ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits) U voilier V approche de la côte Il est situé à 9 milles du phare A, à milles du phare B et l agle AVB mesure 60 Calculer la distace L e milles etre les deux phares (valeur exacte puis valeur arrodie à l uité) A 9 milles milles 60 B V côte III ( poits) Soit EFG u triagle tel que EF 7 cm, EG 4 cm et FEG 5 Le tracé de la figure est pas demadé Calculer l aire S du triagle EFG e cm (valeur exacte) IV (4 poits : poits + poits) ) Soit u la suite arithmétique de premier terme u0 5 et de raiso Pour tout etier aturel, o pose S u0 u u Exprimer S e foctio de Doer le résultat sous forme factorisée la plus simple possible S ) Soit v la suite géométrique de premier terme v0 5 et de raiso 4 Pour tout etier aturel, o pose v0 v v Exprimer S e foctio de Doer le résultat sous la forme la plus simple possible S
V (4 poits : poits + poits) Soit u la suite défiie sur par so premier terme u0 et par la relatio de récurrece u u pour tout etier aturel ) Quelle est la ature de la suite u? Répodre par ue phrase e doat toutes les précisios utiles VII ( poits) E 05, ue forêt possède 80 000 arbres Afi d etreteir cette forêt vieillissate, u orgaisme régioal d etretie des forêts décide d abattre chaque aée 5 % des arbres existats et de replater 5 000 arbres Détermier la première aée durat laquelle la forêt comptera plus de 90 000 arbres Expliquer la démarche mise e œuvre pour répodre à la questio ) Exprimer u e foctio de (ue seule égalité) VI (4 poits : poits + poits) Soit u la suite défiie sur par u pour tout etier aturel ) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a : u 4 u ) E déduire, e justifiat, le ses de variatio de la suite u
I ( poits) Corrigé du cotrôle du 7--05 III ( poits) Soit EFG u triagle tel que EF 7 cm, EG 4 cm et FEG 5 Le tracé de la figure est pas demadé Calculer l aire S du triagle EFG e cm (valeur exacte) U voilier V approche de la côte Il est situé à 9 milles du phare A, à milles du phare B et l agle AVB mesure 60 Calculer la distace L e milles etre les deux phares (valeur exacte puis valeur arrodie à l uité) D après la formule du côté das le triagle ABV, AB AV BV AV BV cos AVB A 9 milles milles 60 B V côte S EF EG si FEG S 7 4 si5 S 7 4 (si5 est ue valeur remarquable ; si5 ) S 7 cm IV (4 poits : poits + poits) Il s agit d u exercice de calcul d expressios simplifiées de sommes des termes cosécutifs d ue suite arithmétique ou géométrique A B 9 9 cos 60 AB 6 Par suite, AB 6 milles Cet exercice a été complètemet raté! Les formules de sommes de termes cosécutifs des suites arithmétiques et géométriques doivet être sues par cœur O peut retrer les formules das la calculatrice Avec la calculatrice, o obtiet : AB 8 milles (valeur arrodie à l uité) La distace séparat les deux phares est d eviro 8 milles Chaque somme va de l idice 0 à l idice : elles ot doc chacue termes II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) AC D après la formule de la médiae das le triagle ABC, o a : AB BC BI () () doe : BI 57 57 Par suite BI cm Le ombre de termes d ue somme de termes cosécutifs d ue suite est égal au derier idice premier idice ) Soit u la suite arithmétique de premier terme u0 5 et de raiso Pour tout etier aturel, o pose S u0 u u Exprimer S e foctio de Doer le résultat sous forme factorisée la plus simple possible 5 S Il est iutile de mettre BI sous la forme : 4
u0 u S u0 5 u 5 Cette relatio exprime que chaque terme de la suite, sauf le premier, est égal au précédet multiplié par Doc la suite u est ue suite géométrique de premier terme u0 et de raiso ) Exprimer u e foctio de q 5 5 S 0 S S 5 VI (4 poits : poits + poits) u (ue seule égalité) ) Soit v la suite géométrique de premier terme v0 5 et de raiso 4 Pour tout etier aturel, o pose v0 v v Exprimer S e foctio de Doer le résultat sous la forme la plus simple possible S 5 4 Cet exercice a été complètemet raté Soit u la suite défiie sur par u pour tout etier aturel V (4 poits : poits + poits) 4 5 4 4 5 5 4 5 4 Cet exercice a été complètemet raté La suite u est ue suite i arithmétique i géométrique O e peut doc pas parler de raiso ) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a : u 4 u O part évidemmet de u u u u u u (o utilise : ) u u 6 u u 6 (o factorise ) u u 4 ) E déduire, e justifiat, le ses de variatio de la suite u Soit u la suite défiie sur par so premier terme u0 et par la relatio de récurrece u u pour tout etier aturel ) Quelle est la ature de la suite u? Répodre par ue phrase e doat toutes les précisios utiles 0 et 4 0 Doc u u 0 (la quatificatio est très importate pour pouvoir coclure) O e déduit que la suite u est strictemet décroissate (à partir de l idice 0) * La relatio de récurrece s écrit : u u
VII ( poits) E 05, ue forêt possède 80 000 arbres Afi d etreteir cette forêt vieillissate, u orgaisme régioal d etretie des forêts décide d abattre chaque aée 5 % des arbres existats et de replater 5 000 arbres Détermier la première aée durat laquelle la forêt comptera plus de 90 000 arbres Expliquer la démarche mise e œuvre pour répodre à la questio Il s agit d u exercice de prise d iitiative : l élève doit mettre e œuvre toute ue démarche pour résoudre le problème L éocé e parle pas de suite ; c est à l élève de modéliser la situatio par ue suite C est à l élève de «créer» ue suite Mi 0 u 095u 5000 u Mi 80000 O observe que la suite u semble strictemet croissate Nous admettros qu il e est bie aisi O cherche le plus petit etier aturel tel que u 90000 u 897 (valeur arrodie à l uité) Aalyse du problème : Il s agit d u problème de modélisatio d ue situatio cocrète (processus d évolutio) u4 9047 (valeur arrodie à l uité) Le ombre d arbres dépassera 90 000 pour la première fois e 09 O sort ici du modèle arithmétique ou du modèle géométrique Méthode de résolutio : Les étapes sot : défiitio d ue suite relatio de récurrece de cette suite calcul des termes à l aide de la calculatrice coclusio Solutio : Pour tout etier aturel, o ote u le ombre d arbres das la forêt durat l aée 05 O pourrait aussi, si o le voulait, oter u le ombre d arbres e milliers durat l aée 05 D après l éocé, u 0,95u 5000 La suite u est défiie sur et so premier terme u0 80000 O e va pas chercher l expressio de u e foctio de O otera que, das ce modèle, u peut e pas être etier O retre la suite u das la calculatrice à l aide de la relatio de récurrece