Un environnement sous Matlab, Octave, Scilab: SAISIR. Philosophie MATLAB Un peu d interfaces sous Matlab Rappels d éléments mathématiques minimum

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1 Un environnement sous Matlab, Octave, Scilab: SISIR ère Partie (h3) Philosophie MTLB Un peu d interfaces sous Matlab Rappels d éléments mathématiques minimum ère Partie (h3) Quelques fonctions importantes de chimiométrie sous SISIR nalyse en Composantes Principales nalyse discriminante Régression linéaire Christophe CORDELL Ingénieur de Recherche INR/groParisTech Ingénierie nalytique pour la Qualité des liments UMR45 INR, 6 rue Claude Bernard, 755 PRIS Paris, le vril 5

2 Rappel de la philosophie MTLB Matlab MTrix LBoratory Environnement de calcul scientifique Interpréteur de code : - en ligne de commande - exécution de scripts (fichiers.m ou.p ou.mex) Compilateur grâce à un compilateur C associé : besoin du MCR production de fichiers : EXE, DLL, MEX Matlab est composé d une base et d un grand nombre de toolboxes spécialisées ujourd hui (5) : 56 toolboxes dans la familles des produits Matlab domaines couverts 37 toolboxes dans la familles des produits Simulink 8 domaines couverts éditeur de calcul symbolique MuPD

3 Familles Matlab Calcul Parallèle () Mathématiques, Statistiques et Optimisation (8) Systèmes de contrôle (7) Traitement du signal et communications (8) Traitement d image et Vision O (5) Test et mesure (5) Mathématiques financières (7) Biologie computationnelle () Génération et Vérification de Code (6) Déploiement d applications (4) ccès aux bases de données et Reporting () Familles Simulink Modélisation événementielle () Modélisation physique (7) Systèmes de contrôle (4) Traitement du signal et communications (4) Génération de code (8) Simulation en temps réel et test () Vérification, validation et test (7) Résultats graphiques de simulation et Reporting (3) Symbolic Math Toolbox Partial Differential Equation Toolbox Statistics Toolbox Machine Learning Toolbox Curve Fitting Toolbox Optimization Toolbox Global Optimization Toolbox Neural Network Toolbox Model-Based Calibration Toolbox Image cquisition Toolbox Image Processing Toolbox Computer Vision System Toolbox Vision HDL Toolbox Mapping Toolbox Data cquisition Toolbox Instrument Control Toolbox Image cquisition Toolbox OPC Toolbox Vehicle Network Toolbox Bioinformatics Toolbox SimBiology 3

4 Un peu d interface : fenêtre principale 4

5 Un peu d interface : demander de l aide sous MTLB Help en ligne de commande Format : help + nom de la commande Matlab ide fenêtrée Format : doc + nom de la commande Matlab 5

6 Un peu d interface : commandes très courantes load save clear et clear nom_de_variable close all figure figure(gcf) plot imagesc imshow openvar dir who et whos ls which Charger un fichier Sauvegarde données Efface toutes/la variable du WP Ferme toutes les figures Crée une fenêtre pour graphe ffiche en avant la figure courante Représente les données en courbe ffiche données dans fenêtre + échelle couleurs ffiche une image dans une fenêtre ffiche une variable dans l éditeur de matlab Liste structurée des fichiers Liste les variables du workspace Liste (non structurée) des fichiers du répertoire Rechercher l emplacement D un fichier sur le disque dur 6

7 Unité de base : le tableau Scalaire tableau de dimension Vecteur tableau de dimension Matrice tableau de dimension ou plus Orientation des éléments ordonnés : en colonne Esprit Matlab Vrai en général surtout pour les fonctions graphiques Mais pas pour toutes les fonctions de calcul 7

8 Session de formation groparistech Orientation des éléments ordonnés : en colonne Exemple : fonction plot plot(spectra.d) plot(spectra.d ) Transposition du tableau de spectres Christophe Paris, CORDELL, le vril 5 La fonction plot «orientée colonnes» 8

9 Orientation des éléments ordonnés : en colonne Exemple : eig Contre exemple : (orientée-lignes) svd Indexation des matrices En colonne Bataille navale possible : 9

10 Philosophie de la syntaxe Matlab Sortie Entrée Ce que l on veut créer dans le workspace Eléments déjà présents dans le WP et qui doit servir à faire quelque chose Ex.: créer un vecteur, créer une matrice, réaliser une opération X :.:*pi; cos (x); B sin (x); C + B;

11 Philosophie de la syntaxe Matlab X :.:*pi; cos (x); B sin (x); C + B; figure; plot(,'r'); hold on; plot(b,'b'); plot(c,'m'); legend(' cos(x)','b sin(x)','c + B');

12 Matlab : un environnement entièrement objets Le HNDLE nombre associé à un objet en mémoire accès à toutes les propriétés d un objet h figure; plot(,'r'); hold on; plot(b,'b'); plot(c,'m'); legend(' cos(x)','b sin(x)','c + B'); get(h)

13 Matlab : un environnement entièrement objets R G B set(h, Color, [.5 ]); Figure(gcf); h gca; set(h, Color, [ ]); Propriétés de la figure du graphe ( Currentxes ) 3

14 Matlab : un environnement entièrement objets ccès aux propriétés d un objet : syntaxe générale set(hndle, Nom_propriété, valeur); Le type de «valeur» dépend du type de la propriété Ex. : Propriété valeur Color Vecteur [R G B] FontSize Integer LineWidth Integer FontName, FontWeight String MarkerFaceColor Vecteur [R G B] 4

15 Matlab : quelques références pour avancer et approfondir Livre Internet 5

16 Thèmes principaux à maîtriser pour la chimiométrie pplication de fonctions sur des matrices Gestion de fichiers de données Représentations graphiques Chimiométrie Statistiques Valeurs Propres, Vecteurs propres Opérations sur les matrices Décomposition de matrices lgèbre linéaire Statistiques élémentaires 6

17 Rappels sur les matrices et le calcul matriciel Matrice n x m, définition : R ou C Une matrice m x n dans est un tableau de m x n nombres réels répartis En m lignes et n colonnes. Soit une telle matrice. On note : Soit L élément de matrice est noté aussi On dit que est de type m x n ou de dimension m x n Lorsque m n, est dite rectangulaire Lorsque m n, est dite carrée 7

18 Diversité des matrices Matrice : Rectangulaire m x n m x n, avec mn Carrée Symétrique Hermitienne Triangulaire Identité Diagonale Si t / diagonale Et si carrée et symétrique Seuls les a ij avec j i ou i j sont non nuls Seuls les a ii Notée Diag(,,., ) Ø Partout ailleurs Seuls les a ii sont non nuls Ø Partout ailleurs 8

19 djointe Matrice : jointe de ou comatrice de matrice carrée d ordre n notée com() ou dj () et définie par : Où est le cofacteur de l élément a ij de défini à partir du mineur

20 djointe jointe de ou comatrice de vec M : mineur Exemple :

21 Opérations sur les matrices o ddition et soustraction de matrices Soit matrices n x m, la matrice C + B est la matrice La somme est commutative : + B B + La somme est associative : + (B + C) ( + B) + C Les matrice, B et C doivent avoir les même dimensions o Multiplication par un scalaire Ex. :

22 Opérations sur les matrices o Transposition Soit une matrice carrée ou rectangulaire, on appelle matrice transposée de la matrice notée. Les éléments de s obtiennent en échangeant les lignes et les colonnes de. Si est carrée, l échange revient à une symétrie / diagonale Si est carrée et symétrique, alors Sous matlab: t se note carrée Carrée et symétrique

23 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices Soit ( aik ) et B ( bkj ) deux matrices m x p et p x n, respectivement. C B avec c ij est p k C (c a ik b kj ij ) où i,,..., m et j,,..., n Situation : vec vecteurs x ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) Scalaire 3

24 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices Situation : vec vecteurs x ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) Scalaire Exemple : a b ( ( 6 3 8) 4) a. b' 4 ( 6 8 )

25 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices Situation : vec vecteurs x Matrice Exemple : a b ( ( 6 3 8) 4) a'.b 6. 8 ( 3 4)

26 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices vec matrices Situation 3 : p n x Matrice m x n ( matrice carrée) m p Situation 4 : n p x Matrice p x p ( matrice carrée) p m 6

27 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices vec matrices Exemple Situation 3 : a b a. b a. b (3 + 8) (9 + 4) (6 + 6) (8 + 48) Exemple Situation 4 : a b b. a 4 b. a (3 + 8) (4 + 4) (6 + 36) (8 + 48) 7

28 Opérations sur les matrices o Multiplication de vecteurs et de matrices De ces exemples, on tire la propriété suivante : Dans le cas des matrices carrées, le produit n est pas commutatif en général, c est-à-dire que B B. Propriétés complémentaires : Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. I I et où I est la matrice identité ou unité et est la matrice nulle. Le produit de matrices non nulles peut être une matrice nulle. Le produit est distributif (à droite et à gauche) par rapport à l addition, c est-àdire que : (B + C) B + C et ( + B)C C + BC Le produit est associatif, c est-à-dire que : (BC) (B)C 8

29 Opérations sur les matrices o Produits de matrices souvent utilisés en chimiométrie X t. X Sur X centrée point de départ pour l CP pour le calcul des scores X.X t ppelée matrice de Gram, et est égale à la matrice de variance/covariance (toujours lorsque X est centrée). Symétrique, la diagonale comporte la valeur des variances, les autres positions sont les covariances v cov cov cov v cov cov cov v Sur la matrice X centrée point de départ pour l CP pour le calcul des loadings Lorqu on transpose X, on a : t t t t X. X ( X ).( X ) X. X t 9

30 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée Définition : qu est-ce qu une matrice inverse? Une matrice est dite inverse de si elle vérifie l équation :. I ou I On note la matrice inverse : Exemple :.5 On peut vérifier que.5 ( + *.5) ( + (*.5) ) ( + ) ( + ).5 I.5 3

31 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Méthode par le pivot de Gauss (élimination de Gauss-Jordan) Méthode par l adjointe 3

32 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Méthode par le pivot de Gauss ou élimination de Gauss-Jordan Permet de déterminer : - les solutions d'un système d'équations linéaires, - le rang d'une matrice, - calculer l'inverse d'une matrice (carrée) inversible. on crée une matrice à n lignes et n colonnes en bordant la matrice par, ce qui génère une matrice. [ I] Si la matrice d'entrée est inversible, l'application de la méthode de Gauss-Jordan sur la matrice [ I] aboutira à I : soustractions/additions de lignes [ ] I n I Ex. : [ ] [ ] I

33 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Méthode par le calcul de l adjointe Nécessite de savoir calculer le déterminant + - a c b d (Règle de Sarrus) det m k det ( ) ( ) + k + a k det k a.det( d) + ( ) k indice de la colonne + dj( ) det b.det( c) ad bc a d g b e h c f i det + ( ) + 3 ( ) d g + e a.det h e a( ei h f i + ( ) + fh) b( di d b.det g f i fg) + c( dh eg)

34 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Quelques propriétés du déterminant d une matrice carrée Sa valeur ne change pas si on échange les lignes ou les colonnes C est-à-dire que : det t det Son signe change lorsqu on échange lignes ou colonnes Il est nul s il contient lignes ou colonnes identiques Ou bien si lignes ou colonnes sont proportionnelles. det λ λ det Sa valeur ne change pas si on ajoute ou soustrait à une ligne ou une colonne les éléments d une autre ligne ou d une autre colonne multipliés par un scalaire Si est diagonale, det a ij i j 34

35 Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Quelques propriétés du déterminant d une matrice carrée (suite) det( B) det det( ) det. det B Soit et B S S deux matrices semblables et si S - existe det B det( S ).det( ).det( S) det( ) Conclusion : matrices semblables ont même déterminant insi comme on l a vu précédemment T et ont même déterminant, elles sont donc semblables 35

36 36 Session de formation groparistech Opérations sur les matrices o Inversion d une matrice carrée : Comment calculer? Méthode par le calcul de l adjointe Exemple : det ) ( 4 det ) ( det ) ( 9 ) det(, ) (, M M M dj det ) ( dj dj det ) (

37 Eléments propres d une matrice o Valeurs propres et vecteurs propres (Essentiels en chimiométrie) Définition: soit une matrice m x m. S il existe un vecteur u (m x ) tel que : u λ u avec λ C, R On dit alors que u est vecteur propre de et que λ en est la valeur propre. vecteur propre valeur propre Eléments propres d une matrice 37

38 Eléments propres d une matrice o Valeurs propres et vecteurs propres : comment les calculer? Polynôme caractéristique Une matrice (m x m) admet m valeurs propres qui sont les racines (solutions) de l équation : det( λi) Equation caractéristique ou séculaire Déterminant caractéristique ou séculaire P m m m λ) λ + am λ aλ + ( a 38

39 Eléments propres d une matrice o Valeurs propres et vecteurs propres : comment les calculer? 3, det( λi) det( λi) ( + λ) λ 3 λ ( + λ) (( λ) ) Polynôme caractéristique d ordre 3 Les solutions sont : λ, λ λ3 (racine double) valeurs propres de cette matrice 39

40 4 Session de formation groparistech Eléments propres d une matrice o Valeurs propres et vecteurs propres : comment les calculer? (racine double), 3 λ λ λ 3 et, z z z w y y y v x x x u, 3 3 On cherche : ) ( 3 ) ( ) ( x x x x x λ λ λ partir du système d équations pour chaque valeur propre :, 3 w et v u, Mais, u, v et w ne sont pas orthogonaux car leur produits scalaire à ne sont pas égaux tous à.

41 Eléments propres d une matrice o Valeurs propres et vecteurs propres : comment les calculer? λ, λ λ3 (racine double) 3 u, v, et w Pour une base orthonormale il faudra choisir : u, v, et w Code Matlab : [V D] eig() V V : vecteurs propres D - D : valeurs propres 4

42 Prochain cours o Diagonalisation de matrices carrées o Décomposition en valeurs singulières o Triangulation d une matrice