaR et la VaR sont alors deux mesures de rsque qu gnorent une grande parte de l nformaton contenue dans la dstrbuton des pertes. b. La transformée de Wang Wang (996) a étudé une classe de mesures de rsque fondées sur les opérateurs de dstorson. Défnton : On appelle opérateur de dstorson, toute applcaton g : [ 0, ] [ 0, ] que g ( 0 ) = 0 et g ( ) =., crossante tel La mesure du rsque X fondée sur l opérateur de dstorson g s écrt ρ g + ( X ) = g ( FX ( x) ) dx où FX ( x) P { X x} 0 = désgne la foncton de répartton de X. Cette mesure de rsque peut également être vue comme la perte moyenne sous une autre probablté P* tel que la dstrbuton de X sous cette probablté est défne par ρ =. F*(x)=g(F(x)). On a alors g ( X ) E *( X ) En effet, [ ] [ ] E *( X ) = E X. g '( F( X )) = x( g( F( x))) + ( g( F( x))) dx = ρ ( X ) Lorsque g est une foncton contnue alors ( X ) g 0 0 ρ est une mesure de rsque cohérente. Par exemple, la foncton de dstorson assocée à la VaR est donnée par : g g (u) 0, =, u < α u α On remarque que celle-c est dscontnue d où l ncohérence de la VaR Celle assocée à la Tal-VaR est : 0, u < α g(u) = u -α, u α -α Contrarement à la VaR la Tal-VaR a une foncton de dstorson contnue donc c est une mesure de rsque cohérente. La mesure de Wang : Wang propose la foncton de dstorson suvante : g ( s) = φ( φ ( s) λ) où φ est la foncton de répartton d une lo normale standard et λ un paramètre qu représente le rsque systémque de X. Cette foncton est appelée la transformée de Wang et la mesure de rsque assocée la mesure de Wang. 24

L une des proprétés de la mesure de Wang est que c est une mesure de rsque cohérentes. D après Wang, la transformée de Wang est la seule dstorson qu permet de retrouver le CAPM ans que la formule de B&S. Nous verrons dans ce qu sut que le coût du rsque est une mesure de rsque qu on peut exprmer également à l ade d une foncton de dstorson. Nous examnerons ses caractérstques et étuderons la cohérence de cette mesure. dstorson de wang pour pluseurs valeurs de lambda,2 g (x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8,2 x 0. 0.0 0.5 c. Dstrbuton des pertes d un portefeulle bancare :. Constructon de la dstrbuton des pertes L étude a été fate sur un portefeulle représentatf du portefeulle bancare composé d envron 2900 noms. Chaque nom appartent à un segment qu correspond à un secteur géographque et économque donné. D autre part les noms ont des caractérstques dfférentes : nomnaux, LGD, ratng, maturtés. On a commencé par ramener tous les nomnaux à la maturté moyenne du portefeulle ( 3 ans ). Ensute, à partr des ratng, et la matrce de transton à 3 ans, on peut retrouver les probabltés de défaut de chaque nom. Pour rédure le temps de calcul, on s est ramené à 0 noms en regroupant les 2900 noms précédents en secteurs. La corrélaton consdérée dans le modèle monofacteur à copule gaussenne est la corrélaton moyenne entre les secteurs : 0%. 25

dstrbuton des pertes: F(x),2 0,8 F(x) 0,6 0,4 0,2 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 x A partr de la dstrbuton des pertes on peut calculer pluseurs ndcateurs dont la perte moyenne (EL), la Value-at-Rsk (VaR) ans que le Captal économque (CE) qu est une foncton de la VaR et de l EL : CE (SG) =VaR α ( L SG ) E(L SG). d. Calbraton du coût du captal:. Défntons : Commençons par défnr les notons qu nous seront utles pour la sute. Coût du captal ( k ) : Il s agt de la rémunératon qu attendent les actonnares pour le captal qu ls ont ms à dsposton. Charge en captal ( CC ): Il s agt du montant de la rémunératon du captal économque : CC= k. CE Coût du rsque ( COR ): on défnt le coût du rsque comme la somme de la perte moyenne et de la charge en captal : COR= EL+ k. CE. Len avec la transformée de Wang : On essaye dans ce paragraphe de fare le len entre le coût du rsque et la transformée de Wang et de vor s ce derner vérfe les proprétés d une mesure de rsque cohérente. Dans ce qu sut, on notera : - P la probablté hstorque et Q la probablté rsque neutre. - L la varable des pertes du portefeulle. - F(l) la dstrbuton des pertes hstorques et f(l) la densté assocée. - S(l) la probablté de surve hstorque. 26

Le coût du rsque est une mesure de rsque cohérente : La défnton du coût du rsque donnée comme somme d une perte moyenne hstorque et d une quantté appelée charge en captal (qu peut être assmlée à une prme de rsque) tradut le fat que celu-c peut être vu comme la perte moyenne du portefeulle en probablté rsque neutre. Q P COR = E L = E Lϕ ( L) où ϕ est la dérvée de Radon-Nkodym : On a alors : [ ] [ ] P ϕ ( L) = dq / dp et E [ ϕ ] =. On consdère le coût du rsque comme somme des coûts du rsque «locaux» des tranches [l,l+dl] d un CDO. COR = 0 COR( l) dl Pour trouver l expresson de la dérvée de Radon-Nkodym ϕ, l sufft de fare un ntégraton par partes : COR( l) COR = COR( l) dl = [ l. COR( l) ] l. dl l 0 0 0 sous l'hypothèse: C OR()=0: [ L ] COR = E Lϕ ( ) avec ϕ ( l ) = COR ( l ) f ( l ) l Cec nous permet également d exprmer le COR à l ade d une foncton de dstorson. D après ce qu on a vu précédemment, une mesure de rsque assocée à une foncton de dstorson g s écrt : ρ g ( X ) = E( X. g '( F( X )) Le coût du rsque est alors une mesure de rsque assocée à la foncton de dstorson g tel que : g '( F( l)) = ϕ( l) donc g( F()) g( F( l)) ϕ( x). f ( x) dx = D où : g( F( l)) = g() COR( l) En prenant g()= et en posant F(l)=α Alors : g( α ) = COR( F ( α)) l Dans ce qu sut, on verra que le coût du rsque local est décrossant. La foncton de dstorson est alors crossante et le coût du rsque est une mesure de rsque cohérente. 27

Expresson du coût du rsque en foncton du quantle de perte : On pose F(l)=α et F(0)=a ( la valeur en 0 n est pas nulle car la probablté d avor 0 défaut peut être non nulle ). On a d α= f(l).dl Donc : COR( F ( α)) COR = COR( l) dl =. dα f ( F ( α )) 0 COR( F ( α)) = F ( α). COR( F ( α )) F ( α) dα a α = VaR.% ϕ( α) dα α a COR F avec : % ϕ( α) = α a α ( ( )) a La calbraton du coût du rsque se ramène alors au calcul de % ϕ( α ) 28

. Méthodologe pour la calbraton du coût du captal : Le graphque c-dessous résume les dfférentes étapes suves pour le calcul du coût du captal et la calbraton du coût du rsque. Portefeulle SG Itraxx Données hstorques Données hstorques Marché Dstrbuton des pertes Dstrbuton des pertes Corrélaton de base CE EL Probablté de surve rsque neutre Coût du rsque ~ ϕ ( α ) Coût du captal On essayera alors de calbrer la foncton % ϕ( α ) sur les spreads de marché de l Itraxx. On commencera par nterpoler la corrélaton de base, ce qu nous permettra d obtenr la probablté de surve rsque neutre pour tous les nveaux de perte donnés pus en dérvant cette probablté de surve on obtendra la foncton. 29

v. Hypothèses sur les données rsque neutre et hstorque de l Itraxx : Données hstorques : - L ndce Itraxx est composé de 25 noms avec des ratng varant entre AA+ et BBB-: Ratng Frequence A 9,60% A- 20,00% A+ 2,00% AA 3,20% AA- 7,20% AA+ 0,80% BBB 6,80% BBB- 3,20% BBB+ 2,60% NR 5,60% Pour smplfer les calculs nous nous sommes ramenés à un ndce composé de 3 ratngs : 52 A, 4 AA et 59 BBB. - La corrélaton hstorque est supposée constante et égale à 30%. - La LGD est supposée aléatore suvant une lo béta de moyenne 45% et de volatlté 5% (c'est-à-dre un lo béta (4,5 ; 5,5)). dstrbuton de la LGD 3 2,5 2,5 0,5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Données rsque neutre : - A chaque date, la corrélaton rsque neutre est mplctée du marché par nterpolaton de la corrélaton de base. 30

nterpolaton quadratque y = -6,09x 2 + 3,6254x + 0,029 R 2 = 0,9999 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% 0% 5% 0% 5% 20% 25% corrélaton de base Polynomal (corrélaton de base) - La corrélaton de base est extrapolée au dessous de 3% et au dessus de 22% par une constante. - Les ntenstés de défaut rsque neutre sont supposées égales à l ntensté de défaut relatve au spread moyen à une date donnée. Par exemple, au 0/02/2005 le spread moyen est de 33 bps et l ntensté de défaut obtenue est alors : 7,33.0-3, la probablté de défaut en rsque neutre est alors de 3,6% (à une maturté de 5 ans). - La LGD est encore supposée aléatore suvant une lo béta de moyenne 45% et de volatlté 5%. v. Dstrbutons des pertes hstorque et rsque neutre : Que ce sot en probablté rsque neutre ou hstorque, la méthode de calcul de la dstrbuton des pertes sous l hypothèse d une LGD aléatore est la même. On a : N N N P( L < X ) = P( k). P( L < X k) = P( k). P( k. LGD < X k) = P( k). Beta( X / k) k = 0 k = 0 k = 0 où P(k) est la probablté d avor k défauts. On obtent alors les dstrbutons suvantes pour l Itraxx :,2 dstrbuton hstorque des pertes dstrbuton rsque neutre des pertes au 09/03/2005 0,8 0,6 0,4,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 20,00% 25,00% 0 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 20,00% 25,00% 3

v. Le coût du rsque et la foncton % ϕ( α ) : Cec nous permet de tracer le coût du rsque pus d en dédure la foncton % ϕ( α ) : COR ph~(alpha) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 0,00% 2,00% 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 0,6 0,7 0,8 0,9 Rappelons que la décrossance du coût du rsque mplque la crossance de la foncton de dstorson assocée au coût du rsque et donc la cohérence de cette mesure. On remarque également que la foncton % ϕ( α ) est une foncton crossante dont le comportement.8 au vosnage de est en 0.22 ( α ) ln % ϕ( α ) c-dessous. comme on peut le vor en traçant le graphe ln(-α ) -> comportement de ph~(alpha) au vosnage de,3,2 y = -0,224x + 0,682 R 2 = 0,9874, 0,9 0,8-5 -4-3 -2 32

v. Dynamque de % ϕ( α ) : Le but de cette étude étant de calbrer le coût du captal sur les données de marché des CDOs, on espère que la valeur donnée par cette méthode ne vare pas beaucoup en foncton des spreads de marché. Pour vor l effet des prx de marché sur le coût du rsque, nous avons prs les corrélatons de base à 3 dates pus nous avons comparé les dfférentes fonctons % ϕ( α ) obtenues. 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 dynamque du ph~ 0,4 0,6 0,8 09/03/2005 3/2/2004 4/09/2004 corrélaton de base 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% 0% 5% 0% 5% 20% 25% 3/2/2004 4/09/2004 09/03/2005 On remarque que pour des corrélatons de base assez proches (le 4/09/2004 et le 3/2/2004 ) on obtent quasment la même foncton % ϕ( α ) alors que pour une corrélaton de base plus grande, on obtent un pondératon dfférentes des VaR correspondantes aux quantles entre 80% et 00%. Il est toutefos dffcle de vor comment se reflète une déformaton donnée de la corrélaton de base sur la forme de la foncton % ϕ( α ). Pour cela, l serat utle de consdérer plus de dates et notamment celles correspondantes à la crse observée sur le marché des CDOs pendant la pérode Avrl-Ma 2005. e. Applcaton au portefeulle bancare : On a essayé dans cette étude de calbrer le coût du rsque du portefeulle bancare sur les données de marché des CDOs. Cependant les caractérstques du portefeulle bancare et de l ndce Itraxx ne sont pas très smlares. En effet, l Itraxx est composé essentellement de CDS européens ben notés alors que le portefeulle bancare est composé de dfférents types de produts plus dversfés du pont de vue géographque et de notaton. La seconde problématque est lée à des maturtés qu sont dfférentes : l Itraxx est de maturté 5 ans tands que le portefeulle bancare a une maturté moyenne de 3 ans. Les hypothèses sur lesquelles nous nous sommes basées sont donc très fortes mas ont l avantage de permettre une calbraton relatvement smple et de se généralser faclement pour des problématques telles que le calcul du coût du rsque pour une actvté donnée. 33

Concluson : Nous nous sommes ntéressés dans cette étude à une méthode de calbraton du coût du rsque du portefeulle bancare sur les données de marché des CDOs. Nous avons ans présenté la méthode de Hull&Whte pus nous l avons applquée pour tracer les dstrbutons des pertes de chaque portefeulle étudé. Par la sute nous nous somme ntéressés au coût du rsque et à son len avec les autres mesures de rsque et nous avons montré que celu-c est une mesure de rsque cohérente. Cec nous a auss perms de décrre le coût du rsque comme une somme de value-at-rsk pondérées par une foncton % ϕ( α ) que nous avons supposée ndépendante du portefeulle. Cette foncton pourra alors être utlsée pour calculer le coût du rsque du portefeulle bancare pus en dédure le coût du captal. Cependant cette étude s est basée sur tros fortes hypothèses : l ndépendance % ϕ( α ) de la maturté et de la dversté géographque ans qu une même structure de corrélaton entre les temps de défaut des noms composant l Itraxx et le portefeulle bancare. Il serat ntéressant dans les développements futurs de cette méthode de prendre en compte les dfférences qu exstent entre l Itraxx et le portefeulle bancare et d étuder avec plus de détal la stablté de cette calbraton en regardant la dynamque de % ϕ( α ). 34

REFERENCES Andersen, Sdenus, Basu, 2003, All your Hedges n One Basket. Artzner, Delbaen, Eber, Heath, Thnkng coherently. Cont, Bruyere, L évaluton des produts dérvés de crédt. Gbson, Understandng the rsk of synthetc CDOs. Gregory, Laurent, 2005, A comparatve analyss of CDO prcng models. Hull, Whte, 2004, Valuaton of a CDO and an n to default CDS wthout Monte Carlo Smulaton. Hull, Whte, 2005, The perfect copula JPMorgan, Credt correlaton: a gude. Nomura, Tranchng credt rsk. Wang, A rsk Measure that goes beyond coherence. Wllemann, 2004, An evaluaton of the base correlaton framework for synthetc CDOs. Wlson, Overcomng the hurdle. 35

Annexe: De Bâle I à Bâle II Bâle I : Dans le but de renforcer la soldté et la stablté du système bancare et d atténuer les négaltés concurrentelles entre les banques, l accord Bâle I adopté en 988 a fxé les exgences mnmales en fonds propres à un rato appelé rato de Cooke. Il s agt rato prudentel destné à mesurer le degré de solvablté nternatonale des banques et repose sur la défnton d une norme de solvablté selon une logque de calcul smple : Fonds propres / totalté des engagements 8% Ic les fonds propres sont consttués du captal, des réserves, des provsons générales et de ttres subordonnés. Quant à l ensemble des engagements, ls sont pondérés selon la nature de l emprunteur. Ans, ls sont pondérés de 0% pour les créances sur les Etats de l OCDE, de 20% pour les créances sur les banques et les collectvtés locales de l OCDE, de 50% pour les créances hypothécares et de 00% pour les crédts consents aux autres agents prvés (entreprses ou partculers). Comme le rato de Cooke couvre seulement le rsque de crédt, de nouvelles dspostons sont venues le compléter, en 996, en fxant de nouvelles règles de calcul d une exgence de fonds propres lée aux rsques de marché. Cette réglementaton smple n est pas sans présenter quelques défauts : - La grlle des pondératons n est pas neutre. Les banques vont favorser les crédts qu exgent le mons de fonds propres et vont être plus nctées à fnancer la dette publque ou à accorder des crédts pour le logement qu à prêter aux entreprses. - Les crédts accordés aux pays émergents qu ont rejont l OCDE ans qu à leurs collectvtés locales sont supposés auss rsqués que pour les pays développés. - Les grandes entreprses multnatonales sont dans la même catégore de rsque que les pettes entreprses. - Il ne prend en compte que les rsques de crédts. Bâle II : Tenant compte des défauts du rato du Cooke, Bâle II propose un dspostf d adéquaton des fonds propres qu prend davantage en consdératon les rsques lés aux crédts. Ce nouveau accord sot permettre une mesure plus fne des rsques par la prse en compte de tous les rsques auxquels les banques peuvent être exposées, le renforcement de la survellance prudentelle et une plus grande transparence fnancère. Pour cela, Bâle II s appue sur tros plers : - Une exgence mnmale en fonds propres rénovée (une mesure plus fne des rsques): On garde le même prncpe qu avec le rato de Cooke : (fonds propres)/(rsques encourus). Le dénomnateur est toutefos dfférent : l prend en compte les technques de réducton des rsques (ttrsatons, garantes réelles et personnelles ) et comprend également les rsques de marché et le rsque opératonnel. L exgence mnmale en fonds propres est alors donnée par : (fonds propres)/(rsques de crédt+rsque opératonnel+rsques de marché) 8% 36

- Un processus d examen ndvduel par le contrôleur (un renforcement de la survellance prudentelle): Les autortés de contrôle examneront de façon qualtatve les procédures nternes utlsées pour calculer les fonds propres en foncton des rsques. Selon leur apprécaton, ls pourront exger un rato de solvablté supéreur au mnmum de la réglementaton. - Un développement du rôle de la dscplne des marchés et des règles en matère d nformaton publée (une plus grande transparence fnancère): La communcaton fnancère des banques devraent être renforcée en ce qu concerne la composton des fonds propres, le système de notaton nterne et l allocaton de fonds propres affectés aux dfférents rsques. 37