Chapitre 6 : notions d acoustique architecturale 1 Introduction

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1 Chapitre 6 : notions d acoustique architecturale 1 Introduction L'acoustique architecturale s'intéresse aux problèmes acoustiques posés par l'art du bâtiment. Elle traite en particulier des problèmes concernant la protection des locaux contre les bruits et les vibrations, et des conditions optimales d'émission et de réception des ondes sonores dans un local. On peut adopter trois approches complémentaires: l acoustique géométrique, où la propagation du son obéit aux mêmes lois que celle de la lumière en optique géométrique. Cette approche a évidemment ses limites, tout comme l optique géométrique. Pour qu elle soit applicable, il faut que les longueurs d onde soient plus petites que tous les obstacles rencontrés. l acoustique ondulatoire permet une approche plus rigoureuse des problèmes de propagation. Une salle est alors considérée comme un oscillateur à trois dimensions. On peut comprendre pour les salles parallélépipédiques la structure du champ acoustique, mais l étude des salles de forme quelconque devient vite très complexe. l acoustique statistique conduit à la description du phénomène de réverbération, en faisant appel au libre parcours moyen.

2 2 Phénomènes sonores dans une salle 2.1 Introduction : champ libre et champ diffus Lorsqu une source sonore émet un son, elle s entoure d un champ acoustique. La perception du son est fonction des conditions d écoute. On parle de champ libre si les ondes acoustiques se propagent librement (pas ou peu de réflexion, on ne perçoit que le son direct). Le champlibre plan (dont les fronts d onde sont des plans)est le champ idéal pourtoutes les expériences et mesures acoustiques. Enpratique,on peutconsidérer êtreen présenced une onde planesil onse trouveàune distance de quelques longueurs d onde d une source quelconque dont les dimensions sont petites par rapport à la longueur d onde. On aura donc un champ libre plan si de plus les réflexions parasites des ondes sur les parois du local sont éliminées(chambre sourde ou anéchoïque). Champ libre

3 Dansunesallenonanéchoïque,onn estplusen présenced un champlibremaisplutôtd un champ diffus (ou réverbéré) : c est le champ acoustique formé par des ondes directes mais aussi les ondes réfléchies provenant de la réflexion sur les parois. Les ondes arrivent donc de toutes les directions au point de mesure. Ces réflexions entraînent une augmentation du chemin acoustique et donc un allongement deladuréedeperceptiond unsonquines arrêtepasenmêmetempsquelasource. Cette prolongation temporelle est perçue comme une réverbération et est caractérisée par un temps de réverbération(tr). Ce temps dépend essentiellement des caractéristiques du local d écoute. Comme les caractéristiques d un local (notamment l absorption) dépendent des fréquences émises parla source, le temps de réverbérationchange avecla fréquence de la source (il est plus long dans les basses fréquences). Champ diffus En fait, le champ acoustique dans une pièce normale ne ressemble ni au champ libre, ni au champ réverbéré. Le temps de réverbération y est trop grand pour qu un champ acoustique plan puisse se propager sans distorsion et trop court pour qu un champ diffus puisse réellement s installer. Ce champ a donc une structure complexe ; de plus, la présence de la tête de l observateur modifie aussi le champ.

4 Remarque : plans proche et lointain Siunesourcesetrouvedansunesallenormale,unauditeurvaêtresoumisausondirectémis par la source (champ libre) et au son réverbéré provenant de réflexions multiples (champ diffus). Le niveau d intensité du champ libre diminue de 6 db chaque fois que l on double la distance, tandis que le niveau du champ diffus est constant, fixé par les caractéristiques géométriques et d absorption de la salle. La proportion de l un ou l autre est donc fonction de la distance auditeur-source. Si l auditeur est proche de la source, l intensité du son direct sera plus importante que celle du son réverbéré. La mesure du niveau d intensité sonore dans une salle normale donne toujours le même genre de résultat : on perçoit d abord le champ libre, et à partir d une certaine distance(dite critique), on entre dans le champ réverbéré. La connaissance de cette distance critique est importante, car elle conditionne le type d écoute ou deprisedeson. On parle de plan proche lorsque le champ direct est plus élevé que le champ réverbéré et de plan lointain si le champ réverbéré domine.

5 Dans la suite de ce paragraphe, on s intéresse aux phénomènes physiques qui altèrent le son directémisparlasource;l étudeduchampréverbéréferal objetdesparagraphes5et6. Lorsqu une onde sonore se propage, elle subit un certain nombre de phénomènes dans l air etsurlesparois. Lorsdelapropagationdansl air,l ondeestsoumiseà: une atténuation géométrique; une atténuation par dissipation; au phénomène de réfraction atmosphérique. Lorsque l onde rencontre une paroi, une partie de l énergie est réfléchie une partie de l énergie est réfractée une partie de l énergie est absorbée. Ilpeutaussiyavoirtransmission d une salle à l autre (mais nous n en parlerons pas dans ce cours). Des phénomènes de diffraction peuvent aussi avoir lieu : il s agit de changements de direction de l onde provoqués par des obstacles. Une onde peut en effet dans certaines conditions contourner les obstacles.

6 Phénomènes de diffusion et d absorption des ondes sonores dans un espace clos

7 2.2 Variation du niveau d intensité du son direct avec la distance à la source : atténuation Le niveau sonore en intensité décroît à mesure que l on s éloigne de la source. Deux phénomènes sont responsables de cette atténuation: une atténuation géométrique, due au fait que l énergie sonore est répartie sur une surfaced ondedeplusenplusgrande,àmesurequ ons éloignedelasource. Cette atténuation ne dépend pas de la fréquence. une atténuation par dissipation atmosphérique, due au frottement des molécules composant l air les unes sur les autres. Cette atténuation dépend de la fréquence.

8 2.2.1 Atténuation géométrique du son direct Par définition, le niveau d intensité dans l axe d une source directive à une distance r de la source vaut: Iaxe( r) Iaxe( r) L( r) = 10log = 10log I où l intensité dans l axe vaut: P. Q Iaxe( r) = 4π r On trouve donc, pour le niveau du son direct: 0 P L( r) = 10log + 10log Q 10log(4 π ) 10log r Le terme 10log(P/10-12 ) intervient fréquemment dans les formules. Il correspond au niveau depuissancedelasource(mesuréendb)l P oul W : L W 2 P 10log 10 = 12 On obtient donc, pour le niveau d intensité L(r) à la distance r, l expression : L( r) = L 11 20log r + ID où l on a noté ID l indice de directivitéde la source : W ID = 10log Q Comme annoncé, la fréquence n intervient pas dans cette expression. 2

9 Siondoubleladistanceparrapportàlasource,leniveaud intensitédiminuedoncde6db; eneffet: L (2 r ) = L ( r ) 20log 2 = L ( r ) 6 db De la même manière, on perd 20 db chaque fois que la distance est multipliée par 10 ; en effet: L(10 r) = L( r) 20log10 = L( r) 20dB Par exemple, calculons les niveaux d intensité d une source de puissance L W à différentes distances r de la source en fonction du niveau de lasourceà1m. En prenant par exemple comme référence un niveau de 80 db à 1m, on peut tracer l allure de la décroissance du niveau en fonction de la distance ; cette courbe montre que le niveau d intensité décroît rapidement, puis de plus en plus lentement à mesure que l on s éloigne de la source. C est le caractère logarithmique du niveau qui explique cette tendance.

10 2.2.2 Atténuation du son direct par dissipation atmosphérique En vibrant sous l action de l onde sonore, les molécules composant l air subissent des frottements les unes contre les autres. Elles produisent ainsi de la chaleur. Il s ensuit une déperdition d énergie, car l énergie transformée en chaleur est à déduire de l énergie acoustique émise par la source. L atténuation du niveau sonore qui en résulte est appelée atténuation par dissipation atmosphérique a variation du phénomène de dissipation selon la fréquence L atténuation par dissipation augmente avec la fréquence (la perte d énergie par dissipation est en fait proportionnelle au carré de la fréquence). C est pourquoi à grande distance d une source, les sons graves sont davantage audibles que les sons aigus, plus vite dissipés. Exemples: Loind uneville,onentendsurtoutunerumeurdebassefréquence; Les vibrations de très basse fréquence produites lors des séismes voyagent sur des grandes distances dans la croûte terrestre et peuvent être détectées à des milliers de kilomètres de leur épicentre; C est également en raison de la faible dissipation des sons graves que certains animaux (comme les éléphants et les baleines) utilisent des infrasons (très basses fréquences) pour communiquer sur de longues distances.

11 2.2.2.b variation du phénomène de dissipation selon le taux d humidité et la température L atténuation par dissipation dépend aussi de l humidité de l atmosphère. Excepté pour des atmosphères très sèches et des basses températures, l atténuation diminue si l humidité augmente. C est pourquoi les sons se propagent plus loin par temps humide que par temps sec. Lorsque les bruits lointains sont bien perçus (ville, voie ferrée, etc.), on peut en déduire que l air est chargé d humidité. L effet de la température sur la dissipation est plus complexe. Les courbes suivantes donnent l atténuation en fonction de la température et du degré d humidité de l air. Par exemple, à Hz, pour une température de 20 C et une humidité relative de 30%, l atténuation par dissipation est de ±50dB par km. Bien sûr, l atténuation par dissipation s ajoute à l atténuation géométrique.

12 Atténuation totale (géométrique + absorption atmosphérique) par octave du son dans l air en fonction de la distance parcourue et pour diverses bandes de fréquence. La droite supérieure (de pente 6 db par doublement de distance) donne l atténuation géométrique due à la diffusion sphérique des ondes. La distance entre cette droite et l une des courbes indique, pour cette distance, l absorption moyenne dans l octave, due à la viscosité et aux échanges moléculaires dans l air. Celle-ci varie avec la température et l humidité : elle est donnée ici pour 15 C et 50% d humidité relative.

13 2.3 Réflexion spéculaire Loi de la réflexion Lorsqu une onde sonore frappe une paroi, elle se comporte comme une balle frappant un mur tant que sa longueur d onde est petite devant les dimensions de l objet. Dans ce cas, l onde sonore obéit à des lois analogues aux lois de l optique géométrique (ou lois de Descartes). On peut alors modéliser l onde sonore par une droite (entre deux obstacles) que l on appelle par analogie avec l optique géométrique un«rayon sonore». Si on appelle angle d incidence (noté i) l angle de l onde incidente avec la perpendiculaire (ou normale) à la paroi et angle de réflexion (noté r) l angle de l onde réfléchie avec cette même perpendiculaire, l angle de réflexion est alors égal à l angle d incidence et on parle de réflexion spéculaire. r = i Comme en optique géométrique, l acoustique géométrique ne permet pas de calculer l intensité du faisceau réfléchi en fonction de l intensité du faisceau incident (et d évaluer ainsi le facteur de réflexion d une surface), mais l acoustique ondulatoire comble cette lacune(cf. paragraphe 2.7).

14 Pour qu une onde subisse une réflexion spéculaire, on admet que sa longueur d onde doit être environ dix fois plus petite que les dimensions de l obstacle (sinon, il y a plutôt diffraction). Par exemple, pour un panneau de 1m de côté, seuls les sons dont la longueur d onde est inférieure à 10 cm (autrement dit les sons dont la fréquence est supérieure à Hz) subiront une réflexion spéculaire. Si une source S est placée contre une paroi et l auditeur en un point M (figure a), tout se passe en acoustique géométrique comme si le son réfléchi provenait d une source S, appelée source image, quiest le symétrique de la source S par rapport à la paroi. En traçant la droite S M, on trouve le point P de laparoioùseproduitlaréflexion. Si l onde se réfléchit sur deux parois (figure b), on construit d abord la source image S (symétrique de S par rapport à la paroi 1), puis l image S de S (symétrique de S par rapportàla paroi2).on tracealorslesdroitess M,pourobtenirle pointp,puis PS pour obtenir le point Q. On peut alors tracer les rayons sonores qui vont de S à Q, puis de Q à PetenfindePàM.

15 M S S 4 S 1 Figure 4 : Premières réflexions à partir des sources images S 1, S 2, S 3 et S 4. S 12 S 2 Vers la source image S 32 Figure 5 : Quelques réflexions S secondaires, à partir des 24 sources images S 12, S 13, S 24, S 34 et S 32. M S S 1 S 12 S 3 S 34

16 2.3.2 Applications de la réflexion spéculaire le panneau réflecteur : puisqu une onde sonore subit une réflexion spéculaire si sa longueur d onde est petite devant les dimensions de l obstacle, pour un son complexe, les harmoniques aigus sont davantage réfléchis que les harmoniques graves (qui contournent plutôt l obstacle par diffraction). Si on place un panneau réflecteur dans une salle pour apporter des réflexions précoces, le timbre du son réfléchi est donc plus riche en harmoniques aigus que celui du son émis par la source. Pour réfléchir les basses fréquences, il faut utiliser un panneau de grande dimensions(plusieurs mètres). la parabole : pour enregistrer une source sonore située à grande distance, on peut utiliser un réflecteur parabolique, équipée d un microphone placé en son foyer. Les sons provenant de la source (les hautes fréquences surtout) sont alors réfléchis en direction du microphone, tandis que les basses fréquences la contournent par diffraction. La parabole focalise des sons d autant plus graves que son diamètre est grand (pour couvrirtoutlespectreaudible,ilfaudraituneparabolede9mde diamètre!). Des cornets acoustiques paraboliques étaient ainsi utilisés pendant la Première Guerre Mondiale pour percevoir le bruit des avions ennemis.

17 2.3.3Sommed unsondirectetdesaréflexion:filtrageenpeigne Émettons un signal sinusoïdal de fréquence f à l aide d un haut-parleur A et émettons le même signal à l aide d un haut-parleur B, de telle sorte que la pression acoustique produite par chaque haut-parleur soit identique à la surface de la membrane d un microphone. Si le signal émis par B est en opposition de phase par rapport au signal émis par A, le microphone délivrera une tension nulle (interférence destructive). Par contre, si les deux signaux sont en phase, le microphone délivrera une tension supérieure de 6 db (interférence constructive) à la tension qu il délivrerait en présence d un seul des deux signaux. En partant des deux signaux en phase, retardons de 0,1 ms le signal B avec l aide d une ligne à retard, et regardons la réponse en sortie du microphone: À certaines fréquences (2 khz, 10 khz, 18 khz), des pics de 6 db apparaissent, en raison des interférences constructives des deux signaux ; entre ces pics (5 et 15 khz) se trouvent des creux de profondeur théoriquement infinies (en pratique de -20 à -30 db) qui résultent d interférences destructives des deux signaux.

18 Si nous portons le retard à 0,5 ms, creux et pics se rapprochent, les pics apparaissent à 2 khz et tous les multiples de cette fréquence (c est-à-dire pour tous les multiples pairs de 1 khz), les creux apparaissent à 1 khz et pour touslesmultiplesimpairsde1khz. Pour un retard de 1 ms, les pics apparaissent tous les multiples pairs de 0,5 khz et les creux tous les multiples impairs de0,5khz.

19 Mathématiquement, si on ajoute une onde de fréquence f et le même signal, de même amplitude, mais retardé d une valeur t, on obtient: Les creux correspondent aux fréquences pour lesquelles le facteur cos(πf t) s annule, c est-àdire: π π f t = + kπ 2 oùkestunentier. tot ( π ) m ( π ) ( π ) ( π π ) p ( t) = p sin 2 f. t + p sin 2 f.( t t) m = 2 p cos f t sin 2 ft f t m De manière générale, si t est le retard en millisecondes et T la période du signal sonore, la fréquence f du premier creux vérifie la relation: 1 T t = = 2 f 2 etlafréquencefdupremiercreuxseradonc: 1 = 2 t L espacemententrelespicsetlescreuxestdonnépar: f 1 f = t

20 Ce phénomène est exactement celui qui se produit lorsqu un son direct et le même son réfléchi parviennent aux oreilles d un auditeur, séparés par un laps de temps très court (quelques millisecondes). La somme d un signal et des réflexions proches de ce signal donne une réponse en fréquence analogueàcellequedonneraitlefiltragedecesignalparunfiltreenpeigne. Le signal d origine est donc ainsi fortement coloré.

21 Remarquons que dans le cas de la superposition d un son direct et de sa réflexion, les amplitudes des deux sons ne sont en général plus égales (puisque les deux sons ont parcouru depuis la source des distances différentes, et que du fait de l absorption des parois, l amplitude du signal réfléchi est de toute manière inférieure à celle du signal direct), et il s ensuit que les pics seront inférieurs aux 6 db de la théorie et les creux moins importants. L abaque ci-contre donne la hauteur des pics et la profondeur des creux en fonction du rapport de l amplitude du signal réfléchi à celle du signal direct.

22 2.4 Réflexion diffuse On parle de réflexion diffuse lorsque l onde incidente est réfléchie dans de multiples directions. La surface qui produit une telle réflexion est qualifiée de surface diffusante. En pratique, une surface est diffusante si elle présente des irrégularités dont les dimensions sont du même ordre de grandeur ou plus grandes que la longueur d onde de l onde incidente. Dans une salle, il est toujours souhaitable d avoir une bonne diffusion des ondes sonores : les tests d écoute montrent qu une grande diffusion accentue l impression de «baigner dans le son». La diffusion est accentuée par les éléments architecturaux dissymétriques et irréguliers. Par exemple, dans les salles de concert dites «à l italienne», les colonnades, statues et fioritures produisent un grand nombre de réflexions multiples qui accentuent la diffusion. Il est également possible d installer dans la salle des panneaux diffuseurs, comme les diffuseurs de Schroeder, qui sont des panneaux composés de cellules de profondeurs différentes. La manière dont l onde sonore est diffusée dépend du nombre de cellules, de leur profondeur et de leur largeur.

23 2.5 Diffraction Une onde sonore est diffractée lorsqu en rencontrant un obstacle, sa direction change (elle contourne donc l obstacle). Ce phénomène se produit lorsque la longueur d onde du son est grande devant les dimensions de l obstacle(la diffraction a donc lieu pour les basses fréquences, surtout). Par exemple, si une onde émise en S rencontre un pan de mur, elle peut atteindre la zone située derrière la paroi (le point M par exemple), en raison de la diffraction des ondes surlebordsupérieurdelaparoi. Une onde sonore peut aussi être diffractée par une ouverture de petites dimensions (chaque point de l ouverture se comporte alors comme une source acoustique secondaire, cf. principe d Huygens-Fresnel). À nouveau, une onde sonore peut être reçue au point M situé derrière l obstacle. Par exemple, un auditeur placé derrière un pilier entendra moins bien les sons aigus, car ils sont surtout réfléchis, que les sons graves qui lui parviennent en contournant le pilier par diffraction (remarque, la lumière par contre est totalement bloquée en raison de ses petites longueurs d onde).

24 Illustrations des phénomènes de réflexion et de diffraction en acoustique des salles Effet d ombre en présence ou non de diffraction Les hautes fréquences (petites longueurs d onde) sont réfléchies, par l obstacle : l auditeur ne les percevra pas derrière l obstacle (dont la dimension est beaucoup plus grande que la longueur d onde): effet d ombre. Les basses fréquences (grandes longueurs d onde) sont diffractées par les bords de l obstacle (de même dimensions ou plus petits que la longueur d onde) : l auditeur les percevra, même derrière l obstacle (les ondes de basses fréquences contournent l obstacle). Il n y a plus d effet d ombre.

25 Réflexions spéculaire et diffuse sur un mur en accordéon Les basses fréquences (grandes longueurs d onde) contournent par diffraction les parties inclinées et subissent une réflexion spéculaire sur le mur (comme la longueur d onde, ici λ=3,4m est supérieure aux dimensions des parties inclinées de l obstacle mais plus petiteouégaleàladimensiondumur). Pour les fréquences moyennes, la diffraction sur les parties inclinées ne joue quasi plus, et on a des réflexions spéculaires multiples sur ces surfaces inclinées etsurlaparoidufond(comme λ=0,34mestcomparable aux dimensions des surfaces inclinées de l obstacle et plus petite que la dimension du mur) : il y a donc réflexion diffuse. Pour les hautes fréquences (petites longueurs d onde), l onde se réfléchit spéculairement sur les parties inclinées de l obstacle (comme λ=0,034m est inférieure aux dimensions des parties inclinées de l obstacle).

26 Autres illustrations : réflexion et diffraction des ondes sonores dans la nature Les oiseaux des forêts tropicales, très denses, émettent des cris plus graves que les oiseaux vivant au milieu d une végétation plus clairsemée : ceci peut s expliquer en remarquant que pour les hautes fréquences, les longueurs d onde sont petites par rapport aux dimensions des feuilles, et elles sont donc réfléchies par celles-ci et ne peuvent pas se propager très loin. Par contre, les basses fréquences contournent les feuilles par diffraction et se propagent donc mieux, plus loin, dans un milieu dense comme la forêt tropicale. Les chauve-souris émettent des ultrasons pour localiser leur proie en fonction de l écho réfléchi. Pour que l onde incidente soit réfléchie par un petit obstacle, il faut que sa longueur d onde soit inférieure aux dimensions de l obstacle. C est la raison pour laquelle les chauve-souris émettent des ultrasons. Pour une fréquence de 100 khz, soit une longueur d onde de 3,4mm, l onde est réfléchie efficacement même par des obstacles de l ordre du centimètre.

27 2.6 Réfraction Le phénomène de réflexion sonore sur une paroi est en général accompagné, comme pour les ondes lumineuses, d un phénomène de transmission de l onde au travers de l obstacle : c est le phénomène de réfraction. Ce phénomène obéit en acoustique géométrique à la loi de Snell-Descartes: 1 1 θ c sin = 1 1 c2 sinθ 2 où c 1 et c 2 correspondent aux célérités du son dans les deux milieux séparés par la paroi. Remarque: En optique, la loi de Snell-Descartes : n 1 sinθ = 1 n2 sinθ2 peut aussi se mettre sous la forme : c v θ c sin = 1 1 v2 sinθ 2

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29 2.7 Coefficients de réflexion et de transmission OndéfinitlesfacteursderéflexionetdetransmissionRetTparlesrapports: pr pt R = et T = p p i Les coefficients de réflexion(ρ) et de transmission(τ), définis comme étant les carrés des facteurs de réflexion et de transmission (ρ=r 2 et τ=t 2 ), mesurent les proportions d énergie acoustique réfléchie et transmise: i p I p I ρ = = = = p I p I 2 2 r r t t et τ 2 2 i i i i

30 Dans le cas où aucune énergie n est perdue par absorption sur la paroi, on montre en acoustique ondulatoire que ces coefficients valent: 2 ( Z2 cosθ1 Z1 cosθ2 ) 4Z1Z2 cosθ1 cosθ2 et τ ( Z cosθ + Z cosθ ) ( Z cosθ + Z cosθ ) ρ = = où Z 1 et Z 2 sont les impédances mécaniques des deux milieux séparés par la paroi (rappelons que l impédance mécanique d un milieu vaut Z=ρ.c). Dans le cas d une incidence normale, ces équations se réduisent à : Ces formules montrent que: 2 ( Z2 Z1 ) 4Z1Z2 et τ ( Z + Z ) ( Z + Z ) ρ = = quandz 1 etz 2 sontproches,lesonestprincipalementréfractéetdonctransmis quandz 1 etz 2 sonttrèsdifférents,lesonestprincipalementréfléchi.

31 Dans tous les cas, puisque I i =I t +I r, (bilan d énergie en l absence d absorption), ces coefficients vérifient bien sûr l équation bilan: ρ + τ =1 Danslecasquinousoccupeici,silesonprovientd unmilieu1quiestl airetseréfléchit sur une paroi solide, l impédance du second milieu Z 2 est beaucoup plus grande que celle du premier milieu Z 1 (car le milieu solide estplus dense, et le son s y propage plus vite), et en conséquence le son n est quasiment pas transmis (τ 0) et le coefficient de réflexion vaut donc quasiment l unité(ρ 1).

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34 2.8 Absorption Lorsqu une onde sonore rencontre une paroi, une partie de l énergie est absorbée : c est le phénomène d absorption acoustique. Une certaine quantité d énergie est transformée par les parois en énergie de vibration mécanique et donc en chaleur. On distingue trois modes d absorption: absorption par des pores d air compris dans un matériau (figure a, absorption par matériaux poreux) absorption par un panneau placé à une certaine distance d un mur (figure b, absorption par résonateur à membrane) absorption par l air compris dans une cavité (figure c, absorption par résonateur de type Helmholtz)

35 Selon le type d absorption, l énergie réverbérée dans la salle fait vibrer l air compris dans les pores et les cavités résonantes. Il en résulte des frottements, et donc une dissipation de l énergie acoustique en chaleur. Il s ensuit que le niveau sonore diminue dans la salle. On définit le coefficient d absorption α d un matériau par le rapport: énergie acoustique absorbée α = = énergie acoustique incidente I I a i Comme les coefficients de réflexion (ρ) et de transmission (τ), le coefficient d absorption est un nombre sans unité et compris entre 0 et 1. Il dépend du type de matériau et varie selon la fréquence de l onde sonore et l angle d incidence de celle-ci. On donne généralement dans les tables le coefficient en fonction de la fréquence, sans préciser l angle d incidence : cela correspond au coefficient d absorption moyen pour tous les angles d incidence, autrement dit pour le champ diffus.

36 Evolution du coefficient d absorption d une paroi en fonction de l angle d incidence et du taux d absorption du matériau

37 Coefficients d absorption en fonction de la fréquence pour quelques matériaux usuels

38 En présence d absorption, l équation bilan de conservation de l énergie acoustique s écrit: Ii = Ir + It + Ia L équation bilan d énergie en présence d absorption devient: ρ + τ + α =1

39 2.8.1 Absorbants par porosité La matière d un matériau poreux contient de nombreux pores, plus ou moins ouverts vers l extérieur et reliés entre eux par des canaux très fins. Lorsqu une onde acoustique rencontre un tel matériau, une partie de l énergie acoustique est transformée en chaleur par les effets de viscosité et de résistance frictionnelle liés à la présence des pores et des canaux. Cette absorption de l énergie acoustique est liée à l impédance acoustique du matériau, dont dépend l énergie acoustique réfléchie à la surface du matériau, et à sa viscosité en ce qui concerne la partie de l énergie acoustique transformée en chaleur. En fait, pour que l énergie acoustique réfléchie soit faible, il faut que l impédance du matériausoit prochede cellede l air (ce quiestlecass ilcontientbeaucoupd air),maisalors sa viscosité interne est faible et la part d énergie transformée en chaleur est faible.

40 Tous les matériaux poreux possèdent des caractéristiques d absorption communes: absorption en fonction de la fréquence : pour un matériau poreux donné, à épaisseur constante, le coefficient d absorption croît avec la fréquence. Les aiguës sont donc plus facilement absorbées que les graves. Cf. tableau précédent des coefficients d absorption (moquette ou laine de verre). absorption en fonction de l épaisseur : pour un matériau poreux donné, à fréquence constante, le coefficient d absorption croît avec l épaisseur, et ce d autant plus que la fréquence est basse. Il faut donc de grandes épaisseurs pour absorber les graves. Coefficient d absorption d un matériau poreux en fonction de son épaisseur

41 influence de la distance à la paroi réfléchissante : lorsqu un matériau poreux est placé à une certaine distance d de la paroi réfléchissante, l absorption de celui-ci va être maximale pour les ondes dont les ventres de vitesse coïncident avec la position du matériau, c est-àdirelesondesdontlalongueurd onde λvérifielarelation: λ d = ( 2k + 1) 4 l énergie dissipée étant proportionnelle à la vitesse acoustique. Donc,lesondesdelongueurs: 4d λ n = n où n=2k+1 est impair seront très absorbées par le matériau. À l inverse, les ondes de longueur égale à 4d/n avec n pair ne seront que peu absorbées. Cette absorption est donc très sélective et il faudrait disposer plusieurs matériaux poreux à différentes distances pour obtenir une absorption plus étendue. Coefficient d absorption de trois matériaux poreux différents situés à une distance d d une paroi rigide et réfléchissante

42 2.8.2 Absorbants de type résonateurs à membranes Ce sont des panneaux perforés ou non, relativement légers, montés sur un cadre périphérique fixé sur une paroi. Un volume hermétique est donc créé, entre le panneau et la paroi. Sous l effet d une onde acoustique incidente, le panneau vibre, par un effet de ressort provenant de l air contenu dans le volume hermétique, et l énergie acoustique incidente se trouve ainsi transformée en énergie cinétique. L absorption est donc maximale à la fréquence de résonance du système ; dans la pratique, celle-ci est donnée en bonne approximation par la formule: f =. = ρs d ρ. 0 b. d où ρ s est la masse par unité de surface du panneau (en kg/m 2 ), ρ 0 la masse volumique du panneau,bl épaisseurdupanneau(enm),etdladistancedupanneauàlaparoi(enm). Dans le cas où le panneau est perforé, ρ s peut être remplacé par la masse équivalente m donnéepar: 0b m' = ρ σ où b est l épaisseur du panneau, ρ 0 la masse volumique du panneau, et σ le pourcentage de perforation, égal à S 1 /S 2 avec S 1 surface d une perforation et S 2 la surface du panneau sans perforation.

43 Courbe type du coefficient d absorption d un résonateur à membrane en fonction de la fréquence

44 Exemple: Un panneau de contreplaqué, de masse surfacique ρ S =5kg/m 2, placé à 8cm du mur a pour fréquence propre: 60 f 0 = = 95Hz 5.0, 08 Silasallepossèdeunerésonancegênanteà130Hz,ilfautplacerlepanneauàunedistanced dumurtelleque: d = 130 cequidonneunedistancede: d = 4,3cm Une autre solution pour éliminer cette résonance en gardant le panneau à 8 cm du mur est del alléger;unemassesurfaciquede2,7kg/m 2 conviendrait.

45 2.8.3 Absorbants par résonateur du type Helmholtz Le résonateur de Helmholtz est composé d une cavité à paroi rigide qui communique avec l air extérieur par une ouverture possédant un col. L airenfermé dansla cavité agit comme un ressortpourles ondes dont les longueurs d onde sont grandes devant les dimensions de la cavité, et l air contenu dans le col comme une masse. On se trouve en présence d un dispositif masse-ressort, dont on peut calculer la fréquence de résonance par la formule: f = c 2π oùsestlasurfacedelasectionducol,lsalongueuretvlevolumedelacavité. S lv En fait, le résonateur de Helmholtz a deux rôles : il absorbe une partie de l énergie et en amplifie une autre partie. À très faible distance du résonateur, il est possible d entendre un son amplifié, mais dans la salle, c est le rôle absorbant qui prédomine. En effet, l énergie qui fait vibrer le résonateur est prélevée sur l énergie réverbérée de la salle. Le résonateur émet de l énergie, mais au total, il en absorbe plus qu il n en émet. L absorption résulte du fait qu une fraction de l énergie est transformée en chaleur par dissipation sur les parois du goulot (ou dans le matériau poreux placé à l intérieur du résonateur).

46 αen fonction de log f pour les résonateurs

47 2.9 Absorption d une surface et d une salle Considérons une salle dont les parois sont constituées de n surfaces recouvertes de matériaux différents (murs en bois, plancher en moquette, etc.). Appelons S 1, S 2,, S n les surfaces de ces matériaux et α 1, α 2,, α n leurs coefficients d absorption respectifs. On appelle absorption (en m 2 ) de la surface S i de coefficient d absorption α i la quantité A i définie par: A = S. α i i i L absorption A d une surface correspond donc à la surface S d un matériau parfaitement absorbant(α=1) qui absorberait autant d énergie que cette surface.

48 L absorptiontotaledelasalle(mesuréeenm 2 elleaussi)estdéfiniecommelasommedes absorptions de toutes les surfaces qui la composent: A = A A A = α. S α. S α. S tot 1 i n 1 1 i i n n À nouveau, une salle qui possèderait une absorption de 100 m 2 absorbera autant d énergieque100m 2 dematériauparfaitementabsorbant.

49 On définit le coefficient d absorption moyen d une salle comme la moyenne arithmétique des différents coefficients d absorption des surfaces pondérée par ces surfaces: α moy α S α S α S α S = = S S S 1 1 n n 1 1 n n 1 n tot On peut donc écrire : A = S. α tot tot moy Le coefficient d absorption d une salle est un paramètre très important de l acoustique architecturale, puisqu il permet de déterminer, avec la forme de la salle, son temps de réverbération(cf. paragraphes 5 et 6).

50 3 Réponses impulsionnelle et fréquentielle d une salle 3.1 définition de la réponse impulsionnelle Lorsqu un son très bref (c est-à-dire une impulsion sonore) est émis par une source sonore dans une salle, l onde se propage dans toutes les directions. Le premier front d onde qui parvient en un point de réception s appelle le son direct. La multitude d ondes réfléchies par les parois de la salle constituent le son réverbéré. Le niveaude pression recueilli en un point donné de la salle enfonction du temps constitue la réponse impulsionnelle de la salle. Le tracé du son direct et de la succession des réflexions constitue l échogramme. Dans la pratique, on assimile souvent échogramme et réponse impulsionnelle.

51 Laréponseimpulsionnelledépenddelapositiondelasource etdurécepteurdanslasalle.elle illustre la manière dont la salle modifie le son émis par la source et représente en quelque sorte la signature acoustique de la salle. Connaissant la réponse impulsionnelle h(t) d une salle, on peut en effet calculer (par convolution) le son y(t) reçu par le récepteur en fonction du son x(t) émis par la source. On peut parfois ainsi simuler l acoustique d une salle de concert avant qu elle ne soit construite. 3.2 décomposition de la réponse impulsionnelle La réponse impulsionnelle d une salle peut se décomposer en trois parties: le son direct, les réflexions précoces et le champ diffus.

52 Distribution temporelle schématique d une impulsion sonore émise au temps t=0.

53 le son direct ne dépend que des caractéristiques de la source (puissance, directivité) et de la distance de la source au récepteur. La salle n intervient pas. Pour une source de puissance P et omnidirective, à la distance r de la source, l intensité du sondirectvaut: I( r) = P 4π r 2 on appelle réflexions précoces ou premières réflexions les réflexions qui parviennent au point de réception dans les 80 à 100 premières millisecondes qui suivent la réception du son direct. En fait, il n existe pas de limite temporelle précise qui délimite les réflexions précoces du champ diffus, mais on peut les distinguer des réflexions ultérieures car leur distribution temporelle ne présente aucune régularité. Les réflexions précoces dépendent des positions de la source et du récepteur, mais aussi de la configuration des parois. au-delà d un certain temps après l arrivée du son direct, le récepteur reçoitle champ diffus, qui présente trois caractéristiques principales :

54 Les caractéristiques du champ diffus sont : en un point donné, après l extinction de la source, l intensité réverbérée décroît au fil du temps de manière exponentielle (la décroissance en niveau est donc linéaire). On appelle temps de réverbération TR la durée nécessaire pour que le son réverbéré décroisse de 60dB dans la salle après extinction de la source. le champ diffus est homogène dans la salle, son intensité est statistiquement la même pour toutes les positions dans la salle (alors que les réflexions précoces dépendent de la position du récepteur dans la salle). Les figures ci-contre montrent cette différence qualitative. le son diffus est chaotique : les deux oreilles reçoivent une multitude de réflexions provenant de toutes les directions, alors que le son direct et les réflexions précoces proviennent d une direction précise.

55 Exemples de réponses impulsionnelles Les différences sont surtout visibles dans les 50 à 100 premiers millièmes de secondes qui suivent le son direct (c est-à-dire au niveau des réflexions précoces). Ainsi, les réflexions sont plus espacées en plafond haut qu en plafond bas.

56 3.3 distribution temporelle des réflexions diffuses Raisonnement énergétique Considérons une source sonore dans une salle. On peut mentalement décomposer l énergie émise en une multitude de rayons sonores, qui partent de la source pour se réfléchir sur les parois de la salle. La figure illustre le comportement d un rayon sonore. Il parcourt une distance l 1 avant de subir une première réflexion, puis une distance l 2 avant d en subir une seconde, etc. On appelle libre parcours moyen (noté l m ) la distance moyenne parcourue par un rayon sonore entre deux réflexions sur les parois(c estdonclamoyennearithmétiquedel 1,l 2,l 3,etc.). Pendant un temps t assez long, si le rayon subit N réflexions, le trajet moyen entre deux réflexions vaut par définition: l m = c. t N où c désigne la célérité du son. On démontre en acoustique statistique (cf. le paragraphe 5.2) que l énergie reçue par seconde (c est-à-dire la puissance notée P) par la surface totale desparoissvaut: P = ε. S. c 4 où ε est la densité d énergie sonore volumique dans la salle. Le facteur 4 apparaissant dans cette formule résulte d une moyenne prise sur toutes les directions du rayon dans l espace.

57 Comme d autre part, l énergie totale frappant les parois pendant un temps t dans une salle devolumevlorsdesnréflexionsvaut: P = ( ε. V ) N t on trouve, en égalant les deux expressions, pour le libre parcours moyen: l m = 4V S Le nombre moyen de réflexions par seconde n peut aussi être évalué facilement. En effet, letempsmoyent m entredeuxréflexionsvaut: t m l m = = c 4V c. S Pour effectuer une réflexion, le rayon met donc en moyenne 4V/cS secondes. En une seconde, il subira donc cs/4v réflexions en moyenne. Le nombre moyen n de réflexions parsecondevautdonc: n = cs 4V

58 3.3.2 Raisonnement géométrique

59

60 3.3 définition de la réponse fréquentielle La réponse fréquentielle illustre la manière dont la salle accentue ou atténue les différentes fréquences émises par la source. Elle se représente par une courbe de niveau acoustique en fonction de la fréquence. Comme la réponse impulsionnelle, la réponse fréquentielle correspond à une position donnée delasourceetdurécepteurdanslasalle. Mathématiquement, la réponse fréquentielle et la réponse impulsionnelle s obtiennent l une au départ de l autre par la transformation de Fourier.

61 Chaque pic de la réponse fréquentielle correspond à une fréquence (ou mode) propre de la salle. Les fréquences propres sont les fréquences de vibration naturelles de la salle : elles correspondent aux fréquences pour lesquelles peuvent exister des ondes stationnaires acoustiques dans la salle. Comme un oscillateur forcé, la salle peut donc entrer en résonance pour ces fréquences d excitation particulières. Contrairement à un système mécanique simple, il existe de très nombreuses fréquences propres pour une salle donnée. Dans le cas d une forme de salle simple (un parallélépipède par exemple), ces fréquences peuvent être calculées théoriquement. Sur le plan pratique, on peut également obtenir les fréquences propres d une salle en calculant la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle mesurée dans la salle. Dans une salle de concert, il faut toujours veiller à atténuer les résonances, pour empêcher l apparition d hétérogénéités du son (ventres et nœuds de vibration caractéristiques de l onde stationnaire).

62 3.4 Calcul des fréquences propres d une salle parallélépipédique Pour simplifier, considérons tout d abord les ondes stationnaires à une dimension qui peuvent s établir entre les deux parois parallèles d une salle parfaitement réfléchissante. Comme nous l avons vu dans le chapitre 1, les fréquences propres, donnant lieu à une onde stationnaire, sont multiples d une fréquence de base f1 = c /(2 L) où L est la distance entre les parois c est-à-dire : f2 = 2 f1, f3 = 3 f1,..., fn = nf1 = n 2 L c Les longueurs d onde des ondes stationnairespossibles sont donc données par : λ1 = 2 L, λ2 = L, λ3 = 2 L / 3,..., λ 2 / ou encore. n n = L n L = n λ 2

63 Ces formules se retrouvent aisément à l aide des graphiques suivants :

64 Pour une salle parallélépipédique de dimensions l L h dont les parois seraient rigides et parfaitement réfléchissantes, chaque couple de parois parallèles possède ses propres fréquences propres, données par: direction Ox: f direction Oy: f direction Oz: f n x y z x n y x y z n =n.c/(2l) =n.c/(2l) où n, n et n sont des nombres entiers quelconques =n.c/(2h) z Ces modes de vibrations vont pouvoir se combiner entre eux pour donner des modes propres caractéristiques de l ensemble de la salle: Chaque sommet de coordonnées (n x,n y,n z ) du réseau dont la maille est formée des vecteurs (c/2l,0,0), (0,c/2L,0), (0,0,c/2h) correspond à une fréquence propre de vibration de la salle valant: fn,, / / / x ny n = c n z x l + ny L + nz h 2 2 ( ) ( ) ( ) C est la formule de Rayleigh. 2 2

65 Exemple de la réponse fréquentielle d une salle quelconque.

66 Exemples de fréquences propres pour quatre salles parallélépipédiques.

67

68 On classe les fréquences propres d une salle en trois catégories : les fréquences propres axiales: ce sont les fréquences propres correspondant aux paires de parois parallèles ; elles ont donc deux de leur trois coefficients nuls. Les nœuds et les ventres de l onde stationnaire sont alors répartis sur une ligne(figure a). les fréquences propres tangentielles : il s agit des modes de vibration pour lesquels un seul des coefficients est nul ; dans ce cas, les nœuds et les ventres de l onde stationnaire sont répartis sur un plan(figure b). les fréquences propres obliques : il s agit de modes de vibration pour lesquels aucun des coefficients n est nul ; dans ce cas, les nœuds et les ventres se répartissent dans l espace (figurec). On peut montrer que les modes propres axiaux transportent deux fois plus d énergie que les tangentielles et celles-ci deux fois plus d énergie que les obliques, d où l énorme importance des modes axiaux.

69 3.5 dénombrement des fréquences propres d un local parallélépipédique Par un comptage géométrique direct des nœuds du réseau des fréquences, il est possible d évaluer le nombre N(f) de fréquences propres inférieures ou égale à une fréquence propre f fixée. La formule permettant d évaluer ce nombre est connue sous le nom de formuledemaa(1939): 3 2 4π f π f f N( f ) = V + S + 3 c 4 c 8 c où V est le volume de la salle (V=l.L.h), S est la surface totale des parois de la salle (S=2.(l.L+L.h+l.h))etL t estlalongueurtotaledesarêtesdelasalle(l t =4.(l+L+h)). Parexemple,unesallenuméro1,de 2 3 2,5 (m)aun volume de15m 3,une surface totale de 37m 2 et une longueur totale de 30m, et possède donc N(1000)=1861 fréquences propres comprises entre 0 et 1000 Hz(avec c=340 m/s). En dérivant la formule de Maa par rapport à la fréquence, on peut aussi connaître la densité de fréquences propres à une fréquence donnée, c est-à-dire le nombre de fréquencesproprescomprisesdansunintervallede1hzcentrésurf:onobtient: L t 4πV 2 π S dn( f ) = f + f c 2c 8c Par exemple, pour une salle numéro 2, de (m), V vaut 1600 m 3, S vaut 880 m 2 et L t vaut 152m, donc on a une densité de mode dn(1000)=523,6 et N(1000)= L t

70 Ces formules nous montrent que : Pourunefréquencedonnéef,lenombredesfréquencespropres N(f)comprisesentre0et f est proportionnel, en première approximation au volume de la salle et au cube de cette fréquence. La densité de fréquences propres est proportionnelle au volume de la salle et au carré de la fréquence. Illustration: coloration du son dans les petites salles Si un musicien joue de la contrebasse par exemple, dans la salle numéro 1 (petite salle), sa note aura une grande probabilité de tomber entre deux fréquences propres (et peu de chance de tomber près de l une d elles), les fréquences propres comprises entre 0 et 100 Hz étant peu nombreuses (N(100)=5 contre N(100)=235 dans la salle numéro 2). Cette note paraîtra pauvre par rapport à une autre note grave coïncidant justement avec une fréquence propre de la salle, qui elle excitera la salle. Celle-ci apparaîtra donc «colorée» dans cette petite salle Le même musicien jouant dans la salle 2 (grande salle), une note aura moins de chance de tomber sur une fréquence propre isolée. Il y a tellement de fréquences propres graves que toute note émise sera modifiée de la même manière par la salle. Une grande salle ne coloreradoncpasquelquessonsdanslegrave,commelefaitunepetitesalle.

71 4 Champ acoustique diffus et énergie réverbérée, théorie de Sabine Nous allons étudier l intensité réverbérée dans une salle, et plus particulièrement son évolution en fonction des caractéristiques de la salle et de la source acoustique. Nous nous placerons dans le cadre de la théorie de Sabine, qui considère que le son réverbéré est statistiquement homogène dans la salle. 4.1 Les trois phases du son réverbéré : définitions des phases et du temps de réverbération Si on allume à t=0 un haut-parleur dans une salle, et que l on maintient la puissance émise par le haut-parleur constante pendant un certain temps, avant de le couper au tempst 1,troisphasessontalorsdiscernablesdanslesonréverbéré: la phase d établissement du son réverbéré, pendant laquelle l intensité de celui-ci augmente progressivement; la phase stationnaire du son réverbéré, où l intensité réverbérée reste constante; la phase d extinction du son réverbéré, pendant laquelle l intensité du son réverbéré diminue progressivement jusqu à devenir inaudible. On appelle temps de réverbération ou durée de réverbération (noté TR) le temps mis par le son réverbéré pour décroître de 60 db après extinction de la source.

72 Croissance et décroissance de l énergie sonore dans une salle

73 4.2 les expériences et les lois théoriques de Sabine loi expérimentale d extinction du son réverbéré dans une salle Sabine n avait à sa disposition que des tuyaux d orgue comme source sonore et qu un chronomètre comme moyen de mesure. Il mesurait des durées de réverbération. Il fit ses expériences dans des salles très réverbérantes, ce qui lui permettait de mieux mesurer les durées de réverbération. Il constata: que la durée de réverbération était la même en tout point de la salle, ce qui l amena à conclure que l énergie sonore du champ réverbéré était uniformément répartie dans la salle. que la durée de réverbération n était pas fonction uniquement de la salle mais aussi de la puissance de la source (un coup de pistolet dure plus longtemps qu un claquement de mains) ; il étudia donc l influence de la puissance de la source, en utilisant un seul tuyau d orgue, puis deux, puis quatre. Il observa que la durée de la réverbération augmentait du même temps lorsqu il passait de un à deux tuyaux, puis de deux à quatre tuyaux. Il en déduisit que la perte d énergie acoustique instantanée par absorption sur les parois est proportionnelle à l énergie sonore incidente instantanée.

74 Soit ε R (t)la densité volumique d énergie acoustique dans le champ réverbéré. Mathématiquement, on peut résumer les constatations de Sabine concernant la phase d extinction du son réverbéré par une formule expérimentale : pendant un temps dt, la perte de densité d énergie sonore par absorption dε R est proportionnelle à la durée dt, à la densitéd énergiesonoreincidente ε R : dε = k. ε. dt R R En d autres termes, et en posant τ=1/k: dε R ε R dt = τ La constante de proportionnalité τ a donc les dimensions d une durée ; elle porte le nom de constante de temps de la salle et est à ce stade indéterminée dans la théorie (mais elle peut déjà se mesurer pour chaque salle). 1 Cette équation a pour solution une exponentielle décroissante: ( t t1 ) ε ( ) = ε. t e R 0 τ où ε 0 désigne la densité d énergie en champ réverbéré à l instant t 1 où l on coupe la source.

75 4.2.2 énergie réverbérée et intensité réverbérée Considérons, dans le cadre de la théorie de Sabine, un champ acoustique où l énergie est répartieuniformément(avecunedensitéd énergievolumique ε R (t)). Lorsque la sourceestéteinte,si ε R (t)estla densité d énergie sonore réverbérée instantanée, l énergie dw R reçue par une surface ds (sur un front d onde ou sur une paroi) pendant un tempsdtvaut: En effet, fixons une petite surface ds quelconque. La normale à cette surface permet de repérer des directions θ et de découper le volume de la salle en une succession de tores, situés à une distance r de la surface ds, et de rayons rsinθ. Sur un temps dt, la surface peut recevoir de l énergie en provenance des tores situés à une distance inférieure ou égale à r max =c.dt. L énergie reçue dw R par la surface ds pendantun tempsdt,émise parunélémentde volume dvquiestunepartied untorederayonrsinθvaut: 1 dwr = ε RdVdΩ 4π ( r, θ ) avec : dv = 2 π r( rdθ ) dr dw R = ε R. c. ds 4 dt

76 et où dωest l angle solide élémentaire sous lequel l élément de surface dvvoit la surface ds, qui vaut par définition : On trouve donc : dw R ε 2π r sinθrdθ drds cosθ ε ds = = R R 2 4π r 2 ( r, θ ) ( r, θ ) r R 2 R R dr sinθ cosθ dθ r 0 max 0 sinθ cosθ dθdr max π ds ds. ds. c. dt ε ε ε = = = Par conséquent l intensité sonore réverbérée instantanée I R (t) (c est-à-dire la puissance sonore qui transite par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation de l onde) vaut: I R ds.cosθ dω = 2 r P 1 dwr = = = ds ds dt ε R. c 4 L intensité mesurée en champ réverbéré est donc le quart de l intensité mesurée en champ direct pour une même densité d énergie volumique. L intensité en champ direct vaut en effet: ID. = ε c

77 4.2.3 loi théorique d extinction du son réverbéré et détermination théorique de la constante detemps τdelasalle On peut établir la loi d extinction du son réverbéré et obtenir la valeur de la constante de temps τdelasalleparunraisonnementdetypebiland énergie. Eneffet,pardéfinitionducoefficientd absorption α,ladensitéd énergiedw A absorbéepar unélémentdeparoidspendantunlapsdetempsdtvaut: dw A = α. dw R Surunlapsdetempsdt,l énergiesonoreréverbéréeperduedanslasallevautv.dε R (t)etest complètementabsorbéeparlesparois,etonpeutdoncécrirelebilan: 0 = V. dε ( t) + W R A et où A est l absorption totale de la salle. ε R. c ε R. c. A où W A = dwa =. dt αds =. dt 4 4 S S

78 En divisant cette équation par dt, on obtient l équation différentielle décrivant l évolution de la densité d énergie en champ réverbéré ε R (t): dε R ε R. c. A V. + = 0 dt 4 Cette équation a pour solution une exponentielle décroissante: ( t R ) = 0. e A. c t t 4V ( ) ε ε où ε 0 désigne la densité d énergie en champ réverbéré à l instant t 1 où l on coupe la source. Par dérivation de cette formule théorique, on retrouve la loi expérimentale de Sabine: dε R = Mais l avantage du raisonnement théorique est que l on trouve aussi la valeur de la constante de temps τ de la salle en fonction de son volume, de son absorption et de la céléritéduson: τ = A. c ε Rdt 4V 4V A. c 1

79 Le raisonnement précédent montre que l intensité du son réverbéré dans une salle pendant la phase d extinction du son réverbéré vaut: ε c 4 4 ( t t1 ) ( t t1 ) ε R ( t). c 0 τ τ IR ( t) = = e = I0e où t 1 représente l instant où l on coupe la source et I 0 l intensité du son réverbéré au moment où l on coupe la source.

80 4.2.4 relation entre temps de réverbération et constante de temps τ d une salle La loi d extinction du son réverbéré permet d établir une relation entre la constante de tempsde lasalleetle tempsde réverbérationtr;en effet,sil intensité sonore décroîtde I 1 ài 2 pendantl intervalledetempst 2 -t 1,onpeutécrire,enappliquantlaloid extinction: ( t t ) τ = ln et donc : 2 1 I I 1 2 ln I t = t I τ Si l on s intéresse au TR, qui est le temps nécessaire pour que le niveau d intensité baisse de60db,i 1 eti 2 sonttelsque: En effet, on a bien alors : I I 1 2 = 10 6 On en déduit donc : L I I I L = = = = I I I log 10 log 10 log 10 log10 60 db TR TR TR τ = = = 6 ln10 6 ln10 13,8

81 4.2.5 loi théorique d établissement du son réverbéré dans une salle Considérons une source de puissance constante P qui rayonne dans une salle de volume V à partir de l instant t=0. Si ε R (t) est la densité d énergie sonore réverbérée instantanée, la densitéd énergiedw R reçueparunesurfacedspendantuntempsdtvaut: dw R ε R. c. ds = 4 Etparconséquentl intensitésonoreinstantanéei R (t)(c est-à-direlapuissancesonorequi transite par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation de l onde) vaut: I R D autre part, la densité d énergie dw A absorbée par un élément de paroi ds pendant un lapsdetempsdtvaut: Pendant un laps de temps dt, une partie de l énergie rayonnée par la source (valant au total P.dt) sert à augmenter l énergie du champ diffus d une quantité V.dε R (t) tandis qu une autre partie de l énergie rayonnée est absorbée par les parois (W A ) ; on peut donc écrire l équation bilan: dt P 1 dwr ε R ( t). c ( t) = = = ds ds dt 4 dw A = α. dw Pdt = V. dε ( t) + W ε R. c ε R. c. A avec WA = dwa =. dt. αds. dt 4 = S 4 S R R A

82 Cette équation devient donc, en divisant par dt: qui s intègre directement pour donner : dε R ε R. c. A P = V. + dt 4 4P ε R ( t) = 1 e A. c A. c. t 4V L intensité du champ réverbéré I R (t)pendant la phase d établissement vaut donc :.. 4 ( ) c ( ) P A c t t V IR t R t 1 e P τ = ε = = 1 e 4 A A oùonaposécommed habitude: τ = 4V A. c

83 4.2.6 Phase stationnaire du son réverbéré À la fin de la phase d établissement du son réverbéré dans la salle, on voit que I R (t) tend vers une constante: I ( ) R t + = P A Cette constante constitue évidemment aussi la valeur de départ de l intensité sonore pour le son qui s éteint ensuite, quand la source est éteinte, par conséquent, on peut identifieri 0 àp/a: I 0 = P A

84 4.2.7 formules de Sabine, résumé Pendant la phase d établissement du son réverbéré, l intensité réverbérée vaut donc : P Ir ( t) = 1 e A Lors du régime stationnaire, l intensité réverbérée vaut : I ( t) = Pendant la phase d extinction du son réverbéré, l intensité réverbérée vaut : r 1 P τ Ir ( t) = e A avec la valeur suivante de la constante de temps de la salle: 4 P A t τ t t τ = V A. c Cette constante mesure la rapidité de la réponse de la salle, c est-à-dire la rapidité d établissement et d extinction du son réverbéré. La formule montre que τ augmente si le volume de la salle augmente, ou si son absorption diminue. Autrement dit, plus une salle est grande et/ou réverbérée, plus le son réverbéré met de temps à s installer et à disparaître.

85 Remarques: Sur ces expressions, l intensité réverbérée ne dépend pas de la position dans la salle : le champ réverbéré est donc théoriquement uniforme. En pratique, ce n est pas rigoureusement exact: il peut y avoir des ondes stationnaires par exemple, et l intensité réverbérée est généralement plus forte contre les parois. Le facteur de directivité Q de la source n intervient pas non plus dans l expression de l intensité réverbérée : en fait, la directivité de la source joue un rôle dans le son direct, mais le son réverbéré résulte d une multitude de réflexions en provenance de toutes les directions, et le mélange des ondes est tel que la directivité originelle de la source est quasiment sans effet.

86 La phase d établissement du son réverbéré présente un moindre intérêt dans la pratique. Nous revenons donc à présent sur la phase stationnaire (paragraphe 4.3), utile pour le calcul des niveaux sonores, et la phase d extinction (paragraphe 4.4), qui permet d évaluer letempsderéverbérationetlescritèresdequalitédelasalle. 4.3 Niveaux en régime stationnaire du son réverbéré et du son direct dans le modèle de Sabine Niveaux d intensité et de pression du son direct et du son réverbéré Pour le son direct, l intensité peut s exprimer en fonction de la pression par la relation : I d p = = ρ 0 c p d d Pour le son réverbéré, la relation entre intensité et pression est différente : I r 2 2 pr pr = = 4ρ 0 c 1600 La raison de cette différence est que le son réverbéré est à peu près 4 fois moins efficace que le son direct pour déplacer une surface donnée (tympan, membrane de microphone), car le champ direct provient d une seule direction(celle de la source) tandis que le champ réverbéré provient de toutes les directions).

87 Pour le son direct, comme l intensité Id à une distance r d une source de puissance P et defacteurdedirectivitéqvaut: I d = PQ 4π r 2 les niveaux en pression et en intensitévalent : et : L I I L = 10 log = 10 log = L log r + 10 log Q d d I, d 12 I d d d d p, d = 20log = 20log = 10log = 10log = L I, d p w p p p 400I donc finalement : Lp, d = Lw log r + 10 log Q où L W désigne le niveau de puissance de la source, qui vaut par définition : L W P P = 10log = 10log P 10 Les niveaux du son direct en intensité et en pression sont donc égaux. 0 12

88 Pour le son réverbéré, l intensité réverbérée vaut : et le niveau d intensité réverbérée vaut : I I P L = 10log = 10log = 10log = L 10log A r r I, r I0 10 A.10 et le niveau de pression réverbéréevaut : L p p = 20log = 20log 2.10 r r p, r 5 p0 I r = P A W Cette fois, pour le son réverbéré, les niveaux d intensité et de pression ne sont pas égaux. En effet : L I p p = 10log = 10log = 10log 10log r r r I, r pr pr = 10 log 6 20 log 6 L 5 5 p, r 6dB = =

89 En conclusion : Lp, r = LI, r + 6dB = LW 10log A + 6dB Pour le son réverbéré, il y a donc une différence de 6dB entre le niveau d intensité et le niveau de pression. Lorsqu on parle du niveau réverbéré sans préciser, c est du niveau de pression réverbéré qu il s agit. C est lui en effet qui est mesuré par les sonomètres. Le niveau d intensité réverbéré est essentiellement un intermédiaire de calcul(par exemple, si l on souhaite connaître le niveau produit par plusieurs sources, puisque ce sont les intensités qui s additionnent).

90 Intensités, niveaux d intensité et de pression pour le son direct et le son réverbéré où on a noté ID l indice de directivitéde la source ID=10log Q.

91 4.3.2 Niveau de pression total (son direct et son réverbéré) Par définition, le niveau de pression total vaut: L p p = 20log = 20log 2.10 tot tot p, tot 5 p0 Comme le son direct et le son réverbéré ne sont pas corrélés, il faut additionner les pressions quadratiques(cf. chapitre 1, acoustique physique): p = p + p tot d r Onobtientdoncpourleniveaudepressiontotal: ptot ptot ptot pd + pr Lp, tot = 20log = 10log = 10log = 10log On peut éliminer dans l expression du niveau total les pressions au profit des intensités à l aide des relations: I d = p p p p ρ = 400 = 4 = d d r r, et Ir 0c0 ρ0c0 On obtient ainsi : L 400I Ir = 10log 4.10 d p, tot 10

92 Pour faire apparaître les caractéristiques de la source et de la salle, on peut utiliser ensuite les formules des intensités: On obtient alors : L Factorisons la quantité P : I d P. Q =, et I = 4 P 2 r π r A 400 P. Q 1600P = 10log π r A p, tot log P. Q 4P = π r. A L P Q 4 P Q 4 = 10 log. + = 10 log + 10 log π r A 10 4π r A p, tot

93 On trouve donc finalement pour le niveau de pression total: L Q 4 = L + 10log + 4 π r A p, tot W 2 où l on a introduit comme d habitude le niveau de puissance de la source L W : L W P = 10log 10 loin de la source, le terme correspondant au son direct (Q/4πr 2 ) devient très petit par rapport au terme relatif au son réverbéré (4/A) si bien qu on peut le négliger. On retrouve alors la formule du son réverbéré seul: à l inverse, à faible distance de la source, c est le son direct qui prédomine, et le terme (4/A) est faible par rapport au terme (Q/4πr 2 ). On retrouve alors l expression du sondirectseul: 12 Lp, tot = LW 10 log A + 6 Lp, tot = LW log r + ID

94

95 4.3.3 Rapport Dir/rev a Définition et calcul On appelle rapport entre son direct et son réverbéré, en un point donné de la salle, la différence de niveau entre le son direct et le son réverbéré. OnlenoteDir/revetils exprimeendb: Dir/rev=L -L p,d p,r Entermesdespressionsacoustiquesdusondirectetdusonréverbéré,ilvautdonc: pd pr Dir/rev=20log 20log p d = 20log pr p d = 10log pr 2

96 4.3.3.b Expression de Dir/reven fonction de la salle et de la source On peut calculer comme d habitude les pressions des sons direct et réverbéré en utilisant les formules: I d P.Q = p = p = p = p = P ρ c 400 4π r 4ρ c 1600 A d d r r =, et I 2 r On obtient ainsi : A.Q Dir/rev=10log 16π r 2 OnremarquequelerapportDir/revnedépendpasdelapuissancedelasource. Pour accroître le rapport Dir/rev, il faut utiliser l une des méthodes suivantes: soit se rapprocher de la source, soit augmenter l absorption de la salle, soit augmenter la directivité de la source. Cerapportchangebiensûraprèsprisedeson;on lenotealorsdir/rev*

97 4.3.4 Distance critique a Définition Le niveau du son direct diminue avec la distance (selon la formule L p,d (r)=l W logr+ID), tandis que le niveau du son réverbéré est constant (car L p,r =L W - 10logA+6). La figure ci-contre montre l allure de la variation de ces niveaux en fonction de la distance à la source (l abscisse représente le logarithme de la distance, et la décroissancedel p,d (r)estdonclinéaire). On appelle distance critique d une salle (pour une source donnée) la distance r c, mesurée par rapport à la source, pour laquelle le niveau direct est égal au niveau réverbéré. Mathématiquement,c estdoncladistancer c,telleque: L ( r ) = L ( r ) p, d c p, r c En deçà de la distance critique (r<r c ), le niveau direct est supérieur au niveau réverbéré (L p,d (r c )>L p,r (r c )), et au-delà de celle-ci (r>r c ), le niveau réverbéré est supérieur au niveau direct(l p,d (r c )<L p,r (r c )).

98 4.3.4.b Calcul de la distance critique dans le modèle de Sabine Comme les niveaux de pression des sons direct et réverbéré valent : L = 20log p = 20log p, et L = 20log p = 20log p d d r r p, d 5 p, r 5 p p l égalité des niveaux de pression à la distance critique L p,d (r c )=L p,r (r c ) implique l égalité des pressionsp d =p r etdoncdeleurscarrésp d2 =p r2. En utilisant les expressions des carrés des pressions: on peut écrire : p 400 P. Q 1600P =, et p = 4π r A 2 2 d 2 r 400 P. Q 1600P = π r A 2 4 c

99 ce qui donne, après résolution : r c AQ AQ = 16π 50 Onobservesurcetteformuleque: Le rayon critique dépend de la fréquence : c est normal, puisque l absorption en dépend. Mais comme le rapport Dir/rev, le rayon critique ne dépend pas de la puissance de la source. Par exemple, une salle de dimensions m 3, et de coefficient d absorption moyen α m =0,5 possèdeunesurfacetotale Sde 800m 2,uneabsorption Ade 400 m 2 etla distancecritiquevautdoncr c = (400/50)=2,8m.

100 4.4 Phase d extinction du son réverbéré : niveau et temps de réverbération dans le modèle de Sabine Linéarité de la décroissance temporelle de niveau Nous avons vu que l intensité réverbérée décroît de manière exponentielle au cours du temps : P Ir ( t) = e A Si on calcule la décroissance temporelle du niveau sonore en un point de la salle, on trouve une décroissance linéaire (la courbe de décroissance du niveau réverbéré est une droite). Pourlemontrer,ilsuffitdecalculerleniveauréverbéréàpartirdel intensité: t Ir ( t) Ir ( t) P τ LI, r ( t) = 10log = 10log = 10log e at b 12 = + I0 10 A Remarque : on ne tient pas compte des réflexions précoces qui n obéissent pas à la loi de décroissance exponentielle. t t τ 1

101

102 4.4.2 Temps de réverbération, définitions et méthodes de calcul a définition Letempsderéverbération(TR)estletempsmisparlesonpourdécroîtrede60dBdansla salle après extinction de la source. En pratique, pour mesurer le TR, il n est pas nécessaire de mesurer le temps réellement mis par l énergie réverbérée pour décroître de 60 db. En raison de la linéarité de la décroissance, on peut se contenter de mesurer par exemple la décroissance dans les 100 premières millisecondes, et en déduire, par extrapolation, le temps correspondant à une décroissance de 60dB. Par exemple, si le son réverbéré décroît de 15 db en 100 ms, il lui faudra 0,4s pour décroître de 60dB.

103 4.4.2.b formule de Sabine De nombreuses formules permettent de calculer le TR en fonction des caractéristiques de la salle. La plus utilisée est la formule de Sabine, établie au début du XXe siècle. Si V est le volume delasalle(enm 3 ),Asonabsorption(enm 2 ),letempsderéverbérationtrvaut: TR = 0,16.V A Cette formule ne semble pas homogène à première vue, mais elle l est car le facteur numérique 0,16 est dimensionné. Le TR se mesure en secondes, et il dépend de la fréquence (comme l absorption A en dépend aussi). La formule de Sabine dérive directement des relations: 4V TR = τ.13,8 et τ = A.c

104 4.4.2.c Validité de la formule de Sabine Si le coefficient d absorption est très faible (α 0), l absorption de la salle tend vers une valeur nulle (A 0), et le TR tend vers une très grande valeur (TR ), ce qui effectivement le cas dans une salle très absorbante. La formule de Sabine est donc adaptée aux salles de faibles absorptions. À l inverse, si la salle est très absorbante, le coefficient d absorption tend vers 1 (α 1). Dans ce cas, A tend vers S (A S), et le TR tend vers la valeur de 0,16V/S, ce qui n est pas logique(il devrait tendre vers zéro, puisque la salle absorbe toute l énergie sonore). Ce résultat révèle les imperfections de la théorie de Sabine, qui est fondée sur l hypothèse d un champ réverbéré uniformément réparti dans la salle. Or, pour que cela soit exact, il faut que la salle soit suffisamment réfléchissante. C est pourquoi la formule de Sabine donne des résultats d autant moins valides que la salle est absorbante. En pratique, on utilise la formule de Sabine lorsque le coefficient d absorption moyen de la salle est inférieur à 0,2. Pour les salles plus absorbantes, il est préférable de calculer le TR en utilisant la formule d Eyring(cf. paragraphe 6).

105 4.4.3 Rôle de l absorption dans l air L énergie réverbérée est absorbée lorsqu elle frappe les parois de la salle, mais aussi lors de son parcours dans l air. La raison de cette dernière absorption est l atténuation par dissipation (cf. paragraphe 3.2.2). On peut exprimer les effets de cette atténuation en ajoutant à l absorption A des parois de la salle une absorption supplémentaire A. Celle-ci peut se modéliser par la formule: dans laquelle: A' 0,1V f = h ,7 Vestlevolumedelasalle(enm 3 ); hestle taux d humidité de l air ; dans la formule,hestexprimé en % (sile taux d humidité del airvaut10%,h=10)etlaformuleestvalablepour20<h<70. festlafréquenceduson. L inhomogénéité apparente de la formule s explique de la même manière que pour l expression du TR. Cette formule montre que A augmente si f augmente (l atténuation par dissipation est plus forte pour les hautes fréquences) ou si h diminue (les sons se propagent donc plus loin par temps humide que par temps sec, par exemple, les bruits lointains sont bien perçus lorsque l air est chargé d humidité). SiAdésignel absorptiondelasalle(enm 2 ),letrdevientdonc: TR 0,16V = A + A '

106 Exemple : Soit une salle de dimensions m 3, de coefficient d absorption moyen α et où le taux d humidité vaut h=50 % (ordre de grandeur usuel). Alors, V=11250 m 3, S=3150 m 2 et A=945m 2. Sans tenir compte de l absorption dans l air, la formule de Sabine donne un TR de 1,9s pour toutes les fréquences. Entenantcomptedel absorptiondansl air,lesvaleursdutrsont: On voit que l effet de l absorption par l air se manifeste essentiellement au-delà de Hz. C est pourquoi dans une salle, la réverbération est toujours plus élevée pour les basses fréquences.

107 4.4.4 Durée de réverbération optimale La durée de réverbération optimale est celle qui, pour un volume de local donné, n altère pas la modulation et le cas échéant, la complète utilement, et parfois esthétiquement. Suivant les cas, cette durée peut être courte pour des modulations contenant des éléments brefs, détachés, comme la parole, le clavecin ou la guitare) ou très longue (notes tenues, nécessitant une synthèse ou un légato, comme l orgue, l orchestre symphonique, la chorale). Il existe des abaques indiquant la durée de réverbération optimale en fonction du volume de la salle et de son utilisation. Durée de réverbération optimale en fonction du volume

108 4.4.5 Variation du temps de réverbération en fonction de la fréquence On considère comme naturel une salle dont le temps de réverbération est plus long aux fréquences graves et plus court aux fréquences aiguës, car la majorité des lieux répond à cette exigence. Les différences de temps de réverbération entre graves et aiguës sont d autant plus importantes que le volume est grand (en raison de l absorption de l air aux fréquences aiguës).

109 Allures réelles du temps de réverbération en fonction de la fréquence, pour quelques lieux vides On constate dans les cathédrales gothiques que le temps de réverbération diminue dans le registre grave. Ceci est dû à l absorption produite par les chapelles latérales, absidioles, etc. qui constituent autant de pièges à sons et diffuseurs, car leurs dimensions sont du même ordre de grandeur que les longueurs d onde du registre considéré.

110 4.4.6 dérivation directe de la formule de Sabine Appelons L 0 le niveau réverbérédans la salle avantl extinction de la source etl(tr)le niveau auboutdutempstr.pardéfinitiondutempsderéverbération,ona: L0 L( TR) = 60dB Avant d éteindre la source, l intensité réverbérée vaut: LeniveauenintensitéL 0 estalors: I I P L = 10log = 10log = 10log = LW 10log A r r I0 10 A.10 Après l extinction de la source (qui se produit à l instant t 1 ), l intensité réverbérée décroît selon une loi exponentielle: P Ir ( t) = e A ce qui fait qu au bout d un temps TR après l extinction de la source, l intensité réverbérée vaut: t t τ P Ir ( t = t1 + TR) = e A 1 TR τ I r = P A

111 Leniveauréverbéréauboutd untempstrvautdonc: Or,pardéfinitiondutempsderéverbérationTR,ona: ce qui permet d écrire : TR TR Ir ( TR) τ P. e τ L( TR) = 10 log 10 log = = L log e I 0 A.10 ou encore, en remplaçant le logarithme décimal par un logarithme népérien (logx=lnx/ln10): TR τ ln e 10 TR L( TR) = L = L0 ln10 τ ln10 L0 L( TR) = 60dB 10TR 4V = 60, donc TR = 6. τ.ln10 = 6..ln10 τ ln10 A. c En remplaçant c par sa valeur numérique (340 m/s) et ln10=2,3, on trouve finalement : qui est bien la formule de Sabine. TR = 0,16.V A

112 4.5 Application : effet du public sur le temps de réverbération Considérons une salle de dimensions L=25 l=15 h=10 m. Lorsque la salle est vide, le TR par bandes de fréquences vaut: La salle est destinée à produire des concerts de musique symphonique (TR approprié de l ordre de 1,6s). Les valeurs de TR de la salle vide sont donc trop élevées, mais il se pourrait qu en présence de public, elles deviennent acceptables. Voici les coefficients d absorption d une assistance moyenne: La salle a pourvolume V=3 750 m 3 etpour surface totale S=1 550 m 2. La surface du plancher vauts p =375m 2. On va supposer que lorsque la salle est occupée, le public recouvre toute la surface au sol et que le volume de lasalle n apas changé par la présence du public. On va aussisupposerque le plancher possède un coefficient d absorption égal au coefficient d absorption moyen de la salle.

113 Calculons d abord, pour chaque bande de fréquences, l absorption A s et le coefficient d absorptionmoyen α s delasallesanslepublic. Notons que comme α s est faible, l utilisation de la théorie de Sabine est justifiée. Pour calculer le TR de la salle occupée, il faut calculer son absorption, que l on appellera A occ. Pour cela, il faut, à partir de A s, retrancher l absorption du plancher nu (sans le public), puis ajouter celle du plancher recouvert par le public. AppelonsA 1 l absorptionduplanchersanslepublic: A1 = 375. αs Soient α p le coefficient d absorption du public et A p l absorption du plancher recouvert de public,onadonc: A = 375. α p p

114 Sanslepublic,l absorptiondelasallevaut: Aveclepublic,elledevient: A = α On obtient ainsi les valeurs suivantes, pour chaque bande de fréquences: s s ( ) A = α A + A = α 375 α. α occ s 1 p s s p Le temps de réverbération est donc considérablement réduit par la présence du public. Sa valeur moyenne est de l ordre de 1,7s, ce qui peut être considéré comme satisfaisant (le fait que le TR est plus élevé aux basses fréquences est même bénéfique pour la qualité de la salle).

115 5 Energie acoustique réverbérée, théorie d Eyring 5.1 Présentation Comme la formule de Sabine donne des résultats incohérents lorsque la salle est trop absorbante, on utilise pour calculer le TR une autre formule, proposée par Eyring en Cette formule est aussi fondée sur un certain nombre d hypothèses, et elle ne s applique donc pas à toutes les situations. La méthode de Sabine est une approche statistique qui suppose que l énergie réverbérée est uniformément répartie dans la salle. Or, pour que l énergie ait le temps de se distribuer régulièrement dans la salle, il faut que l absorption soit faible. Le modèle d Eyring est fondé sur une approche microscopique. Plutôt que de considérer que l énergie réverbérée est absorbée de la même manière dans toutelasalle,laméthoded Eyringconsisteàsuivreleparcoursd unrayonsonoreàtraversla salle et à calculer l énergie absorbée lors de chaque réflexion.

116 5.2 Formule d Eyring LaformuledutempsderéverbérationTR e d Eyringestalors: TR e = S 0,16V ln(1 α) Si l absorption de la salle est très faible (α 0), comme α>0, on a que ln(1-α) 0 tout en restant négatif. Cela implique que TR e +, comme dans la formule de Sabine, ce qui est cohérent. Si l absorption est très forte (α 1), ln(1-α) - et donc TR e 0, ce qui est logique, puisque si la salle absorbe toute l énergie réverbérée, le TR est nécessairement nul.

117 5.3 comparaison sur un exemple des modèles de Sabine et d Eyring Pour une salle de dimensions m 3, on a alors un volume V= 3750 m 3 et une surface S=1550 m 2. Pour chaque coefficient d absorption α, on peut calculer le TR par les deux formules: OnvoitquelaformuledeSabinesurestimeletempsderéverbération,etced autantplusque l absorption est forte. Si le coefficient d absorption moyen est inférieur à 0,2, on peut se contenter de la formule de Sabine. Pour les fortes absorptions, seule la formule d Eyring donne des résultats acceptables.

118 5.4 établissement de la formule d Eyring Lathéoried Eyringconsisteàsuivreunrayonsonorelorsdesontrajetdanslasalle. AppelonsE 0 l énergied unrayonsonore,et αlecoefficientd absorptionmoyendesparois. Au cours de la première réflexion, une fraction α de l énergie initiale est absorbée, et on perd doncuneénergie αe 0. E α E = (1 α) E Après cette première réflexion, il reste donc une quantité d énergie: Lors de la deuxième réflexion, une fraction α de l énergie restante est absorbée, c est-à-dire une quantité d énergie: α(1 α)e 0 Après la deuxième réflexion, il reste donc une énergie : (1 α) E α(1 α) E = E (1 α) En poursuivant le raisonnement, on peut dire qu après N réflexions, il reste une énergie : E α 0 (1 )N Si n est le nombre de réflexions par secondes, après un temps t, il s est produit N=n.t réflexionsetilrestedoncuneénergie: E α. t 0 (1 )n En particulier, après un temps TR, l énergie restante vaut:. 2 E α TR 0 (1 )n

119 Jusqu ici, on a considéré un seul rayon sonore, mais on peut faire le même raisonnement avec touslesrayonssonoresdelasalle. AppelonsL 0 leniveauàl instantoùl oncoupelasourceetl(tr)leniveauaprèsuntempstr. PardéfinitionduTR,ona: avec : L0 L( TR) = 60dB Ir ( TR) L( TR) = 10 log = 10 log I 0 E 0 (1 α) n. TR et : E0 L = 10log n TR 10 log(1 α) = 60 On trouve donc finalement l équation :. ou encore, en éliminant le logarithme décimal au profit d un logarithme népérien(en utilisant logx=lnx/ln10): Autrement dit : n. TR ln(1 α) = 6ln10 ntr..ln(1 α) 13,8 En se rappelant que le nombre moyen de réflexions par seconde nvaut : c. S n = 4. V on obtient finalement la formule d Eyring: 13,8.4. V 0,16. V TR = = c. S.ln(1 α ) S ln(1 α )

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121 5.5 calcul de l intensité réverbérée et du niveau de pression en phase stationnaire dans le modèle d Eyring On part de la relation : P = αp + nαv ε R qui exprime que la puissance totale de la source P est la somme de la puissance perdue au cours de la première réflexion et de la puissance dissipée au cours des n réflexions suivantes (avec n =cs/4v) On tire donc, pour la densité d énergie du champ réverbéré ε R : ε R P(1 α) 4 V P(1 α) 4 (1 α) 4 P = = = P = nαv Sc αv c Sα cr où l on a posé : Sα R= 1 -α L intensité réverbérée vaut donc: I r ε Rc P = = 4 R Cette relation est tout à fait analogue à celle donnant l intensité du son réverbéré en phase stationnaire dans le modèle de Sabine, mais le coefficient R a remplacé l absorption A.

122 Comme la pression réverbérée est liée à l énergie réverbérée par l équation : P(1 α) 4 pr = 4ρ0cIr = ρ0c ε R = ρ0c = Pρ0c S α R on trouve pour le niveau en pression : L p p p = 20log = 20log = 10log r r r p, r 5 5 p pr 4Pρ0c 1600P = 10log = 10log = 10log R 4.10 R P 4 P = 10log = 10log + 10log 4 10logR R 10 = L logr W À nouveau, on trouve une formule identique à celle obtenue dans le modèle de Sabine, ensubstituantlefacteurràl absorptionadelasalle. 2

123 5.6 Autres formules dans la théorie d Eyring Dans la théorie d Eyring, on définit une grandeur appelée absorption équivalente d Eyring (notéeretsemesurantcommeaenm 2 )etvalant: S. α R= 1- α De manière générale, on obtient dans le modèle d Eyring les mêmes formules que celles obtenuesdanslathéoriedesabine,àconditionderemplacerpartoutaparr. Par exemple, l intensité réverbérée vaut : P I r = R Le niveau de pression réverbérée vaut : L, = LW logr p r où L W désigne comme d habitude le niveau de puissance: L W P = 10log Le niveau de pression totalvaut : Et la distance critiquevaut : r C RQ RQ = 16π 50 L Q = L + 10log + 4 π r p, tot W 2 4 R

124 La constante d Eyring R varie avec α : pour R élevé, le champ réverbéré sera plus faible et nous aurons affaire à une pièce (ou une salle) «morte», tandis que pour R faible, le champ réverbéré sera important et la salle«vivante».

125 6 Exercices 1. On désire traiter une salle afin de réduire son temps de réverbération, en utilisant un matériau absorbant, de coefficient d absorption α m inconnu. Pour évaluer ce coefficient, on pose une surface de 5m 2 du matériau à plat sur le plancher d une salle réverbérante, de dimensions m. Lorsque la salle réverbérante est vide, son TR est de 4,5s. Lorsquelematériauestposésurlesol,leTRpasseà3,1s. Quelle formule pour les TR faut-il utiliser, justifiez. Déduisezlavaleurde α m.(rép.:0,82). La salle que l on souhaite traiter est destinée à accueillir des conférences. Ses dimensions sont m et son TR est de 4s. Sachant que cette salle doit posséder un TR de 0,8s pour que la voix parlée y soit suffisamment intelligible, déterminer la surfacedematériauabsorbantàyplacer.(rép.:216m 2 ). 2. Une salle possède un volume de 750 m 3 et la somme des surfaces internes est de 550 m 2. Les murs sont constitués d un bois dont le coefficient d absorption vaut α mat =0,15. Un des murs est orné d une draperie en coton de dimensions 6 4 m et de coefficient d absorption α p =0,7.Lepropriétairesouhaiteenleverladraperiemaisvoudraitauparavant savoir si cela aura des conséquences sur l acoustique de la salle. CalculerleTRensupposantladraperieôtée.(Rép.:1,45s). Calculer le taux de variation du TR, et sachant que le seuil relatif de discrimination du TR (plus petite variation perceptible) est de l ordre de 4%, en déduire si l absence de draperie modifie la réverbération perçue(rép.: 16%, oui).

126 3. Une source omnidirective de puissance 1 mw est placée dans une salle. On mesure alors dans cette salle un niveau réverbéré de 75 db. En supposant que l absorption est suffisamment faible pour pouvoir utiliser la théorie de Sabine, Calculerl absorptiondelasalle.(rép.:126m 2 ). Déduisez-en la distance critique.(rép.: 1,6 m). A quelle distance maximum faut-il se placer pour que le rapport Dir/Rev reste supérieurà-15db?(rép.:8,9m). 4. On organise un congrès dans une salle de dimensions m dont le TR vaut 1,2s. Les orateurs sont amplifiés à l aide d un haut-parleur. Quel doit être le niveau de puissance de ce haut-parleur pour qu il produise un niveau réverbéré de 70 db? (Rép. : 93 db dans la théorie de Sabine et 94 db dans la théorie d Eyring). Silefacteurdedirectivitéduhaut-parleurestQ=2,quelniveaudoit-ilproduireà1men champlibre?(rép.:85db). Les conférences sont retransmises dans une salle voisine, de dimensions m et de TR=0,7s. Calculer le niveau de puissance à donner au haut-parleur placé dans cette salle pour que le niveau réverbéré y soit de 70 db (on suppose que le haut-parleur possède un facteur de directivité Q=2). Déduisez-en le niveau que ce haut-parleur doit produireà1menchamplibre.(rép.:81db,73db).

127 5. Une salle réverbérante de coefficient d absorption α=0,05 contient une source qui produit un niveau de pression de 90 db. On supposera que ce niveau de pression est uniquement dû au champ réverbéré(le champ direct est supposé négligeable) Calculer le niveau de puissance acoustique de la source et la puissance acoustique de la source en sachant que la surface d absorption équivalente de la salle est A=100m 2. Laconstantedetempsestde1/4desecondes.EndéduirelevolumeVdelasalle. 6. Unesallededimensions20x14x12m,dontleRT 60 =1,65s.Onmesure85dB(leniveau sonore en pression) à 1,5 mètres d une source placée dans la salle. On se placera dans l hypothèse de Sabine. Déterminer la surface d absorption équivalente de la salle A. En déduire le coefficient d absorption α. Calculer la puissance de la source. Aquelledistancea-t-onunniveauglobalde83dB? Quedevientcettedistancesionseplaceenchamplibre?

128 7. Onmesureunniveaude101dBà2,5mètresd unesourceenchamplibre. Calculer le niveau de puissance de la source ainsi que le niveau de pression à 15 mètres en champ libre. On place la source précédente dans une salle de dimensions 15x7x6 mètres. On mesure un niveaudepressiontotalde102dbà5mètresdelasource. En se plaçant dans l hypothèse d Eyring, calculer la surface d absorption équivalente de lasallea,lecoefficientd absorptionmoyenαetlert 60. Aprèsmodification,leRT 60 delasallepasseà2s. En se plaçant dans l hypothèse de Sabine, calculer le niveau de pression réverbérée dans la salle quand la source précédente est en régime permanent. Le RT 60 est toujours de 2s. On se placera également dans l hypothèse de Sabine pour cettequestion.onfaitentrer30personnesquioccupent20m2delasurfaceausol.le RT60passeà1,8s. a.evaluerl absorptionparm2dueàlaprésencedepersonnes b.quelseralert 60 pourunremplissagedelasalleà90

129 8. On désire corriger le niveau acoustique dans un local de dimensions suivantes : longueur L=10m, largeur l=6m et hauteur h=3m. Les ouvertures se composent de la façon suivante : 4 portes en bois de surface 3 m 2 chacune et 6 fenêtres de 3,5 m 2 chacune. Les sons sont étudiésàlafréquencede1000hz. On donne les coefficients d absorption α à la fréquence de 1000 Hz des matériaux revêtant les surfaces de ce local. Vérifier si l on peut se placer dans l hypothèse de Sabine. Déterminer la surface d absorption équivalente de la salle A pour le local étudié. Calculer le temps de réverbération du local RT60. Ce temps de réverbération est trop grand. On souhaite le corriger en le ramenant à RT60 = 0, 7s. Déterminer la nouvelle surface d absorption équivalente A. Peut-on toujours considérer que nous sommes dans l hypothèse de Sabine? On effectue cette correction en recouvrant la totalité du plafond d un matériau absorbant. Quel matériau, pris dans le tableau ci-dessous, faut-il choisir pour obtenir cette correction?