Exercices sur la relativité restreinte

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1 Exercices sur la relativité restreinte Exercice 1 : retour sur le cours 1) Donner le postulat d Einstein. 2) On considère un vaisseau spatial nommé enterprise dans lequel un photon fait un allerretour à la vitesse c grâce à un miroir en bout de vaisseau. L enterprise a un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d un second vaisseau (nommé faucon millenium ) comme ci-dessous. Le photon est émis lorsque l observateur B est juste au dessus de l observateur A, et réceptionné lorsque l observateur B est au dessus de A. 1) Soit ΔtB la durée d un aller-retour pour l observateur B. Exprimer ΔtB en fonction des données. 2) Soit ΔtA la durée d un aller-retour pour l observateur A. Exprimer ΔtA en fonction des données. 3) Exprimer v en fonction de L et d une durée donnée ci-dessus. 4) En déduire en fonction de c et v. 5) Qu appelle-t-on durée propre du phénomène? En déduire la relation entre la période propre et la période dans un autre référentiel en mouvement rectiligne uniforme. Exercice 2 : facteur de Lorentz 1) Calculer le facteur de Lorentz correspondant à la vitesse d un sprinter (10m.s-1). Commenter. 2) Existe-t-il des référentiels se déplaçant à une vitesse c? Justifier.

2 Exercice 3 : Soucoupe volante Une soucoupe volante survole la ville de Montréal à une vitesse constante égale à la moitié de la vitesse de la lumière. Sa trajectoire fait en sorte qu elle survole le stade olympique puis, quelques instants plus tard, la place Ville Marie. Dans le référentiel de la ville de Montréal, il y a 6,5 km entre le stade olympique et la place Ville Marie. 1) Combien de temps s est écoulé entre les deux survols dans le référentiel terrestre? 2) Combien de temps s est écoulé entre les deux survols dans le référentiel des passagers de la soucoupe? Exercice 4 : voyage voyage! Proxima du Centaure est l étoile la plus proche du Soleil : elle se situe à 4,22 années lumière de distance. Un astronef voyageant à vitesse constante prend 3 ans (d après les passagers) pour aller du Soleil à Proxima du Centaure. 1) Déterminer la vitesse de l astronef par rapport au Soleil. (on suppose que Proxima du Centaure est immobile par rapport au Soleil) Exercice 5 : Le paradoxe des jumeaux Le paradoxe des jumeaux est un problème théorique, basé sur une expérience de pensée, posé par Paul Langevin en 1911 afin de populariser les idées d Albert Einstein. Paul Langevin exposa ce problème pour la première fois à Boulogne lors d'une conférence à un Congrès de philosophie! Cette activité s inspire librement de l énoncé historique de Langevin.

3 Fixe et Mobile sont les prénoms de deux frères jumeaux. Ils habitent la planète Galileo, isolée dans l Univers, et dont on peut supposer que la surface définit un référentiel galiléen. Tandis que Fixe reste sur Galileo, son frère Mobile, lui, monte à bord d un véhicule qui se déplace à une vitesse, notée v 8 1 2,6 10 m s. Pendant 7 années, il s éloigne de Galileo. Pendant les 7 années suivantes, il revient voir son frère. Ces durées sont celles mesurées par Mobile. Question : au retour de Mobile, lequel des deux frères est le plus âgé? 1 ère partie : le paradoxe Mobile dit : «Je suis en mouvement à très grande vitesse par rapport à mon frère : le facteur de Lorentz vaut environ 2. Donc en vertu de la dilatation des durées, pendant que ma pendule effectue un tour, la sienne en effectue 2. Ainsi, à mon retour, mon frère sera deux fois plus vieux que moi!» Mais Fixe répond : «Je ne suis pas d accord! On peut très bien considérer que c est moi qui suis en mouvement à la vitesse v par rapport à mon frère! Donc de mon point de vue, c est la durée mesurée par lui qui est dilatée! Et donc pendant que ma pendule effectue un tour la sienne en effectue deux, c est donc lui qui reviendra deux fois plus âgé que moi!» Questions : (a) Vérifier l affirmation de Mobile : «le facteur de Lorentz vaut environ 2». (b) À propos de la citation de Mobile : «pendant que ma pendule effectue un tour, la sienne en effectue 2» : nommer les deux événements entre lesquels Mobile mesure une durée, préciser quel est leur référentiel propre. (c) De même, nommer les deux événements considérés par Fixe et préciser quel est leur référentiel propre. (d) Tant que le mouvement relatif des deux frères est rectiligne uniforme, peut-on donner raison à l un des deux frères? 2 ème partie : une solution pour lever le paradoxe (a) On rappelle que la relation entre durée propre et durée impropre vue dans le cours de terminale est valide si : la durée impropre est mesurée par une horloge liée à un référentiel galiléen ; le référentiel propre est en mouvement à une vitesse constante par rapport au référentiel impropre. Montrer que, dans le cas d un trajet aller-retour, ces hypothèses permettent de donner raison à l un des deux jumeaux.

4 (b) Un calcul simpliste : Le calcul rigoureux de la différence d âge entre les deux jumeaux nécessite de tenir compte des accélérations subies par Mobile, ce qui dépasse le cadre abordé ici. Cependant on peut estimer cette différence en supposant que les phases d accélération sont instantanées. On envisage, dans ce but, le scenario suivant (en gardant bien à l esprit qu il s agit d une expérience de pensée) : Instantanément, Mobile saute dans un véhicule, en mouvement rectiligne uniforme à la 8 1 vitesse v 2,6 10 m s par rapport à Galileo. Ce véhicule est muni d une horloge. Mobile voyage à la vitesse v constante par rapport à Galileo jusqu à ce que son horloge lui indique qu il voyage depuis 7 années. Au bout d une durée égale à 7 années (mesurée à l aide de l horloge qu il a embarquée), Mobile saute instantanément dans un autre véhicule, lequel voyage à la vitesse 8 1 v 2,0 10 m s dans le sens opposé au précédent, en mouvement rectiligne uniforme par rapport à Galileo. 7 années plus tard, lorsqu il croise son frère à nouveau, il saute de son véhicule pour le rejoindre et s immobilise instantanément par rapport à lui. Calculer, d après ce scenario et en tenant compte de la réponse (a), les durées t et t, F M mesurées par chaque jumeau, pendant le voyage de Mobile. En déduire l âge de Mobile et l âge de Fixe au moment de leurs retrouvailles. Exercice 6 : Comment les muons peuvent-ils traverser l atmosphère? Le muon est une particule qui porte la même charge électrique que l'électron, mais avec une masse 207 fois plus grande, c'est pourquoi on l'appelle aussi électron lourd. Les muons sont produits par l interaction entre les rayons cosmiques émis par le Soleil et la haute atmosphère de la Terre, à une altitude d environ 10 km. Un muon au repos se désintègre en moyenne au bout d une durée de valeur = 2,2 µs. Les muons émis dans la haute atmosphère le sont avec une vitesse égale à 99,8 % de la célérité de la lumière dans le vide. On peut considérer cette vitesse comme constante. On considère souvent que le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre est une preuve expérimentale de la dilatation des durées. Cette partie propose de comprendre cette affirmation. (a) Calculer la distance parcourue par un muon pendant 2,2 µs. (b) Pourquoi le fait que des muons parviennent à la surface de la Terre est-il une preuve expérimentale de la dilatation des durées? (c) En tenant compte de la dilatation des durées, calculer la distance que parcourt, en moyenne, un muon, avant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les événements considérés et durée propres et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que ce calcul permet d interpréter le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre. Exercice 7 : L importance des effets relativistes Activité documentaire 3.1 : Quelques domaines d application de la relativité

5 Dans la mécanique d Einstein, la durée concernant un objet (par exemple la durée du déplacement de l objet) est appelée durée propre si elle est mesurée dans un référentiel lié à cet objet, et durée mesurée si elle est mesurée dans un autre référentiel. La différence entre les durées propre et mesurée est la conséquence directe du phénomène de dilatation du temps pour un observateur en mouvement. Dans la vie courante, l effet de cette dilatation n est pas perceptible : en effet, pour des vitesses de déplacement habituelles, et en l absence d une volonté de précision extrême, l écart entre les durées Δt m et Δt P est négligeable. Le document ci-dessous regroupe quelques exemples d objets en mouvement dans le référentiel terrestre. Dans ce tableau, Δt P est la durée propre lorsque la durée mesurée Δt m dans le référentiel terrestre vaut exactement 1 seconde. Vitesse dans le référentiel terrestre (m.s -1 ) Δt m (s) Δt P (s) Marcheur , TGV , Avion de ligne , Satellite du système GPS , Sonde solaire Helios , Particule α , Electron dans un microscope électronique 0,5 c 1 0,87 Proton dans l accélérateur LHC 0, c 1 1, Justifier l écriture de la valeur de Δt P dans les cinq premières lignes du tableau. 2. Quelle erreur relative tm t t l on ne tient pas compte de la dilatation des durées? m P exprimée en pourcentage, commet-on dans chacun des cas présentés si Comparer l erreur relative calculée à la question 2. avec la précision d une horloge à quartz dérivant au maximum d une seconde par an, soit de %. A cette précision, pour quels objets étudiés doit-on tenir compte de la relativité du temps? 3.2 Répondre aux mêmes questions pour une horloge atomique dérivant d une seconde en un million d années, soit de %. 4. Dans les systèmes de positionnage GPS et Galileo, on mesure des durées τ de parcours de signaux électromagnétiques pour calculer des distances : d = c τ. On suppose que, parmi tous les paramètres intervenant dans le fonctionnement de ces systèmes, seule la dilatation du temps n ait pas été prise en compte. 4.1 Quel serait, au bout d une heure de fonctionnement, l écart entre l indication d une horloge atomique terrestre et celle d une horloge atomique embarquée dans le satellite du système GPS mentionné dans le tableau? 4.2 Quelle erreur sur la distance satellite-véhicule mesurée par le système GPS correspond à cet écart? Est-elle acceptable par les utilisateurs? 5. En tenant compte des réponses aux questions 2. et 3., trouver deux critères à prendre en considération pour décider si la théorie de la relativité, et donc la dilatation des durées, doivent être prises en compte pour mesurer des durées.

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