Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 1 DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Toutes les fiches de cours distribuées ux étudints pendnt l nnée sont réunies ici. Pour le premier semestre, elles prennent plutôt l forme d un résumé ; u deuxième semestre elles sont un peu plus détillées. Le cours du dernier tiers du deuxième semestre portnt sur les équtions différentielles, et sur l théorie des groupes, n ps donné lieu à distribution de fiches ux étudints. Je remercie Stephn de Bièvre : son polycopié servi de bse commune ux enseignements du premier semestre, et ussi à une lrge prt du deuxième semestre, dns les qutre sections du Deug Mis. Les fiches réunies ici ne devient servir ux étudints que de résumé ide-mémoire cr ils bénéficiient déjà du support donné pr le polycopié de Stephn. J i enseigné à l section 3 u premier semestre et ux sections 3 et 4 u deuxième semestre. Jen-Frnçois Burnol, le 4 juin 2003. 15 mi 2006 : petites méliortions dns les sections 1 à 7 du chpitre de présenttion de l intégrle de Riemnn. Tble des mtières I Nombres 5 1 Arithmétique............................... 5 2 Nombres rtionnels........................... 6 3 Nombres réels.............................. 7 II Suites et Séries 8 1 Suites et limites............................. 8 2 Séries................................... 9
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 2 III Fonctions continues 10 1 Définition et premières propriétés................... 10 2 Théorème des vleurs intermédiires.................. 11 3 Fonctions réciproques.......................... 11 4 Quelques fonctions prticulières.................... 12 5 Deux démonstrtions difficiles..................... 12 IV Limites (finies ou infinies) de fonctions en un point (ou à l infini) 13 V L Dérivée, notion fondtrice du Clcul, notion fondmentle pour toutes les Mthémtiques 16 1 Définition................................. 16 2 Règles de Clcul............................. 17 3 Dérivée et sens de vrition : le Théorème Fondmentl....... 18 4 Le Théorème des ccroissements finis et utres «gros» théorèmes. 20 5 Nottion différentielle.......................... 21 VI Les fonctions trigonométriques, exponentielle, logrithme 22 1 Continuité, dérivbilité, et encdrement des fonctions trigonométriques.................................... 22 2 Logrithme et exponentielle....................... 24 3 Représenttions de l fonction exponentielle, fonctions hyperboliques 25 4 Représenttion de l fonction logrithme............... 26 VII Dérivées secondes, convexité, DL à l ordre 2 27 VIII Les Nombres Complexes 28 1 Coordonnées crtésiennes et polires.................. 28 2 Anneux et corps en très bref...................... 31 3 Le corps des nombres complexes.................... 32 4 Rcines, Équtions, Exponentielle Complexe............. 33
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 3 5 Polynômes, fonctions polynomiles, division euclidienne, fctoristion, en TRÈS bref............................. 34 IX Développements Limités 36 1 Définitions................................ 36 2 Formule de Tylor et Applictions................... 37 3 Règles de clcul............................. 40 4 Équivlents................................ 41 X L intégrle de Riemnn 42 1 Premiers énoncés principux...................... 42 2 Quelques démonstrtions........................ 44 3 Fonctions continues........................... 46 4 Reltion de Chsles, linérité, positivité................ 47 5 Autres propriétés de l intégrle de Riemnn.............. 48 6 Fonctions en esclier........................... 49 7 Les théorèmes fondmentux du Clcul................ 50 8 L formule d intégrtion pr prties.................. 52 9 Les deux formules de chngement de vrible............. 52 10 Intégrles «impropres»......................... 53 11 Rectngles, Trpèzes, Simpson..................... 53 12 Théorèmes de l Moyenne........................ 55 13 Polynômes d interpoltion....................... 56 XI Primitives et Frctions Rtionnelles 57 1 L nottion intégrle pour les primitives............... 57 2 Décomposition en éléments simples et Primitives de frctions rtionnelles.................................. 58 3 Quelques intégrles indéfinies que l on sit exprimer vec l ide des «fonctions élémentires», sin, cos, exp, sh, ch, log, de leurs fonctions réciproques et des frctions rtionnelles................. 59
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 4 XII Algèbre linéire 60 1 Méthode de réduction de Guss-Jordn................ 60 2 Espces vectoriels et indépendnce linéire.............. 61 3 Théorème de l dimension....................... 63 4 Théorème de l bse incomplète.................... 64 5 Intersections, sommes de sous-espces................. 64 6 Théorème du Rng........................... 65 7 Applictions linéires.......................... 66 8 Chngement de bse........................... 67 9 Morphismes............................... 68 10 Équtions et espces ssociés à une mtrice.............. 68 11 Inverses, Déterminnts, Crmer...................... 69
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 5 I Nombres 1 Arithmétique Entiers nturels, entiers reltifs, frctions. Ensembles N, Z, Q. Première évoction de R : 2 / Q,10 1/3 Q. Divisibilité : b. Congruences «modulo m». Addition et multipliction «modulo m». Division euclidienne : quotient euclidien et reste euclidien. Restes et congruences. On écrit k b si k b et k est le plus grnd possible. Si 2 k n et 2 l m lors 2 k+l nm (on peut utiliser cel pour montrer x Q x 2 2,x 3 10, etc...). L règle pour les mrche ussi vec 3 ou 5 à l plce de 2 mis ps vec 4 ou 6. Nombres premiers et nombres composés. Tout entier 2 dmet un diviseur premier. L liste des nombres premiers ne s rrête jmis (Y! + 1). Tout entier non nul est le produit d un signe (±1) et d un nombre fini de nombres premiers. Le Lemme d Euclide : si p ne divise ni ni b lors il ne divise ps b. Ou encore : si p b lors p ou p b (ou les deux, le «ou» n est jmis exclusif en mthémtiques). Plus générlement si p premier ne divise ucun des termes d un produit lors il ne divise ps le produit. En prticulier si p ne divise ps lors p ne divise ps n. Si p est premier et p k m et p l n lors p k+l mn. L décomposition en fcteurs premiers est unique à l ordre des fcteurs près. Critère de divisibilité fourni pr l décomposition en fcteurs premiers. Notion de pgcd(, b). Clcul grâce à l décomposition. Si d et d b lors d pgcd(, b). Notion de ppcm(,b). Clcul grâce à l décomposition. Si X et b X lors ppcm(,b) X. pgcd(, b)ppcm(, b) = b. L lgorithme d Euclide découle de pgcd(, b) = pgcd(b, Y b) en prticulier = pgcd(b,r) vec = qb + r (division euclidienne). Dernier reste non nul est le pgcd. Il existe x,y Z vec pgcd(,b) = x + yb. Entiers premiers entre eux. Si 1, 2,..., n sont chcun premiers vec b lors le produit 1 n est premier vec b. Théorème de Bezout : les entiers de l forme x + yb sont exctement les multiples de pgcd(, b).
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 6 En prticulier et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe x,y Z vec x + yb = 1. Le Théorème de Guss : si bc et si est premier vec b lors c. Équtions linéires vec des congruences. Équtions diophntiennes linéires (solution prticulière pr Bezout, puis solution générle pr le Théorème de Guss). Une frction A/B est dite écrite sous forme irréductible si A et B sont premiers entre eux et B 1. Existence et unicité, toutes les utres expressions sont de l forme ka/kb (grâce u théorème de Guss). Si A/B est irréductible lors A n /B n est irréductible. Si un nombre rtionnel une puissnce qui est un entier lors il s gissit déjà d un entier. Le Petit Théorème de Fermt. Le système RSA. 2 Nombres rtionnels Si 0 < A < B l lgorithme de l École Primire fournit les «chiffres près l virgule» pour l frction A B : 10A = x 1B +R 1, 10R 1 = x 2 B +R 2, etc...donnent 0,x 1 x 2 x 3... Si B est premier vec 10 : on considère l ensemble C B des entiers compris entre 0 et B et premiers vec B. L ppliction F de «multipliction pr 10» modulo B est une ppliction de C B sur lui-même. Le N e chiffre près l virgule est obtenue en ppliqunt F N 1 fois à x = A ce qui donne y puis finlement on envoie ce y sur le quotient euclidien de 10y pr B. On 10 N 1[B] vec N = #C B. Vleur de #C B pour B = p premier, ussi pour B = pq. Si L est le plus petit vec 10 L 1[B] lors toutes les orbites de F sur C B ont longueur L. Toute frction irréductible A B vec B premier vec 10, et B > 1 des «chiffres près l virgule» périodiques, vec une période (u plus) L, tout de suite près l virgule. Si B est de l forme 2 k 5 l les chiffres sont tous nuls u delà des mx(k,l) premiers. Si B = 2 k 5 l C vec C > 1 premier vec 10, l période commence mx(k,l) chiffres près l virgule. Aprté ensembliste : pplictions injectives, surjectives, bijectives. Vers les nombres réels : sommes infinies, séries, limites. Théorème : A B = k=1 x k En prticulier 1/9 = k=1 1. Plus générlement 1 10 k 99 = 1 1 k=1, 100 k 999 = 1 k=1 etc.... 10 k, 1000 k Si l période débute près l virgule et est de longueur N lors A B = 10 N 1 vec A Y = x 1...x N (écriture en bse 10). Si B est irréductible cel montre que B est Y
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 7 premier vec 10 et que N vérifie 10 N 1[B]. Compte tenu de ce qui précède on obtient que l longueur de l période (pour B premier vec 10) est indépendnte de A et est égle u plus petit L vec 10 L 1[B]. Exemples. Les nombres «réels» : c est ce que l on obtient en utorisnt n importe quels chiffres 0, 1,..., ou 9 près l virgule sns contrinte de périodicité. 3 Nombres réels Nous dmettons le théorème suivnt : il existe un ensemble R dont les éléments sont ppelés «nombres réels». Cet ensemble R contient Q comme sous-ensemble et vérifie : A : il y sur R des notions de <,,+,,,/, comptibles vec ce qui se psse sur Q, et respectnt les mêmes règles (x > 0 et y > 0 implique xy > 0, x(y + z) = xy + xz, etc...). B : à tout nombre réel x est ssocié un entier reltif noté [x] ou E(x), ppelé «prtie entière de x», et qui est l unique entier n tel que n x < n + 1. C : si le nombre réel x vérifie toutes les inéglités 1 N < x < 1 N, pour les entiers N 1, lors il est nul : x = 0 (xiome dit d Archimède qui interdit les «infiniment petits»). D : Pour tout choix de chiffres x k {0,1,...,9}, k N,k 1, il existe dns R un nombre réel x qui est l «somme infinie» x k k=1. Somme infinie = limite 10 k des sommes prtielles (une limite d une suite, si elle existe, est unique pr l xiome d Archimède C). L intuition : «nombres réels = points sur une droite», en fit une droite grduée pr les entiers reltifs n Z, puis plus finement pr les n 10, plus finement encore pr, etc...est une bonne intuition. les n 100 On peut effectivement «construire» R pr différents procédés, et l méthode directe qui consiste à définir un nombre réel compris entre 0 et 1 comme une suite de chiffres près l virgule est d illeurs l un de ces procédés. Mis l vérifiction de A est lors fstidieuse, cr il fut expliquer comment on dditionne, comment on multiplie, puis vérifier toutes les règles usuelles. De plus une telle construction ferit jouer à 10 un rôle spécil qui n est en rien intrinsèque à R (et puis il y les mbiguïtés du type 0, 10000 = 0, 09999..., mis on peut montrer qu il s git là de l seule mbiguïté : si 0 x < 1 il lui est ssocié des «chiffres près l virgule» x k uniquement déterminés pr x = k=1 x k 10 k et l interdiction que cel se termine pr une infinité de 9 ). Comme il y plusieurs constructions distinctes possibles de R, on peut se demnder si il n y ps en fit plusieurs ensembles «R»...En tnt qu ensembles, oui il y en plusieurs. Mis ils sont tous mutuellement en bijection, d une mnière respectnt l ddition et l multipliction et les inéglités, et ces bijections sont uniques. C est en ce sens que «R» est unique. Un point essentiel à retenir c est que l notion de limite (donc de suites et de séries) est intrinsèque à l fbrique même de R.
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 8 Le pssge de Q à R prît être une chose compliquée, en fit c est ussi une simplifiction qui nous éloigne des mystères de l rithmétique. Cette trnsition est nécessire pour nous fire psser dns le domine de l Anlyse : suites, fonctions, continuité, dérivbilité, etc... II Suites et Séries 1 Suites et limites Une suite (u n ) n N de nombres réels est (simplement) une ppliction n u n de N vers R. Prfois les indices n ne débutent que en n = 1 ou même plus loin. Notions de suite mjorée, minorée, bornée, croissnte, décroissnte, constnte, à vleurs positives, négtives, monotone, strictement monotone, sttionnire à prtir d un certin rng, etc... On dit que «l suite (u n ) tend vers L lorsque n tend vers l infini» ou plus brièvement «l suite (u n ) tend vers L» ou encore «u n tend vers L» ou encore «u n converge vers L» ou encore «u n dmet L pour limite» si le critère suivnt est vérifié : ǫ > 0 M n M u n L ǫ. On note lim u n = L n le «n» étnt optionnel. Le nombre réel L, si il existe est unique et on l ppelle «limite de l suite (u n )». Prfois on écrit u n L u lieu de lim u n = L. On dit que «u n tend vers +» si C M n M u n C. On note : lim u n = + n et on dit que «+ est l limite de l suite (u n )». Notion nlogue pour. On dit qu une suite converge si elle dmet une limite finie. Donc, si elle dmet + comme limite on dit qu elle «diverge vers +». Une suite qui n dmet ps de limite finie est dite «divergente». Elle peut lors dmettre + ou comme limite, mis peut ussi n voir ucune limite. Une suite convergente est nécessirement bornée, mis le contrire est fux : une suite peut-être bornée tout en étnt divergente. Une suite qui converge vers une limite non nulle tous ses termes non nuls à prtir d un certin rng. Le Théorème des suites monotones est très importnt. Il dit que toute suite croissnte qui est mjorée est convergente et que toute suite décroissnte qui est minorée est convergente. Si une suite croissnte n est ps mjorée, elle tend vers l infini. Une suite croissnte dmet donc toujours une limite : soit + soit une limite L finie. De même toute suite décroissnte soit diverge vers soit tend vers une limite L finie.
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 9 Autrement dit une suite monotone est convergente si et seulement si elle est bornée. Des suites (u n ) et (v n ) sont dites djcentes si l suite u n est croissnte, l suite v n est décroissnte, si de plus pour tout n on u n v n et finlement si de plus lim(v n u n ) = 0. Théorème des suites djcentes : Des suites djcentes sont nécessirement convergentes vers une limite finie commune L qui est l unique nombre réel stisfisnt toutes les inéglités u n L v n. On ussi le Théorème des encdrements : si pour tout n on u n v n w n et si les suites u n et w n ont l même limite L (éventuellement + ou ) lors l suite v n ussi L comme limite. Attention : près un pssge à l limite les inéglités strictes doivent être remplcées pr des inéglités lrges : si lim u n = L 1 et lim v n = L 2 et si pour tout n (ou pour tout n suffismment grnd) on u n < v n lors on L 1 L 2 mis L 1 = L 2 est possible. Règles diverses pour les sommes, les produits, les quotients (ttention à ne ps diviser pr zéro), les trnsltions, les multiples, les inéglités. Il est équivlent de dire ou d écrire u n L ou u n L 0 ou lim u n = L ou lim u n = L ou u n n L n (pour des risons typogrphiques, dns les formules mthémtiques insérées dns du texte on trouve plus souvent n que, mis à l min on utilise toujours l n deuxième option). Soit k N fixé. Si lim u n = L lors pour l suite déclée v n = u n+k on ussi lim v n = L. On lim n = +, lim 1/n = 0, lim n n k = + pour k 1, lim 10 n = +, lim 10 n = 0, lim n = 0 pour < 1, = 1 pour = +1, = + pour > 1, n dmet ps de limite pour 1, on lim n! = +. n On lim k n 10 = 0, et lim n 10n n! = 0. Autrement dit «les fctorielles tendent plus vite vers l infini que les puissnces de dix, qui elles mêmes tendent plus vite vers l infini que n importe quel polynôme en n». 2 Séries Une série de terme générl x n, n 1, est une suite de nombres réels le plus souvent notés S N (pour N 1), qui sont ppelés «les sommes prtielles de l série» et qui vlent S N = x 1 + + x N, de sorte que S 1 = x 1, S 2 = x 1 + x 2, et S N+1 = S N + x N+1 pour tout N 1. Pr convention S 0 = 0, cette convention pouvnt être utile pour certines démonstrtions pr récurrence. Au niveu des nottions on écrit S N = N k=1 x k, ou S N = 1 k N x k. Prfois l indice de sommtion k débute en 2 ou plus loin ou encore en 0 (si x 0 été défini, et lors S 0 = x 0 ). On peut ussi ne sommer que sur les vleurs pires de k ou impires, etc..., tout cel étnt précisé en dessous du signe «somme» (Σ, lettre grecque qui est le «sigm mjuscule» mis que l on prononce simplement «somme» dns une série).
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 10 Les notions de convergence pour les suites sont ppliquées en prticulier ux séries. Si les sommes prtielles S N de l série de terme générl x k, k 1, ont une limite L (éventuellement + ou ) on écrit L = k=1 Si L n est ni + ni on dit que l série est convergente. Une série à termes positifs ses sommes prtielles formnt une suite croissnte et donc toujours une limite, soit finie, soit +. Comme ppliction du Théorème des suites djcentes, on le Théorème des séries lternées : une série est dite lternée si son terme générl est lterntivement positif et négtif, et si de plus il est décroissnt en vleur bsolue, et si de plus il tend vers zéro. Toute série lternée est convergente, vers une limite L qui est encdrée pr les sommes prtielles de rngs pirs et impirs (qui forment des suites djcentes). Pr exemple il existe un nombre réel L = k=1 ( 1) k k. k=1 x k ( 1) k k et il existe ussi un nombre réel Pr contre l série hrmonique k=1 1 k est divergente : k=1 1 k = +. Cependnt 1 l série de terme générl est convergente. On (Euler) : k 2 k=1 1 = π2 k 2 6. L série géométrique est fondmentle en Mthémtiques. Il s git de l série de terme générl k, pour k 0 (vec l convention 0 = 1). Elle est convergente pour < 1 de somme 1/(1 ), mis divergente pour 1. < 1 k=0 k = 1 1 Pour qu une série soit convergente il est nécessire que son terme générl tende vers zéro. Dns le cs de l série géométrique, c est suffisnt, mis l exemple de l série hrmonique montre que cel ne suffit ps en générl pour grntir l convergence de l série. Dns une série lternée, non seulement le terme générl tend vers zéro, mis de plus on le suppose décroissnt en vleur bsolue, et lterntivement positif et négtif. III Fonctions continues 1 Définition et premières propriétés Une fonction f(x) définie sur un domine D (typiquement un intervlle ou une union d intervlles) est dite continue en x 0 (qui pprtient à D) si pour toute suite u n à vleurs dns D et tendnt vers x 0 on lim f(u n ) = f(x 0 ). Lorsque D = [,b] et que x 0 = on prle de «continuité à droite en x 0 =». Pour b on dit «à guche».
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 11 On montre que l on boutit à une notion équivlente si l on convient qu une fonction f(x) définie sur D est continue en x 0 si et seulement si le critère suivnt dit «epsilon-delt» est stisfit : ǫ > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ǫ Ce critère est souvent pris comme définition, et notre première définition est lors ppelée «critère de continuité pr les suites». Dns le critère «epsilon-delt», on peut utiliser les vrintes vec x x 0 δ u lieu de x x 0 < δ et/ou f(x) f(x 0 ) < ǫ u lieu de f(x) f(x 0 ) ǫ. Montrer que cel boutit à l même notion est un exercice qui nécessite de bien comprendre ce que («quel que soit») et («il existe») signifient exctement. Mis il est indispensble de mintenir ǫ > 0 et δ > 0, sinon l significtion en serit toute bouleversée. Les constntes, trnsltées, multiples, sommes, produits, quotients (ttention de ne ps diviser pr zéro) de fonctions continues en x = x 0 sont continus en x 0. Une fonction polynomile est continue en tout point du domine D choisi (pr exemple D = R). L fonction f(x) = 1/x vec D = R \ {0} est continue en tout x 0 de son domine de définition. Une fonction f(x) est dite «continue sur l intervlle I» si I D et si f(x) est continue en tout x 0 I. Si I = [,b] on dit continue à droite pour, continue à guche pour b. Si f(x) de domine D est continue en x 0 D et si les vleurs prises pr f sont toutes dns le domine de définition E ssocié à une fontion g(y) et si g(y) est continue en y 0 = f(x 0 ) lors l fonction composée g(f(x)) est continue en x 0. Ainsi si f(x) est continue sur [,b] et prtout non nulle, lors l fonction 1/f(x) est ussi continue sur [, b]. 2 Théorème des vleurs intermédiires L notion de continuité en un seul point est ssez délicte à ppréhender, mis on peut se représenter de mnière stisfisnte les fonctions qui sont continues sur tout un intervlle [,b] comme étnt celles dont on peut trcer le «grphe» (le lieu dns le pln des points de coordonnées crtésiennes (x, f(x)), x [, b]) sns lever l crie du tbleu (ou le stylo de l pge). Cel est souligné pr le très importnt Théorème des vleurs intermédiires : Si f(x) est continue sur [,b] lors toute vleur intermédiire entre f() et f(b) est tteinte en (u moins) un x dns l intervlle [,b]. 3 Fonctions réciproques Si f(x) est continue sur [,b] et est strictement croissnte lors pour tout y vec f() y f(b) il existe un unique x [,b] vec f(x) = y. On note x = f 1 (y) et
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 12 on dit que l fonction f 1 de domine E = [f(),f(b)] est l fonction réciproque (ou inverse) de l fonction f. L fonction réciproque d une ppliction strictement croissnte est elle-même strictement croissnte. De même, si f est strictement décroissnte, elle dmet une fonction réciproque (elle ussi strictement décroissnte d illeurs). Théorème de continuité des fonctions réciproques : l fonction réciproque d une ppliction continue strictement monotone est elle-même une fonction continue sur tout son intervlle de définition. 4 Quelques fonctions prticulières Les fonctions «rcines nième» x 1/N (N 1) sont définies sur [0,+ [ comme fonctions réciproques des fonctions x x N. Noter que l on écrit x u lieu de y pour l vrible dns l fonction réciproque, le choix d une lettre étnt indifférent. Les fonctions «rcines nième» sont des fonctions continues. En prticulier l fonction x x est continue sur [0, [. L fonction de Heviside H(x) définie selon H(x) = 1 pour x 0 et H(x) = 0 pour x < 0 est continue en tout x 0 0 mis elle est discontinue en x 0 = 0. L fonction f(x) qui vut 1 si x Q mis qui vut 0 si x Q n ucun point de continuité. On montre à cette occsion que pour tout nombre réel x 0 on peut trouver d une prt une suite u n vec lim u n = x 0 et de plus n u n Q et d utre prt une suite v n vec lim v n = x 0 et de plus n v n Q. L fonction xf(x) est continue en x 0 = 0 mis elle est discontinue en tout x 0 0. Ne ps confondre (sur l bse d une générlistion hâtive du comportement de l fonction 1/x) «être discontinue en x 0» vec «ne ps être définie en x 0». Pour qu une fonction puisse être continue en x 0 il fut qu elle soit définie en x 0, mis elle peut tout-à-fit être définie en x 0 sns y être continue. On peut construire une fonction qui est continue en tout nombre irrtionnel, mis qui est discontinue en tout nombre rtionnel. Les points de continuité et de discontinuité d une fonction peuvent donc être terriblement entremêlés. Mis dns l suite du Cours nous urons principlement à considérer des fonctions qui sont continues sur tout un intervlle à l exception de u plus un nombre fini de discontinuités (suts à l Heviside, ou singulrités comme 1/x ou log x en x = 0). 5 Deux démonstrtions difficiles Nous reproduisons ici, de mnière concise et brégée, deux démonstrtions difficiles : Toute suite croissnte mjorée converge : Soit u n une suite croissnte et mjorée strictement pr C. Soit v n = (u n u 0 )/(C
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 13 u 0 ). L suite v n est croissnte à vleurs dns [0,1[ et si elle converge lors l suite u n ussi. On peut donc supposer que l suite u n elle-même est en fit à vleurs dns [0,1[. Soit N 1. Regrdons les 10 N intervlles Ik N = [ k, k+1 [ pour 0 k < 10 N. 10 N 10 N Si l un de ces intervlles contient une vleur u m de l suite, lors les intervlles sur s guche ne peuvent contenir que les u n vec n < m, donc u plus un nombre fini de n possibles. Il existe donc exctement l un des intervlles Ik N tel que tous les u n seront dns cet intervlle pour n suffismment grnd. Soit A N l entier k correspondnt à l intervlle en question. Posons y N = A N. Pour n suffismment grnd les u 10 N n sont dns l intervlle I N+1 A N+1 et celui-ci est donc inclus dns IA N N, donc y N y N+1 < y N +10 N. Cel implique que les N premiers chiffres près l virgule pour y N+1 sont ceux de y N, utrement dit on psse de y N à y N+1 en joutnt un (N +1)ième chiffre près l virgule, que nous noterons x N+1. Soit L le nombre réel L = 0,x 1 x 2 x 3 = x k k=1 10 k (nous vons dmis l convergence dns R de séries de ce type). On voit que y N L y N + 10 N, et comme y N u n < y N + 10 N pour tout n suffismment grnd on ussi u n L 10 N pour tout n suffismment grnd. Donc lim u n = L. Le Théorème des vleurs intermédiires : Soit f(x) une ppliction continue sur l intervlle [,b], < b. Supposons pr exemple f() f(b) et soit y vec f() y f(b). Nous définissons pr récurrence une pire de suites djcentes (u n ) et (v n ), vec pour tout n : f(u n ) y f(v n ). On pose, u 0 = et v 0 = b. Supposons connus u n et v n. Si f( un+vn 2 ) y on pose u n+1 = un+vn 2 et v n+1 = v n. Sinon on pose u n+1 = u n et v n+1 = un+vn 2. Dns les deux cs on f(u n+1 ) y f(v n+1 ) et de plus u n u n+1 v n+1 v n et de plus v n+1 u n+1 = (v n u n )/2. Pr récurrence sur n, on v n u n = (b )/2 n n 0. Il s git donc bien d une pire de suites djcentes. Soit L leur limite commune. Comme u n L et que f est continue en L, on f(u n ) f(l). Mis pour tout n on f(u n ) y. Donc f(l) y. Pr illeurs de v n L il vient f(v n ) f(l) mis pour tout n on f(v n ) y donc f(l) y. Ainsi f(l) = y. IV Limites (finies ou infinies) de fonctions en un point (ou à l infini) Soit f(x) une fonction définie sur un certin domine de définition D (une union d intervlles, ouverts ou fermés, llnt ou non jusqu à plus, ou moins, l infini). Soit un nombre réel qui peut pprtenir à D, mis qui peut ussi n être un «pointfrontière» de D. Alors il y plusieurs notions de «limite de f(x) lorsque x tend vers» : limite (dite «à droite») pour x tendnt vers pr vleurs strictement supérieures (définie si il existe b > vec ],b[ D), limite «à guche» pour x tendnt vers pr vleurs strictement inférieures (si il existe b < vec ]b,[ D), limite lorsque x tends vers pr vleurs distinctes, limite lorsque x tend vers (sns utre précision). Chque notion une définition précise et une nottion précise. Pr exemple : on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers pr vleurs strictement supérieures si ( ) ǫ > 0 δ > 0 x D et < x < + δ f(x) L ǫ
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 14 Ce qui précède est une définition. L nottion ser : lim f(x) = L x x> Si il existe effectivement un L qui mrche dns l définition lors il est unique (on impose à D de contenir un intervlle du type ],b[, b > ), et donc on bien le droit de l ppeler «LA limite lorsque etc...». On dit que L est l limite à droite de f(x) en x =. Autre possibilité, très fréquemment employée : on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers pr vleurs distinctes de si ( ǫ > 0 δ > 0 x D et 0 < x < δ) f(x) L ǫ Ce qui précède est une définition. L nottion ser : lim x x f(x) = L Lorsque est un «point-frontière guche» de D cel équivut à l notion de limite à droite, lorsque un «point-frontière droit» de D, cel équivut à l limite à guche, lorsque D contient un intervlle ] η, + η[ (η > 0), suf peut-être lui-même, l définition équivut à : il y une limite à guche et une limite à droite et elles sont égles. Finlement on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers si ( ǫ > 0 δ > 0 x D et x < δ) f(x) L ǫ Ce qui précède est une définition 1. L nottion ser : lim f(x) = L x Si / D c est l même chose que l notion précédente, mis si D cel signifie que d une prt l limite L lorsque x tend vers pr vleurs distinctes existe, et que d utre prt L se trouve être exctement f(). Le domine de définition D n est ps reproduit dns l nottion. Il est prfois plus prudent de le rjouter explicitement : lim f(x) = L x, x D À vri dire, c est uniquement si on restreint l fonction f(x) à deux domines D 1 et D 2 tels que D 1 =]0,1[ et D 2 =]1,2[ que l on pourrit voir un problème puisque l même nottion serit lors employée pour une limite à guche en 1 puis une limite à 1. 4 juin 2003 (cette note est pour les collègues) : si dns l définition de lim x f(x) = L on utilise 0 < x < δ lors il est fux que lim x f(x) = L et lim y L g(y) = M impliquent lim x g(f(x)) = M. Je préfère donc (mis ce choix se discute) l convention doptée ici. L nottion lim x x permet d imposer x ; pour les dérivées cel est tcitement entendu.
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 15 droite en 1, qui n ont ucune rison d être les mêmes. On pourrit considérer qu une fonction n de sens que lorsque son domine de définition est précisé, et que si on chnge de domine de définition, c est que l on chngé de fonction, et donc on urit tort d employer l même nottion f(x) dns les deux cs. Cette vision est trop rigide, cr on ne veut ps voir à introduire deux nottions différentes, pr exemple pour x 1 x sous prétexte qu on l étudie d bord sur ]0,1[, puis sur ]1,2[. Non, l bonne ttitude c est simplement de toujours svoir exctement ce que l on écrit et si le contexte est suffismment clir pour qu il n y it ps d mbiguïté. De toute fçon si le domine D contient ] η, + η[ (pour un η > 0), suf peut-être, lors l limite si elle existe ne dépend ps de D, cr elle ne dépend que du comportement de f(x) dns ] η, + η[\{}. Il y ussi une définition de lim x f(x) = + (ou ) que vous vous ferez un plisir d écrire vec des «grnd C» et «delt». Et ce pour vec toutes les fçons possibles pour x de «tendre vers». Retour sur l définition de l continuité : Si est dns le domine de définition D, lors on équivlence entre «f(x) est continue u point» et «l limite de f(x) lorsque x tend vers pr vleurs distinctes existe et est égle à f()». Toujours si D on ussi équivlence entre «f(x) est continue u point» et «l limite de f(x) lorsque x tend vers existe» (cr si elle existe elle est forcément égle à f() puisque l on n ps imposé à x de ne prendre que des vleurs distinctes de ). Bref, l continuité de f(x) en x =, qui n de sens que lorsque D, s exprime pr lim x, x = f(x) = f(), ou encore pr lim x f(x) = f(). Dns le polycopié qui vous été distribué, les limites sont presque toujours prises pour x tend vers, x distinct de, mis le symbole x n est ps jouté à l nottion, pour économiser de l sueur typogrphique. Critère fondmentl pr les suites pour l existence et l vleur d une limite : pour que l limite de f(x) existe lorsque x tend vers (suivnt l une des différentes options envisgées) il fut et il suffit que pour toute suite (u n ) n N de limite (et stisfisnt les contrintes u n D et éventuellement u n > ou u n < ou u n suivnt l option envisgée) l suite f(u n ) it une limite et que cette limite soit l même pour toutes les suites (u n ) comptibles à l option envisgée. Le critère pr les suites est souvent utilisé dns le sens réciproque : si lim u n = et si f(x) est continue u point lors lim f(u n ) = f(). Théorème des encdrements : Si f(x), g(x), k(x) sont trois fonctions de même domine de définition, si pour tout x dns ce domine on f(x) g(x) k(x), et si lim x f(x) et lim x k(x) existent et sont égles lors lim x g(x) existe ussi et l même vleur. Ce théorème vut pour toutes les fçons pour x de «tendre vers», à condition bien sûr, que cette option soit ppliquée simultnément ux trois fonctions f, g, k. Le théorème vut ussi lorsque l limite commune est égle à + ou à. Limites à l infini : Lorsque D contient un intervlle ]A,+ [ on peut définir l notion de lim x + f(x), ce que je vous lisse fire pr vous-même en séprnt les cs de limite finie et de limite + ou encore. L limite si elle existe ser d illeurs
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 16 indépendnte de A. Notions nlogues pour x. Le théorème des encdrements vut ussi pour les limites à l infini. Sommes, produits, quotients de limites : L limite d une somme est l somme des limites, l limite d un produit est le produit des limites, l limite d un quotient est le quotient des limites sous condition que le dénominteur it une limite non-nulle. Ce qui précède pour des limites finies mis il y ussi certines règles simples (que vous préciserez vous-même) lorsque l une (ou les deux) des limites est plus ou moins l infini. Et tout ce qui précède est pour x (vec x > ou x < ou x ou ucune condition) ou même x ou x. V L Dérivée, notion fondtrice du Clcul, notion fondmentle pour toutes les Mthémtiques 1 Définition On dit qu une fonction f(x) est dérivble en un point de son domine de définition D si l limite suivnte existe : f(x) f() lim x x Si elle existe 2 cette limite est ppelée «dérivée de f u point» et est notée f (). Il est implicite dns cette limite que l on x, puisque l on ne peut ps former le quotient des ccroissements respectifs de f et de x si x =. On peut spéciliser en une notion de dérivée à droite et une dérivée à guche, l «vrie» dérivée n existnt en un point intérieur à D que si les dérivées à droite et à guche coïncident. L formultion suivnte est souvent utile : f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 2. l phrse «si l limite existe» est musnte, puisque qu est-ce que quelque chose si ce quelque chose n existe ps, et donc si l limite n existe ps est-il même licite de dire «si l limite existe» puisque qu est-ce que «l limite» si elle n existe ps justement? Je vous lisse méditer sur cette question (que, comme vous l urez remrqué, je viens de poser deux fois successivement à l identique). Un élément de réponse c est que lorsqu un mthémticien prle de «limite» son cerveu pense à toute l définition et en prticulier «limite» est ussi une référence à une vision dynmique du quotient différentiel. Le mot «limite» fit référence à l fois à cette vision dynmique qui existe toujours, et à l quntité f () qui elle peut exister ou non. Cel est un exemple où l on voit qu il y toujours plus dns le lngge mthémtique que ce qu ont été cpble de trnscrire en symboles les formlistes, mlgré l illusion dns lquelle semble vivre ces formlistes. C est grâce à cette puissnce du lngge, qui prend s source dns ses mbiguïtés, que certins mthémticiens ont l crétivité qui fit progresser cette discipline de l pensée, lors qu ucun ordinteur jmis n ur de vision poétique de ce que peut-être le futur des mthémtiques, même et surtout si on lui fit ingurgiter l version produite pr un collectif de mthémticiens idéologues frnçis du milieu du vingtième siècle, qui se sont fit ppeler «Bourbki», et qui derrière l fçde d un communutrisme églitire étient des utoritristes crriéristes ssocint l prtique des mthémtiques à l rélistion d un phntsme de pouvoir, de domintion et de présénce.
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 17 Lorsque f () existe on dit que l éqution y f() = f ()(x ) est l éqution de l droite tngente u grphe de l fonction f(x) u point de coordonnées (bscisse, ordonnée) : (,f()). On constte en effet que cette éqution s obtient en pssnt à l limite (lorsque b tend vers pr vleurs distinctes) dns l éqution de l droite contennt l corde relint (,f()) à (b,f(b)), éqution qui est y f() = f(b) f() b (x ). Si l fonction est dérivble u point x = elle est ussi continue u point. Mis il existe des fonctions continues non-dérivbles en certins points (comme f(x) = x ) et même il existe des fonctions prtout continues qui ne sont nulle prt dérivbles (c est plus difficile de donner un exemple...). Très souvent l dérivée existe en tout point dns un intervlle ] 0, 1 [, on lors une nouvelle fonction x f (x) sur cet intervlle, que l on ppelle «fonction dérivée de l fonction f(x)». On dit que f est de clsse C 1 sur un intervlle si elle est dérivble vec une dérivée continue sur cet intervlle, de clsse C 2 si elle est dérivble et que s dérivée est de clsse C 1, de clsse C 3 si s dérivée est de clsse C 2, etc.... Si f est dérivble on dit que (f ) est l dérivée seconde (ou du deuxième ordre) de f, et on l note f. Attention, pour que f () puisse être définie il fut que f (x) existe pour tout les x dns un certin intervlle ] η, + η[ contennt. De même on une notion de dérivée tierce (ou du troisième ordre) f. Plus générlement on noter f (n) l nième dérivée de f si elle existe (donc f (2) = f,f (3) = f, etc...). On dit que f est de clsse C (sur un intervlle) si elle dmet des dérivées de tous les ordres (en tout point de cet intervlle). Et, on dit simplement que f est de clsse C 0 si elle est continue. 2 Règles de Clcul L dérivée de l fonction sur R : x x n est l fonction x n x n 1 (n N, n 1 ; vlble ussi pour n = 0 vec l convention que x 0 = 1 et donc l dérivée est nulle.) L dérivée de l fonction sur ]0, [ : x x 1/N est l fonction x 1 N x 1 N 1 (N N, N 1). Il n y ps de dérivée en x = 0 (ou plutôt l dérivée est + ), suf pour N = 1. L somme, le produit, le quotient de deux fonctions dérivbles (en un point) est une fonction dérivble (en ce point) (pour le quotient on demnde que le dénominteur ne soit ps nul en ce point). L dérivée d une combinision linéire αf + βg est l combinison linéire αf + βg des dérivées. Une fonction polynomile est de clsse C, et on P (n) = 0 pour n > deg(p). L dérivée d un produit est donnée pr l Formule de Leibniz : (fg) () = f ()g() + f()g ()
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 18 L dérivée d un quotient est donnée pr : ( ) f () = f ()g() f()g () g g 2 () Attention on noté g 2 () pour (g()) 2, que l on peut ussi écrire g() 2, et qui ne doit ps être confondu vec g(g()) ni vec g (). Pr illeurs l fonction f g est l fonction x f(x) g(x). Théorème de l dérivée d une fonction composée : Si f est à vleurs dns E et que g définie sur E est dérivble en f() et que f est dérivble en lors (g f)(x) = g(f(x)) est dérivble en et (g f) () = g (f())f () Plus générlement : (k g f) () = k (g(f())) g (f()) f () (l k g f) () = l (k(g(f()))) k (g(f())) g (f()) f () Théorème de l dérivée d une fonction réciproque : Soit f une fonction continue et strictement croissnte (ou strictement décroissnte) sur un intervlle I (fini ou infini) et soit f 1 son ppliction réciproque de f(i) (qui est un intervlle) vers I. Si f est dérivble en et si f () 0 lors f 1 est dérivble en b = f() et (f 1 ) (b) = 1 f () = 1 f (f 1 (b)) Le théorème est vlble même si est un point-frontière de I mis il s git lors de dérivée à droite ou à guche suivnt les cs de figure. Attention à l nottion très dngereuse f 1 qui ne doit ps être entendue comme fisnt référence à l fonction x 1/f(x) ou encore à une «dérivée d ordre 1» (primitive) de f. À ce propos on dit que F est une primitive de f si f = F. 3 Dérivée et sens de vrition : le Théorème Fondmentl Théorème. Soit f(x) une fonction dérivble sur un intervlle I. Si f (x) est à vleurs positives ou nulles, lors f(x) est croissnte. Si f (x) est à vleurs strictement positives lors f(x) est strictement croissnte. Si f (x) est à vleurs négtives ou nulles, lors f(x) est décroissnte. Si f (x) est à vleurs strictement négtives lors f(x) est strictement décroissnte. Si f (x) est identiquement nulle lors f(x) est constnte. Réciproquement si f est constnte s dérivée est identiquement nulle, si f est croissnte s dérivée est prtout positive ou nulle, si f est décroissnte s dérivée est prtout négtive ou nulle. Mis si f est strictement (dé)croissnte, il peut y voir tout de même des points où s dérivée s nnule. Attention : lorsque l on dit
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 19 «croissnte sur [,b]» on ne dit ps seulement f() f(b), mis en fit on dit : x,y [,b] x y f(x) f(y). Nous vons donné deux démonstrtions de ce théorème. L deuxième démonstrtion consiste à le déduire du Théorème des Accroissements finis, conséquence du Lemme de Rolle, qui lui-même nécessite le Théorème du Mximum, et donc indirectement ussi le Théorème de l Borne Supérieure. Nous donnons ici une vrinte de notre première démonstrtion, qui est indépendnte de ces importnts théorèmes, et qui est ussi plus simple que celle donnée en mphi cr celle-ci utilisit tout de même le théorème de l borne supérieure. Démonstrtion du Théorème Fondmentl : Supposons f 0 sur l intervlle I. Nous voulons montrer que l fonction est croissnte. Une première stuce est de considérer f η (x) = f(x) + ηx vec η > 0. Si nous montrons que f η (x) est croissnte, en pssnt à l limite lorsque η 0 dns f η (x) f η (y) pour x y on obtient que f est croissnte. Mis l dérivée de f η est f + η, donc strictement positive. Il suffit donc d étblir l croissnce de f sous l hypothèse que f est prtout strictement positive. Risonnons pr l bsurde et soit x < y dns I vec f(x) > f(y). Posons u 0 = x,v 0 = y. Nous construisons pr dichotomie des suites djcentes vec pour tout n, v n u n = (v 0 u 0 )/2 n et f(u n ) > f(v n ). Supposons u n et v n connus. Soit α = (u n + v n )/2. Si f(α) > f(v n ) on pose u n+1 = α et v n+1 = v n. Si f(v n ) f(α) on pose u n+1 = u n et v n+1 = α. On bien lors f(u n+1 ) > f(v n+1 ). Soit l limite commune à cette pire de suites djcentes. Comme f () > 0 il existe un δ > 0 tel que pour 0 < h < δ on f( + h) f() h 1 2 f () > 0 Donc si 0 < h < δ lors f( + h) > f() et si δ < h < 0 lors f( + h) < f(). Pour n suffismment grnd on ur δ < u n donc f(u n ) f(). Et pour n suffismment grnd on ur v n < + δ donc f(v n ) f(). Mis lors f(u n ) f(v n ) ce qui contredit l propriété f(u n ) > f(v n ). L hypothèse initile à svoir l existence de x et y étit donc bsurde, et l croissnce de f est démontrée. Toutes les utres ffirmtions du théorème sont des conséquences fciles : si f > 0 on sit que f est croissnte, si elle n étit ps strictement croissnte il y urit lors un sous-intervlle où elle serit constnte, mis lors s dérivée y serit identiquement nulle. Contrdiction. Donc f est strictement croissnte ; si f est négtive lors f une dérivée négtive, donc f est croissnte, donc f est décroissnte ; si f est identiquement nulle lors f est à l fois croissnte et décroissnte, donc constnte. Les utres ffirmtions, réciproques, sont très simples. Si l intervlle I est [, b] et que l on suppose f continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ (et donc ps nécessirement dérivble en et b) lors le théorème s pplique encore. Le petit rgument été donné en cours je ne le reproduis ps ici. Comme une fonction de dérivée nulle est constnte, deux primitives d une même fonction diffèrent pr une constnte. Attention u piège : si f est définie sur ]0,1[ ]2,3[ et de dérivée nulle, lors f est constnte dns chcun des deux intervlles, mis ces deux constntes peuvent être
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 20 distinctes, donc on ne peut ps dire «f est constnte» (on dit que f est loclement constnte). En utilisnt l reltion fondmentle entre le signe de l dérivée et l monotonie d une fonction, on peut étblir des encdrements : Théorème : Si F (x) G (x) sur [0, [ lors F(x) F(0) G(x) G(0) sur [0, [. Le même théorème s pplique sur [,b[ vec < b et remplçnt 0. On ussi l vrinte vec à l plce de. 4 Le Théorème des ccroissements finis et utres «gros» théorèmes Nous vons démontré chcun des gros théorèmes qui suivent, vous pourrez retrouver les démonstrtions dns le polycopié du Professeur de Bièvre. Théorème de l borne supérieure : Tout sous-ensemble E non-vide de R possède une borne supérieure supe qui est soit un nombre réel soit +. Elle est définie comme étnt le plus petit mjornt de E (en considérnt + comme étnt toujours un mjornt). Il existe une suite croissnte (x k ) à vleurs dns E et de limite supe ce qui distingue supe prmi tous les mjornts de E. Lorsque supe est dns E on dit qu il est le mximum de E. Le mximum peut ne ps exister, soit prce que E n est ps borné supérieurement (supe = + ) soit prce que, tel [0,1[, E ne contient ps s borne supérieure. Notions semblbles de borne inférieure et de minimum. Théorème du mximum : Toute fonction continue f(x) sur un intervlle fermé et borné [,b] tteint son mximum : l borne supérieure M des f(x), x b est finie, et il existe (u moins) un x vec M = f(x). Théorème semblble du minimum. Principe des extrem locux : Si l fonction f(x) est dérivble en x 0 et si f(x 0 ) est supérieur ou égl à tous les f(x) pour x 0 η x x 0 +η (η > 0, et cet intervlle doit être tout entier dns le domine de définition de f) lors f (x 0 ) = 0. Même conclusion si f un minimum locl en x 0. Lemme de Rolle : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ et si f() = f(b) lors il existe x vec < x < b et f (x) = 0. Théorème des Accroissements Finis : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ lors il existe x vec < x < b et f (x) = f(b) f() b. Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) permet de démontrer instntnément le théorème fondmentl sur les liens entre monotonie de l fonction f et signe de l fonction dérivée f. Il d utres conséquences : Inéglité des Accroissements Finis : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ et si f (x) C pour tout x ],b[ lors f(b) f() C(b ). Cel est une conséquence immédite du Théorème des Accroissements finis. En prticulier si f est de clsse C 1 sur l intervlle [,b] lors elle l propriété de
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 21 Lipschitz : il existe C vec x y f(x) f(y) C x y. Cel découle de l inéglité des ccroissements finis, en prennt C = sup x b f (x) qui est fini pr le Théorème du Mximum puisque l on supposé f (x) continue sur [,b]. 5 Nottion différentielle On peut considérer le clcul de l dérivée comme une opértion qui nécessite une nottion spécile, indépendmment de l fonction à lquelle on pplique ce clcul. Cette nottion est d d dx («dé sur dé x»), ou d, ou d dz, etc...selon le nom de l vrible entrnt dns les fonctions. Le «dé» symbolise un ccroissement «infinitésiml», étnt entendu qu un ccroissement fini est souvent noté («Delt» dont l première lettre est un «dè»). Autrement dit u lieu d écrire f (x) on écrit d d dxf(x) ou dx (f)(x). En fit une nottion encore plus proche de l définition est f = df dx. L étpe suivnte est de poser y = f(x) (ou z = f(x) ou w = f(x) etc...) et d écrire lors : f (x) = dy dx Comme toute nottion stucieuse, elle nécessite pour s mnipultion correcte de svoir ce que l on écrit. Certins clculs sont grndement fcilités pr son emploi. Les théorèmes de l dérivée d une fonction composée, et d une fonction réciproque ffirment : L formule de Leibniz s écrit : dz dx = dz dy dy dx et dx dy = 1 dy dx d(yz) dx = dy dx z + y dz dx Mis l forme sous lquelle Leibniz l écrivit est : d(yz) = (dy)z + y(dz) = z dy + y dz Il n y plus de dx! D illeurs on obtiendrit à prtir de là une formule vlble en «divisnt» pr dw vec w une fonction (à peu près quelconque, mis risonnble, disons de clsse C 1, vec une dérivée prtout non-nulle) de x...le clcul différentiel qui n est ps u progrmme de DEUG première nnée, est un ensemble de définitions et de théorèmes qui permet de donner un sens précis à cette formule de Leibniz. Mis nous ne nous utoriserons ps cette génile séprtion du dy et du dx! On se contenter de noter que l Théorie de l Reltivité Générle de Einstein est une illustrtion qu il est prfois importnt de s intéresser à des reltions (telles celle de Leibniz) qui sont invrintes du choix de l «coordonnée» x que l on utilise, et de pouvoir les
Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 22 écrire sous une forme ne fisnt même plus pprître cette «coordonnée» x. Une utre motivtion plus simple est que lorsque l on étudie pr exemple une courbe dns un pln on peut s intéresser à des propriétés qui ne dépendent que de l courbe et ps de l prmétristion de cette courbe. Le clcul différentiel de Leibniz permet de réliser cet objectif. Les dérivées («fluxions») de Newton, elles, vient initilement pour objectif principl de clculer (donc en premier lieu de définir...) des vitesses, des ccélértions, en fonction du temps, qui servit de «coordonnée bsolue». Mis les outils développés vient une ppliction immédite à d utres problèmes que ceux du mouvement de points corporels ; pr exemple Newton pplique imméditement son clcul pour étblir une formule pour (1 + x) qui générlise à tout l formule du binôme vlble uniquement pour N (nous en reprlerons peut-être). Pr illeurs Newton s est ussi intéressé à des questions indépendntes de l prmétristion : pr exemple il pplique imméditement son clcul nouvellement créé à l détermintion du cercle le plus tngent à une courbe en un point, ce qui donne l notion de ryon de courbure. VI Les fonctions trigonométriques, exponentielle, logrithme 1 Continuité, dérivbilité, et encdrement des fonctions trigonométriques Pour une discussion sérieuse des fonctions trigonométriques sin(x) et cos(x) il serit nécessire d étudier le problème de l mesure du cercle, c est-à-dire de l mesure de s circonférence et de son ire, ou plus générlement de l rc et de l ire d un secteur ngulire (le premier problème, non-trivil, étnt déjà de définir ces notions). Si votre Professeur est courgeux il rédiger un petit compte-rendu spécil à ce sujet (il s est cheté un comps et une équerre, spécilement dns cet objectif, et envisge d pprendre le grec pour lire Archimède), mis un tritement réellement stisfisnt occuperit plusieurs dizines de pges et irit d illeurs à l fois u-delà du progrmme de DEUG, et en deç, cr il fut revenir à des notions de géométrie plne qui étient, sont peut-être encore, étudiées dns le primire et le secondire. Pr exemple, rien que pour prler de l ire d un tringle, cel prend du temps. Si vous pensez svoir ce qu est l ire d un tringle, je vous lnce le défi suivnt : montrez que lorsque l on découpe n importe comment un grnd tringle en un nombre fini de petits tringles, l ire du grnd tringle est l somme des ires des petits tringles. Je connis deux solutions stisfisntes (à prt celle qui consiste à fire un modèle pré-découpé en bois et à le mettre sur une blnce, ssemblé ou en vrc), dont une est bordble à votre niveu et se résume en une formule : x 1 y 2 y 1 x 2 +x 2 y 3 y 2 x 3 + x 3 y 1 y 3 x 1. Comprenne qui pourr... Bref, comme expliqué en cours, sur l bse de l méthode d exhustion de Archimède pour l mesure du cercle, nous vons un nombre π, défini comme ire du disque de ryon 1, nous vons un théorème qui dit que l circonférence du cercle est 2πR et l ire du disque est πr 2, nous vons des fonctions sinus sin(x) et cosinus cos(x) insi