Etude du téléphérique Vanoise Express

Transcription

1 Etude du téléphérique Vanoise Express I- PRESENTATION Noël 2003, le téléphérique Vanoise Express relie enfin les domaines skiables de La Plagne et Les Arcs, donnant naissance à paradiski, un domaine skiable de 425 km, le troisième plus grand de France. Le Vanoise Express est une prouesse technologique de 16.5 millions. C est le plus grand téléphérique de ce type jamais construit au monde. Il est réalisé par la société POMAGALSKI. C est un téléphérique sans pylônes, d une seule portée de gare à gare, ce qui permet de diminuer l impact sur l environnement et de préserver la beauté du paysage. L utilisation de cabines à deux étages permet de réduire le volume des cabines et des gares, améliorant l esthétique de l ensemble (voir photo 1). La solution retenue est constituée de deux lignes parallèles portant chacune une seule cabine. Contrairement à la plupart des téléphériques, les deux lignes sont entièrement indépendantes, ce qui signifie qu une cabine n est pas le contrepoids de l autre. Ainsi, en cas de problème sur une cabine, la liaison entre les deux stations n est pas interrompue. L étude qui suit ne porte que sur une seule ligne et donc une seule cabine. Photo 1 : cabine arrivant à La Plagne Photo 2 : vue d une ligne du téléphérique Câbles porteurs Cavalier Câble tracteur Le schéma de principe d une ligne est donné en annexe 1. La capacité de chaque cabine est de 200 personnes. La puissance installée de 1060 kw par cabine autorise un débit maximum de 1000 personnes à l heure dans chaque sens et par cabine. Chaque ligne est composée principalement de deux câbles porteurs (rails) et d un câble tracteur (voir photo 2) La particularité de ce téléphérique est que les deux gares reliées sont sensiblement à la même altitude (1630m pour Les Arcs et 1560 m pour La Plagne). Dans toute l étude qui suit, on négligera cette différence d altitude (voir photo 3). Photo 3 : vue de la vallée à survoler Altitude 1630 m Altitude 1560 m Survol maxi 380m Longueur de ligne 1830 m 1/9

2 II- PRESENTATION SYSML Le diagramme de définition de bloc ci-dessous permet de définir le contexte dans lequel se situe le téléphérique : Par ailleurs les deux diagrammes ci-après définissent partiellement le cahier des charges relatif aux deux exigences «Transporter les passagers» et «Assurer la sécurité». Exigence Id.1 «Transporter les passagers» : 2/9

3 Exigence Id.2 «Assurer la sécurité» : Première partie : étude des diagrammes SYSML Question 1 : Quelles sont les deux exigences prévues par le cahier des charges en cas de panne (électrique ou mécanique) des moteurs principaux? Préciser les deux éléments technologiques que le constructeur a mis en place pour satisfaire à ces exigences. Question 2 : Relever dans les diagrammes SYSML fournis la distance (que l on notera D 4 ) pendant laquelle la cabine est à petite vitesse avant d arriver en gare. III- PROFIL DE VITESSE D UNE CABINE La consigne de vitesse pour un trajet au départ des Arcs à destination de La Plagne est précisée sur le profil ci-dessous : 3/9

4 Deuxième partie : étude cinématique Question 3 : Calculer numériquement t 4 -t 3 pour respecter l exigence Id-2.1 «Eviter toute collision avec la gare». Question 4 : Calculer numériquement t 1. En déduire numériquement la distance parcourue D 1 dans la phase d accélération initiale pendant laquelle l accélération vaut a 1 = +0.4 m/s². Question 5 : Calculer numériquement t 3 -t 2. En déduire numériquement la distance parcourue D 3 dans la phase de décélération à a 2 = -0.4 m/s². Question 6 : Relever dans les diagrammes SYSML fournis la distance totale parcourue par une cabine d un coté à l autre de la vallée. En déduire alors numériquement t 2 -t 1. Question 7 : Calculer numériquement la durée totale t t depuis l ordre de départ jusqu à l ouverture des portes. Vérifier le critère du cahier des charges : «Durée d un trajet (de l ordre de départ jusqu à l ouverture des portes)» de l exigence Id.1. IV- ASSERVISSEMENT EN VITESSE DES MOTEURS ELECTRIQUES PRINCIPAUX Afin de respecter les consignes de vitesse pour un trajet entre Les Arcs et La Plagne, il est nécessaire que l asservissement de vitesse des moteurs à courant continu ait des qualités en précision, stabilité et rapidité. Notation : F(p) : transformée de Laplace de la fonction du temps f(t). u(t) : tension d alimentation des moteurs. i(t ) : intensité traversant un moteur. A e(t) : force contre électromotrice d un moteur. ω m (t) : vitesse de rotation d un moteur. c m (t) : couple d un seul moteur. u(t) c r (t) : couple de perturbation engendré par le poids du téléphérique dans une pente et par D l action du vent, ramené sur l axe des moteurs. R B i(t) L e(t) C Hypothèses et données : On suppose les conditions initiales nulles. Les deux moteurs sont et fonctionnent de manière parfaitement identique. Inductance d un moteur : L = 0, H Résistance interne d un moteur : R = 0,0386 Ω Coefficient de frottement visqueux équivalent ramené sur l axe des moteurs : f = 6 N.m.s/rad Moment d inertie total des pièces en rotation, ramené sur l axe des moteurs : J=800 kg.m² c = k i( t) avec k = 5,67 N.m/A (constante de couple d un moteur). m T T e = k E ωm avec k E =5,77 V.s/rad (constante électrique d un moteur). dωm Equation issue d une étude dynamique : 2 cm cr = J + f ωm dt 4/9 car deux moteurs

5 d i( t) Equation électrique : u = R i( t) + L + e( t) dt Troisième partie : étude de l asservissement en vitesse Question 8 : Justifier pourquoi on peut considérer que les conditions initiales sont prises nulles. Question 9 : Le schéma bloc de la double motorisation étant fourni ci-après, utiliser les équations données pour déterminer les fonctions de transfert G 1 (p), G 2 (p), G 3 (p) et G 4 (p) écrites dans le domaine de Laplace. Question 10 : Ω m (p) peut se mettre sous la forme : Ω m ( p) = F1 ( p) U ( p) F2 ( p) Cr ( p) Exprimer les fonctions F 1 (p) et F 2 (p) en fonction de G 1 (p), G 2 (p), G 3 (p) et G 4 (p). On donne en annexe 2 les résultats de mesures réalisées sur l ensemble de la motorisation constituée des deux moteurs à courant continu : la première courbe représente la réponse en vitesse à un échelon de tension u(t) d amplitude 100 V (le couple de perturbation c r (t) est nul). la seconde courbe représente la réponse en vitesse à un échelon de couple de perturbation c r (t) d amplitude 1000 N.m (la tension u(t) est nulle). Question 11 : Choisir et justifier un modèle d identification de ces deux fonctions (premier ordre, second ordre etc...). Déterminer numériquement les deux fonctions F 1 (p) et F 2 (p) par identification et préciser les unités des différents paramètres mis en place. Nous prendrons pour la suite les expressions suivantes : Le schéma bloc ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante : F 1 ( 0,2 p) = et 1+ 0,47 p F2 ( p) = 1+ 0,47 p Question 12 : En utilisant les expressions de F 1 (p) et F 2 (p) données, déterminer la valeur numérique des trois constantes B, D et T. 5/9

6 Quatrième partie : étude fréquentielle La motorisation modélisée précédemment est insérée dans une boucle d asservissement de vitesse. Par transformation du schéma bloc, le système est mis en retour unitaire. On obtient alors le résultat donné ci-dessous : La consigne de vitesse V c (p) est la variable d entrée (en m/s). La vitesse du téléphérique V(p) est la variable de sortie (en m/s). Pour la suite, on continuera avec les valeurs suivantes : A ' B = 3.10 s. N G = 6.10 s. N T = 0, 47 s C1 On suppose que le correcteur C(p) est un correcteur intégral : C( p) = p On étudie le système en l absence de la perturbation C r (p) c'est-à-dire : C r (p) = 0. Question 13 : Donner l expression littérale de la fonction de transfert en boucle ouverte du système, notée FTBO(p). Faire l application numérique pour C 1 =1. Question 14 : Toujours pour C 1 = 1 et sans perturbation (C r (p) = 0), tracer sur le document réponse les diagrammes asymptotiques de Bode de FTBO(p). On écrira la FTBO comme étant le produit d un intégrateur et d un premier ordre. Tracer ensuite l allure des courbes. Nota : ne pas oublier de justifier les tracés et d utiliser des couleurs. Question 15 : La FTBO est en fait un deuxième ordre, justifier pourquoi ce système n est pas résonant. Question 16 : En supposant toujours C 1 = 1 et C r (p) = 0, calculer la valeur de la pulsation pour laquelle le gain en db de la FTBO est nul, on appellera cette pulsation la «pulsation de coupure à 0dB» (notée ω 0dB ). Question 17 : En supposant toujours C 1 = 1 et C r (p) = 0, calculer numériquement la valeur de l écart statique ε s lorsque l entrée principale v c (t) est un échelon d amplitude V 2 = 12 m/s. Pour cela appliquer le théorème de la valeur finale en sortie du comparateur. Conclure quant à la qualité de la précision du système ainsi asservi. 6/9

7 ANNEXE 1 7/9

8 ANNEXE 2 Réponse en vitesse à un échelon de tension u(t) d amplitude 100 V ω m (t) en rad/s t en s Réponse en vitesse à un échelon de couple de perturbation c r (t) d amplitude 1000 N.m ω m (t) en rad/s t en s /9

9 DOCUMENT REPONSE Question 14 9/9