Calcul matriciel .1. NOTION DE MATRICE. Chap. ALG02. Def.1. App.1

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1 Chap ALG0 Calcul matriciel NOTES DE COURS NOTION DE MATRICE Cadre de travail et/ou notation(s utilisée(s Dans tout ce chapitre et sauf mention contraire, n, p et q désigneront des entiers naturels non nuls K désignera R ou C MATRICE DE TYPE (p;q, NOTATION ET VOCABULAIRE Def On appelle matrice de type ( p, q à coefficients dans K, toute application de ; p ; q dans K Soit M une matrice de type ( p, q : M : ; p ; ( q K i, j M ( i, j = a i,j On emploie ainsi une notation indicielle, où l on note M(i, j sous la forme a i,j Lorsque i et j sont quelconques, a i,j s appelle le terme général de la matrice M Chaque a i,j s appelle un coefficient de M (a i,j Lorsqu on veut donner M avec seulement son terme général, on écrira : M = i p j q On écrit M sous la forme d un tableau rectangulaire : a, a, a,3 a,q a,q a, a, a,3 a,q a,q M= a 3, a 3, a 3,3 a 3,q a,q a p, a p, a p,3 a p,q a p,q Ce tableau comporte p lignes et q colonnes La ligne d indice i est (a i, a i, a i,3 a i,q a i,q a,j a,j et la colonne d indice j est a p,j On dit aussi de M est une matrice à p lignes et q colonnes On appelle M p,q (K l ensemble de toutes les matrices de type (p, q à coefficients dans K Encart n o App Pour chacune des matrices suivantes, à quel ensemble M p,q (K appartiennent-elles? n ( ( ; n n+ ( ( cos i + j i 7 j 4 ( a q p p n 0 q n MISE EN OEUVRE où a,, a n C Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

2 Encart n o App EXPLICITER UNE MATRICE On considère l application M de ;3 ; dans R définie par M : ;3 ; ( R Écrire la matrice M sous forme d un tableau i, j i j de nombres comme défini ci-dessus Encart n o 3 App3 MATRICE À PARTIR DE SON TERME GÉNÉRAL Écrire explicitement les matrices A= ( i + j i, B= ( 5i j i 4 j 3 j Def COMPLÉMENTS DE VOCABULAIRE Pour M M p,q (K, chaque ligne s identifie à un vecteur de K q et chaque colonne s identifie à un vecteur de K p pour p = et q quelconque, M M,q (K s appelle une matrice ligne et M,q (K est en bijection évidente avec K q pour q = et p quelconque, M M p, (K s appelle une matrice colonne et M p, (K est en bijection évidente avec K p pour p = et q =, M, (K est en bijection évidente avec K Def3 Une matrice M est dire carrée lorsqu elle a autant de lignes que de colonnes, c est à dire si M M n,n (K On dira dans ce cas que M est une matrice carrée d ordre n On notera alors M n (K l ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K Matrice diagonale - D n (K i j, a i j = 0 (0 (0 Triangulaire inférieure - Tn (K i < j, a i j = 0 (0 Triangulaire supérieure - T n + (K i > j, a i j = 0 (0 Matrice identité de M n (K (0 I n = (0 MATRICE CARRÉE Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

3 OPÉRATIONS SUR LES MATRICES COMBINAISON LINÉAIRE DE MATRICES Def4 M et N sont deux matrices de M p,q (K avec M= (a i j et N= (b i j On appelle : somme de M et N la matrice de terme général c i j : (i, j ; p ; q c i j = a i j + b i j L élément neutre pour l addition des matrices est (0 i p, et s appelle la matrice nulle j q Si (a i j M p,q (K, son opposé est la matrice ( a i j produit de la matrice M par le scalaire λ K la matrice : SOMME DE MATRICE λm= (λ a i j i p j q Encart n o 4 App4 3 Soient A= 3 4 4, B= et P= Calculez A+B puis P 3I 3 SOMME DE MATRICES Pr PROPRIÉTÉ Les matrices E i j = (e i j i p de M p,q (K où seul le coefficient j q d indice i, j (à l intersection de la i e ligne et de la j e colonne vaut, sont appellées les matrices élémentaires de M p,q (K Toute matrice de M p,q (K peut s exprimer comme combinaison linéaire des p q matrices élémentaires E i j En particulier, pour M = (a i j M p,q (K, on a : p q M= a i j E i j i= j= MATRICES ÉLÉMENTAIRES E i j = Encart n o 5 App5 DÉCOMPOSITION D UNE MATRICE ( Écrire la matrice M= comme combinaison linéaire 3 0 des matrices élémentaires E i j dans M,3 (R Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 3 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

4 PRODUIT DE DEUX MATRICES Soit A M n,p (K et B M p,q (K On appelle produit de A par B la matrice de M n,q (R dont le terme général c i j est donné par : i n, j q, c i j = p k= a ik b k j ( La matrice identité I n est l élément neutre pour la multiplication dans M n (K, c est à dire : M M n (K, I n M= M et M I n = M Def5 PRODUIT DE DEUX MATRICES a a k a p a i a ik a i p a n a nk a np A : n lignes et p colonnes b b j b q b k b k j b kq b p b p j b pq B : p lignes et q colonnes c c j c q c i c i j c i q c n c nk c nq C=A B : n lignes et q colonnes a i b j a ik b k j a i p b p j Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 4 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

5 Encart n o 6 App6 MATRICES ( ( 4 On considère les matrices A=, B= et C= Quels produits de matrices peut-on 5 effectuer? Encart n o 7 App7 Effectuer les produits matriciels suivants : A= ( 3 5 ( ( ( B= 4 3 C= E= ( 0 F= D= ( ( ( MATRICES 0 G= A B B A EN GÉNÉRAL Rem REMARQUE On a : = mais = On retiendra donc qu en général A B B A surtout que parfois le produit A B est possible alors que le produit B A n est pas possible compte-tenu des conditions sur la dimension des matrices pour pouvoir l effectuer Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 5 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

6 PROPRIÉTÉS OPÉRATOIRES Pr PROPRIÉTÉ Soient A, A M p,q (K et B,B M q,r (K A (B C= (A B C avec C M r,s (K λ(a B= (λa B=A (λb avec λ K (A+A B=(A B+(A B A (B+B = (A B+(A B 3 EXTRACTION DE LIGNES ET COLONNES PAR MULTIPLICATION Pr3 PROPRIÉTÉ L Soit M M p,q (K où l on note M= ( L C C C q les colonnes de M et M= les lignes de M L p On rappelle que E i,j est la matrice élémentaire formée uniquement de 0 sauf le coefficient de la i e ligne j e colonne qui vaut Pour E i,j M q (K : M E i,j = }{{} C i M p,q (K j e colonne MULTIPLICATION À GAUCHE OU A DROITE PAR UNE MATRICE ÉLÉMENTAIRE Pour E i,j M p (K : E i,j M = 0 L }{{} i M p,q (K 0 0 j e ligne Encart n o 8 App8 EXTRAIRE LES COLONNES D UNE MATRICE 3 Soit A = 4 3 Effectuez rapidement les produits matriciels suivants : A 0 0 et A puis ( 0 0 A et ( 0 0 A Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 6 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

7 4 PUISSANCE ET FORMULE DU BINÔME PUISSANCE D UNE MATRICE CARRÉE Def6 Pour M M n (K, pour k N on définit M k = M M M k facteurs en convenant que M 0 = I n Th Soit (A,B ( M p (K telles que A B=B A : n N, (A+B n = = FORMULE DU BINÔME ( n n A k B n k k=0 k ( n n A n k B k k=0 k Encart n o 9 App9 A M n (K est telle que A = A Que vaut alors (A+I n 5? MANIPULER LE BINÔME DE NEWTON 3 MATRICES CARRÉE INVERSIBLES 3 GÉNÉRALITÉS MATRICE INVERSIBLE MATRICES CARRÉES INVERSIBLES Def7 M M n (K est inversible lorsqu il existe N M n (K telle que : M N = N M = I n Th Soit M M n (K Les assertions suivantes sont équivalentes : ( M GL n (K ( M est inversible à droite, c est à dire, il existe N M n (K tel que M N=I n La matrice N sera appelée l inverse de la matrice M et sera (3 M est inversible à gauche, noté M c est à dire, il existe N M n (K tel que N M=I n L ensemble des matrices inversibles de M n (K est noté GL n (K appelé groupe linéaire d ordre n de K Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 7 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

8 Encart n o 0 App 0 S ASSURER DU CARACTÈRE INVERSIBLE Les matrices N = et M = sont-elles inversibles et si oui 3 3 quel est leur inverse? Indication : Calculer M N Encart n o App MATRICES 0 4 Soit A= 0 Vérifier que A A I 3 = 0, puis déduire que A est inversible et 4 0 donner la valeur de A Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 8 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

9 3 CARACTÉRISATION DES MATRICES INVERSIBLES PAR LES SYSTÈMES LINÉAIRES SYSTÈME LINÉAIRE ET PRODUIT MATRICIEL Def8 On considère le système linéaire S d inconnues le p uplet ( x,, x p de réels suivant : (S : a, x +a, x + +a,p x p = b a, x +a, x + +a,p x p = b a n, x +a n, x + +a n,p x p = b n On note alors : a, a, a,p a, a, a,p A= la matrice associée au système S a n, a n, a n,p b x b x B= la matrice colonne égale au second membre et X = la matrice colonne dont chaque coefficient correspond à une b n x p des inconnues x,, x p On a donc que : a, a, a,p x a, x +a, x + +a,p x p a, a, a,p x a, x +a, x + +a,p x p = a n, } a n, {{ a n,p x p }}{{} a n, x } +a n, x + {{ +a n,p x p } =A =X =B Ainsi : ( Résoudre le système S ( Trouver les matrices colonnes X qui vérifie A X= B Dans le cas où le système est carré, c est à dire A M n (K ce cas X est unique et que A est inversible, la matrice X cherchée sera X=A B et dans CARACTÉRISATION PAR SYSTÈME LINÉAIRE Th3 Pour A M n (K : ( A GL n (K C est à dire A est inversible ( le rang du système de matrice A est n Th4 Une matrice M = (a i j appartenant à l un des ensembles D n (K, T n + (K ou Tn (K est inversible CONDITION D INVERSIBILITÉ POUR UNE MATRICE DIAGONALE OU TRIANGULAIRE (pour tout i ;n, a ii 0 Aucun terme de la diagonale n est nul Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 9 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

10 Encart n o App CARACTÈRE INVERSIBLE D UNE MATRICE Les matrices A = I 4 E 33, A = 4I 5 4E et A 3 = 4I 4 5E 3 sont-elles inversibles? 33 INVERSE D UN PRODUIT DE MATRICES INVERSE D UN PRODUIT DE MATRICES INVERSIBLES Th5 Soient M et N deux matrices de GL n (K La matrice M N est alors inversible et son inverse est : (M N = N M Encart n o 3 App Soit P= où P = et D= ( Expliciter la matrice A=PDP ( En déduire que A est inversible puis déterminer la matrice A INVERSE D UN PRODUIT Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 0 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

11 4 IMAGE ET NOYAU D UNE MATRICE Dans tout ce paragraphe, sauf mention contraire, on considère un matrice A= (a i j i p M p,q (K j q Cadre de travail et/ou notation(s utilisée(s 4 LINÉAIRE CANONIQUEMENT ASSOCIÉE À UNE MATRICE LINÉAIRE CANONIQUEMENT ASSOCIÉE À UNE MATRICE Def9 L application f : M q, (K M p, (K X A X x Par conséquent si X= il vient : x q est appelée l application linéaire canoniquement associée à la matrice A a x + a x + + a q x q a x + a x + + a q x q f (X= a p x + a p x + + a pq x q Expression analytique de f Th6 La dénomination «linéaire» de l application f ainsi définie vient des deux propriétés suivantes satisfaites par f : (X,Y ( M q, (K, λ K, f (X+ Y= f (X+ f (Y et f (λx=λf (X LINÉARITÉ propriétés que l on peut rassembler en une seule : f (λx+ Y= λf (X+ f (Y L image d une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images Encart n o 4 App 4 ( Soit A = Calculer f (X et f (X où X = f (3X X EXPLOITER LE CARACTÈRE LINÉAIRE ( ( 3, X =, puis Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

12 Th7 On a déjà définit l application f suivante : f : M q, (K M p, (K X A X Par conséquent si X= x x q il vient : a x + a x + + a q x q a x + a x + + a q x q f (X= a p x + a p x + + a pq x q IDENTIFICATION DE f : M q, (K M p, (K À f : R q R p On définit l application f de la façon suivante : f : R q R p x f ( x où si x = ( x,, x q, on pose : ( x f = ( a x + a x + + a q x q, a x + a x + + a q x q, a 3 x + a 3 x + + a 3q x q,, a p x + a p x + + a pq x q x En identifiant tout élément x = ( x,, x q R q à sa représentation matricielle sous forme de vecteur colonne X= on peut x q identifier les applications f : M q, (K M p, (K et f : K q K p, les deux applications étant alors appelées application linéaire canoniquement associée à la matrice A Les applications f et f sont déterminées de manière unique par la donnée de A, appelée alors matrice associée à l application Encart n o 5 App 5 EXPRESSION ANALYTIQUE ( 3 Soit A= Donner l expression analytique de l application linéaire canoniquement associée à la matrice A, puis calculer l image du vecteur colonne 0 Encart n o 6 App 6 RETROUVER UNE MATRICE Retrouver la matrice A dont l application linéaire canoniquement associée est l application : f : R 3 R 3 ( x, y, z ( x y+ z, x y z, 3x y+ z Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

13 4 NOYAU D UNE MATRICE Def 0 On appelle noyau de la matrice A, noté Ker (A, l ensemble des vecteurs colonnes X M q, (K tels que matrice nulle Ainsi : ou encore : Ker (A= { X M q, (K, f (X=0 } NOYAU D UNE MATRICE f (X=0 où 0 désigne la Ker (A= { X M q, (K, AX= 0 } Le noyau de A est un ensemble non vide, puisque le vecteur colonne nul vérifie clairement AX= 0 Ex EXEMPLE VÉRIFIER SI UNE MATRICE COLONNE APPARTIENT AU NOYAU Pour A= : le vecteur X = 0 = le vecteur X = = qui n est pas la matrice colonne nulle 0 0 Me MÉTHODE La définition même du noyau de la matrice A permet d écrire la caractérisation suivante : x X= M q, (K Ker (A x q Ainsi, pour déterminer le noyau de la matrice A : on résout le système homogène de matrice A ; on essaie d exprimer Ker (A sous forme de Vect ( X,,X k x = ( x,, x q est solution du système linéaire homogène de matrice A DÉTERMINER LE NOYAU D UNE MATRICE Encart n o 7 App 7 Déterminer le noyau de la matrice A= 3 4 RECHERCHE D UN NOYAU Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 3 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0

14 43 IMAGE D UNE MATRICE IMAGE D UNE MATRICE Def On appelle image de la matrice A notée Im(A, l ensemble des éléments B M p, (K tels qu il existe au moins un tel que AX= B X M q, (K Im(A= { B M p, (K, X M q, (K, AX= B } Th8 Im(A est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de la matrice A Ainsi, en notant C,,C p les colonnes de A, on a : Im(A=Vect ( C,,C p CARACTÉRISATION DE Im(A Ex EXEMPLE Pour A= : le vecteur B = appartient à Im(A car on a A 0 0 = B APPARTENIR À L IMAGE D UNE MATRICE x le vecteur B = n appartient pas à Im(A car la recherche d un vecteur X = x x 3 tel que AX = B se traduit par la résolution x 4 du système linéaire de matrice A et de second membre B qui est dans ce cas incompatible Me MÉTHODE La définition même de Im(A permet d écrire la caractérisation suivante : b B= M p, (K Im(A b p OBTENTION D ÉQUATIONS LINÉAIRES DÉCRIVANT Im(A Le système linéaire de matrice A et de second membre B est compatible Ainsi, les éléments de Im(A peuvent être décrits à l aide d équations linéaires obtenues en cherchant une condition nécessaire et suffisante pour que le système de représentation matrice (A B où B est une matrice colonne B M p, (K quelconque soit compatible Encart n o 8 App Soit A= DÉTERMINER L IMAGE D UNE MATRICE Décrire Im(A à l aide d équations Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 4 CALCUL MATRICIEL Chap ALG0