École polytechique Itégrtio et clcul de primitives Tble des mtières Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques................... Les foctios logrithme et epoetielle......................3 Les foctios circulires et leurs réciproques................... 3.4 Les foctios hyperboliques et leurs réciproques................. 4 Itégrtio sur u segmet 5. Itégrle d ue foctio e esclier........................ 5. Itégrle d ue foctio cotiue pr morceu................. 5.3 Primitives, itégrtio pr prties et chgemets de vrible......... 6.4 Formules de Tylor................................. 7 3 Clculs eplicites d itégrles et de primitives 9 3. Itégrles de foctios rtioelles........................ 9 3. Itégrles de polyômes et frctios rtioelles e si et cos......... 3.3 Itégrles de frctios rtioelles e ep.................... 3.4 Itégrles de P ( ep(α, P ( cos(α ou P ( si(α...... 3.5 Itégrles de ep(α cos(β ou ep(α si(β........... + b 3.6 Itégrles de frctios rtioelles e et............. c + d 3.7 Itégrles de frctios rtioelles e et + b + c.......... 4 Autres utilistios d itégrles 3 4. Itégrtio sur u itervlle quelcoque..................... 3 4. Itégrles dépedt d u prmètre....................... 4 5 Eercices 6 5. Clculs de primitives................................ 6 5. Propriétés géérles de l itégrtio....................... 7 5.3 Séries de Riem................................. 5.4 Itégrbilité et itégrles dépedt d u prmètre.............. 5.5 Formules de Tylor................................. 6 Corrigés 4 6. Clculs de primitives................................ 4 6. Propriétés géérles de l itégrtio....................... 8 6.3 Séries de Riem................................. 36 6.4 Itégrles dépedt d u prmètre....................... 38 6.5 Formules de Tylor................................. 43
Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques Certies foctios e sot ps toujours défiies eplicitemet, mis seulemet u trvers des reltios qu elles vérifiet vec d utres foctios. Ce sot pr eemple le cs des foctios réciproques ou des primitives, défiies ci-dessous. Propositio-Défiitio. O cosidère f ue foctio cotiue strictemet mootoe sur u itervlle I. O ote J = f(i. Alors f est bijective de I vers J, et dmet ue foctio réciproque (c est-à-dire ue foctio g défiie sur J telle que f g = id I et g f = id J qui est mootoe de même mootoie que f. O oter f l réciproque de f. Propositio. Ds les coditio de l défiitio précédete, si l o suppose de plus que f est dérivble, et que f e s ule ps sur I, lors f est dérivble sur J et o : ( f = f f Si f est dérivble sur I vec f ( = pour u certi I, lors f dmettr ue tgete verticle u poit f(. Propositio-Défiitio. O cosidère f ue foctio cotiue sur u itervlle I et à vleurs réelles. Alors si l o se fie I et y R, il eiste ue uique primitive F de f (c est-à-dire ue foctio F défiie sur I telle que F = f vérifit que : F ( = y.. Les foctios logrithme et epoetielle U premier eemple de foctios défiies comme primitives ou comme foctios réciproques est l eemple des foctios logrithme et epoetielle : Propositio-Défiitio 3 (L foctio logrithme. L foctio / est ue foctio cotiue de R + ds R. O peut doc défiir sur R + l foctio logrithme (otée log ou l comme so uique primitive s ult e. Plus géérlemet, o peut ussi défiir l foctio logrithme de bse comme : log ( = l( l( Pr défiitio d ue primitive, l foctio l est doc strictemet croisste de R + ds R (comme s dérivée, à svoir /, est bie positive sur R +. Propositio-Défiitio 4 (L foctio epoetielle. L foctio l est ue foctio cotiue strictemet croisste de R + ds R, doc elle dmet ue foctio réciproque que l o ppeller foctio epoetielle (otée ep ou e. Défiitio (L foctio puissce. Soit R + et α R. O défiit l puissce de pr α comme : α = ep (α l( Ds les clculs qui impliquerot ces foctios, o ser meé à deu types de situtios : soit à simplifier des clculs, soit à coître les ordres de grdeurs de certies qutités. D où les formules suivtes. { l( b = l( + l(b ep( + b = ep( ep(b l(/ = l( ep( = ep( l ( = ep ( = ep(
(l u ( = u ( ( ( = l( u( ( α ( = α α (ep u ( = u ( (ep u( ( (u( α ( = α u ( (u( α l( l( + α (α > + ep( + ep( + α + (α quelcoque + ep( ep( α (α quelcoque + l( l( α (α quelcoque +.3 Les foctios circulires et leurs réciproques l( + ep( Propositio-Défiitio 5 (Les foctios si et Arcsi. L foctio si est cotiue croisste dérivble de [ π/; π/] vers [ ; ] de dérivée cos(. Elle dmet doc ue foctio réciproque Arcsi cotiue croisste sur [ ; ], dérivble sur ] ; [ vec : Arcsi ( =. Propositio-Défiitio 6 (Les foctios cos et Arccos. L foctio cos est cotiue décroisste dérivble de [; π] vers [ ; ] de dérivée si(. Elle dmet doc ue foctio réciproque Arccos cotiue décroisste sur [ ; ], dérivble sur ] ; [ vec : Arccos ( =. Propositio-Défiitio 7 (Les foctios t et Arct. L foctio t est cotiue croisste dérivble de ] π/; π/[ vers R de dérivée + t(. Elle dmet doc ue foctio réciproque Arct cotiue croisste dérivble sur R vec : Arct ( = +. O ur ussi les règles de clcul suivtes : O pose t = t(/ : cos( + b = cos( cos(b si( si(b si( + b = cos( si(b + si( cos(b cos( = t + t t( + t(b t( + b = si( = t t( t(b + t cos + si = t( = t t ( ( + b b cos( + cos(b = cos cos ( ( + b b cos( cos(b = si si ( ( + b b si( + si(b = si cos ( ( + b b si( si(b = cos si 3
.4 Les foctios hyperboliques et leurs réciproques Défiitio. Grâce à l foctio epoetielle o peut défiir les foctios sius, cosius et tgete hyperbolique, respectivemet défiies pr : sh : e e ch : e + e th : sh( ch( Propositio-Défiitio 8 (Les foctios sh et Argsh. L foctio sh est cotiue croisste dérivble de R vers R de dérivée ch(. Elle dmet doc ue foctio réciproque Argsh cotiue croisste dérivble sur R vec : Argsh ( = +. Propositio-Défiitio 9 (Les foctios ch et Argch. L foctio ch est cotiue croisste dérivble de R + vers [; + [ de dérivée sh(. Elle dmet doc ue foctio réciproque Argch cotiue croisste sur [; + [, dérivble sur ]; + [ vec : Argch ( =. Propositio-Défiitio (Les foctios th et Argth. L foctio th est cotiue croisste dérivble de R vers ] ; [ de dérivée. Elle dmet doc ue foctio réciproque ch( Argth cotiue croisste dérivble sur ] ; [ vec : Argth ( =. O ser ussi prfois meés à utiliser les formules suivtes : ch( + b = ch( ch(b + sh( sh(b ( Argsh( = l + + sh( + b = ch( sh(b + sh( ch(b th( + th(b th( + b = + th( th(b ch sh = ( Argch( = l + Argth( = ( + l 4
Itégrtio sur u segmet. Itégrle d ue foctio e esclier Défiitio 3. Soit f ue foctio e esclier sur [; b] (vec < b. O ote σ = (,..., ue subdivisio dptée à f, et c i l vleur de f sur ] i ; i [. O défiit lors l itégrle de f sur [; b] comme : f = ( i i c i. Itégrle d ue foctio cotiue pr morceu [;b] i= Propositio (Adhérece des foctios e esclier. Toute foctio cotiue pr morceu peut être ecdrée ussi proche que l o veut pr des foctios e esclier. Propositio-Défiitio. Si f est ue foctio cotiue pr morceu, o pose : { } { } I (f = sup φ/φ e esclier, φ f I + (f = if ψ/ψ e esclier, ψ f [;b] [;b] O : I (f = I + (f, et c est ce que l o ote [;b] f. Propositio 3. L itégrle isi défiie est liéire et coforme à l reltio de Chsles. De plus, si f et g sot deu foctios e esclier telles que f g, lors o ur [;b] f [;b] g. De plus o ur : [;b] f [;b] f. L vleur moyee de f sur [; b] est lors doée pr : b [;b] f. Théorème. Si f est ue foctio cotiue et de sige costt sur [; b], lors o l équivlece : f = f est ulle sur [; b] [;b] Réciproquemet, si f est ue foctio cotiue positive sur [; b] et s il eiste tel que f( >, lors [;b] f >. Défiitio 4 (Itégrle etre deu poits. Soit f ue foctio cotiue pr morceu sur u itervlle I, et, b I. O défiit lors l itégrle etre et b pr : f (si < b [;b] f( d = (si = b f (si > b L itégrle isi défiie est toujours liéire et vérifie l reltio de Chsles. Théorème (Iéglités de Cuchy-Schwrz et de Mikowski. Si f et g sot des foctios cotiues pr morceu sur I, et, b I, lors o : ( ( f( g( d f( d g( d / ( (f( + g( b / ( / d f( d + g( d 5 [b;]
où [; + [. De plus (suf ds le cs = o ur églité si et seulemet si f et g sot liéiremet dépedts (c est-à-dire f = λ g ou g = λ f. L première iéglité est ppelée iéglité de Cuchy-Schwrz, et l secode iéglité de Mikowski. Théorème 3 (Sommes de Riem. Soit f ue foctio cotiue pr morceu sur [; b], σ = (,..., ue subdivisio de [; b] et ξ = (ξ,... ξ des élémets de chque [ i ; i ]. Alors l somme de Riem ssociée : S(f, σ, ξ = f(ξ i ( i i ted vers f( d lorsque δ(σ = sup i E prticulier : lim ( i i ted vers. ( b f ( + i b = f( d..3 Primitives, itégrtio pr prties et chgemets de vrible Théorème 4 (Primitive et itégrle. Soit f ue foctio cotiue pr morceu défiie sur u itervlle I, et I. O défiit sur I l foctio F : f(t dt. E tout poit où f est cotiue, F est dérivble vec F ( = f(. E prticulier, si f est cotiue, lors F est l uique primitive de f s ult e. Si f est cotiue sur [; b] et que l o cosidère G ue primitive quelcoque de f sur [; b], lors o ur : f( d = G(b G(. Théorème 5 (Itégrtio pr prties. Soiet f et g deu foctios de clsse C (c est-àdire dérivbles, de dérivée cotiue sur [; b]. Alors : f( g ( d = [f g] b f ( g( d. De mière plus géérle, si l o cosidère f et g de clsse C (c est-à-dire fois dérivble, et dérivée ème cotiue, o : f( g ( ( d = [ ] b f g ( f ( g ( ( + + ( f ( ( g( + ( f ( ( g( d Théorème 6 (Chgemet de vrible. Soit f ue foctio cotiue défiie sur [; b] et φ ue foctio de clsse C de [α; β] ds [; b]. Alors o ur :. β α (f φ( φ ( d = φ(β φ(α f( d Propositio 4 (Dérivtio d ue itégrle. Soit f ue foctio cotiue sur I, u et v deu foctios dérivbles à vleurs ds I. Alors, si l o cosidère F ue primitive de f, l foctio φ = v( u( f(t dt est dérivble, vec : φ ( = v ( f(v( u ( f(u(. 6
.4 Formules de Tylor Les formules de Tylor permettet d obteir des pproimtios de foctios suffismmet régulières. Le grd itérêt est que l o peut fcilemet mîtriser l icertitude de cette pproimtio, puisque le terme d erreur peut être eplicitemet clculé. Théorème 7 (Formule de Tylor-Youg. Soit f ue foctio de clsse C sur u itervlle I, et I. Alors il eiste ue foctio ε défiie sur I telle que : ( I f( = ( k f (k ( + ( ε( vec limε( = k! k= Si o demde à f dvtge de régulrité, o peut epliciter cette foctio ε. Théorème 8 (Formule de Tylor vec reste itégrl. Soiet < b, et f ue foctio de clsse C + sur [; b]. Alors : (b k f(b = f (k (b t ( + f (+ (tdt k! k=! (b k = f (k (b + ( + ( u f (+ ( + (b udu k!! k= L même formule reste vlble si b < et que f est de clsse C + sur [b; ] Théorème 9 (Formule et iéglité de Tylor-Lgrge. Soiet < b, et f ue foctio de clsse C sur [; b] et ( + fois dérivble sur ]; b[. Alors o : ( c ]; b[ f(b = (b k f (k ( + k! k= Si de plus o : ( t ]; b[ f (+ (t M, lors : f(b (b k f (k ( k! k= (b + f (+ (c ( +! (b + M ( +! Les mêmes formules sot ussi vlbles si b < et que f est de clsse C sur [b; ] et (+ fois dérivble sur ]b; [. Qud o epliciter ps le reste ds l formule de Tylor (comme ds l formule de Tylor Youg, o prler de développemet limité u voisige d u poit (du poit pour l écriture précédete. Voici quelques eemples clssiques de développemet limités u voisige de à l ordre : ep( = k= / ( k cos( = (k! si( = k= / k= k k! + o( = + + + +! + o( ( k (k +! + o( = + 4 4! + + o( + o( = 3 6 + 5 5! + + o( 7
/ k ch ( = (k! + o( = + + 4 4! + + o( sh ( = k= / k= ( + α = + α! k+ (k +! + o( = + 3 6 + 5 5! + + o( + α(α! + + l( + = + 3 3 + ( + o( α(α (α +! + o( 8
3 Clculs eplicites d itégrles et de primitives Le pricipe d u clcul eplicite d itégrle est de trouver ue primitive de l foctio sous le sige itégrl. L méthode se fit e deu étpes : Première étpe : Il fut essyer de chger l epressio sous le sige itégrl. O peut soit le fire pr itégrtio pr prties (théorème 5 (et le but est lors de fire disprître e le dérivt u fcteur gêt ds u produit, soit pr chgemet de vrible (théorème 6 (et le but est lors de fire disprître e le dérivt ue epressio gête ds ue compositio. Secode étpe : Il fut esuite recoître ue dérivée ecte de foctio coue. C étit otmmet le but de l présettio des foctios usuelle présetée e première prtie. O utilise ussi les propriétés de liérité de l itégrle pour séprer les prties que l o sit itégrer directemet ou o. Le but de l prtie qui suit est de détermier quelle méthode est l plus ppropriée selo les différetes situtios, et commet l ppliquer. 3. Itégrles de foctios rtioelles Théorème (Réductio e élémets simples. Soit F = P/Q ue frctio rtioelle, où P et Q sot deu polyômes premiers etre eu, vec Q uitire. Il eiste deu polyômes E et F, vec deg(r < deg(q et tels que : F = E + R Q. De plus, si l o écrit Q = Q α Qα (forme irréductible, lors il eiste des polyômes R i,j ( i et j α i tels que : R Q = α i R i,j i= j= Q j i Eemples : Si o est ds R[X], lors o écrit Q sous l forme : Q = (X α (X α (X + p X + q β (X + p m X + q m βm Et lors l réductio e élémets simples s écrit : F = E + α i i= j= A i,j (X i j + m β k X B k,l + C k,l (X p k X + q k l k= l= Les termes de l première somme sot les élémets simples de l première espèce, et ceu de l secode sot les élémets simples de secode espèce. Si o est ds C[X], lors o écrit Q sous l forme : Q = (X α (X α Et lors l réductio e élémets simples s écrit : F = E + α i i= j= A i,j (X i j 9
Si P = λ (X α (X α, lors o : P P = α i (X i i= Lorsque l o ue frctio rtioelle, l première étpe cosiste à l décomposer e somme d élémets simples, puis de primitiver séprémet chcu des termes. L prtie polyomile s itègre directemet (e utilist que α = (/(α + α+ pour α R { }, et vec l liérité de l itégrle. Pour les prties vec pôle, o utilise les méthodes ci-dessous. Pour u pôle de première espèce : = l( ( = ( ( ( + i b = ( l ( + b ( + i Arct b Pour u pôle de deuième espèce : O peut directemet utiliser l réductio e élémets simples ds C plutôt que ds R, ce qui fit qu il y que des pôles de première espèce. Sio, o peut ussi fire les clculs comme suivt. Tout d bord, si le pôle est de degré : Première étpe : O réécrit l frctio e fist pprître l forme coique : A + B + p + q = A ( + p + p + q + A p + B + p + q Deuième étpe : O itègre le premier terme, e recoisst à u fcteur multiplictif près l dérivée ecte de l( + p + q. Troisième étpe : O itègre le deuième terme e procédt u chgemet de vrible u = ( λ t + p (, où λ vérifie l églité t +p t+q = t + p +λ (forme coique. E itégrt, o trouve à ue costte multiplictive près : λ Arct ( t + p/ Si le pôle est de degré r, o fit le même type de clcul : λ. Première étpe : O réécrit l frctio e fist pprître l forme coique : A + B ( + p + q r = A ( + p ( + p + q r + A p + B ( + p + q r Deuième étpe : Troisième étpe : O itègre le premier terme, e recoisst à u fcteur multiplictif près l dérivée ecte de r + ( + p + q r. O itègre le deuième terme e procédt à des itégrtios pr prties. O dimiue isi l epost du déomiteur. O est esuite rmeés u cs r =.
3. Itégrles de polyômes et frctios rtioelles e si et cos Ds le cs d u polyôme, ue première étpe cosiste à liériser le polyôme (e utilist les règles d dditio et de multiplictios etre les foctios si et cos. O peut ussi prfois fire pprître des dérivées ectes. O peut ussi voir à fire des chgemets de vrible, comme ds l eemple ci-dessous : Eemple : Soit f( = si( cos( m. Alors, si est impir, o peut fire le chgemet de vrible u = cos(. E effet, comme si( = cos( et que cos ( = si(, lors o obtiedr u polyôme à itégrer. De même, si m est impir, o peut fire le chgemet de vrible u = si(. Ds le cs d ue frctio rtioelle, o fit qusimet toujours u chgemet de vrible. Le chgemet de vrible u = t(/ permet d voir ue frctio rtioelle, mis qui peut prfois être très compliquée à itégrer. Il fudr toujours commecer pr utiliser les règles de Bioche pour choisir so chgemet de vrible. Propositio 5 (Règles de Bioche. O étudie l ivrice de f( d pr les chgemets suivts :, π et π +. Le chgemet de vrible à fire est lors : Ivrice pr : o pose u = cos( (o cos( = cos( Ivrice pr π : o pose u = si( (o si(π = si( Ivrice pr π + : o pose u = t( (o t(π + = t( Ivrice pr tous ces chgemets : o pose u = cos( 3.3 Itégrles de frctios rtioelles e ep Comme o ep ( = ep(, lors o peut fire le chgemet de vrible u = ep(. O obtiet lors ue frctio rtioelle, que l o sit itégrer. O peut ussi utiliser des logues des règles de Bioche. Pour cel, o réécrit tout d bord : f( d = g(ch(, sh(d. Esuite, o regrde ce que doeriet les règles de Bioche pour g(cos(, si(d. Si o devrit fire le chgemet de vrible u = cos( (respectivemet u = si(, u = t(, u = cos(, lors il fudr ds otre cs fire le chgemet de vrible u = ch( (respectivemet u = sh(, u = th(, u = ch(. 3.4 Itégrles de P ( ep(α, P ( cos(α ou P ( si(α Ici o deu méthodes. Soit o peut directemet chercher ue primitive e pret ue forme qui semble ppropriée. Pour P ( ep(α, o chercher ue primitive de l forme Q( ep(α, où Q est u polyôme. Pour P ( cos(α ou P ( si(α, o chercher ue primitive de l forme Q ( cos(α + Q ( si(α, où Q et Q sot ussi des polyômes. L secode méthode cosiste à fire disprître le polyôme ds l itégrle. Pour cel, o le dérive pr des itégrtios pr prties. 3.5 Itégrles de ep(α cos(β ou ep(α si(β Ici ecore o peut risoer pr idetifictio. Sio, o pose I = ep(α cos(β et J = ep(α si(β. O lors deu possibilités : - soit o fit des itégrtios pr prties pour eprimer deu reltios etre I et J, et lors trouver I et J reviet à résoudre u système liéire d ordre. - soit o étudie directemet I + i J, et o recoît ue dérivée ecte que l o sit clculer ; o pred esuite les prties réelle et imgiire pour déduire les vleurs de I et J.
+ b 3.6 Itégrles de frctios rtioelles e et c + d + b Il suffit lors de fire le chgemet de vrible u = et o obtiet ue ouvelle c + d foctio plus fcile à itégrer. 3.7 Itégrles de frctios rtioelles e et + b + c ( ( Il fut commecer pr écrire : + b + c = + b A (forme coique. O fit esuite le chgemet de vrible : t = ( + b et o regrde l A foctio obteue. Foctio rtioelle e t et t : o pose u = Argch(t Foctio rtioelle e t et t : o pose u = Arccos(t Foctio rtioelle e t et t + : o pose u = Argsh(t ou u = Argth(t
4 Autres utilistios d itégrles 4. Itégrtio sur u itervlle quelcoque De l même mière qu o vit utilisé les foctios e escliers pour défiir l itégrle d ue foctio cotiue pr morceu, o v ici utiliser l itégrtio sur u segmet pour l étedre à l itégrtio sur u itervlle quelcoque. Propositio-Défiitio (Foctio itégrble. Soit I u itervlle quelcoque de R, et f ue foctio défiie sur I et à vleurs ds R (ou ds C. O dit que f est itégrble sur I s il eiste u M > tel que, pour tout segmet J I, o it : f M. Ds cette situtio, o pose : I f = sup f J I segmet J Si f est à vleurs réelles, lors f est itégrble si et seulemet si les foctios f + = m(f, et f = m(f, le sot. O pose lors : f = f + f. Si f est à vleurs complees, lors f est itégrble si et seulemet si ses prties réelle Re(f et imgiire Im(f le sot. O pose lors : f = Re(f + i Im(f. Nottios : Si I = [; b], o ote : f = I f(t dt. Si I = [; b[, où R et b R + (b >, lors l foctio f est itégrble sur I si et seulemet si lim b,<b bsolumet covergete. Ds ce cs, l limite o : f(t dt = f. Si l limite covergete. I f(t dt = I f(t dt eiste. O dir lors que l itégrle lim b,<b I I f(t dt = I J I lim b,<b f(t dt eiste, o dit que l itégrle Ds le cs où f est ps itégrble sur I mis que l itégrle dit ussi que l itégrle I f(t dt est f(t dt eiste, et f(t dt est f est covergete, o f(t dt est semi covergete. Cette itégrle est lors ppelée itégrle impropre, ou itégrle géérlisée de f sur I. O éted de l même mière ces otios u cs où I =]; b] ou I =]; b[. Propositio 6 (Comprisos d itégrles. Soiet f et g deu foctios cotiues pr morceu positives sur [; b] telles que f = O b (g (respectivemet f = o b (g et f b (g. ( ( - si g est itégrble, f ussi et : f = O b g (respectivemet f = o b g b ( et f b g. ( - si g est ps itégrble, f o plus et : f = O b g (respectivemet f = ( ( o b g et f b g. 3
Aisi, qud o étudier l itégrbilité de f, o pourr prfois simplemet comprer f à ue foctio bie choisie. Eemples clssiques : O se rmèer souvet à u problème d itégrtio sur R +. Les seuls problèmes pour ue foctio bie défiie serot soit e, soit e +. Pour séprer ces deu cs, o cosidère >. O : / α est itégrble sur [; + [ si et seulemet si α > et sur ]; ] si et seulemet si α <. est itégrble sur [; + [ si et seulemet si α > ou si α = et β >. α β (l( l( est itégrble sur ]; ] mis ps sur [; + [. + si(t L itégrle dt est semi-covergete. t 4. Itégrles dépedt d u prmètre O cosidère ici I u itervlle quelcoque de R. O cosidère (f N ue suite de foctios défiies sur I telles que chque f soit itégrble sur I. O suppose que pour tout I, l suite (f ( N coverge vers f(. Le but est de voir ds quelle mesure o pourr itervertir l limite et l itégrle. O peut e effet voir : lim + I f (t dt I f(t dt. Théorème. Soit I = [; b], et (f N ue suite de foctio vec f itégrble sur I. Si l suite (f N coverge uiformémet sur I vers f, lors o les résultts suivts : (i l itégrle f(t dt est covergete. I (ii f (t dt = f(t dt lim + I I Plus géérlemet, o les deu théorèmes suivts : Théorème (Covergece mootoe. Soit (f ue suite croisste de foctios réelles sur I coverget simplemet vers ue foctio f cotiue pr morceu sur I. Alors l suite ( f est mjorée si et seulemet si f est itégrble sur I, et lors : I lim + I f (t dt = sup f (t dt = f(t dt I I Théorème 3 (Covergece domiée. Soit (f ue suite de foctios (complees ou réelles sur I coverget simplemet vers ue foctio f cotiue pr morceu sur I. O suppose qu il eiste ue foctio positive φ itégrble sur I vérifit pour tout N : ( I f ( φ(. Alors les f et f sot itégrbles sur I, et o : f (t dt = f(t dt lim + I Plus géérlemet, o étudier des itégrles dépedt d u prmètre cotiu. O cosidère I et J deu itervlles de R, et f : (, t f(, t ue foctio défiie sur I J et à vleurs ds R ou C. O utiliser ds l suite t comme ue vrible d itégrtio. Après voir itégré, o pourr fire vrier, ce qui ous doer ue ouvelle foctio e dépedt plus que de. E grdt ces ottios, o les théorèmes suivts : 4 I
Théorème 4 (Cotiuité d ue itégrle à prmètre. O suppose que l o les coditios suivtes : (i pour tout t J, l foctio f(, t est cotiue sur I. (ii pour tout I, l foctio t f(, t est cotiue pr morceu sur J. (iii il eiste ue foctio φ itégrble sur J telle que : ( (, t I J f(, t φ(t Alors pour tout de I l foctio t f(, t est itégrble sur J et de plus l foctio g : f(, t dt est cotiue sur I. J Théorème 5 (Dérivbilité d ue itégrle à prmètre. O suppose que l o les coditios suivtes : (i il eiste des foctios f,..., k f cotiues pr rpport à et cotiues pr morceu pr rpport à t. k (ii pour tout I, l foctio t f(, t est cotiue pr morceu et itégrble J. (iii pour tout i, il eiste ue foctio φ i itégrble sur J telle que : ( (, t I J i f (, t i φ i(t Alors l foctio g : f(, t dt est de clsse C k sur I et o, pour tout I : g (i ( = J i f (, t dt i J 5
5 Eercices 5. Clculs de primitives Eercice : Soiet (m, Z tels que m. Clculer : où [] désige l prtie etière de. Eercice : Clculer d et m [] d d Eercice 3 : Trouver les primitives suivtes : (i ( + 3 5d (ii ( d ( (iii d + 3 (iv + d (v ( + d Eercice 4 : Clculer l dérivée de l foctio suivte : F : t sh t t t d + Eercice 5 : Clculer les primitives suivtes : (i + d (ii 3 e d (iii l(d Eercice 6 : Soit f ue foctio cotiue de [; b] ds R telle que : ( [; b] f( + b = f( Motrer que l o lors : f(d = + b f(d Eercice 7 : E utilist le chgemet de vrible suggéré, clculer les primitives suivtes : (i d (poser = si u (ii ( + d (poser 4 = cos u + (iii d (poser = cos u Eercice 8 : Clculer : I = l (d 6
Eercice 9 : Détermier sur R les primitives de : Puis clculer : t + cos t π dt + cos t O utiliser le chgemet de vrible u = t(t/. Eercice : Étudier les vritios de l foctio : dt t 4 + t + Et e déduire : lim F (. ± Eercice : Motrer que : ( l t dt t l t ted vers lorsque ted vers. E déduire l limite lorsque ted vers de : f( = dt l t Eercice : Pour >, o défiit : Détermier lim f(. f( = 3 si t t dt Eercice 3 : Soit f ue foctio cotiue sur [; ]. O défiit F sur [; ] pr : F ( = mi(, tf(tdt Motrer que F est de clsse C, et clculer F. E déduire que : ( ( [; ] F ( = f(tdt du 5. Propriétés géérles de l itégrtio Eercice 4 : Soit f ue foctio cotiue sur [; b]. (i Motrer qu il eiste c ds [; b] tel que : f(c = b (ii Motrer qu u tel c peut être choisi ds ]; b[ u f( d 7
Eercice 5 : Soit f ue foctio cotiue sur [; b]. Motrer que si f( d = f( d lors f grde u sige costt sur [; b]. Eercice 6 : Soit f défiie sur [; b], cotiue et positive sur ce segmet. Motrer que : [ ] lim f( d = sup f( + [;b] Eercice 7 : Soit φ ue foctio e esclier sur [; b]. O défiit pour tout N l suite : u = φ(si( d (i Motrer que lim = + (ii Motrer que le résultt est ussi vlble e remplçt φ pr ue foctio f cotiue pr morceu sur [; b]. Eercice 8 : Soit f cotiue pr morceu sur [; b]. Étudier : lim + f(t si(t dt. Eercice 9 : Soiet f et g deu pplictios défiies sur [; b], où f est cotiue et g est cotiue pr morceu positive. (i Motrer qu il eiste c ds [; b] tel que : f(g( d = f(c g( d (ii Si g est cotiue strictemet positive, lors u tel c peut même être choisi ds ]; b[. Eercice : Soit f ue pplictio cotiue sur [; ] telle que f( =. Motrer que : lim f( d = + Eercice : Soit E l esemble des foctios cotiues strictemet positives sur [; b]. O cosidère : ( if f( d f E f( d Cette qutité eiste-t-elle? Si oui, est-elle tteite? Eercice : Soiet f et g cotiues pr morceu sur [; b]. Motrer e utilist l iéglité de Cuchy-Schwrz que : ( (f( + g( d ( f( d 8 ( + g( d
Si l o suppose de plus que f et g sot cotiues, trouver ue coditio écessire et suffiste pour voir ue églité. Eercice 3 : Soit f ue foctio cotiue sur [; b]. Motrer que : ( (α, β [; b], β α f( d = ( [; b], f( = Eercice 4 : Soiet α et β deu réels. O cosidère l esemble E des foctios de clsse C sur [; b] telles que : Motrer que if f E f( = α et f(b = β f (tdt eiste et est tteit pr ue foctio ffie. Eercice 5 : Soit f ue foctio dérivble strictemet croisste bijective de R sur R telle que f( =. O défiit l foctio F sur R pr : F ( = f(tdt + f( f (tdt f( L foctio F est-elle dérivble? Quelle églité peut-o e déduire? Doer ue iterpréttio géométrique de ce résultt. Eercice 6 : Trouver l esemble des foctios cotiues sur R telles que : f( ( tf(tdt = Eercice 7 : Trouver l esemble des foctios cotiues sur R telles que : ( (, y R +y f(f(y = f(tdt y Eercice 8 : Soiet g ue foctio cotiue sur I = [; b] et f ue foctio C sur I, positive et décroisste. Motrer qu il eiste c ds I tel que : f(tg(tdt = f( c g(tdt Eercice 9 : Soit f ue foctio cotiue défiie sur R, T -périodique, telle que : Motrer lors que : T lim λ + f(tdt = f(λd = 9
Que deviet ce résultt si l o e suppose plus que T f(tdt =? Eercice 3 : Soit f positive et cotiue sur R +. O suppose qu il eiste u réel positif k tel que : ( R + f( k f(tdt E utilist l foctio F ( = e k f(tdt, motrer que f est ulle. Eercice 3 : Soit c R +, u et v deu pplictios positives de R + ds R telles que : Motrer que : ( R + u( c + u(tv(tdt ( ( R + u( c ep v(tdt Eercice 3 : Soit f ue foctio de clsse C sur R telle que : ( f( + f ( = Motrer que lim f( =. + 5.3 Séries de Riem lim + Eercice 33 : E utilist ue somme de Riem, clculer : Eercice 34 : Étudier les suites suivtes : (i u = [ si π ] ( + siπ + + siπ (ii u = ( + + ( + + + ( + + + + (iii u = ( ( ( (iv u = ( ( ( + +... + d. Eercice 35 : Étudier l limite de : u = k k= Eercice 36 : Soiet p N et f cotiue de [; ] ds [; ], dérivble e, telle que f( =. O pose : ( u = f + kp Étudier l limite de u. k=
5.4 Itégrbilité et itégrles dépedt d u prmètre Eercice 37 : Étudier l covergece des itégrles suivtes et doer leur vleur lorsqu elles coverget : (i (ii (iii (iv π 4 + + t t 4 + t + dt dt 4 cos 4 t l t ( + t dt dt t t Eercice 38 : Étudier, selo l vleur de α R, l covergece de l itégrle suivte : + e t t α dt Eercice 39 : O cosidère l foctio f défiie sur R + de l mière suivte : -sur tout itervlle de l forme [ 3, + ] 3, où N \ {, }, f( = -f( = illeurs. O pose, pour N : S = + + 3 + + Efi, o ote [] l prtie etière du ombre réel. (i Motrer que, pour tout R : (ii E déduire que e +? + S [] + f(t dt S []+ f(tdt coverge. L foctio f -t-elle ue limite Eercice 4 : O défiit l suite de foctios (f e post : { si [, + ] f ( = sio Clculer lim + R f (d et R lim f (d. + Eercice 4 : Motrer que l itégrle + l( lim + d = l( d est divergete et que :
Eercice 4 : O cosidère les foctios f et g défiies pr : ( f( = e dt t et g( = (i Motrer que f et g sot dérivbles et clculer f et g. (ii Motrer que pour tout, o : e (+t + t dt f( + g( = π 4 (iii E déduire l vleur de + e t dt. Eercice 43 : Soit f ue foctio cotiue de R ds R. Clculer : (+ lim f(d + Eercice 44 : (i Motrer que l itégrle + si t t (ii Motrer que l foctio g( = dt est covergete. + e t ( cos t t dt est défiie et cotiue sur [, + [. (iii Motrer que g est de clsse C sur ], + [ et clculer g (. (iv Clculer lim g(. + (v Déduire de (iii et (iv ue epressio eplicite de g(. + si t (vi E déduire que dt = π t. + si t (vii Motrer que dt est semi-covergete. t 5.5 Formules de Tylor Eercice 45 : Soit u réel strictemet positif. Doer ue mjortio de l erreur commise e pret comme vleur pprochée de l( +. Doer ue vleur pprochée de l(, 3 à 8 près. Eercice 46 : Soit f ue foctio de clsse C 3 sur R. Trouver l limite lorsque h ted vers de : f( + 3h 3f( + h + 3f( + h f( h 3 Eercice 47 : Soit f ue foctio positive ou ulle de clsse C sur R. O suppose que f est borée et o ote : M = sup f (. Motrer que : R ( R f ( Mf(
Eercice 48 : Soit f ue foctio de clsse C défiie u voisige d u poit tel que : f ( = = f ( ( = et f ( E écrivt ue formule de Tylor, doer l llure de l courbe u voisige du poit e foctio de l prité de. Eercice 49 : Soiet f ue foctio de clsse C sur R et u poit de R tel que f (. (i Motrer qu il eiste η > tel que pour tout h ds [ η; η] \, il eiste u uique ombre θ ]; [ vec : f( + h = f( + hf ( + θh L foctio défiie sur [ η; η] \ qui à h ssocie θ ser otée θ. (ii Motrer que : lim h θ (h = Eercice 5 : Formule de Tylor-Lgrge : Soit f ue foctio de clsse C sur [; b] et (+ fois dérivble sur ]; b[. O veut motrer qu il eiste c ]; b[ tel que : f(b = (b k f (k ( + k! k= (b + f (+ (c ( +! Pour cel, o ppliquer le théorème de Rolle à l foctio φ défiie pr : φ( = (b k f (k ( + k! k= près voir justé λ de telle sorte que φ( = φ(b. Eercice 5 : Formule de Tylor vec reste itégrl : Soit f ue foctio de clsse C sur R. (i Motrer que pour tout N, o : f( = k= k k! f (k ( + +! (b + λ ( +! ( t f (+ (tdt (ii Motrer que l foctio g( = de clsse C sur R. f( f( se prologe e ue foctio 3
6 Corrigés 6. Clculs de primitives Corrigé : L itégrle peut directemet être vue comme l somme des termes d ue ( m(m suite rithmétique. O obtiet lors :. Corrigé : O utilise que l foctio à itégrer est impire, et o pplique l reltio de Chsles. O obtiet : d = d = d = d = 7 3 Corrigé 3 : Ds cet eercice et ds l suite, o oter pr C l costte d itégrtio (c est-à-dire l etier qui décrit R et permet d voir toutes les primitives de l foctio cherchée. (i O itègre chcu des termes séprémet (e utilist que l primitive de α est (/α + α+ pour α. O trouve filemet : ( + 3 5d = 3 3 + 3 5 + C (ii O développe l epressio ds l itégrle, puis o itègre terme à terme comme précédemmet. O trouve : ( d = 5 5 3 3 + C (iii O fit de même qu e (ii. O trouve : ( d = 4 3 3 + 5 5 + C (iv O réduit l frctio rtioelle sous forme d élémets simples. O : + 3 + = + + Il suffit esuite d itégrer chque terme, et o trouve filemet : + 3 d = + l + + C + (v L frctio est déjà sous forme d élémets simples, l première étpe cosiste à fire disprître l epost u déomiteur pr ue itégrtio pr prties : ( + d = ( + d [ ] = ( + + + d 4
O écrit l ouvelle frctio rtioelle e élémets simples : Le premier terme s itègre comme / filemet : ( + = / + / + et le secod comme (/ rct(. O trouve ( + d = ( + + / + (/ rct( Corrigé 4 : L foctio F est dérivble sur tout itervlle de l forme ] π + kπ; π [ + kπ, et o : F ch t (t = + sh t + + t t = + cos t Corrigé 5 : (i O procède pr itégrtio pr prties (e dérivt l foctio. O : + d = 3 ( + 3 ( + 3 d = 3 3 ( + 3 4 5 ( + 5 + C (ii O itègre trois fois pr prties (e dérivt l foctio, ou lors directemet pr idetifictio. O trouve filemet : 3 e d = 3 e 3 4 e + 3 4 e 3 8 e + C (iii O fit le chgemet de vrible u = 3, puis o itègre e scht que l primitive de l( est l(. O lors : l(d = 3 l(udu = 9 3 3 l( 9 3 + C Corrigé 6 : O fit le chgemet de vrible u = + b, ce qui doe : D où le résultt. f(d = b ( + b uf(udu = ( + b uf(udu Corrigé 7 : (i O pose = si u. O d = si u cos udu. O trouve lors : rcsi / d = 4 si u cos u si u( si u du = rcsi + C (ii ( + d = 4 du ( u + cos u = t = + 5
(iii + d = cos u du = (+cos udu = u si u+c = rccos +C Corrigé 8 : O procède pr itégrtio pr prtie. O trouve : I = l l d = l I Et isi, o trouve pr récurrece : I =! ( k! ( k l k + C k= Corrigé 9 : L pplictio t étt cotiue sur R, elle dmet ue primitive sur R. Posos u = t(t/. Sur u itervlle de l forme I =]( π; ( + π[, + cos t o obtiet près clculs : dt + cos t = 3 + u du = ( ( t rct 3 t + C 3 O doc détermié les primitives de otre foctio sur chque itervlle I. Soit F ue primitive sur tout R. O coît s forme sur chque I. O pose k l costte C itervet ds l epressio précédete pour l itervlle I. O, d près l cotiuité de F e ( + π : π 3 + k = π 3 + k + Et doc k s écrit de l forme : ( Z k = π 3 + k O e déduit l forme des primitives de l foctio sur R. Et filemet : π dt + cos t = F (π F ( = π 3 Corrigé : L foctio F est défiie sur tout R. De plus, o : F ( = dt t 4 + t + = dt t 4 + t + = F ( Doc l foctio F est doc impire. De plus, F est dérivble de dérivée : F ( = f( = 6 4 + 4 + 4 + + 6
[ Et f est du sige de 4 + 3. L foctio F est doc croisste sur ; [ ] et décrois- ste sur ] ; ] Pour >, o : [ ; +. F ( 4 + + Aisi, pr théorème d ecdremet, et comme F est impire, o déduit : lim F ( = ± Corrigé : O vérifie fcilemet que t l t ue limite fiie e, doc est t l t borée u voisige de. O déduit isi : De plus, o : Doc l limite cherchée est l. : ( lim l t dt = t l t t l t dt = l(l l(l = l Corrigé : L foctio si est cocve sur [; π], doc pour tout [; ], o ( t [; 3] si t si t t Puis, e divist pr t (qui est positif et e itégrt etre et 3, o obtiet : l 3 si f( l 3 Et isi, pr théorème d ecdremet : lim f( = l 3. Corrigé 3 : Utilisos l reltio de Chsles pour simplifier l epressio de F : F ( = = mi(, tf(tdt + tf(tdt + Comme f est cotiue, les pplictios f(tdt mi(, tf(tdt tf(tdt et f(tdt sot de clsse C, de dérivées respectives f( et f(. L foctio F est doc de clsse C, et s dérivée est : f( + f(tdt f( = f(tdt Comme cette foctio est ussi C, lors F est bie de clsse C. De plus, o ur : ( F ( = F (udu + F ( = f(tdt du u 7
6. Propriétés géérles de l itégrtio Corrigé 4 : (i L foctio f est cotiue sur [; b], doc l imge de [; b] pr f est u segmet [m; M]. E utilist l comptibilité de l itégrle vec les reltios d ordre, o : m = md f(d Md = M b b b ( b Aisi, f(d [m; M] = f([; b]. Il eiste doc c [; b] tel que : f(c = b b f(d. b (ii O suppose pr l bsurde qu u tel c e peut ps être pris ds ]; b[. O lors : ( ]; b[ f( b O défiit lors l foctio φ sur [; b] pr : φ( = f( b f(d f(d Cette foctio φ est cotiue et e s ule ps. Doc pr le théorème des vleurs itermédiires, elle est soit toujours strictemet positive, soit toujours strictemet égtive. Ceci est impossible, cr o voit fcilemet que φ(d =. D où l cotrdictio. Corrigé 5 : Il suffit de dissocier les cs selo le sige de l première itégrle. Pr eemple, si f(d. Alors l églité de l éocé deviet : ( f( f( d =. Or, o : ( [; b] f( f(. De plus l pplictio f( f( est cotiue. Aisi, o ue foctio cotiue positive d itégrle ulle : elle est doc idetiquemet ulle. Aisi, o : ( [; b] f( f( =, doc f est bie de sige costt. O fit le même risoemet si précédet à l foctio f(. f(d (ou lors o pplique directemet le résultt [ ] Corrigé 6 : O ote M = sup f( et u = f( d. [;b] Comme : ( [; b] f( M, o déduit déjà que : ( N u M (b Esuite, comme l foctio f est cotiue sur [; b], o déduit qu il eiste u poit c [; b] tel que f(c = M. O se doe ε >. L cotiuité de f implique qu il eiste u segmet [α; β] [, b] cotet c tel que : ( [α; β] f( M ε. O ur isi : ( N u (M ε (β α Aisi, e combit les iéglités, o obtiet (e post β α = η > : ( ε > ( η > ( N M (b u (M ε η 8
Aisi, pour suffismmet grd, comme lim η = lim (b =, o ur : + + (M + ε u (M ε Comme ceci est vri pour tout ε, lors o déduit que l suite (u coverge vers M. Corrigé 7 : (i O cosidère ( =,,..., p, p = b ue subdivisio dptée à φ, et o ote ξ i l vleur prise pr φ sur ] i ; i+ [. O lors : Or, o : u = i+ i φ( si(d = p i+ i= i ξ i si(d ξ i si(d = ξ i (cos( i cos( i+ Aisi, comme o ue somme fiie de termes tedt tous vers, o déduit filemet que u ted bie vers. (ii O cosidère f ue foctio cotiue pr morceu. Soit ε >. O peut pprocher f pr ue foctio e esclier ψ de telle sorte que : O ur lors : f( si(d f( ψ( d ε ψ( si(d f( ψ( si( d ε De plus, e ppliqut le (i à l foctio ψ, o e déduit que pour suffismmet grd : N ψ( si(d ε Et filemet, e regroupt ces deu iéglités : b N f( si(d b ψ( si(d + f( si(d ψ( si(d ε Corrigé 8 : Regrdos tout d bord ce qui se psse sur ue foctio costte. Pr liérité de l itégrle, regrdos le pour l foctio costte de vleur. Si l o pose k l (b prtie etière de, o : π k si(t dt = = k +(l+ π l= +l π π si(t dt + si(t dt + si(t dt +k π +k π si(t dt 9
O remrque esuite que le premier terme ted vers (b et le secod vers. π O fit esuite le même costt pour toute foctio φ e escliers, e fist le même clcul sur ue subdivisio dptée. O obtiet lors : φ(t si(t dt = π φ(tdt O déduit esuite le résultt pour toute foctio cotiue pr morceu e l ecdrt suffismmet près pr des foctios e esclier. Corrigé 9 : (i L foctio f étt cotiue sur [; b], so imge est u segmet [m; M] dot les bores sot tteites. De plus, comme g est positive, o déduit que : E itégrt, o déduit que : m ( [; b] m g( f( g( M g( g(d Aisi, il eiste k [m : M] tel que : f( g(d M f( g(d = k g(d g(d (o ici supposé l itégrle de g o ulle, cr sio g est ulle et le résultt est évidet cr tout c coviet Comme k est ds le segmet imge [m; M], lors il eiste u c [; b] tel que k = f(c, d où le résultt. (ii Si l foctio f est costte, le résultt est évidet. Sio, motros que l costte k défiie ci dessus est écessiremet ds ]m; M[. E effet, supposos pr eemple que k = m, c est-à-dire que f( g(d = m g(d. Alors l foctio f(g( mg( (qui est positive comme g est positive, et pr défiitio de m est d itégrle ulle. Cette foctio est doc ulle. Ceci est e cotrdictio vec le fit que g est strictemet positive et que f est ps costte. O ur doc : k ]m; M[. Il suffit lors d ppliquer le théorème des vleurs itermédiires etre deu poits où f tteit so mimum. O obtiet u c ]; b[ tel que k = f(, d où le résultt. Corrigé : Pour cet eercice, l idée est de découper le segmet [; ] judicieusemet. O veut obteir que sur chque prtie découpée, l itégrle à clculer tedr vers. Soit ε >. Comme f est cotiue vec f( =, lors il eiste η > tel que : [ η; ] f( ε E itégrt sur cet itervlle, o obtiet : f(d ε η η d ε 3
De plus, l cotiuité de f lui impose d être mjoré sur [; η] pr u M. O ur lors : η f(d M( η+ + Cette derière qutité ted vers (comme η <. Aisi, pour ssez grd, o peut l mjorer pr ε. Filemet, l reltio de Chsles ous permet de dire que, pour ssez grd, o : η f(d f(d + f(d ε η Corrigé : L stricte positivité de f impose déjà que : f(d f( d Ceci justifie l eistece de l bore iférieure. Pour l détermier précisémet, o utilise l iéglité de Cuchy-Schwrz : f(d f( d ( f( f( d = (b L coditio d églité est imposée pr celle ds l iéglité de Cuchy-Schwrz : il fut et il suffit qu il eiste λ R tel que f = λ f, c est-à-dire si et seulemet si f est costte. Corrigé : L iéglité de Cuchy-Schwrz ous dit que : ( ( fg f b g E ppliqut ce résultt ds le développemet de (f + g, o déduit : (f + g f + ( ( g + f b g Et filemet o obtiet l iéglité cherchée. O églité si et seulemet s il y églité ds l iéglité de Cuchy-Schwrz. C est le cs si et seulemet si f et g sot positivemet proportioelles, c est-à-dire : ( λ R + g = λf ou f = λg Corrigé 3 : Pr l bsurde, supposos que f. Soit [; b] tel que f(. Pr eemple, supposos que f( >. Comme f est cotiue, il eiste u itervlle [α; β] o réduit à u poit et cotet tel que : ( [α; β] f( > f( 3
Alors o : D où le résultt cherché. β α f(d (β α f( O pouvit ussi cosidérer l foctio F ( = F ( =. > f(tdt, qui est costte. Doc f( = Corrigé 4 : O cosidère φ l uique foctio ffie de E. Soit f ue foctio quelcoque de E. O pplique l iéglité de Cuchy-Schwrz à f et φ : ( f (tφ (tdt f (tdt φ (tdt Or, o coît eplicitemet φ. E prticulier, φ est costte de vleur : β α. O peut b doc simplifier certies des itégrles précédetes : f (tφ (tdt = β α b f (tdt = (β α b Aisi, si β α, o obtiet : φ (tdt = (β α b f (tdt (β α b = D où le résultt si β α. Le résultt est évidet si β = α. φ (tdt Corrigé 5 : L foctio f étt cotiue sur R, c est ussi le cs de f, d où l eistece de f( O ussi que f (tdt. f(tdt est dérivble de dérivée f, et f( f (tdt est dérivble de dérivée f ( f (f( = f (. O e déduit que l dérivée de F est : F ( = f( + f ( f ( f( = L foctio F est doc costte sur R, vec : ( R F ( = F ( = Géométriquemet, l première itégrle correspod à l ire du domie etre l courbe de f, l e O et l droite verticle psst pr (,. L deuième itégrle correspod à l ire du domie etre l courbe de f, l e Oy et l droite horizotle psst pr (, f(. E sommt ces deu ires, o trouve le rectgle etre l e O, l e Oy, l droite verticle psst pr (, et l droite horizotle psst pr (, f(. Comme le poit (, f( pprtiet à ces deu droites, o obtiet u rectgle d ire f(. D où le résultt. Corrigé 6 : L équtio s écrit, près voir développé sous le sige d itégrtio : f( f(tdt + 3 tf(tdt =
O déduit doc pr récurrece que, si f vérifie l équtio foctioelle, lors elle est de clsse C. E dérivt l équtio, o obtiet : Puis e dérivt à ouveu : Les solutios sot du type : f ( f( f(tdt + f( = f ( f( = λe + µe Comme f( = et f ( =, o déduit que : f( = e + e O vérifie que c est bie ue solutio de l équtio. Corrigé 7 : L foctio ulle est solutio. Supposos doc qu ue foctio f o ulle soit solutio. Posos e prticulier R tel que f(. O lors : ( R f( = f( + f(tdt O e déduit pr récurrece que f est de clsse C sur R. E dérivt l équtio foctioelle pr rpport à puis y, o trouve : Aisi, o déduit que : f (f(y = f( + y f( y f (f(y = f ( + y f ( y f(f (y = f( + y + f( y f(f (y = f ( + y f ( y f (f(y = f(f (y L foctio f est doc solutio de l équtio différetielle : f ( f ( f( f( = E remrqut que de plus f( =, o déduit que les solutios sot de l ue des formes suivtes : ksh ω, k si ω, k E regrdt les foctios de ce type qui vérifiet l équtio, o déduit que les solutios sot les foctios de l forme : ω sh ω, ω si ω, et (ω R Corrigé 8 : Soit G = g(tdt. G est de clsse C sur I et o peut doc écrire : f(tg(tdt = f(bg(b 33 f (tg(tdt
Comme G est cotiue sur le segmet I, elle est borée et o ote [m; M] so esemble imge. O : ( t I m G(t M et f (t Doc : Puis e itégrt sur I : Et filemet : ( t I Mf (t f (tg(t mf (t M (f(b f( f (tg(tdt m (f(b f( mf( f(bg(b + m (f( f(b f(tg(tdt M (f( f(b + f(bg(b Mf( Si f( =, comme f est positive décroisste, lors f est ulle. L églité cherchée est lors évidete, et tou élémet c I coviet. Sio, lors f( et o : m f(tg(tdt f( M Doc, comme G(I = [m; M], o déduit l eistece du c cherché. Corrigé 9 : Soit F ue primitive de f. O voit fcilemet que F est ussi T -périodique. Pour λ, o : f(λd = (F (bλ F (λ λ Comme F est cotiue et T -périodique, elle est borée sur R, doc o bie le résultt voulu. Si o T f(t, lors o défiit l foctio g pr : Le résultt précédet ssure que : ( R g( = f( T T f(tdt Et filemet : lim λ + lim λ + g(λd = f(λd = b T T f(tdt Corrigé 3 : L foctio F est dérivble, de dérivée égtive. Elle est doc décroisste sur R +. Comme F est positive décroisste, vec F ( =, lors elle est idetiquemet ulle. Aisi, o déduit que f(tdt est ussi ulle, doc que f est ulle. 34
Corrigé 3 : O pose : L foctio φ est dérivble, et : φ( = c + u(tv(tdt O doc : [ ( φ( ep Doc : Et filemet : φ ( = u(v( φ(v( ( φ( ep v(tdt] v(tdt φ( ( u( φ( c ep v(tdt Corrigé 3 : Soit g l foctio défiie pr : ( R g( = f ( + f( L foctio f, solutio de l équtio différetielle y + y = g(, s écrit doc : f( = e (f( + e t g(tdt O déjà : lim e f( =. Il reste doc à étudier le secod terme ci-dessus. Soit ε >, il eiste A > tel que : t A g(t ε Et lors, pour A : e +t A g(tdt e +t g(tdt + e +t g(tdt O voit directemet que le premier terme ted vers, doc pour B suffismmet grd o ur : A e +t g(tdt ε Pour le secode terme, o directemet l mjortio : e +t g(tdt ε e +t dt = ε [ ea ] ε A Et filemet, pour m(a, B : e e t g(tdt ε D où le résultt cherché. A 35 A
6.3 Séries de Riem Corrigé 33 : O découpe l itervlle [ ; ] e fist pprître des cosius. Soit. O pose θ k = kπ. O cosidère l somme de Riem : S = cos(θk (cos(θ k cos(θ k+ k= = k= = k= si(θ k (cos(θ k cos(θ k+ ( si ( kπ ( (k + π si + ( π si (o utilisé les formules pour eprimer u produit de foctio circulires e somme Les deu premières sommes sot ulles. C est u résultt clssique. Pour le démotrer, o peut itroduire l somme vec des cosius u lieu des sius. E sommt l somme et cosius et i fois celle des sius, o retrouve ue somme d epoetielle : e y recoisst ue somme de terme d ue suite géométrique, o déduit l ullité de chque somme utilisée. O doc filemet : S = ( π si E fist tedre vers +, o déduit que S ted vers π que l o cherchit. : c est l vleur de l itégrle Corrigé 34 : Ds cet eercice, o recoît des sommes de Riem. Les suites covergerot doc vers l itégrle d ue foctio bie choisie. π (i L suite coverge vers si(d = π π (ii L suite coverge vers ( + d = (iii L suite coverge vers d = ( 3 (iv O u = e S, vec S = ( k l +. L somme S coverge vers k= d. E procédt pr itégrtio pr prtie, o : l( + d = [ l( + ] + d ( + = l( + d + d = l( + π Et filemet, l suite u coverge vers e + π. l( + Corrigé 35 : Réécrivos tout d bord u de telle sorte à fire pprître ce qui ressemble à ue somme de Riem : u = k= ( k 36
L foctio {,..., } : ( [ k ; k ] [ k E itégrt sur ; k est cociue croisste sur [; [. O doc, pour tout k ( k ( k ], puis e sommt sur k {,..., }, o déduit l iéglité : k= ( k d k= ( k Et filemet : O doc : u + ( ( rcsi u ( lim u = lim rcsi = π + + Corrigé 36 : Soit ε > Comme f est dérivble e, lors il eiste η > tel que : η f( f( f ( = f( f ( ε Or, pour suffismmet grd, o ur : ( k {,..., } + kp η Et o ur isi, pour suffismmet grd : ( ( ( f f ( + kp + kp ε ε + kp k= k= ( Aisi, u même limite que f (. E recoisst ue somme de Riem, + kp k= o déduit : lim + + kp = d l( + p = + p p Et filemet : k= lim u l( + p = f ( + p k= 37
6.4 Itégrles dépedt d u prmètre Corrigé 37 : t (i Soit f( = t 4 + t + dt. L pplictio t t étt ps bijective de R ds [, + [, il fut distiguer deu cs : - Pour, e effectut le chgemet de vribles u = t, o obtiet : f( = + du + u + u = + O utilise rct ( = + (/ = et doc : + - Pour, o : Comme l foctio t doc f( = f(. f( = ( ( ( π 3 rct 3 + f( = t t 4 + t + du 3 4 + (u + / t t 4 + t + dt + t t 4 + t + dt est impire, l itégrle t t 4 + t dt est ulle et + (ii Le seul problème à étudier est le comportemet u voisige de t = π. O pose doc 4 g(t = 4cos 4 t. O étudie le développemet symptotique u voisige de t = π de g. 4 O : g(t = ( cos t ( cos t + ( cos t +. Au voisige de π 4, o : cos t + cos t + ( cos t = cos t π 4 + π ( = cos t π ( si t π ( t π 4 4 4 4 Le comportemet de g(t u voisige de t = π 4 est doc le même que celui de 4u u voisige de, l itégrle cosidérée est doc divergete. A l( (iii O étudie les limites lorsque A ted vers + et ε ted vers de d. O ε ( +, près ue itégrtio pr prties : A ε l( ( + d = [ l( + ] A ε A + ε = l(a + A + l(ε = l A + A + l + ε + l ( A A + d ( + ( A A + ( ε l ε + ε l ε l(ε + + ε + l( Cette qutité ted vers lorsque A ted vers + et ε vers. Doc l itégrle ( + d est covergete et vut. 38
(iv Soit f( = et I = + Au voisige de +, o : f( f(d. et u voisige de, o : f( (même comportemet que e. L itégrle est doc covergete. E fist le chgemet de vrible u =, o obtiet : I = du u = rcsi rcsi = π Corrigé 38 : Au voisige de t = o : t α e t t α Doc l itégrle coverge e si et seulemet si α >. Pour α >, o lim t + t t α e t =. Il eiste doc A > tel que pour tout t > A, o it : t α e t < + t. Comme l itégrle dt est covergete, o e déduit que t + A t α e t dt est covergete. Corrigé 39 : (i O : f(tdt = [] k= A k+ k 3 k k 3 k dt + f(tdt [] [] 3 L vleur de l itégrle f(tdt déped de l positio de pr rpport à [] + [] [] 3 [] 3 et à [] +. Cepedt, o toujours : ([] + 3 Comme k+ k 3 k k 3 (ii L foctio [] [] 3 f(tdt []+ k dt =, o obtiet doc : k S [] + f(tdt = [] [] + ([] + [] 3 f(t dt S []+ f(tdt est croisste (cr f est positive et mjorée (puisque S []+ l est. Elle dmet doc ue limite fiie lorsque ted vers + et doc l itégrle + f(tdt est covergete. Pr les iéglités précédetes, o même : + f(tdt = + k= 39 k = π 6
Motros que f( ps de limite lorsque ted vers +. O pose = et y = +. Pr défiitio de f, o f( 3 = et f(y = et doc lim f( = + et + lim f(y =. L foctio f dmet ps de limite lorsque ted vers +. + Corrigé 4 : Pour N, o Pour R, o lim f ( = et doc + R f (d = et doc lim f (d =. + R lim + R f (d =. Corrigé 4 : L foctio l( est l dérivée de l foctio (l(, qui ted vers + qud ted vers ou vers +. Aisi, o : lim ε ε l( A d = et lim A + log( d = + L itégrle est doc divergete. O pouvit le voir ussi e ott que / étit ps itégrble e et e +, et que multiplier pr l ccetuit dvtge cette divergece. Pour N, e effectut le chgemet de vrible u =, o obtiet l( d = l( d et doc : l( d = Corrigé 4 : (i L foctio t e t est cotiue doc f est dérivble et : Soit g(t, = e (+t + t dt. O lors : f ( = e e t dt = e e u du g(t, = e (+t Aisi, pour tout R les foctios t g(t, et t g(t, sot cotiues et itégrbles sur [, ]. Soit >. Alors, pour tout [, ] et pour tout t [, ], o : g(t, e (+t, qui est idépedte de et itégrble sur [, ]. Aisi, pr le théorème de dérivtio, pour tout >, l foctio g est dérivble sur [, ], doc g est dérivble sur R et o : g ( = e (+t dt (ii Pour tout R, l questio (i doe f ( + g ( = et doc f + g est costte et : f( + g( = dt + t = rct( = π 4 4
(iii Pour t ], ], o lim g(t, = et pour tout, g(t, qui est + + t idépedte de et itégrble sur [, ]. Aisi, le théorème de covergece domiée doe : Comme lim g( = + ( + lim f( = e dt t, o obtiet : + + e t dt = π Corrigé 43 : O ote [,(+ ] l foctio crctéristique de l itervlle [, ( + ]. O écrit : (+ f(d = R [,(+ ] ( f(d O pplique le théorème de covergece domiée à l suite de foctios f ( = [,(+ ] ( f( : Pour tout R, o : { f( si [, e] lim f ( = + sio Pour tout R et N, o f ( e [,e] ( sup f(t qui est itégrble sur R. t [,e] e Doc f (d = f(d. lim + est cotiue sur R, doc itégrble e. Pour A >, ue itégr- Corrigé 44 : (i L foctio t si t t tio pr prties doe : si t dt est cover- t gete. R A Comme t cos(t t si t dt = cos(a A + t A cos(t t dt. est itégrble sur [, + [, l itégrle + (ii O pose g(t, = e t ( cos t t. O : - Pour tout R + et t R + : g(t, cos(t t - L foctio cos(t t est itégrble sur R. Comme pour tout t, l foctio g(t, est cotiue, l foctio g est cotiue pr le théorème de cotiuité. (iii Pour t R, l foctio g(t, est de clsse C sur R et o : cos t g(t, = ( e t t et g(t, = ( cos(te t 4