Chapire 6 Transformées 6. Rappel héorique Le principe de superposiion applicable aux sysèmes linéaires e invarians nous a permis précédemmen de rouver la réponse de els sysèmes en décomposan l enrée u en une somme d impulsions, puis en somman la réponse du sysème à ous ces composans. Dans le domaine fréqueniel, la ransformée de Laplace nous perme de décomposer une enrée arbiraire u() en une somme d exponenielles de la forme e s, où le paramère s = + es appelé la fréquence complexe du signal e s. La conre-parie de la ransformée de Laplace pour les sysèmes discres es la ransformée en z. La ransformée de Laplace converi des équaions inégro-différenielles en équaions algébriques. De la même manière, la ransformée en z ransforme des équaions aux différences en des équaions algébriques, simplifian l analyse de ces sysèmes. Les méhodes emporelles d analyse des sysèmes e les méhodes fréquenielles son duales. Définiions Pour un signal x(), la ransformée de Laplace es définie par X(s) = + x()e s d. On noe la décomposiion de s en paries réelle e imaginaire s = +. Le signal x() es la ransformée inverse de Laplace de X(s), x() = +j X(s)e s ds. πj j De manière analogue, la ransformée en z es définie par X(z) = x[n] = + n= πj x[n]z n X(z)z n dz e on noe la décomposiion de z en magniude e phase z = ρe. 47
CHAPITRE 6. TRANSFORMÉES 48 Symboliquemen, on noe X(s) =L(x()) e x() = L (X(s)) (ransformée de Laplace) X(z) =Z(x[n]) e x[n] = Z (X(z)) (ransformée en z). (6.) Remarques : Les ransformées inverses son raremen évaluées en inégran dans le plan complexe. On essaye en général de se ramener à des ransformées connues en uilisan les propriéés des ransformées (cfr. ableaux en annexe). Il es nécessaire de préciser la région de convergence () en plus de la valeur de la ransformée si l on veu pouvoir réaliser la ransformée inverse de manière univoque. Exemple : x() =I + () X(s) = s x() = I + ( ) X(s) = s,= s C : >0},= s C : <0} Il y a une relaion biunivoque enre un signal emporel e un signal fréqueniel associé à une. L(x()) = + x()e e d = F(x()e ) où L désigne la ransformée de Laplace e F la ransformée de Fourier (cfr. Chapire 9). On en dédui que F(x()) exise si X(s) =L(x()) es elle que =0 x. Région de convergence () Cas coninu On a les résulas suivans. Signal borné par e λ x = s C : + } x()e s d exise. x() K e λ sur [T, + [ L(x()) exise si >λ x() K e λ sur ],T ] L(x()) exise si <λ Si λ <λ : = s : λ <<λ } λ λ Si λ >λ : = L(x()) n exise pas. Signal de durée finie x()e s d = T T x()e s d es borné (exise) s = C.
CHAPITRE 6. TRANSFORMÉES 49 Exemples : x() =e λ I + ()+e λ I + ( ) avec λ <λ x() λ λ x() =e λ I + () x() λ (Suppor fini à gauche, borné par une exponenielle illimiée à droie.) x() =e λ I + ( ) x() λ (Suppor fini à droie, borné par une exponenielle illimiée à gauche.) x() de durée finie. x() Cas discre x = z C : On a les résulas suivans. Signal borné par a n + n= } x[n]z n exise. x[n] K a n sur [N, + [ Z(x[n]) exise si ρ>a x[n] K a n sur ],N ] Z(x[n]) exise si ρ<a Si a <a : = z : a <ρ<a }
CHAPITRE 6. TRANSFORMÉES 50 a a Si a >a : = Z(x[n]) n exise pas. Signal de durée finie + k= z k x[k] = k k=k z k x[k] es borné (exise) z = C. Quelques propriéés fondamenales des ransformées (rès imporan) ainsi que quelques ransformées élémenaires (imporan pour les ransformées inverses) son reprises dans les ableaux dans l annexe du présen syllabus. 6. Exercices 8-89. Exercice 8 - En uilisan les propriéés de la ransformée de Laplace, rouver la ransformée des signaux suivans à parir de la ransformée de I + (). a) δ() b) δ () c) I + () d) e a I + () e) e a I + () f) cos(ω 0 )I + () g) e a cos(ω 0 )I + () Exercice 83 - Calculer la ransformée de Laplace du signal e déerminer la région de convergence. x() =e I + ()+e cos(3)i + (). Exercice 84 - Calculer la ransformée en z du signal x[n] =7 e déerminer la région de convergence. ( ) n ( ) n I + [n] 6 I + [n]. 3 Exercice 85 - Calculer la ransformée de Laplace du signal représené ci-dessous e déerminer la région de convergence.
CHAPITRE 6. TRANSFORMÉES 5 f() 3 4 Exercice 86 - Déerminer les ransformées inverses en z de la foncion X(z) = z z 3z +. Exercice 87 - Calculer la ransformée de Laplace du signal représené ci-dessous e déerminer la région de convergence. f() b b 3 a a 3a 4a... b b 4 Exercice 88 suivan. - Novembre 997 - En appliquan la définiion, calculer la ransformée de Laplace du signal e si [0,T] x() = 0 si [0,T] Exercice 89 - Novembre 003 - Soi x[n] =a n, a (0, ). a) Calculer la ransformée en z de x[n]. b) Calculer le domaine de convergence de X(z).