Statistiques à deux variables

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1 Mathématiques :! Statistiques et porbabilités Activité 1 : Consommation d énergie 2 Activité 2 : nage libre 4 Cours 5 Exercices 6

2 Activité 1! Activité 1 : Consommation d énergie Objectif : Utiliser un ajustement affine avec la calculatrice. Situation : Pendant 6 semaines d hiver, chaque semaine, on a enregistré la température moyenne relevée à 7h du matin et la consommation hebdomadaire de fioul d un établissement scolaire. Les résultats sont les suivants. Températures relevées en C (xi) Consommation de fioul en L (yi) Entrer les données de ce tableau dans la calculatrice, en mettant en list 1 les valeurs des températures et en list 2 les consommations de fioul. 2. Utiliser la calculatrice pour représenter graphiquement la série statistique à deux variables. 3. Le mode statistique de la calculatrice permet de connaître l équation y = ax + b de la droite d ajustement affine. a) Indiquer les valeurs de a et de b à l unité près. b) Ecrire l équation de cette droite. 4. Utiliser l équation de cette droite pour déterminer la consommation hebdomadaire de fioul lorsque la température est de 6 C. 5. Une période de grand froid est annoncée et le gestionnaire veut prévoir la consommation de fioul. La température moyenne prévue est de -10 C. Calculer la consommation de fioul prévisible à 10L près. 2

3 On cherche à représenter le nuage de points, à tra l équation de cette droite. Activité 1! Utilisation de la calculatrice Méthode CASIO Méthode Rentrer TI les valeurs des rangs dans la liste L1. Paramétrer le Graph1. Rentrer les prix dans la liste L2. le menu STAT Choisir Entrer les valeurs xi dans la Entrer les valeurs yi dans la puis EDIT puis 1:EDITProet Terminale Touche appuyer sur ENTRER. et les valeurs Y le Graph1. Mettre les valeurs X dans L1 Paramétrer dans L2. Régler les paramètres de l avec la touche Choisir Puis choisir ) Regler la fenetre d affichage (touche grâce aux valeurs duprix tableau ou automatiquement Rentrer les dans la liste L. 2 Paramétrer le Graph1. «zoomstats». Utilisation de la TI 82 Stats.fr avec les statistiques à deux avec variables 1/3 Choisir alors le menu Paramétrer le Graph1. Régler les paramètres de la f Appuyer sur menu comme ci-dessous. pour paramétrer le On cherche les coefficien Puis appuyer sur Régler les Afficher paramètresle degraphique la fenêtre. avec la droite de tendanc Afficher le graphique avec la touche Onavec cherche les coefficients Utilisation de la TI 82 Stats.fr les statistiques à deux variad Régler les paramètres de la fenêtre. Pour calculer les coefficients de la droite, on obtient En appuyant sur Termina! Terminale Pro de trouver les co Remarque : la calculatrice permet d ajustement On affine, dans de la droite puis cherchealler les coefficients de tendance. Choisir Utilisation de la TI 82 Stats.fr CALC puis 4:REGLIN. Choisir ax+b On obtient les coefficients a et b de l équation de la droite d ajustement. Afficher le graphique avec la droite de tendance. Utilisation de la TI 82 Stats.fr avec les statistiques à deux variables Utilisation de la TI 82 Stats.fr av Pour faire afficher la droite, retourner dans On cherche les coefficients la droite de tendance. Afficher le graphique avec ladedroite de tendance., on trace cette En appuyant sur droite. Interprétation des résultats obtenus par la ca 3 Remarque : la calculatrice permet de trouver les coordonnées du point moyen. Les coordonnées du point moyen G sont (5,5 ; 4 L équation de la droite de tendance est y = 0,30

4 Activité 2! Objectif : Aborder la notion de point moyen. Activité 2 : nage libre Situation : Le tableau ci-dessous donne, pour les épreuves des championnats de France de natation de 2010, le classement et les caractéristiques des 6 meilleurs nageurs. Quel est le profil moyen (masse et taille) d un nageur du 50 m? Est-il judicieux de réaliser un ajustement affine? Nageurs du 50 m Nom Prénom Temps Masse (kg) Taille (cm) BOUSQUET Frédéric GILOT Fabien BERNARD Alain LEVAUX Amaury STEIMETZ Boris MAITRE David Suivre le protocole ci-dessous pour calculer la masse et la taille moyenne d un nageur du 50m nage libre. Avec une Casio : Activer le menu STAT et saisir les masses des nageurs dans la liste L1 et leurs tailles dans la liste L2. Taper ensuite F2 (CALC) et F2 (2VAR). Avec une TI : Taper STATS puis 1 et saisir les masses dans nageurs dans la liste L1 et leurs tailles dans la liste L2. Ensuite dans STATS, se déplacer sur CALC puis «2:Stats2-var», 2NDE 1 («L1»), «,», 2NDE 2 («L2»). Puis ENTRER. Lire les valeurs de la masse et de la taille moyenne : x =... ; y = Représenter le nuage de points des couples (masse, taille) des nageurs de 50m. 3. Réaliser l ajustement affine. La droite d ajustement passe-t-elle par le point moyen? Justifier la réponse à la problématique par un ou plusieurs exemples 4

5 Exercices! Cours I. Série statistique à deux variables Une série statistiques qui possède deux caractères quantitatifs est dite à deux variables. Ces valeurs sont de la forme (xi ; yi). Si un caractère est une mesure du temps, la série est dite chronologique. II. Nuage de points Dans un repère orthonormal, à chaque couple (xi ; yi), est associé un point Mi de coordonnées (xi ; yi). L ensemble des points obtenus s appelle un nuage de points. Le point moyen du nuage est le point G de coordonnées (x; y), avec : x = moyenne des abscisses : x = x 1 + x x n N y = moyenne des ordonnées : y = y 1 + y y n N (N = Nombre de points) III. Ajustement affine Lorsque les points du nuage d une série statistique (xi ; yi) sont approximativement alignés, on réalise un ajustement affine (ou régression linéaire). Cela consiste à déterminer l équation de la droite y = ax+b telle que sa représentation graphique passe au plus près de l ensemble des points de la série. Remarque : le point moyen G appartient à cette droite. En utilisant une droite d ajustement, pour une valeur de x donnée, on peut réaliser une estimation de la valeur correspondante de y : - par interpolation lorsque la valeur de x donnée appartient à l intervalle des valeurs de xi ; - par extrapolation lorsque cette valeur est à l extérieur de cet intervalle. La calculatrice ou le tableur permettent : - d afficher un nuage de points ; - d obtenir les coefficients de l équation d une droite d ajustement ; - d ajouter le tracé de cette droite sur le graphique du nuage de points. 5

6 Exercices! Exercices Exercice 1 : Un automobiliste gravit le col le plus élevé d une région montagneuse. Disposant d un altimètre et d un thermomètre, il reporte ses observations dans le tableau suivant. Altitude (en km) xi 0,4 0,8 1,2 1,5 1,9 2 Température (en C) yi 8,5 6,5 3 1, Représenter sur l écran de la calculatrice le nuage de points de la série statistique (xi ; yi). 2. A l aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série. Exercice 2 : Le tableau suivant représente, pour les six dernière années (variable x) le taux de scolarisation à 20 ans (variable y), d une région de France. xi yi 52,1 % 52,4 % 52,7 % 52,9 % 53 % 53,1 % On admet qu un ajustement affine est pertinent pour la série statistique (xi ; yi). A l aide de la calculatrice, représenter le nuage de point et déterminer une équation de la droite d ajustement de cette série. Exercice 3 : Depuis 5 ans, une collectivité territoriale s intéresse à la quantité annuelle de déchets recyclés, en particulier l aluminium. Cette collectivité dispose des données présentées dans le tableau suivant. Années xi Aluminium recyclé (en tonnes) yi Sur la calculatrice, représenter le nuage de points de la série statistique. 2. Indiquer pourquoi un ajustement affine est envisageable. 3. Déterminer avec la calculatrice l équation y=ax+b d une droite d ajustement du nuage de points de la série statistique (xi ; yi). 4. Tracer cette droite sur le graphique. 5. A l aide de cette équation, estimer la quantité d aluminium qui sera recyclé l année Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation? Justifier. 6

7 Exercices! Exercice 4 : Le tableau suivant recense, par clinique, le nombre de postes de personnel en fonction du nombre de lits de la clinique : Clinique C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 Nb de lits X Nb de postes Y Construire le nuage de points Mi (xi ; yi) correspondant à cette série statistique. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage 3. Un ajustement affine est-il envisageable? justifier. 4. Déterminer l équation de la droite d ajustement affine. Tracer la droite sur le graphique. 5. Une clinique possède 25 lits. En utilisant les résultats de la question 3, à combien peut-on estimer, par calcul, le nombre de postes de personnel. 6. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation? Justifier. 7. Une clinique possède 112 lits. En utilisant les résultats de la question 3, à combien peut-on estimer, par calcul, le nombre de postes de personnel. 8. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation? Justifier. 7