A. PETRENKO MECANIQUE des FLUIDES (SNT4U21L) 1. Equation dynamique des fluides parfaits incompressibles

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1 CHAPITRE IV HYDRODYNAMIQUE. Equation dynamique des fluides parfaits incompressibles Le deuxième principe de Newton indique que, dans un référentiel galiléen (fixe), il existe une relation de proportionnalité entre l accélération d une particule et la force F à laquelle elle est soumise : F =m m est un coefficient positif caractéristique de la particule, appelé masse du point matériel. De-là découle l'équation d'euler (établie par Léonhard Euler en 755) qui s'applique dans le cas d'un fluide parfait,c est-à-dire un fluide non visqueux, et sans conductivité thermique en écoulement laminaire : ρ d V dt = grad p+ ρ f avec la dérivée particulaire suivante (rappel) : d V = V t +( V ) V d t Cette dérivée est la dérivée particulaire, appelée aussi dérivée lagrangienne ; c'est la dérivée en suivant la particule dans son mouvement par rapport à un repère fixe. (voir Chap III) Note : Si le mouvement est nul ou uniformément accéléré (voir Chap II), on obtient l'équation fondamentale de l'hydrostatique : grad p+ρ f = p+ρ f = 0 ATTENTION, il faut choisir un référentiel avant de pouvoir écrire ce champ. Si z est orienté vers le zénith, et que les forces de volume se limitent à la gravité, alors l'équation d'euler générale peut s'écrire sous la forme de 3 équations scalaires: ρ du dt = p x ρ dv dt = p y ρ dw dt = p z ρ g Si z est orienté vers le zénith, et que les forces de volume se limitent à la gravité, on peut dire que f dérive du potentiel -gz et écrire : f = grad ( gz)= ( gz ) L'équation d'euler devient donc : V t +( V ) V = ρ p+ f = ρ p+ ( gz) Si la masse volumique est constante, alors

2 f = ρ ( ρgz )= ρ ( ρgz ) et l'équation d'euler peut s'écrire : V t +( V ) V = ρ ( p+ ρgz) L'écoulement a 4 inconnues : u, v, w et p. L'équation d'euler fournit 3 équations scalaires. On a donc besoin de l'équation de conservation de la masse ou équation de continuité ρ t + (ρ V ) = 0 pour pouvoir résoudre le système. 2. Equations intrinsèques Hypothèses : l'écoulement est bidimensionnel dans le plan (xz), z orienté vers le zénith, f dérive du potentiel -gz le fluide est parfait et la masse volumique est constante Soit une ligne courbe quelconque de vecteur unitaire tangent s et de vecteur normal n, si on écrit l équation d'euler dans le repère ( s, n ) avec pour vecteur vitesse V =(V s,v n ) : dv s dt dv n = V s t +V V s s s +V V s n n = ( p+ ρgz) ρ s dt = V n t +V s V n s +V n V n n = ρ 3. Equation de Bernoulli 3A Dérivation de la relation de Bernoulli ( p+ ρgz ) n Si les hypothèses de la section 2 sont gardées et que la ligne courbe de la section précédente est une ligne de courant, alors V =(V s,v n )=(V,0) et les équations d'euler intrinsèques deviennent : V V +V t s = ρ 0= ( p+ρgz ) ρ n ( p+ ρgz) s soit V t + 2 V 2 s = ( p+ ρgz) ρ s soit p+ ρgz=constante sur toute ligne normale aux lignes de courant Si on fait l'hypothèse supplémentaire que l'écoulement est stationnaire, alors la première équation devient: V t + V 2 2 s = V 2 2 s = ( p+ρgz ) ρ s ou 2

3 s ( 2 V 2 + p ρ + gz)=0 La relation de Bernoulli : 2 V 2 + p +gz=constante est valable sur toute ligne de courant ρ si les hypothèses suivantes sont vérifiées: l'écoulement est bidimensionnel dans le plan (xz), z orienté vers le zénith, f dérive du potentiel -gz le fluide est parfait et la masse volumique est constante l'écoulement est permanent. D'un point à un point 2 le long d'une ligne de courant, on a : 2 V 2 + p ρ +gz = 2 V 2 2+ p 2 ρ +gz 2 Interprétation ingénieur (en divisant par g l'équation) : 3

4 Dans un écoulement à surface libre en contact avec l'atmosphère, la ligne piézométrique se confond avec la surface libre, qui constitue en même temps une ligne de courant. 3B Interprétation énergétique de l équation de Bernoulli 2 ρv 2 +( p+ ρgz)=energie mécanique totale constante L'équation de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie mécanique totale par unité de volume au cours du mouvement permanent de ce fluide de masse volumique constante. 2 ρv 2 représente l'énergie cinétique et ( p+ ρgz) l'énergie potentielle. 3C Ecoulement non permanent d'un fluide parfait de ρ constante 2 V 2 + p ρ +gz = 2 V 2 2+ p 2 ρ +gz + 2 V 2 t ds 3D - Ecoulement permanent d'un fluide parfait de ρ non constante ; force de masse négligeable Cas d'un écoulement gazeux à grande vitesse ; on néglige la pesanteur. La loi de Laplace est valide donc p=kρ γ avec k=cste et γ= C p C v rapport constant des chaleurs spécifiques du gaz Exercice Exprimer V 2 en fonction de V, p, p 2, γ,ρ Solution : V 2 2 V 2 = 2 γ p γ ρ ( ( p γ 2 γ ) ) p 3E - Ecoulement permanent d'un fluide réel de ρ constante La conservation de l'énergie mécanique totale n'est pas vérifiée car il y a du frottement. 4

5 (remerciement F. Auclair) Du coup on considère un mini-cylindre de fluide : 5

6 La force de frottement par unité de masse, le long du cylindre de périmètre perim, a pour module τ 0 ρ perim avec τ ds 0 la tension de cisaillement en Pascal. L'équation de Bernoulli devient l'équation de Bernoulli modifiée : 2 V 2 + p ρ +gz = 2 V 2 2+ p 2 ρ +gz + 2 τ 2 0 ρ perim ds= ds 2 V 2 2+ p 2 ρ +gz +gh 2 r le dernier terme peut s'écrire gh r ou h r est la perte de charge linéaire, due à l'énergie mécanique perdue, entre et 2, sous forme de chaleur à cause du frottement. Exemple Une perte de charge linéaire pour un tuyau de longueur L est de 20 cm par mètre de tuyau. Si la longueur du tuyau est de 0m, le terme h r est égal à 0,2*0 = 2m de perte ; donc dans l'équation de Bernoulli modifiée, cela donnerait une perte gh r de 9,62 m 2 / s Equation de l'énergie L équation de Bernoulli est généralisée d'une ligne de courant à un tube de courant, c'est à dire au fluide passant par une surface S limitée : α( 2 ρv 2 )+( p+ ρgz )=Energie mécanique totale constante avec α= V 2 V p ds S S U 3 V p est la composante de la vitesse orthogonale à la section ds U est la vitesse moyenne orthogonale dans la section ds α peut prendre des valeurs entre et 2 : a) α proche de 2 = l'écoulement est laminaire (écoulement de Poiseuille) b) α proche de. = l'écoulement est turbulent c) α proche de = l'écoulement est unidimensionnel (profile de vitesse constant dans la section ds) ; cas d'un fluide parfait. a) cas laminaire c) cas fluide parfait 6

7 5. Equations d'euler, de Navier-Stokes et RANS Rappel sur l'équation d'euler (établie par Léonhard Euler en 755) s'applique dans le cas d'un fluide parfait, c est-à-dire un fluide non visqueux et sans conductivité thermique en écoulement laminaire ρ d V dt = grad p+ ρ f avec d V = V d t t +( V ) V Si on s'occupe uniquement d'un champ de pesanteur f = g alors : ρ d V dt = grad p+ ρ g= p+ ρ g Équation de Navier-Stokes nommée d'après deux scientifiques du XIXe siècle, le mathématicien et ingénieur des Ponts, Claude Navier ( ) et le physicien George Stokes (89-903), le choix de ces deux noms oubliant malheureusement celui du physicien Adhémar Barré de Saint- Venant ( ), dont le rôle intermédiaire a pourtant été très important. Les équation de Navier-Stokes s'appliquent pour des fluides visqueux : d V d t = ρ p + g + ν 2 V Dans un référentiel tournant, des forces d entraînement apparaissent (voir cours L3 Dynamique Océanique), l'équation devient : d V d t = ρ p + g 2 Ω V + ν 2 V ou ρ d V dt = grad p+ ρ g 2ρ Ω V +μ Δ V rappels : l'opérateur Laplacien peut s'écrire : Δ V = 2 V ; est la viscosité moléculaire dynamique (unité kg /m/s) ; est la viscosité moléculaire cinématique (unité m 2 /s) et μ ρ = ν ; le troisième terme de la partie de droite est la force de Coriolis avec Ω le vecteur de rotation terrestre. Équation de Reynolds (ou RANS- Reynolds Averaged Navier-Stokes equation) permettent de prendre en compte certains effets dus à la turbulence, en postulant, selon une idée de Joseph Boussinesq, une similitude entre la viscosité moléculaire et un coefficient appelé viscosité 7

8 turbulente. La turbulence désigne l'état de l'écoulement d'un fluide, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment. Les écoulements turbulents se caractérisent donc par une apparence très désordonnée, un comportement difficilement prévisible et la coexistence de nombreuses échelles spatiales et temporelles. De tels écoulements apparaissent lorsque la source d'énergie cinétique qui met le fluide en mouvement est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide oppose pour se déplacer. À l'inverse, on appelle laminaire le caractère d'un écoulement régulier. Si on fait plusieurs fois une même expérience pour mesurer la vitesse, on n obtiendra pas les mêmes valeurs. Alors, plutôt que de rechercher la vitesse instantanée, obtenue avec les équations de Naviers-Stokes vues précédemment, on cherche une vitesse lissée dans le temps, c'est à dire moyennée sur une période de temps dépendant du phénomène étudié et on décompose la vitesse en une partie moyenne et un écart à la moyenne ; soit pour chaque composante de la vitesse : u = u + u '. Dans l'équation suivante, la vitesse v est la partie moyenne de la vitesse et ν t est la viscosité turbulente, dépendante non pas seulement du fluide mais de l'écoulement (et des échelles des processus étudiés) : d v d t = ρ p + g + Ω v + ν 2 v + ν t 2 v Depuis la moitié du XX siècle les océanographes se sont rendu compte que les mouvements océaniques ont en effet un comportement très turbulent. Voir la video : Perpetual Ocean by NASA et pour la Méditerranée : Facebook Découverte du Vivant ; Courants marins vortex en Méditerranée sur mois Sea surface current flows visualised by Nasa's Goddard Space Flight Center 6. THM d'euler des quantités de mouvement Hypothèses : l'écoulement est permanent l'écoulement est conservatif Ce théorème s'énonce : F = Sfermée V dq m 8

9 Ce théorème est issu d'une transformation mathématique du principe fondamental de la dynamique F =m a de façon à énoncer l'accélération sous une forme pratique pour des applications type ingénieur (calcul de forces sur des conduites). Il s'applique sur un volume (vol) entouré par une surface fermée. rappel : le débit est dq= V nds avec n vecteur unitaire sortant de cette surface. Le débit massique est défini par : dq m =ρ dq=ρ V n ds donc V dq m est un débit de quantité de mouvement d où le nom du théorème. Si dans une conduite, entre deux sections S et S2, les forces agissant sur le fluide sont : force de masse f ρ vol forces de pression p S n et p 2 S 2 n 2 forces de contact des parois de la conduite sur le fluide R et que l'on fait l'hypothèse supplémentaire que ρ est constant alors le THM d'euler des quantités de mouvement s'écrit: Q m V +Q m2 V 2 = R+ f ρ vol p S n p 2 S 2 n 2 9