Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6 Réponses :. ( ) 6 I = d= = =. I = d= = = ( ) = = = ( ) = = = = = 6 9 d 9 9 9 ( ) 6 = = = = 7 = = = =. ( ) I d. ( ). I d I = ( ) 6. ( ) ( ) = = = I d 7. ( ) I d. I ( ) d ( ) ( ) ( ) = = = = 7 9. 9 ( ) 7 I = + d= + = + + = 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I = + sin d= cos( ) = cos( ) cos() = + I = cos d= sin( ) = sin sin =. ( ). ( ) I = sin d= cos( ) = cos cos( ) = Soluions :. sin ( ) d= cos( ) ( cos( ) cos( ) ) ( ) = = =.. ` d d = ( ) = ( ) = ( ) ( + ) = { } = sin cos d= cos( ) sin( ) = ( ( ) ( )) ` cos( ) sin( ) cos sin ( ) = =
Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6. ( + + ) = 6. ( ) ( ) + + + d = = = = + + + + + + ( ) ( ) ( ) d= = = + = 6 = ` 6. cos( ) sin ( ) d sin ( ) sin ( ) sin {[ ] [ ] } = = = = 7. d ( ) d ( ) ( ) ( ) 7 = + = + = + + == + 7. ( ) d ( ) ( ) ( ) ` ` { } [ ] [ ] = 7 = = { 6 6 } = { } [ ] [ ] 9. ( )( ) d ( ) ( ) ( ).. = = = { } = ` d= d = = = = = + = 6 d = (,,) d,,,7, [,7 ] = = + =, 7, =9, 7 sin cos = cos = cos cos = ( ) =,. ( ) ( ) d ( ) ( ) { } / `. e d = e = e e = ( e e) ` = = = = = ln(). d d d ln { ln() ln() } ` 9. e d e { e e } e e = = = ` 6. d { } ` ln( ) ln() ln(7) ln ln = ln + = = = = Réponses au + 7 7 7 choi! ` `
Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6 7. + ( ) ( d = + + + ) d = ln( + + ) = + + { ( ) ( ) } ln 6+ + ln + + = 7 { ln(7) ln() } = ln + = + = e = = ` + +. e d ( ) e d + e { e e } k ( ) ( ) k + d = + = k + k + = + + = 6 + = k = ou k = 6 k k ( k )( k ). La résoluion : d = d = = = = es fausse, car la foncion y = s'annule en =. Elle n'es donc pas coninue e le héorème fondamenal ne s'applique pas. Cee inégrale n'es pas définie!. La résoluion : d = ( ) =... ( ) es fausse, car la foncion à inégrer s'annule en = qui se rouve dans l'inervalle [ ; ]. Elle n'es donc pas coninue e le héorème fondamenal ne s'applique pas. Cee inégrale n'es pas définie!. La foncion à inégrer end vers l'infini lorsque end vers, e elle n'es pas coninue en. Malgré cela, l'inégraion sans réfléchir donne un résula qui a un sens. d = = = 6 es un résula correc.. Malgré que la borne supérieure ne soi pas un nombre, cee inégrale peu se faire sans difficulés pariculières : d = = =. L'inerpréaion géomérique es jolie : le périmère de la surface es infinie, mais l'aire de la surface es finie e d'aire égale à!. 6. d = = =. Cee fois-ci, l'aire es infinie sin( ) d Cee inégrale n'a pas une valeur définie, car la foncion sinus oscille périodiquemen. L'aire "sous la courbe" oscille aussi en foncion de la borne supérieure de l'inégrale.
Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6 Problèmes.a Non, les débis son oujours des foncions posiives f( ) e g ( ) pour ou..b La quanié d'eau enrée dans le lac enre les emps e égale.c La quanié d'eau sorie dans le lac enre les emps e égale.d La variaion d'eau dans le lac enre les emps e f () d. g () d. f g d. égale ( () ()).e La variaion oale d'eau dans le lac enre les emps = jours e = jours égale ( f () g() ) d = sin ( ) d = cos ( ) 7 + =. Après heures, la consommaion oale de carburan sera de : + ln( + ) = + ln() ( + ln()),97 lires. d = +.a On connaî la dérivée de la foncion cherchée T(), donc T() es une primiive de () T' 7 e T = e d = e + C où C es la consane d'inégraion. =. () 7 7 On sai que T() = 9 C e que ( ) T = 7 e + C = 7+ C, donc 9 = 7 + C. On en dédui que C = C e donc que T() = 7 e + C. b) La empéraure après minues es de ( ) La empéraure après minues es de ( ) T = 7 e + C 9, 7 C. méga lires. T = 7 e + C C. La empéraure de la chambre es de C, c'es celle vers laquelle la empéraure de la asse end. c) On cherche el que : T() = 7 e + C = C. Il fau donc résoudre l'équaion : 7 e =. Donc e =, = ln 7 7. Le emps cherché vau donc : = ln, minues. 7.a On connaî la dérivée de la foncion cherchée N(), donc N() es une primiive de, N' () = e,,. () N = e d = e + C où C es la consane d'inégraion., On sai que N() = 7 e que N( ) e C C, 7 = + C. On en dédui que C = e donc que ( ) = + = +, donc b) La populaion après années es de N( ), e La populaion après années es de N( ) e N = e +. = +, mille. = + 97,7 mille. La populaion end à se sabiliser vers mille habians.
Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P./6.c On cherche el que : (), N = e + =.,, = ln., Il fau donc résoudre l'équaion : e =. Donc e =, Le emps cherché vau donc : = ln, années.,.d Lorsque devien grand, N() se rapproche de mille e ne dépasse jamais cee valeur. Donc le demi million d'habians ne sera jamais aein, selon ce modèle.. année semaines. a) Bénéfice de la sociéé sur semaines = revenu sur semaines dépenses sur semaines = ', cos 9' d ' ' cos d 6 = 6 6' = ' sin = '' CHF 6 b) Pour les calculs des avoirs noons : D() = " Argen en milliers de CHF disponible à l insan ". D ( ) = cos d 6 = '6 '6 D ( ) = sin = sin 6 6 D D' c) Cee somme Des ( ) maimale lorsque D ( ) = : D'( ) = cos 6. D'( ) = cos = cos =, = cos (, ) + k ( k Ù) 6 6 6 ±,7 [ rad] + k ( ±,7 [ rad] + k) 6 ±, + k ( k Ù) 6 Le maimum es obenu pour, +,66. Cela se confirme sur le graphique. La résorerie es maimale duran le ème semaine.
Eercices de Mahémaiques ème Niv. Corrigé N 7 Inégrales définies - Problèmes P.6/6 6. a) La posiion du paque es définie par : T T DT ( ) = sin cos 6 d= + 6 = T T DT ( ) = T + cos + cos() T+, 7 cos, 7 6 6 b) Après heures, la posiion es : D() +, 7 cos, 7 =,9 milles. 6 Les douaniers doiven rechercher le paque à environ,6 milles en amon de l'esuaire. Ils doiven donc remoner la rivière de,6 milles relaivemen à l'endroi de la fouille du baeau. viesses [milles / heures] 6 y = sin( / 6) y = - - emps [heures] - - - y = sin( / 6) Posiion du paque en foncion du emps. Posiion du paque en milles marin Temps en heures