LIGNES DIRECTRICES MORTALITE

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément LIGNES DIRECTRICES MORTALITE Verson approuvée après consultaton des membres de l Insttut des Actuares nsérée en tant ue recommandaton dans les règles professonnelles de l Insttut par le Consel d Admnstraton du 0 jun 006 Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément SOMMAIRE CHAPITRE : VALIDATION DES FICHIERS INITIAUX...4 I. La pérode d observaton...4 II. La représentatvté des données...5 II. Le rsue de bas dans l etracton...5 II. Utlsaton de technues d échantllonnage...5 III. La connassance de l assuré : un élément essentel...6 IV. La cohérence des données...6 V. Les varables eplcatves de la mortalté...7 CHAPITRE : ESTIMATION BRUTE DES TAUX ANNUELS DE DECES...8 I. Introducton et notatons...8 I. Cadre de l analyse...8 I. Données ncomplètes...8 I.3 Notatons...9 II. Méthodes d estmatons...0 II. Généraltés...0 II. Estmateurs de type Bernoull... II.3 Estmateurs prenant en compte l âge au décès... III. Eemples d estmateurs construts sur un modèle de répartton des décès sur la plage [,+]...3 III. Epresson de la probablté b a + a en foncton de...3 III. Hypothèse de répartton unforme :...5 III.3 Hypothèse de tau de hasard constant :...6 III.4 Hypothèse de Balducc :...7 III.5 Blan...8 CHAPITRE 3 : LISSAGE DES TAUX ANNUELS DE MORTALITE...0 I. Introducton...0 II. La modélsaton paramétrue... II. Lo de Gompertz ( paramètres)...3 II. Lo de Makeham (3 paramètres)...3 II.3 La lo de Webull ( paramètres)...3 II.4 La formule de Helgman-Pollard (8 paramètres)...4 II.5 Le modèle logstue et l appromaton de Kannsto (de à 4 paramètres)...4 III. Lssages paramétrues...6 III. Méthode des splnes...6 III. Los de la famlle Gompertz-Makeham...7 IV. Lssages non-paramétrues...9 IV. Méthode des moyennes mobles pondérées (MMP)...9 IV. Méthode de Whttaker-Henderson...3 V. Les modèles relatonnels...35 Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément CHAPITRE 4 : VALIDATION DE LA TABLE CONSTRUITE...36 I. Introducton...36 II. Vérfcaton de la cohérence des tau...36 II. Table à une dmenson...37 II. Table de mortalté sélectonnée-fnale...37 II.3 Tables par segment de populaton...37 III. Crtères de régularté et de fdélté...38 III. Evaluaton de la régularté de la courbe de mortalté...38 III. Vérfcaton de la fdélté à la mortalté observée...38 Verson approuvée 3/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément Chaptre : Valdaton des fchers ntau La justesse d une table d epérence est avant tout condtonnée par la pertnence et la ualté des données utlsées pour sa constructon. A ce ttre, la valdaton des fchers ntau est une étape ncontournable du traval de l actuare certfcateur et l est essentel ue celu-c pusse accéder à l ensemble des données utlsées, notamment au détal par polce d assurance. Lors de la vérfcaton des données ntales, l actuare certfcateur peut se trouver confronté à une telle varété de stuatons u l serat dffcle d en donner une descrpton ehaustve. Pour cette rason, nous avons dentfé des uestons u se posent de façon récurrente d un traval de certfcaton à l autre et les abordons c afn de guder les actuares certfcateurs lorsu ls s y trouveront confrontés. I. La pérode d observaton La pérode d observaton est l ntervalle de temps retenu pour l étude de mortalté. Il est mportant de vérfer comment elle a été chose. Les déclaratons tardves de snstres Il est évdemment souhatable ue la pérode d observaton nclue les années d epérence les plus récentes possble. Cependant, pour tenr compte des déclaratons tardves de décès et ne pas sous-estmer le rsue de mortalté, l faut veller à ce u un certan décalage at été conservé entre la date de fn d observaton et la date d etracton des données. L déal serat de dsposer de données u permettent d estmer l écart entre la date de survenance et la date de déclaraton du décès de façon à valder le décalage utlsé. La durée d observaton dot être un multple de douze mos Il est en général préférable ue la pérode d observaton porte sur des ntervalles d une longueur multple de douze mos car le rsue de mortalté fluctue naturellement tout au long de l année. S cela n a pas été possble, des ajustements peuvent s avérer nécessares pour corrger les estmatons de ce phénomène de fluctuaton. La longueur de la pérode d observaton En rason des fluctuatons conjoncturelles de la mortalté, l actuare certfcateur a ntérêt à eger, dans la mesure où cela est possble, ue la pérode d observaton comporte pluseurs années. Le cho d une pérode de pluseurs années présente un deuème avantage : cela permet d augmenter le volume d observatons, ce u est souvent utle pour amélorer la ualté des estmatons. Il faut toutefos évter de tomber dans l ecès nverse et ne pas accepter une pérode trop longue sans uelues précautons préalables. Une pérode d observaton de tros à cn ans paraît un cho rasonnable, une table construte avec une pérode dfférente devra fare l objet d une attenton partculère. Dans tous les cas, l convendra de vérfer u l n y a pas d évoluton sensble de la mortalté sur la pérode retenue. Par «fchers ntau», nous désgnons lensemble des fchers de données, tels uls ont été etrats du système de geston, u ont serv à construre la table de mortalté. Verson approuvée 4/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément Pour une pérode d observaton relatvement longue, l devent également nécessare, dans les analyses de mortalté en montants, de contrôler l évoluton du tau d ntérêt technue et de l nflaton et, s nécessare, de corrger les données pour élmner l mpact de ces évolutons sur les estmatons des probabltés de décès. II. La représentatvté des données Le fcher ntal dot être représentatf du portefeulle pour leuel la table de mortalté sera utlsée. II. Le rsue de bas dans l etracton Afn de s assurer u l n y a pas eu de bas dans la sélecton des données retenues pour l étude, l actuare certfcateur a beson de contrôler la méthode d etracton employée. A cet effet, l est nécessare u l sache comment le système de geston nformatue fonctonne (mode de stockage des données, durée de l hstorue conservé...) et comment les enregstrements ont été sélectonnés. Nous tenons à attrer l attenton des actuares certfcateurs sur les etractons fltrées u, s elles sont mal utlsées, peuvent entacher la représentatvté des données et produre des fchers ntau basés. Eemple : Sur la pérode d observaton u l a chose, le constructeur de la table a conservé unuement les contrats où l y a eu un snstre ans ue ceu u sont encore en vgueur à la fn de la pérode d observaton. Cette etracton est basée : les contrats u ont prs fn au cours de la pérode d observaton sans survenance d un snstre n ont pas été prs en compte. Ce bas condut à surestmer le rsue de décès. Il nous semble également mportant d attrer l attenton des actuares certfcateurs sur le cas des portefeulles réassurés. Le nveau de mortalté sera en général dfférent selon ue l on affecte à chaue contrat le montant total assuré ou le montant net de réassurance. Dans ce derner cas, un changement du programme de réassurance peut rendre la table de mortalté d epérence caduue. II. Utlsaton de technues d échantllonnage Nous recommandons à l actuare certfcateur de vérfer ue toutes les données dsponbles ont ben été utlsées dans la constructon de la table. Dans le cas contrare, l devra s assurer de la pertnence de la méthode d échantllonnage retenue. Pour les fchers volumneu, sgnalons cependant la technue statstue u consste à construre la table de mortalté sur une parte du fcher pus à la tester sur le reste des données. Cela revent, au fnal, à valder la table sur l ensemble des données dsponbles. Sous ce terme, nous désgnons les études où chaue observaton est pondérée par le montant assuré. Verson approuvée 5/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément III. La connassance de l assuré : un élément essentel Certanes varables dovent naturellement être rensegnées pour chaue enregstrement car, sans cette nformaton, l estmaton même des probabltés de décès ne peut être réalsée. Il s agt de : la date de nassance de l assuré la date de début d assurance le cas échéant, la date de fn d assurance et la cause de sorte (décès, chute ou epraton naturelle du contrat) Le fcher ntal ne peut cependant pas se lmter à ces champs. Il faut également dsposer de varables u permettront de s assurer de la cohérence des données et ans ue de vérfer leur homogénété. Le numéro dentfant ou «numéro d assuré» ue l assureur attrbue souvent à chacun de ses clents est, lu auss, une varable fondamentale. Il permet de fare le len entre les dfférents contrats de l assuré (communément appelés «doublons») et s avère etrêmement utle dans le cadre d une étude de mortalté. Grâce à lu, on peut effectuer les regroupements nécessares pour ne comptablser chaue assuré u une seule fos et lu affecter le captal assuré total. Cependant, cette varable n est, en général, pas complètement fable ; ctons, par eemple, le cas d un clent u achèterat de l assurance dans des réseau de dstrbuton dfférents ou encore la fuson de systèmes de geston u pourrat engendrer une perte d nformaton. Quel est l ntérêt d élmner les «doublons»? La mult-comptablsaton d un assuré ne devrat pas avor une nfluence trop mportante sur l estmaton des nveau de mortalté. En revanche, elle condurat à sous-estmer les ntervalles de confance. Elle pourrat également baser les estmatons s le rsue état segmenté en foncton du montant assuré. IV. La cohérence des données Une synthèse du traval de nettoyage des données ans u une analyse descrptve des données fnalement conservées sont normalement rems à l actuare certfcateur. Le rapport sur le nettoyage des données ndue la proporton de polces élmnées et précse pour uelles rasons elles n ont pas été conservées. L analyse descrptve permet, uant à elle, de vérfer ue la dstrbuton des varables ne présente pas d anomale et de repérer les spécfctés du portefeulle. Au-delà de ces documents d étude, l actuare certfcateur peut effectuer ses propres contrôles ou demander des analyses complémentares. A cet égard toutes les varables peuvent être utles. Nous soulgnons c l mportance des dates, de l âge et du montant assuré. De nombreuses dates-clé sont souvent stockées dans le système de geston des assureurs : date de souscrpton de la polce, date de prse d effet de la couverture, date de décès, date d enregstrement du décès, date de paement de la garante... Le contrôle de la bonne chronologe de ces dates donne un aperçu de la ualté du fcher. Il est également ntéressant de vérfer s l âge à la souscrpton et l âge mamum de couverture correspondent ben au lmtes fées par l assureur dans les condtons de souscrpton ou s l s agt d une vértable dérogaton. L objectf de ces contrôles n est pas d élmner les contrats souscrts en dérogaton au règles générales, mas d dentfer d éventuelles erreurs de sases afn u elles soent corrgées. Dans un fcher ntal de bonne ualté, les dates devraent contenr tant le jour et le mos ue l année. S la connassance des dates se lmte au années, l actuare certfcateur est en drot de soupçonner sot des fablesses dans les structures de geston, sot un effort nsuffsant dans la condute des travau d analyse de la mortalté. La connassance du système de geston lu permettra d affner son jugement et d en trer ses conclusons en termes d ncerttude des estmatons ou de beson d approfondssement des travau. Verson approuvée 6/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément D autres varables peuvent permettre à l actuare certfcateur de contrôler la cohérence des données. Il a, par eemple, ntérêt à vérfer s le montant du captal garant en cas de décès est ben comprs dans les lmtes fées par l assureur et, dans le cas où l ne s agrat pas d une dérogaton, de s assurer ue les erreurs de sase ont été corrgées. Il peut auss juger utle de croser des données comptables avec celles ssues du fcher d étude afn de détermner s le chffre d affare annuel et les montants de snstres payés sont cohérents (cela mplue de dsposer, pour chaue polce, du montant de la cotsaton, de sa pérodcté et, éventuellement, des tau de revalorsaton). V. Les varables eplcatves de la mortalté Certanes varables permettent de détermner l assette d applcaton de la table de mortalté. Même s elles n ntervennent pas drectement dans le calcul des tau de mortalté et ne jouent pas de rôle majeur dans la vérfcaton de la cohérence du fcher ntal, elles sont tout auss essentelles ue les varables ctées précédemment. Elles servent à tester l homogénété des données et, s une hétérogénété est observée, elles sont utlsées pour mettre en place un suv de la structure du portefeulle u permettra de vérfer, dans le futur, ue la table reste adaptée au rsue couvert. Un des rôles majeurs de l actuare certfcateur est, en effet, de contrôler l assette d applcaton de la table de mortalté et, une fos la certfcaton étable, de surveller son adéuaton au portefeulle de l assureur. S l assureur a déjà consttué des segments tarfares construts sur des dfférences de mortalté, l actuare certfcateur a naturellement beson de connaître la classfcaton de chaue polce. A ttre d eemple, ctons la segmentaton assez usuelle entre les assurés u ont passé sans encombre la sélecton (assurés à «rsue normal») et ceu u se sont vus appluer une surprme (assurés à «rsue aggravé»). N oublons pas non plus la segmentaton, de plus en plus fréuente, entre fumeurs et non-fumeurs. Dans son traval de suv, l actuare certfcateur devra s assurer u l n est pas ntervenu de changement majeur dans les méthodes de sélecton et de segmentaton utlsées par l assureur. Les varables u peuvent nfluer sur le rsue de décès sont nombreuses. Les crtères les plus éprouvés sont certanement le see, le tabagsme ou non-tabagsme, la classfcaton en rsue normal ou aggravé, le montant assuré et le nveau de sélecton médcale (contrats relevant du même processus de sélecton). Il est également souvent très pertnent d analyser le rsue en foncton de la durée écoulée depus l adhéson pour mesurer l mpact de la sélecton médcale ou de l antsélecton éventuelle. D autres varables peuvent auss s avérer pertnentes, telles ue, par eemple, la catégore socoprofessonnelle de l assuré, son leu de résdence ou, encore, le mode de vente du produt d assurance. Verson approuvée 7/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément Chaptre : Estmaton brute des tau annuels de décès I. Introducton et notatons I. Cadre de l analyse Pour estmer le tau annuel de décès à l âge enter, tradtonnellement noté, la premère étape consste à utlser unuement les ndvdus observés vvants sur une parte ou sur la totalté de leur + ème année. Il n est pas tenu compte des observatons relatves au âges vosns, u elles provennent des mêmes ndvdus ou d ndvdus dfférents. On parle alors d estmaton brute du tau, par opposton au estmatons dtes lssées u, elles, prennent en compte un ensemble d nformatons relatves à une plage d âges. Dans la sute, nous appelons Pop l ensemble des ndvdus utles à l estmaton du tau. L ndce est employé pour désgner un ndvdu de Pop (,, N ), où N représente la talle de la populaton Pop. La premère hypothèse, commune à l ensemble des méthodes présentées c, consste à supposer ue, sur l ntervalle d âge [,+], tous les décès éventuels des ndvdus sont des événements ndépendants et ue les N ndvdus de Pop ont la même probablté de décéder dans leur + ème année (rappelons ue, par défnton de Pop, tous sont vvants à l âge ). Le problème soulevé dans la procédure d estmaton de la probablté tent au fat ue les ndvdus ne sont pas tous observables sur la totalté de la plage d âge [, +]. Le modèle bnomal classue ne peut plus s appluer. De très nombreuses méthodes relevant pour la plupart d hypothèses dfférentes sur la lo de répartton des décès sur la plage [,+] et (ou) d appromatons construtes sur l ordre de grandeur du tau ont été développées. I. Données ncomplètes Un ndvdu de Pop peut ne pas être pas être observable durant la totalté de sa + ème année prncpalement pour deu rasons : sot l a fêté son ème annversare avant le début de la pérode d observaton et l rentre donc sous observaton entre les âges et +. On parle alors d observaton tronuée à gauche. sot son + ème annversare (u l sot décédé ou vvant) est postéreur à la date de fn d observaton. Dans le cas où, à la fn de l epérence (c'est-à-dre a posteror), on constate ue l ndvdu est vvant on parle d observaton censurée à drote à âge prévsble a pror. Dans ces deu stuatons les âges au début et à la fn d observaton sont a pror connus et non aléatores. Seul le décès (ou la surve) est aléatore. A ces deu rasons s ajoute un trosème motf d observaton ncomplète : l ndvdu, pour une cause non calendare (réslaton du contrat, perte d nformaton, etc ), sort du champ d observaton vvant à un âge mprévsble (nféreur à l âge + ben sur). On parle alors de censure à drote à âge mprévsble a pror. Il convent d ores et déjà de porter une attenton partculère à ces observatons. En effet la cause de cette sorte vvant du champ d observaton est très souvent porteuse d nformaton sur la probablté de décès de l ndvdu (par eemple une réslaton sur un contrat temporare décès peut être un ndce d une melleure santé de l assuré). Comme nous le verrons par la sute, cette modfcaton de la probablté de décès nvalde tous les estmateurs proposés dans la lttérature. Verson approuvée 8/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément Il convendra, lors d une msson de certfcaton d dentfer ces stuatons, de contrôler (autant ue fare se peut) ue les causes de sortes n nfluent pas sur la probablté de décès et d évaluer le pods de ces observatons par rapport à l effectf total N. I.3 Notatons Rappelons ue tout ndvdu attegnant l âge + est consdéré comme sortant de l observaton. Notons + a l âge de début d observaton de l ndvdu sur la plage [, +[. Notons +b l âge u aurat l ndvdu en fn d observaton s l ne décédat pas et s l ne sortat pas de manère mprévsble de l étude. 0 a b. Notons +T la varable aléatore «âge de l ndvdu à sa sorte de l observaton». Quand l ndvdu sort de l observaton à un âge nféreur strctement à b on assoce à cet évènement la cause de sorte, varable à deu modaltés : «décès» et «autre». Enfn D représente la varable de Bernoull ndcatrce du décès de l ndvdu D 0 s la varable aléatore T prend la valeur b ou s T prend une valeur nféreure strctement à b et la cause de sorte n est pas le décès. D dans les autres cas. D D représente le nombre de décès dans la populaton Pop... N Le tableau c-dessous récaptule la plupart des stuatons possbles : Valeur de a Valeur de b réalsaton t de T Cause de sorte 0 # 0 0 < décès > 0 # 0 > 0 < décès > 0 < t b # 0 0 < t b # 0 0 < t <b décès 0 < autre 0 0 < t <b autre 0 # : sgnfe ue l assuré a été observé sur toute la pérode d observaton D blan Observaton complète et non décès Observaton complète et décès Observaton tronuée à gauche et non décès Observaton tronuée à gauche et décès Observaton tronuée à gauche et censurée à drote Observaton censurée à drote Observaton potentellement partelle et décès Observaton censurée à drote à âge mprévsble Observaton censurée à drote à âge mprévsble Verson approuvée 9/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément II. II. Méthodes d estmatons Généraltés S toutes les observatons étaent complètes et s aucune sorte nopnée n état possble l estmaton de relèverat du modèle bnomal classue. Dans ce modèle fos l estmateur du mamum de vrasemblance et celu de la méthode des moments. ˆ D est à la N Les très nombreuses etensons de cet estmateur au données ncomplètes peuvent se classer en deu famlles selon u l s agt d une etenson n utlsant comme nformaton relatve au décès ue la seule ndcatrce de décès (on peut parler alors d approche de type Bernoull) ou d une etenson prenant auss en compte l âge 3 à la survenance de l éventuel décès. A l ntéreur de ces deu famlles d estmateurs on peut encore dentfer ceu u relèvent de la méthode du mamum de vrasemblance, ceu u relèvent de la méthode des moments (labellsé dans ce contete de méthode d estmaton cohérente), vore ceu u peuvent revenduer au même ttre ue l estmateur bnomal les deu méthodes. Pour les estmateurs de type Bernoull la présence de données ncomplètes condut, uelue sot la méthode utlsée, y comprs la méthode des moments u dans le cas classue est non paramétrue, à ntrodure une hypothèse de répartton des décès sur la plage d âges [,+] donc un paramétrage de la lo ue l on pourrat ualfer de «local». Pour les estmateurs u ntègrent la connassance eacte des âges au décès la méthode des moments retrouve sa vertu non paramétrue (estmateur de Kaplan Meer). On ne sera pas surprs ue la méthode du mamum de vrasemblance pour être opératonnelle dans sa phase d optmsaton demande elle auss une hypothèse de répartton des décès sur la plage d âges [,+]. Le plus souvent les estmateurs obtenus n ont pas d epresson eplcte mas sont évalués par des technues de résoluton numérue au demeurant fort smples. Pour paller cet nconvénent et obtenr des formules eplctes des appromatons sont proposées, construtes sur le fat ue le tau estmé est «pett». Etant eplctes ces appromatons sont tradtonnellement les plus connues vore les plus utlsées. Sans les remettre en cause, l convent de ben contrôler leur domane de valdaton u peut être contesté notamment : - dans leur applcaton au âges élevés où le tau de mortalté devent plus mportant. L obtenton numérue sans appromaton de l estmateur est de ce pont de vue ncontournable. - dans le cumul, sur tous les âges des erreurs d appromaton u sont toujours de même sgne et u sur des applcatons à des produts de rente peuvent fnr par «peser» sur les résultats. Par contre ces appromatons sont partculèrement utles pour le calcul des varances (et donc des ntervalle de confance) des estmateurs. Le plus souvent ce calcul n est d alleurs possble u à partr des solutons eplctes et par alleurs l mprécson due au appromatons est nettement mons pénalsante. Lors d une msson de certfcaton l pourra être utle de ben dentfer de uelle famlle l estmateur proposé s nspre, s l s agt d une formule eacte ou approchée, vore uand les données sont dsponbles d élaborer des estmateurs «concurrents» et de confronter les résultats. Les méthodes présentées c-dessous ne dovent pas être vues comme un ensemble de «fgures mposées». Ben au contrare elles dovent permettre au certfcateur de garder un esprt ouvert devant telle ou telle varante suggérée par les condtons d epérence. Les eemples d estmateurs présentés c-après ne prétendent pas à l ehaustvté. 3 nous fasons c référence à lâge eact par opposton à lâge arrond à un enter Verson approuvée 0/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément II. Estmateurs de type Bernoull II..a Méthode du mamum de vrasemblance S l observaton ne relève pas d une censure à drote à âge mprévsble, sa vrasemblance est égale à : b a + a en cas de décès - p en cas de surve à l'age +b b a + a b a + a S l observaton est censurée à drote à l âge mprévsble +t, de très nombreuses modélsatons probablstes relatves à la lo du couple (âge à la sorte, cause de sorte) ont été développées. Nous nous lmtons c à proposer un rasonnement d nférence où l âge +t est supposé connu (mas la censure à drote, c'est-à-dre la sorte «vvant», reste elle aléatore). La vrasemblance d une telle observaton est alors égale à la probablté d être vvant à l âge +t (sot t a p + a ) et ce cas n a plus leu d être dstngué des censures à drote à âge prévsble. Cependant l écrture de cette vrasemblance suppose ue la cause de censure n nflue pas sur la mortalté de l ndvdu. Cette hypothèse peut, comme nous l avons sgnalé en préambule, être assez souvent contestée. La vrasemblance sur l ensemble de la populaton Pop s obtent par le produt des vrasemblances de chaue observaton et la log-vrasemblance est alors égale à : D ln( b a + a ) + ( D ) ln( t a p + a ) ()..N Pour estmer le tau, l est ndspensable de chosr un modèle permettant d eprmer, pour tout couple (a,b) tel ue 0<a<b<, les probabltés b a + et a b ap+ aen foncton de la probablté. Chaue modèle retenu condut à une epresson dfférente de l estmateur mamsant la vrasemblance ou, de manère éuvalente, de la log-vrasemblance. Cette epresson peut être eplcte (rarement), avor une epresson appromatve eplcte ou être obtenue par des méthodes de résoluton numérue en général très smples. II..b Méthode des moments. Noton d estmateur cohérent. Dans le modèle bnomal l estmateur ˆ vérfe : ˆ.N D. Ans le nombre de décès espéré ˆ.N par l estmateur ˆ est égal au nombre de décès D effectvement observés. L etenson au cas des données ncomplètes est, avec cet éclarage, naturelle. Supposons (comme pour la méthode du mamum de vrasemblance) u un modèle de répartton des décès sur l ntervalle [,+] at été chos. On peut donc eprmer, pour tout couple (a,b), 0<a<b<, la probablté b a + comme foncton de a notée : b a + a b a + a ( ) ˆ est dt estmateur cohérent s le nombre de décès espéré par l estmateur ( ˆ ) b a + a, est égal à la somme :..N ˆ,sot du nombre de décès observés a posteror, D, et du nombre de décès espéré par l estmateur et nobservés à cause du phénomène de censure drote, ( ˆ ) b t + t...n,t< b ;sorte vvant ( ˆ ) En remaruant ue, s t est égal à b, la probablté b t + t est évdemment nulle, la restrcton t <b peut être omse. Fnalement ˆ cohérent vérfe : Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément () ˆ D + ( D). () ˆ () b a + a b t + t..n..n, Remarue : Certans auteurs propose une varante de la relaton de cohérence en rasonnant pour chacun des ndvdus de Pop sur l ntervalle [+a,+] au leu de l ntervalle [+a,+b ] La relaton de cohérence s écrt alors : () ˆ D + ( D). () ˆ (3) a + a t + t..n..n II.3 Estmateurs prenant en compte l âge au décès II.3.a Méthode du mamum de vrasemblance. La vrasemblance des observatons où les ndvdus sont vvants à la fn de l observaton est nchangée. Par contre la vrasemblance des ndvdus décédés n est plus une vrasemblance de type Bernoull mas la densté de la lo de la varable aléatore +T, «âge au décès», condtonnée par l évènement T > a u peut auss s écrre : t a p + a μ(+ t ) où μ (+ t ) représente le tau de hasard de la lo de l âge au décès. Ic auss une hypothèse sur la lo de répartton des décès sur la plage [,+] est ndspensable. Elle permet de reler le tau au vrasemblances p + μ(+ t ). t a a La log-vrasemblance s écrt alors :... N ( ( + t ) + ln( p ) D ln μ (4)... N t a + a p t a + a et II.3.b Méthode des moments. Estmateur de Kaplan Meer Dans le cas classue de données complètes, la lo de répartton de la varable Mn (T-,) est estmée par la dstrbuton emprue (à l orgne de la méthode des moments) u prend unuement les valeurs s - et. La probablté de la valeur est alors la fréuence des survvants D N N D N, celle des autres ponts est égale à /N. L estmaton de (égale à ) reste alors nchangée et cette approche ne rajoute ren au modèle bnomal. En présence de données ncomplètes, l etenson naturelle de la foncton de surve emprue permet de proposer une estmaton du tau sans fare aucune hypothèse sur la lo de répartton des décès sur [,+]. Nous décrvons c-dessous l algorthme condusant à la foncton de surve de Kaplan Meer (on pourra trouver en annee une bblographe relatve à cet estmateur). () Foncton d eposton au rsue : On appelle foncton d eposton au rsue la foncton notée epo(t) et défne par : epo () t a t... N... N s t Cette foncton compte le nombre d ndvdus soums au rsue de décès à l âge +t et sous observaton. Un ndvdu entrant ou sortant par censure en t est conventonnellement consdéré comme eposé au rsue de décès. Ce cho est sans mportance pour toutes les valeurs de t u Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément n enregstrent pas de décès. Par contre, l epresson de epo(t) au âges de décès étant crucale, cette subjectvté peut être gênante dans la mesure ou une autre conventon ne donne pas la même epresson pour la foncton de surve Kaplan Meer. C est la rason pour lauelle l est recommandé de chosr l unté de temps la plus fne possble afn de rédure au mnmum les stuatons ou entrées, censures et décès se produsent smultanément. () La foncton de surve (notée S KM ) de Kaplan-Meer relève alors de l algorthme récurrent décrt c-dessous : a- S KM (0) b- Sur tout ntervalle (a,b) tel ue, entre +a et +b, on n observe pas d âge au décès, la foncton S KM reste constante. c- Pour tout âge de décès +t : n( t ) S KM (t + ) S KM (t ) epo(t) observés à l âge +t (en général n(t) est égal à ). où n(t) représente le nombre de décès La justfcaton ntutve de cet algorthme vent du fat ue toute foncton de surve S vérfe, pour tout couple (y,y ) y<y : S( y') S( y ) ( y' y y ) et ue la probablté de décès dans un ntervalle (t-,t+) est estmée classuement par la fréuence de décès observés sot n(t)/epo(t). L estmateur de s obtent à partr de la foncton de surve de Kaplan Meer par la relaton : ˆ. KM () t S () t KM La foncton de surve Kaplan Meer présente de nombreu avantages : - Pas d hypothèse a pror sur la répartton des décès sur [,+]. - Faclté de programmaton - Possblté d obtenton d ntervalles de confance. - Possblté, s beson est, d estmer le tau b a + par KM a S S KM (b) (a) - Possblté s les capactés nformatues le permettent, de trater smultanément l ensemble de la populaton et d obtenr ans les estmatons des pour tous les âges sans avor à soler pour chaue âge la populaton Pop. L obtenton de la foncton de surve Kaplan Meer dot être une egence de la part du certfcateur dès lors ue les données permettent son calcul. En même temps, celu-c est tenu de vérfer ue l unté de temps chose a été la plus fne possble et, en cas d abondance d e aeuo, de vérfer ue les résultats restent très peu sensbles au cho des conventons permettant le calcul de la foncton d eposton au rsue. III. Eemples d estmateurs construts sur un modèle de répartton des décès sur la plage [,+] III. Epresson de la probablté b a + en foncton de a Pour eprmer les probabltés b a + a et b ap + a l est ndspensable de précser la lo de répartton de l âge au décès sur la plage d âges [,+] sachant u l y a eu décès sur cet ntervalle. Cette lo condtonnelle peut se dédure d hypothèses fates sur la lo non condtonnelle de l âge au décès (par eemple : modèle de tau de hasard constant sur [,+], modèle de Balducc) mas l hypothèse peut auss se fare drectement sur la lo condtonnelle elle-même (par eemple : lo unforme sur [,+]). Dans tous les cas les formules c-dessous peuvent être très utles : Verson approuvée 3/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément F(b) F(a) C C b a + a F C(a) et p b a + a F(b) C F(a) où F c désgne la foncton de répartton condtonnelle de la dfférence entre l âge au décès et l âge sachant ue le décès ntervent entre les âges et +. A partr de ces relatons, on peut construre une multtude d estmateurs, u vareront en foncton de l hypothèse fate sur la lo de répartton des décès, de la méthode utlsée (mamum de vrasemblance ou méthode des moments) et de l appromaton utlsée s le tau est consdéré comme pett. Nous n avons pas l ntenton d en proposer c un catalogue ehaustf. Nous présentons c-après, pour chaue hypothèse de répartton des décès, un tableau synthétue donnant :. la défnton mathématue de l hypothèse. la densté de la lo de l âge au décès sur [,+] 3. le tau de hasard de la lo de l âge au décès sur [,+] 4. la lo condtonnelle de S- sachant S [, + ] 5. l epresson de b a + a 6. son appromaton 7. l éuaton condusant à l estmateur mamum de vrasemblance de type Bernoull obtenue par dérvaton de la log-vrasemblance 8. et sa soluton approchée 9. l éuaton condusant à l estmateur cohérent () 0. et sa soluton approchée. l éuaton condusant à l estmateur cohérent (3). et sa soluton approchée 3. l éuaton condusant à l estmateur mamum de vrasemblance utlsant les âges au décès 4. et sa soluton approchée C Verson approuvée 4/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément III. Hypothèse de répartton unforme : Défnton densté de lo de S constante sur [,+] # Densté de lo de S p # sur [,+] 0.. Tau de hasard Lo condtonnelle de S- t en +t lo unforme sur [0,] (b a) a b a + a appromaton de (b a) b a + a éuaton MV de type Bernoull soluton D t a ( D ) t..n a D D. t a D a approchée ( )( ) éuaton de cohérence () soluton crossant sur tout ntervalle [,+]. L ndvdu vellt ne dépend plus de # relaton classue mas u sous évalue la probablté. résoluton numérue ˆ supéreure à la soluton eacte... N... N D b a ( D )(b t ) a..n t D b a D. b t résoluton numérue ˆ supéreure à la soluton eacte approchée ( ) ( )( ) éuaton de cohérence (3) soluton approchée éuaton MV avec âges au décès Soluton ˆ... N... N D a ( D )( t ) a..n t D ( D )(t a ) + D( a ) résoluton numérue..n..n D t a ( D ) t..n a D D. t a D a approchée ( )( )... N... N supéreure à la soluton eacte concde avec MV Bernoull ˆ concde avec MV Bernoull Verson approuvée 5/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément III.3 Hypothèse de tau de hasard constant : Défnton tau de hasard de S constant sur [,+] # densté de lo ln( p )t de S sur ln( p )S( )e + en +t [,+] # tau hasard de lo condtonnelle de S- sachant ln( p ) sur [,+] L ndvdu n ne vellt n ne rajeunt sur [,+] dépend de et donc de. Préférer pour les résolutons t p t p S C(t) e e e S [, + ] b a b a (b a) + a p e # appromato n de b a a éuaton MV D(b a ) de type (b a ) Bernoull e + soluton approchée éuaton de cohérence () (ba) (b a) commune au tros modèles ( D )(t a ) résoluton..n..n ˆ soluton approchée éuaton de cohérence (3) soluton approchée D ( D )(t a ) ˆ ; ˆ e..n (bt ) (ba )..N..N D + ( D )( e ) ( e ) numérue supéreure à la soluton eacte résoluton ˆ..N D ( D )(t a ) + D(b a ) ˆ e D + ( t ) ( D )( e ) ( a ) ( e ) ˆ..N..N ˆ ; numérue supéreure à la soluton eacte résoluton..n D ( D )(t a ) + D( a ) éuaton MV avec âges au décès..n D (t a ) ˆ ; ˆ e numérue supéreure à la soluton eacte ˆ soluton eplcte ( t a )... N D soluton approchée ˆ..N D t a ˆ ; ˆ e pas d erreur Verson approuvée 6/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément III.4 Hypothèse de Balducc : ( t) Défnton Densté de lo de S sur [,+] Tau de hasard Lo condtonnelle de S- sachant S [, + ] t + t # S( + ) (p + t ) p + t en +t ( t)p S C(t) p + t b a + a p + b appromaton (b a) (b a) de b a + a éuaton MV de type Bernoull soluton D t a b ( D ) D ( p+ a)(..n p+ t) p+ b D ˆ D. t a D b approchée ( )( ) ( ) éuaton de cohérence () soluton approchée éuaton de cohérence (3) soluton approchée... N... N D b a b t ( D ) p..n b p b + + D ˆ (b a ) ( D )(b t ) ˆ..N..N D éuaton MV avec âges au décès soluton approchée..n # L ndvdu rajeunt sur [,+]!!! dépend encore de # commune au tros modèles résoluton numérue supéreure à la soluton eacte résoluton numérue supéreure à la soluton eacte [ a ( D )( t )] soluton D ( D )(t a ) + D( a )..N..N eplcte pas d erreur D t a t D (p+ a)(p..n + t) p+ t D ˆ (t a ) D( t )..N..N résoluton numérue supéreure à la soluton eacte Verson approuvée 7/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément III.5 Blan - Pour les tros modèles présentés, u sont les modèles les plus fréuemment utlsés, l y a unuement deu scénaros où l estmateur prend une forme eplcte : a- Modèle tau de hasard constant, estmateur mamum de vrasemblance avec prse en compte des âges au décès dont nous rappelons l epresson : D ˆ ep( ) t a..n Ce couple modèle-méthode est donc partculèrement ntéressant. Il convent de noter néanmons ue cet estmateur est basé (asymtotuement sans bas) et ue le modèle de tau de hasard constant eprme ue l ndvdu a une potentalté de décéder constante sur l ntervalle [,+] ce u, pour des âges élevés, peut être une hypothèse contestée. Cet estmateur est également obtenu par un modèle dt Possonen u suppose ue nombre total de décès, dont on suppose u l sut une lo de Posson de paramètre. ( t a) dont la justfcaton est empruntée à la théore des processus de Posson et au fat ue ( t a) représente un eposton «moyenne» au rsue de décès. b- Modèle de Balducc, estmateur cohérent deuème verson. ˆ D ( D )(t a ) + D( a )..N..N Pour ce couple modèle-méthode l reste ntéressant d avor une epresson eplcte. Cependant l hypothèse de Balducc a pour conséuence ue sur la plage [,+] l ndvdu a une potentalté de décéder u dmnue!! - Les solutons approchées sont toutes égales à des termes de second ordre près (par rapport à ). Elles ne dffèrent ue dans l epresson des dénomnateurs. Ces dénomnateurs s nterprètent en termes d eposton au rsue et dffèrent essentellement sur la prse en compte, dans cette eposton, des ndvdus décédés. Ces constatatons se comprennent auss en remaruant ue les éuvalents des tau b a + sont tous égau à (b-a) a. Ces solutons approchées sur évaluent toujours la soluton assocée eacte. Il semble donc mportant ue le certfcateur pusse avor connassance des solutons eactes afn d évaluer la pénalsaton éventuellement due à l utlsaton de la soluton approchée au mons pour le modèle «répartton unforme des décès». Rappelons ue nous préconsons auss la comparason de ces estmateurs à l estmateur Kaplan Meer. 3 - Pour le calcul des ntervalle de confance, u comme nous l avons dt est mons egeant en précson, l estmateur «tradtonnel» peut, de notre pont de vue, suffre : ˆ D D..N..N..N (t a ) (t a ) + (b a). Cet estmateur repose sur l appromaton commune: b a a Son dénomnateur est en fat éuvalent à tous les dénomnateurs obtenus précédemment et a l mmense avantage de ne pas être aléatore. Verson approuvée 8/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément (t a ) ( [t a ] ) Il est, à l appromaton près non basé, de varance : (t a ) ellemême estmée en substtuant dans l epresson c-dessus par son estmaton. Les ntervalle de confance se dédusent à partr du comportement gaussen supposé pour ˆ. 4 - Des smulatons fates, notamment pour des âges élevés, on peut dégager une sensblté relatvement fable au modèle de répartton chos et à la méthode utlsée, mas des dfférences notables entre les solutons «eactes» et approchées. Verson approuvée 9/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément Chaptre 3 : Lssage des tau annuels de mortalté I. Introducton Les estmatons âge par âge des tau annuels de décès forment une courbe de mortalté u se révèle, en général, assez rrégulère. Ces aspértés sont dues au fluctuatons d échantllonnage et ne sont pas représentatves de la réalté : nous savons en effet ue les tau de décès évoluent graduellement avec l âge 4. Pour amélorer les estmatons brutes et se rapprocher encore plus des vértables tau de mortalté, l est possble d utlser les connassances ue nous avons a pror sur la forme des courbes de mortalté. De nombreuses méthodes permettent de répondre à cet objectf. Les estmatons corrgées u elles produsent progressent régulèrement avec l âge et, pour cette rason, sont appelées estmatons «lssées» des tau de décès. Nous présentons uatre catégores de méthodes permettant d obtenr des estmatons lssées des tau de décès et, ans, de construre une table de mortalté : les modèles paramétrues, les lssages paramétrues, les lssages non-paramétrues, les modèles relatonnels. Avec un modèle paramétrue, une hypothèse est posée a pror sur la forme de la courbe de mortalté. Pour cette rason, la foncton mathématue u eprme le tau de mortalté en foncton de l âge dot être une foncton dont la capacté à retracer la courbe de mortalté a déjà été éprouvée sur d autres populatons. Elle dot permettre de capturer des caractérstues fondamentales et persstantes des courbes de mortalté, ce u condut à prvléger les fonctons contenant peu de paramètres. Cette partcularté condut à un certan manue de souplesse dans la fdélté au données, en contreparte elle permet théoruement d étendre l estmaton des tau de mortalté à des âges où l n y a pas encore d observatons. La parte II de ce chaptre présente pluseurs modèles paramétrues de référence. Les méthodes de lssage (paramétrues ou non-paramétrues) permettent un ajustement assez fdèle au données d epérence. Contrarement au modèles paramétrues, elles ne reposent pas sur l hypothèse ue la courbe de mortalté a une forme connue a pror et, à ce ttre, ne sont pas prévues pour obtenr une estmaton des tau de mortalté en dehors de la plage de lssage. On peut même noter u une etrapolaton est par nature mpossble pour les méthodes de lssages non-paramétrues étant donné ue les tau de mortalté ne sont pas représentés à l ade d une foncton mathématue. Les partes III et IV de ce chaptre sont consacrées successvement au lssages paramétrues pus non-paramétrues. Les modèles relatonnels partent du même prncpe ue la modélsaton paramétrue, à la seule dfférence ue le tau de mortalté est désormas eprmé en foncton non plus de l âge, mas du tau de mortalté donné par une autre table. Ans, une table de mortalté connue est prse comme référence et l est supposé ue l on peut, à l ade d une foncton comprenant un pett nombre de paramètres, transformer cette table de mortalté de référence pour obtenr celle de la populaton étudée. Ces modèles sont abordés dans la parte V. Les modélsatons paramétrues et les méthodes relatonnelles permettent d estmer les tau de mortalté même en dehors des plages d âge d epérence, ce u est une proprété ntéressante. Il faut toutefos rappeler ue ces approches font prendre un rsue de modèle. Pour lmter ce rsue, l est recommandé de toujours commencer par une analyse graphue des tau bruts de mortalté avant de sélectonner un modèle paramétrue ou relatonnel. Quand l y a trop de fluctuatons dans les estmatons brutes, l est ntéressant d effectuer un 4 à uelues eceptons près, notamment la bosse accdents au alentours de 8-5 ans Verson approuvée 0/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément lssage non-paramétrue préalablement à l analyse graphue. A l nverse, les méthodes de lssage paramétrue ou non-paramétrue permettent une plus grande fdélté dans l ajustement au tau bruts mas ne sont pas conçues pour être utlsées en dehors de la plage d estmaton. Soulgnons également l ntérêt des méthodes de lssages paramétrues ou non paramétrues pour le lssage en deu dmensons. Le cho de la méthode sera gudé par les besons d applcaton de la table (au-delà, ou pas, des plages d âge observées, une ou deu dmensons) et par la uantté d observatons dsponbles : les méthodes de lssage présentent une souplesse ntéressante uand le portefeulle d epérence est volumneu, les modèles paramétrues ou relatonnels sont partculèrement utles pour les portefeulles plus réduts. Dans tous les cas, l est ntéressant de comparer les résultats donnés par pluseurs méthodes avant de chosr la plus satsfasante. Sgnalons enfn ue ces méthodes peuvent auss être combnées entre elles (par eemple lssage non-paramétrue suv d une modélsaton paramétrue). Notatons : n : nombre de personnes d'âge eposées au rsue : tau annuel de décès Qˆ : estmateur brut (ou ntal) du tau annuel de décès, varable aléatore de réalsaton ˆ G : estmateur lssé (ou revu) du tau annuel de décès, varable aléatore de réalsaton g U : erreur de l'estmaton brute, u ˆ. U : erreur de l'estmaton lssée, u' g U U Q ˆ, varable aléatore de réalsaton G varable aléatore de réalsaton Remarue prélmnare : Un estmateur peut être vu comme étant la somme de la vrae valeur et d'un terme résduel (postf ou négatf) ue l'on appelle "erreur d'estmaton". Sot : Q ˆ + U. Dans la plupart des cas, sauf dans la théore Bayesenne,, la vrae valeur sous jacente, n'est pas une varable aléatore. Par contre, les termes d'erreur en sont et peuvent être défns par : U Q ˆ. D. London (985) suggère alors le pont du vue suvant sur le lssage : Sot G un opérateur ou une procédure de lssage ue l'on va appluer au valeurs ntales ˆ. L' dée est alors ue G s'applue à et à u séparément, en s'addtonnant. Ans : ( ˆ ) G( + u ) G( ) G( u ) G + Pour ue cette dernère proprété sot vérfée, l faut ue G sot lnéare. S on ajoute à cela le fat de voulor ue G, appluée à la vrae valeur, sot nvarante ( ( ) obtent : G ( ˆ ) + G( u ) + u g. S de plus, l'opérateur G est tel G ( u ) u < u melleur estmateur de ue ˆ. G ), on (ce ue l'on souhate), alors g est un Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément II. La modélsaton paramétrue La modélsaton paramétrue repose sur l hypothèse ue la courbe de mortalté peut être représentée par une foncton mathématue de uelues paramètres. Le cho du modèle est donc détermnant. Démographes et actuares ont étudé de nombreu modèles potentels et dentfé ceu u arrvent le meu à retracer les caractérstues fondamentales et permanentes des courbes de mortalté. Un avantage des modèles paramétrues est u ls permettent, de par leur constructon, d étendre l estmaton des tau de mortalté au âges stués en dehors de la plage d observaton (à condton toutefos ue la foncton a été correctement chose, c est-à-dre s des études ont montré u elle état adaptée à la plage d âge cble). En contreparte les modèles paramétrues ne permettent pas toujours un ajustement très fdèle au données brutes, ls s avèrent donc souvent plus pratues pour des portefeulles de talle rédute ou en complément d autres méthodes pour etrapoler la mortalté à des âges non observés. Une attenton partculère dot être accordée au nombre de paramètres contenus dans le modèle. En effet, s l augmentaton du nombre de paramètres permet un melleur ajustement au tau bruts, elle se fat au détrment de la robustesse du modèle, c est-à-dre de sa capacté à refléter des caractérstues générales des courbes de mortalté. Un modèle u n est pas robuste donne de bons estmateurs s l est adapté au données, en revanche, s l n est pas appropré l peut donner de très mauvas estmateurs. Les modèles u comportent beaucoup de paramètres dovent donc être manés avec prudence. Nous présentons dans ce chaptre uelues modèles paramétrues, en commençant par la très ancenne et classue lo de Gompertz. Vennent ensute les formules de Makeham, de Webull, de Helgman-Pollard et, fnalement la foncton logstue et la formule de Kannsto. Ces modèles paramétrues ont été largement valdés pour des données de populaton générale. Pour une utlsaton sur des données d assurance, l est mportant de s assurer au préalable ue la populaton étudée est relatvement homogène. Ctons, comme eemple de source d hétérogénété, la sélecton effectuée à la souscrpton du contrat : la sélecton peut nfluencer le rsue de décès dfféremment selon l âge de l assuré. Ans la courbe de mortalté sera déformée de façon dfférente selon les âges. Plus généralement, les modèles paramétrues décrts c s appluent à des tables undmensonnelles. Nous ne présentons pas de modèle pour les tables de mortalté sélectonnée-fnale car l n este pas de consensus général sur le sujet. Le lecteur ntéressé pourra par eemple consulter les artcles de Tenenben et Vanderhoof (980). Enfn, l ne faut pas néglger le rsue u un modèle ne sot pas adapté au données. Pour évter cet écuel, l est nécessare de procéder à toutes les vérfcatons usuelles, à commencer par une analyse graphue des estmatons brutes des tau de décès en foncton de l âge pour détermner s la foncton chose pour la modélsaton paramétrue semble acceptable. Il est également nécessare de procéder au vérfcatons usuelles de la ualté d une régresson. Remarue : Modèles ad hoc Le constructeur de la table de mortalté peut chosr de ne pas se lmter au modèles paramétrues connus et classuement utlsés pour représenter la courbe de mortalté. Il peut construre un modèle paramétrue ad hoc, par eemple à l ade d une méthode de sélecton des varables eplcatves. Il est alors légtme de se demander s ce type d ajustement peut permettre d étendre l estmaton à des âges stués en dehors de la plage d observaton. Il est dans ce cas consellé de s assurer de la promté des résultats obtenus à l ade de ce modèle ad hoc avec ceu donnés par des modèles classues tels ue présentés c-après. Verson approuvée /40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément II. Lo de Gompertz ( paramètres) Sur de nombreuses populatons, l a été observé ue le tau nstantané de mortalté augmente d une manère uas-eponentelle avec l'âge. Gompertz (85) a proposé un modèle paramétrue smple u tradut cette tendance : μ BC, avec B > 0, C > B vare en foncton du nveau de mortalté, C mesure l augmentaton du rsue de décès avec l âge. Cette foncton peut permettre de modélser la courbe de mortalté au-delà de 30 ans envron. Il faut cependant savor u elle tend à sous-estmer la mortalté avant 40 ans et à la surestmer au-delà de 80 ans. Remarue : Comme p e + μsds B ln C s et BC ds C ( C ) +, cela revent à : p e B C ln C ( C) B ln C En notant ( C ) e bc b, on obtent alors : p II. Lo de Makeham (3 paramètres) Pour amélorer l évaluaton de la mortalté des jeunes adultes (avant 40 ans envron), Makeham (960) a enrch la formule de Gompertz d un paramètre : μ A + BC, avec A > 0, B > 0, C > On consdère usuellement ue le paramètre A rend compte de la mortalté envronnementale (parfos appelée mortalté etéreure à l ndvdu), ndépendante de l âge. Cette nterprétaton peut poser ueston car l arrve d obtenr des valeurs négatves pour A. La formule de Makeham ne résout pas le problème de la surestmaton du rsue au âges supéreurs à 80 ans déjà rencontré avec la formule de Gompertz. L opportunté de l utlsaton de ce modèle sera donc lée à l âge lmte d assurance du produt étudé. Remarue : On trouve, de façon smlare à la lo de Gompertz, ue : p e B C A+ ln C ( C) ln s et e < Notons e A < B C g, on obtent alors : p sg C ( C) II.3 La lo de Webull ( paramètres) Webull (95) a proposé un modèle pour décrre les défallances technues d un système. Des analoges pouvant être fates entre les défallances du corps human et celle d un système, ce modèle a été transposé à l étude de la mortalté. On pose alors : b μ a, où a > 0, b > ln μ ln( a) + bln (la relaton entre μ ce u éuvaut à ln et ln est lnéare). Verson approuvée 3/40

Lgnes drectrces mortalté de la Commsson d Agrément II.4 La formule de Helgman-Pollard (8 paramètres) Cette lo a été ntrodute par L. Helgman et J.H. Pollard en 980. Elle présente l avantage de comporter un terme spécfue à la modélsaton de la mortalté nfantle. La formule est : où : p A C ( + B) E( ln ln F ) + De + GH ( B) A + C modélse la mortalté nfantle, E( ln ln F ) De modélse la mortalté dte accdentelle ou envronnementale, X GH modélse la mortalté au âges adultes, hors mortalté envronnementale, c'est-à-dre la mortalté due au vellssement. On peut montrer ue, dans ce modèle, la force de mortalté tend asymptotuement vers une drote, alors u elle a une forme eponentelle dans le modèle de Gompertz et en pussance de l âge dans le modèle de Webull. Ans, au âges les plus élevés, le modèle de Gompertz donnera usuellement des estmatons supéreures à celles du modèle de Webull, u seront elles-mêmes plus élevées ue celles du modèle de Helgman-Pollard. Cette formule, u content déjà 8 paramètres, a été raffnée par certans auteurs u ont rajouté des termes pour obtenr un melleur ajustement à leurs données. Ces etensons dmnuent la robustesse de la formule : les dfférents paramètres devennent dffclement nterprétables et le modèle ne donne plus une descrpton générale et stable des courbes de mortalté. II.5 Le modèle logstue et l appromaton de Kannsto (de à 4 paramètres) Les uatre premers modèles présentés précédemment (Gompertz, Makeham, Welbull et Helgman-Pollard) mpluent ue la probablté de décès tende asymptotuement vers uand l âge augmente. Une autre possblté est ue la probablté de décès augmente avec l âge mas tende vers une lmte nféreure à : c est l hypothèse u est contenue dans le modèle logstue (le modèle de Kannsto est une smplfcaton du modèle logstue). D après ce modèle, l n este pas de lmte mamale à la durée de ve humane étant donné ue, à aucun âge, la probablté de survvre jusu à l âge suvant ne devent néglgeable. Le modèle logstue présente donc une approche relatvement dfférente des précédents uant à la mortalté au âges les plus élevés. Ans une dvergence entre les modèles est toujours observée au âges très élevés (même avec un ajustement très smlare sur la plage 80-00 ans, on observe une dvergence au-delà de 00 ans, vor Thatcher et al. (998)). Le modèle logstue repose sur l hypothèse ue le tau de hasard est une foncton logstue de l âge. Le modèle le plus général comporte 4 paramètres : bep μ a + + d ep ( c) ( c) Il nclut le modèle de Makeham, ue l on retrouve uand d 0. Le modèle logstue a été ntalement utlsé par Perks (93). Depus, pluseurs justfcatons théorues ont été élaborées 5, ce u lu donne un ntérêt partculer même s ces théores ont chacune leurs lmtes et sont forcément ncomplètes : La premère théore est celle du «fed fralty model» - Beard (97), Vaupel et al. (979). Elle montre ue le modèle logstue découle d une modélsaton smple de la mortalté dans une populaton hétérogène : la mortalté de chaue ndvdu est 5 Source : Thatcher et al. (998) Verson approuvée 4/40