Partie 0: Rappel de communications numériques

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1 Partie 0: Rappel de communications numériques Philippe Ciblat Télécom ParisTech, France

2 Introduction (I) Sauf la radio, communications actuelles en numérique - GSM, 3G, TNT, Wifi - ADSL, - MP3, DVD Types de canaux : cuivre, ligne électrique, Hertzien/sans fil, fibre optique Types de sources : analogique (voix) ou numérique (données) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 2 / 34

3 Introduction (II) Système analogique : s(t) source analogique signal émis : x(t) = f (s(t)) + Avantages : faible complexité du modem Inconvénients : transmissions de données, accès multiple, performances, traitement de l information Système numérique : s n source numérique (composée de 0 et 1) signal émis : x(t) = f (s n ) Si source analogique, on la numérise échantillonnage (pas de perte si Shannon-Nyquist vérifié) quantification (perte d information) ex : son-hifi de bande [20Hz, 20kHz] 441kHz de débit-échantillon et 16bits, c est-à-dire, 7kbits/s (ou 14Mbits/s en stéréo) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 3 / 34

4 Paramètres fondamentaux Débit binaire : D b bits/s Bande occupée : B Hz Probabilité d erreur : P e Puissance transmise : P b mw ou dbm (notion de RSB/SNR) Objectif Cas idéal : max D b sous les contraintes de minimiser B, P e et P b Cas pratique : dépend de la QoS du système étudié - GSM/3G : min latence, avec D b fixe et P e variable - ADSL : max D b, avec P e, B et P b fixe Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 4 / 34

5 Description globale d un système Source Codage de Source dn Codage de Canal an Modulation x(t) COM941 COM941 COM921 Canal Physique Destinataire Décodage de Source ˆdn Décodage de Canal ân Démodulation y(t) Estimation canal Question? Que mettre dans les boîtiers «modulation» et «estimation» Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 5 / 34

6 Plan du cours 1 Notion de signal sur porteuse et en bande de base 2 Quelques modèles de canaux 21 Canal gaussien (AWGN) 22 Canal sélectif en fréquence 3 Description de modulateurs simples (linéaires) 4 Passage du temps continu au temps discret 41 Espace des signaux 42 Filtre adapté 43 Critère de Nyquist 5 Détecteurs et performances 51 Détecteur MAP et ML 52 Performances Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 6 / 34

7 Signaux Porteuse/Bande de Base Constat : x(t) transportant une information de débit D b "oscille" à une vitesse maximale en O(D b ) et donc occupe une bande de O(D b ) Problème : la propagation à basse fréquence n est pas adaptée - coupure de la fréquence 0 par la RF - taille des antennes - disponibilité du spectre Solution : transposition de x(t) autour d une autre fréquence Clairement Côté émetteur (TX) : x(t) (en BdB, ie, autour de la fréquence 0 ) est translaté à une fréquence porteuse/carrier frequency f 0 pour obtenir x c (t) Côté récepteur (RX) : afin d échantillonner à la vitesse de O(D b ), retour en bande de base Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 7 / 34

8 Quelques exemples Quand f 0 augmente atténuation augmente (1/f0 2) antenne diminue (1/f 0 ) B peut être choisie plus grande Système f 0 B Antenne Liaison intercont 10MHz (HF) 1kHz 1m TNT 6MHz (UHF) qq MHz 1 m GSM 9MHz qq MHz 10 cm Wifi 54 GHz qq 10MHz qq cm Satellite GHz qq 1MHz Personal Area Network 60GHz Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 8 / 34

9 Formalisation mathématique Sur la porteuse f 0, on transmet x c (t) = x p (t) cos(2πf 0 t) x q (t) sin(2πf 0 t) = R ((x ) p (t) + ix q (t))e 2iπf 0t avec x p (t) et x q (t) deux signaux à valeurs réelles de bande B (< f 0 ) Enveloppe complexe (Bande de base) x(t) = x p (t) + ix q (t) Modulateur I/Q Démodulateur I/Q x p(t) x x x p(t) π/2 f 0 + x c(t) x c(t) π/2 f 0 x q(t) x x x q(t) Rq : Energie en Bande de base double de celle en porteuse! hilippe Ciblat Rappel de communications numériques 9 / 34

10 Application sur le bruit Soit b c (t) un bruit (réel, stationnaire, centré, gaussien) sur porteuse de densité spectrale de puissance (dsp) N0/2 Alors, on a b(t) = b p (t) + ib q (t) f0 B f avec 1 b p (t) et b q (t) deux bruits réels, stationnaires, centrés, gaussiens en bande de base 2 b p (t) et b q (t) sont indépendants et de même dsp N0 B f Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 10 / 34

11 Canal de propagation Canal de type sans fil (wireless) : canal multitrajet (ρ 1, τ 1) (ρ 2, τ 2) (ρ 0, τ 0) y(t) = ρ k x(t τ k ) + b(t) k = c(t) x(t) + b(t) avec b(t) du transparent 10 Temps de dispersion : T d = max k τ k Bande de cohérence : B c = arg max δf { C(f ) C(f + δf ) < ε} B c = O(1/T d ) hilippe Ciblat Rappel de communications numériques / 34

12 Modèle de canal : gaussien Multitrajets (T d ) courts par rapport à T s (temps-symbole) Valable pour les faisceaux hertziens Valable pour le satellite Valable aussi pour les liaisons très bas débit y(t) = x(t) + b(t) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 12 / 34

13 Modèle de canal : sélectif en fréquence Valable en sans fil (GSM avec T d = 4T s, Wifi avec T d = 16T s ) Valable pour l ADSL aussi (T d = 1T s ) y(t) = c(t) x(t) + b(t) interférence de symboles (IES) Remarque fondamentale La nature du canal (IES?) est modifiée selon le débit requis Plus le débit est élevé, plus le canal admet d IES (T d T s ) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 13 / 34

14 Modulation a n Modulation x(t) Modulateur I/Q x c (t) "Modulation" Question Comment associer les bits a n au signal analogique en bande de base x(t)? Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 14 / 34

15 Modulation binaire (I) Forme d onde : x 0 (t) si bit 0 et x 1 (t) si bit 1 Modulation linéaire (binaire) : x 0 (t) = Ag(t) et x 1 (t) = Ag(t) avec A et A des symboles, et g(t) un filtre de mise en forme Train de symboles Si T s est la période d émission des symboles, alors x(t) = k s k g(t kt s ) avec s k { A, A} Exemple (g(t) fonction porte de durée T s ) Ts A A t Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 15 / 34

16 Modulation M-aire Bande de x(t) (B) est identique à celle de g(t) : - Si B < 1/T s, interférence entre symboles (cf plus tard) - Si B 1/T s, gâchis de bande B = O(1/T s) Efficacité spectrale de 1bit/s/Hz en modulation binaire Modulation M-aire : augmentation de l efficacité spectrale si un symbole peut contenir plusieurs éléments binaires Evidemment, problème de P e d où un compromis nécessaire Exemple (M = 4) A 01 A 10 3A 3A 3A A Ts A t 3A Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 16 / 34

17 Constellations Constellations = Ensemble des symboles possibles Modulation d amplitude (MDA,PAM,ASK) Modulation de phase (MDP,PSK) Modulation d amplitude en quadrature (MAQ,QAM) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 17 / 34

18 Espace des signaux Soit une transmission avec M formes d onde possibles x m (t), m = 1,, M Le signal émis vit dans l espace vectoriel E suivant E = vect/span{x m (t)} m {1,,M} Cet espace admet une dimension D = dim C E et une base orthonormale (otn) E = vect{φ l (t)} l {1,,D} par rapport au produit scalaire < f (t) g(t) >= f (t)g(t)dt Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 18 / 34

19 Vecteur équivalent Ainsi chaque x m (t) se décompose selon x m (t) = D l=1 s (l) m Φ l (t) avec s (l) m un nombre complexe Ainsi s m = [s (1) m,, s (D) m ] T est le vecteur représentant le signal analogique x m (t) Chaque s (l) m est une coordonnée du vecteur/signal On travaillera avec s m qui porte l information (donc à temps discret) Exemples Modulations linéaires : D = 1 Modulations non-linéaires : cf TD1 Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 19 / 34

20 Temps continu temps discret Comment calculer s m à partir de x m (t)? s (l) m = < x m (t) Φ l (t) > = x m (τ)φ l (τ)dτ = Φ l ( t) x m (t) t=0 Φ 1( t) s (1) m x m(t) Φ l( t) s (l) m Φ D( t) s (D) m Banc de filtres adaptés (à chaque fonction de base) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 20 / 34

21 Application à un train de symboles x(t) = s k h(t kt s ) k avec s k des symboles quelconque h(t) un filtre quelconque orthogonal / à ses décalés E = vect{h(t kt s )} k avec une base otn {h(t kt s )} k, d où s k = < x(t) h(t kt s ) > = h( t) x(t) t=kts x(t) h( t) kt s s k Projection = Filtre adapté + échantillonnage Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 21 / 34

22 Récepteurs Les récepteurs se conçoivent avec la Théorie de la Détection Les récepteurs ont une complexité fortement fonction du canal Canal gaussien : Détecteur à seuil (Threshold detector) Canal sélectif en fréquence : Algorithme de Viterbi (optimal) Egalisation linéaire (sous-optimal) OFDM (sous-optimal mais très répandu) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 22 / 34

23 Démodulateur exhaustif (I) avec y(t) = x m (t) + b(t) x m (t) forme d onde émise (appartenant à E du transparent 18) b(t) bruit (suivant le modèle du transparent 10) Comment passer à temps discret sans perdre d information? Clairement b(t) appartient à E E, d où, b(t) = b E (t) + b E (t) On peut montrer que b E (t) et b E (t) sont indépendants Dans y(t) l information sur la forme d onde est donc uniquement présente dans sa projection sur E Donc les coordonnées y (l) =< y(t) Φ l (t) > sont exhaustives par rapport à l information présente dans y(t) sur x m (t) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 23 / 34

24 Démodulateur exhaustif (II) Par conséquent, le récepteur commence par le boîtier suivant Φ 1 ( t) y (1) = s (1) m + b (1) y(t) Φ l ( t) y (l) = s (l) m + b (l) Φ D ( t) y (D) = s m (D) + b (D) avec y = [y (1),, y (D) ] T y = s m + b Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 24 / 34

25 Propriété du bruit à temps discret b est un vecteur gaussien (complexe) centré Les coordonnées b (l) et b (l ) sont deux-à-deux indépendants De plus b (l) = b (l) p + ib (l) q avec E[b (l)2 p ] = E[b (l)2 q ] = N 0 Distribution p(b) = = = D p(b (l) ) = l=1 D ( l=1 D 1 e b 2πN0 l=1 (l) 2 p 2N 0 p(b (l) p ) )p(b (l) q ) 1 e b 2πN0 (l) 2 q 2N 0 ( ) D Dl=1 ( ) 1 e (b p (l)2 +b q (l)2 ) D 2N 1 0 = e b 2 2N 0 2πN 0 2πN 0 Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 25 / 34

26 Application à un train de symboles (I) avec y(t) = k s k des symboles quelconque s k h(t kt s ) + b(t) h(t) un filtre quelconque orthogonal / à ses décalés Application du démodulateur exhaustif avec Φ k (t) = h(t kt s ) Question Comment {h(t kt s )} k est une base otn? Il faut que h(t) = h( t) h(t) soit de Nyquist, c-à-d, h(lt s ) = δ l,0 et donc que h(t) soit racine de Nyquist Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 26 / 34

27 Application à un train de symboles (II) s n h(t) b(t) y(t) h( t) y n h(t) y n = < y(t) h(t nt s ) > = l h(lt s )s n l + b n = h(0)s n + b n En pratique h(t) est racine de Nyquist si canal gaussien (canal n apporte pas d IES) g(t) racine de Nyquist (mise en forme n apporte pas d IES) Propriété Le filtre de Nyquist admet comme contrainte B > 1/T s (cf transparent 7) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 27 / 34

28 Détecteurs MAP et ML Que faire pour choisir la bonne forme d onde à un y donné? y = f (s, b, ), avec s = {s m } m On appelle détecteur optimal, celui qui min P e, avec P e = Prob(ŝ s) Détecteur optimal Si les s ne sont pas équiprobables (Max A Posteriori - MAP), ŝ = arg max p(s y) s Si les s sont équiprobables (Maximum Likelihood - ML), (cf calculs en COM941) ŝ = arg max p(y s) s Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 28 / 34

29 Application au canal gaussien Après démodulation exhaustive, on a avec b blanc y = s m + b ŝ = arg min s y s 2 avec la distance euclidienne Application aux modulations linéaires On recherche le point de la constellation le plus proche de y au sens de la norme euclidienne (détecteur à seuil) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 29 / 34

30 Performances d min d min = min m m s m s m N min = 1 M M m=1 N min,m avec N min,m nombre points à d min de s m (cf calculs en COM941) ( ) dmin P e = N min Q 2 N 0 Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 30 / 34

31 Application aux modulations linéaires Constellation ( ) Performances Q γ E b N 0 MDA γ = 6 log 2 (M)/(M 2 1) MDP γ = log 2 (M)(1 cos( 2π M )) MAQ γ = 3 log 2 (M)/(M 1) avec E b l énergie par bit d information transmis sur porteuse Remarque MAQ > MDP > MDA Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 31 / 34

32 Illustrations numériques Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No 1 MDP-2 MDP-4 MDP-8 MDP-16 1 MDP-2 MAQ-16 MDP-16 MDA Taux Erreur Symbole Taux Erreur Symbole e Eb/No (en db) P e pour différents M (MDP fixé) 1e Eb/No (en db) P e pour différentes modulations (M fixé) Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 32 / 34

33 Canal sélectif en fréquence La base {h(t kt s )} k n est plus orthogonale, d où, y n = l h(lt s )s n l + b n Bruit coloré d où une technique de blanchiment : y n = f y n Canal non-causal : y(n) = y n L Finalement, on a le modèle équivalent suivant y(n) = avec b(n) un bruit blanc L h(l)s n l + b(n) l=0 Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 33 / 34

34 Plan de l Unité d Enseignement Partie 1 Gestion de l interférence entre symboles 11 Algorithme de Viterbi (optimal) 12 Egalisation linéaire (sous-optimal) 13 OFDM (sous-optimal mais très répandu) Partie 2 Gestion de l interférence entre utilisateurs 21 CDMA (3G) 22 OFDMA (4G) Partie 3 Estimation des paramètres de propagation 30 Rappel de la théorie de l estimation 31 Estimation du filtre 32 Estimation de synchronisation fréquentielle Philippe Ciblat Rappel de communications numériques 34 / 34

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