Médiane, quartiles d une série statistique à une variable. Diagramme en boîte

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1 4 Statistiques à deux variables Activités préparatoires Tableau croisé d effectifs ; tableau de fréquences Un sondage est effectué auprès de 30 clients d un supermarché afin de connaître leur préférence sur le conditionnement d un produit alimentaire liquide. Population Conditionnement Bouteille plastique Boîte cartonnée Total Femme Homme Parmi les clients interrogés, y-a-t-il plus de femmes que d hommes qui préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée? Oui, car 33 femmes préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée alors que 3 hommes préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée.. Compléter le tableau de fréquences suivant (résultats arrondis à 0,0 près). Consulter Population Conditionnement Bouteille plastique Boîte cartonnée Total Femme 0,5 0,49 Homme 0,49 0,5. Le sondage permet-il d affirmer qu il y a relativement plus de femmes que d hommes qui préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée? Non, car 49 % des femmes préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée alors que 5 % des hommes préfèrent le conditionnement en boîte cartonnée. Rappel 7 Moyenne et écart type d une série statistique à une variable Monsieur Raoul, traiteur, souhaite lancer un nouveau produit. Une société a effectué une enquête auprès de 477 clients potentiels pour fixer le prix de vente de ce produit. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant. Prix en euros, x i Nombre de clients intéressés, n i À l aide d une calculatrice ou d un tableur, déterminer la moyenne et l écart type de cette série (résultats arrondis au centième). On obtient x,55 et s,77. Le prix moyen est,55 et l écart type des prix est,77. Consulter Rappels 4 et 5

2 Activités préparatoires 3 Médiane, quartiles d une série statistique à une variable. Diagramme en boîte Le club Poésie d un établissement décide d éditer et de vendre un recueil de textes écrits par les élèves pour subventionner un voyage organisé par le lycée. Il réalise une étude auprès de la population du lycée afin de savoir quel prix maximal chaque élève serait prêt à donner pour l achat de ce recueil. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant. Prix de vente (en ) Total Nombre d élèves N = 350 Effectifs cumulés croissants Compléter le tableau précédent.. Calculer les nombres suivants. N = = 350 = 75 ; N 4 = 87,5 ; 3 N = 3 87,5 = 6,5. 4. En déduire la médiane et les premier et troisième quartiles de cette série. Le rang de la médiane est est un nombre entier, donc la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 75 et 76, soit Me = (4 + 6) = 5. Le rang du er quartile Q est 87,5. 87,5 n est pas un nombre entier, donc Q est la valeur de rang 88, soit Q = 4. Le rang du 3 e quartile Q 3 est 6,5. 6,5 n est pas un nombre entier, donc Q 3 est la valeur de rang 63, soit Q 3 = Interpréter les résultats précédents par une phrase. 50 % des prix sont inférieurs ou égaux à 5. 5 % des prix sont inférieurs ou égaux à % des prix sont inférieurs ou égaux à En utilisant l axe gradué suivant, représenter cette série statistique par un diagramme en boîte. Indiquer sur le diagramme l écart interquartile. Consulter Rappel 3 Consulter Rappel Q 3 Q = 6

3 Activités préparatoires 4 Taux d évolution. Représentation graphique d une série statistique à deux variables Anna a créé un site web. Le tableau suivant présente l évolution du nombre hebdomadaire de visiteurs de ce site au cours des huit premières semaines suivant sa création. Rang de la semaine, x i Nombre de visiteurs, y i Consulter Rappel Calculer le taux d évolution, arrondi à 0, % près, du nombre hebdomadaire de visiteurs d une semaine à la suivante en complétant le tableau suivant. Semaine Taux d évolution du nombre de visiteurs d une semaine à la suivante,9 % 9,8 % 6,7 % 8, %,7 % 4,3 % 7,0 % 5 05,9 % ; ,8 % ; ,7 % ; , % ; 43 4,7 % ; ,3 % ; ,0 %. 44. Représenter, figure, l ensemble des points de coordonnées (x i ; y i ) de la série. 700 Nombre de visiteurs, y Rang de la semaine, x fig 3

4 Activités préparatoires. Quelle est la tendance générale de l évolution du nombre de visiteurs de semaine en semaine? La tendance générale est à l augmentation du nombre de visiteurs de semaine en semaine. 3. On se propose de tracer, figure, une droite qui met approximativement en évidence cette tendance. Placer le point de coordonnées (4,5 ; 360) sur la figure. Tracer une droite passant par le point de coordonnées (4,5 ; 360) et traversant de façon équilibrée l ensemble des points de coordonnées (x i ; y i ). 4. Si l on s en tient à ces seules informations, estimer graphiquement : le nombre prévisible de visiteurs du site pour la 9 e semaine ; On cherche l ordonnée du point de la droite dont l abscisse est 9. On lit y 530. Le nombre prévisible de visiteurs du site peut être estimé à 530 la 9 e semaine. le nombre prévisible de visiteurs du site pour la 0 e semaine ; On cherche l ordonnée du point de la droite dont l abscisse est 0. On lit y 570. Le nombre prévisible de visiteurs du site peut être estimé à 570 la 0 e semaine. la semaine à partir de laquelle le nombre de visiteurs du site dépasserait 600. On cherche l abscisse du point de la droite dont l ordonnée est 600. On lit x 0,7. On peut estimer que le nombre de visiteurs du site dépassera 600 à partir de la e semaine. 4

5 Applications Ajustement affine graphique. Estimations Une étude a été menée pour mesurer l impact d une campagne publicitaire. Le tableau suivant présente les montants des dépenses publicitaires, en milliers d euros, et des ventes, en millions d euros. Frais publicitaires (en milliers d euros), x i Ventes (en millions d euros), y i 6 4,5 7 4,8 9 4,95 3 5, 3 5,5 35 5,4 Cours.. Représenter, figure, le nuage de points de la série statistique (x i ; y i ). Prendre pour unités graphiques : cm pour millier d euros en abscisse, en commençant à l abscisse 5 ; cm pour 0, million d euros en ordonnée, en commençant à l ordonnée 4. 6, Ventes (en millions d euros), y Méthode 6 5,8 5,6 5,4 5, 5 4,8 4,6 4,4 4, Frais publicitaires (en milliers d euros), x fig. Un ajustement affine est-il envisageable? Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 5 Cours.

6 Applications On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite d équation y = 0,x +. Tracer sur la figure, après avoir calculé les coordonnées de deux de ses points. Pour x = 5, y = 0, 5 + = 4,5. $ passe par le point de coordonnées (5 ; 4,5). Pour x = 35, y = 0, 35 + = 5,5. $ passe par le point de coordonnées (35 ; 5,5). 3. Estimer graphiquement le montant des ventes si les frais publicitaires s élèvent à 30 milliers d euros. Laisser apparents sur la figure les traits nécessaires à la lecture. On cherche l ordonnée du point de la droite $ dont l abscisse est x = 30. On lit y 5. Pour des frais publicitaires de 30 milliers d euros, le montant des ventes peut être estimé à 5 millions d euros. Cours 4 Méthode 4. Estimer graphiquement le montant des ventes si les frais publicitaires s élèvent à 39 milliers d euros. Laisser apparents sur la figure les traits nécessaires à la lecture. On cherche l ordonnée du point de la droite $ dont l abscisse est x = 39. On lit y 5,9. Pour des frais publicitaires de 39 milliers d euros, le montant des ventes peut être estimé à 5,9 millions d euros. 3. Retrouver les résultats précédents en utilisant l équation de. Pour x = 30, y = 0, 30 + = 5. Pour x = 39, y = 0, 39 + = 5,9. On retrouve les résultats précédents. Méthode 4 Méthode 4 4 Estimer graphiquement les frais publicitaires si le montant des ventes s élève à 5,3 millions d euros, puis à 5,6 millions d euros. Laisser apparents sur la figure les traits nécessaires à la lecture. On cherche l abscisse du point de la droite $ dont l ordonnée est y = 5,3. On lit x 33. Pour un montant des ventes égal à 5,3 millions d euros, le montant des frais publicitaires peut être estimé à 33 milliers d euros. On cherche l abscisse du point de la droite $ dont l ordonnée est y = 5,6. On lit x 36. Pour un montant des ventes égal à 5,6 millions d euros, le montant des frais publicitaires peut être estimé à 36 milliers d euros. 6 Méthode 4

7 Applications Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Prévision Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos courtes sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d internautes connectés simultanément. Le tableau suivant représente les mesures constatées. Nombre d internautes connectés (en milliers), x i 0,5, Durée de chargement de la vidéo (en secondes), y i 0,3 0,4 0,6 0,9,3,8 On cherche à estimer la durée de chargement pour un nombre de personnes connectées encore plus élevé.. Représenter le nuage de points de la série (x i ; y i ) sur la figure 3. 3,6 3,4 3, 3,8,6,4,,8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, Durée de chargement de la vidéo (en secondes), y Cours. Méthode Nombre d internautes connectés (en milliers), x fig 3. Un ajustement affine est-il envisageable? Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 7 Cours.

8 Applications. À l aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer une équation de la droite d ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs arrondies à 0,0 près des coefficients a et b). La calculatrice ou le tableur affiche a 0,44 et b 0,9. Une équation de la droite d ajustement par la méthode des moindres carrés est y = 0,44x 0,9.. Tracer cette droite sur la figure 3, après avoir calculé les coordonnées de deux de ses points. Pour x =, y = 0,44 0,9 = 0,5. Pour x = 5, y = 0,44 5 0,9 =,0. Cette droite passe par les points de coordonnées ( ; 0,5) et (5 ;,0). 3. Utiliser l équation de cette droite pour estimer la durée de chargement lorsque : 000 personnes sont connectées ; Pour x =, y = 0,44 0,9 = 0,69. La durée de chargement lorsque 000 personnes sont connectées peut être estimée à 0,69 secondes personnes sont connectées. Pour x = 8, y = 0,44 8 0,9 = 3,33. La durée de chargement lorsque personnes sont connectées peut être estimée à 3,33 secondes.. Retrouver graphiquement ces résultats. Graphiquement, on cherche l ordonnée du point de la droite dont l abscisse est. On lit y 0,7. On retrouve le résultat de la question précédente. Graphiquement, on cherche l ordonnée du point de la droite dont l abscisse est 8. On lit y 3,3. On retrouve le résultat de la question précédente. 3. Une vidéo particulièrement demandée a attiré personnes simultanément et on a constaté que le temps de chargement était de 6, secondes. Que peut-on en conclure? On met ainsi en évidence les limites de l ajustement affine, car la durée constatée (6, secondes) est approximativement le double de celle prévue par le modèle (3,3 secondes). L équation de la droite d ajustement n indique qu une tendance et cette valeur amène à rejeter le modèle affine proposé. Méthode 3 Méthode 4 8

9 Exercices E. Tableau d effectifs. Sport Population Ville Ville Football Handball Tennis Judo Totaux Tableau de fréquences (arrondies à 0,0 près). Sport Population Ville Ville Football 0,50 0,5 Handball 0,0 0,0 Tennis 0, 0, Judo 0,9 0,8 Totaux. Dans la population de la ville, il y a moins de personnes qui pratiquent le tennis que dans la population de la ville (30 < 45). Dans la population de la ville, il y a moins de personnes qui pratiquent le judo que dans la population de la ville (30 < 38). 3. Dans la population de la ville, il y a relativement autant de personnes qui pratiquent le tennis que dans la population de la ville ( %). Dans la population de la ville, il y a relativement plus de personnes qui pratiquent le judo que dans la population de la ville (9 % > 8 %). E Tableau statistique. Centre des classes, x i 7,5,5 7,5,5 Total Filles Garçons Total Moyennes et écart types arrondis à 0 près. a) Âge moyen : 4,80 ; écart type des âges : 4,4. b) Âge moyen : 4,4 ; écart type des âges : 4,54. c) Âge moyen : 4,50 ; écart type des âges : 4,40. E3. La calculatrice affiche : Mé = 40, Q = 6 et Q 3 = a) Mé = 5, Q = 0 et Q 3 = 45. b) Diagrammes en boîte. E4 e semaine re semaine On lit : Mé = 5, Q = 0 et Q 3 = 0.. a) Tableau statistique. Nombre de cigarettes fumées par jour, x i Nombre d hommes, n i Effectifs cumulés croissants b) Le rang de la médiane est 30 = 65, donc la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 65 et 66. Ainsi, Mé = 0. Le rang du er quartile est 30 4 = 3,5, donc le er quartile est la valeur de rang 33. Ainsi, Q = 0. Le rang du 3 e quartile est 3 30 = 97,5, donc le 4 3 e quartile est la valeur de rang 98. Ainsi, Q 3 = 5. c) Diagrammes en boîte Série du nombre de cigarettes fumées par jour par les hommes Série du nombre de cigarettes fumées par jour par les femmes 3. La calculatrice ou le tableur affiche : pour les femmes x 5 et pour les hommes x a) Vrai, par définition de la médiane (voir la réponse. b)). b) Vrai, car l intervalle interquartile [0 ; 0] représente environ 50 % des données (voir la réponse. c)). c) Faux, car les femmes fument en moyenne 5 cigarettes et les hommes 9 cigarettes (voir la réponse 3.).

10 Exercices E5. a) Nuage de points. y x b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés.. a) Nuage de points. 3 y b) Un ajustement affine n est pas envisageable, car les points du nuage ne sont pas alignés. E6. Sur l écran d une calculatrice.. Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. E7. Nuage de points sur tableur b) Un ajustement affine n est pas envisageable, car les points du nuage ne sont pas alignés. 3. a) Nuage de points. 0,8 0,6 y x. Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. E8. Nuage de points sur tableur. 0,4 0, x b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 4. a) Nuage de points y 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4,6,8 x. Un ajustement affine n est pas envisageable, car les points du nuage ne sont pas alignés. 0

11 Exercices E9. a) et Chiffre d affaires (en millions d euros), y b) La taille moyenne d un enfant de 8 mois est 70 cm. E La droite d ajustement de la série (x ; y) a pour équation y = 0,33x + 0,33. La droite d ajustement de la série (x ; z) a pour équation z = 0x La droite d ajustement de la série (z ; t) a pour équation t = 0,08z,3. E. a), b) et c) Tracés du nuage de points et de la droite d ajustement Année, x b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. E0. a) et. Taille (en cm), y B A Âge (en mois), x. b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 3. a) À partir de 35 mois environ, la taille moyenne d un enfant dépasse 95 cm. d) La population peut être estimée à environ 89,8 millions l année et 90,3 millions l année.. Coefficients de la droite d ajustement et prévisions. E3. a) Nuage de points. Nombre de clients (en milliers), y A B Prix de vente en euros, x

12 Exercices b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés.. a) et b) figure. b) Pour y = 80, on lit x 4. Le prix maximum pour qu il y ait au moins acheteurs potentiels est a) L équation réduite de la droite (AB) est y = 3,75x + 3,5. b) Pour x = 3, y = 3, ,5 = 83,75. Une estimation du nombre d acheteurs si le prix est fixé à 3 est environ La recette correspondante est alors : = c) Pour x = 30, y = 3, ,5 = 0. Une estimation du nombre d acheteurs si le prix est fixé à 30 est La recette correspondante est alors : = E4. a) Nuage de points Prix (en centaines d euros), y Superficie (en m ), x b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés.. la figure pour le tracé de la droite. La droite d ajustement a pour équation y = 9x a) Pour x = 50, on lit y 40. Le prix d un appartement de 50 m peut être estimé à environ b) Pour y = 600, on lit x 7. La surface d un appartement dont le prix est euros peut être estimée à 7 m. 4. Pour x = 50, y = = 40. Le prix, à la centaine d euros près, d un appartement de 50 m peut être estimé à Pour y = 600, on résout l équation 600 = 9x + 60, équivalente à x = ,. 9 La surface, au mètre carré près, d un appartement dont le prix est euros peut être estimée à 7 m. E5. Tableau. Jour Nombre d oiseaux. a) Nuage de points Évolution (en %), y Jour, x b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 3. La droite d ajustement de la série (x ; y) par la méthode des moindres carrés a pour équation y = 0,053x + 0, a) Pour x = 6, y = 0, ,36 = 0,043 = 4,3 %. Le taux d évolution du nombre d oiseaux du 5 e au 6 e jour serait 4,3 %. b) 484, Le nombre d oiseaux le 6 e jour serait environ 59.

13 Exercices E6. Sur tableur.. a) Nuage de points. b) Les points du nuage n étant pas alignés, un ajustement affine n est pas justifié. 3. a) Les points du nuage apparaissent à peu près situés sur la courbe représentative de la fonction inverse. b) Tableau. On entre la formule =/B dans la cellule C. 4. a) Nuage de points. E7. a) Avec la calculatrice. b) Un ajustement affine de ces nuages apparaît justifié, car les points de chacun d eux sont sensiblement alignés.. Une équation de la droite d ajustement de la série (t ; x) est x = 8,5t + 0,6. Une équation de la droite d ajustement de la série (t ; y) est y = 3,5t + 38,5. 3. Pour t = 7, x = 8, ,6 = 40, et y = 3, ,5 = 4. Pour l année 7, on peut estimer à le nombre de téléviseurs en service et à le nombre d entrées dans les salles de cinéma. Pour t = 8, x = 8, ,6 = 58,6 et y = 3, ,5 = 0,5. Pour l année 8, on peut estimer à le nombre de téléviseurs en service et à le nombre d entrées dans les salles de cinéma. Pour t = 9, x = 8, ,6 = 77, et y = 3, ,5 = 7. Pour l année 9, on peut estimer à le nombre de téléviseurs en service et à le nombre d entrées dans les salles de cinéma. Estimation Rang de l année, t i x i 40, 58,6 77, y i 4 0, On constate un ralentissement de l augmentation du nombre de téléviseurs et de la baisse de fréquentation des salles de cinéma. On peut estimer qu à partir de l année 6 s amorcent de nouvelles tendances, et donc deux autres droites d ajustement. b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les points du nuage sont sensiblement alignés. 5. le tableau. Une équation de la droite d ajustement par la méthode des moindres carrés est y = 0,5x + 0, Pour x =, y = 0,5 + 0,08 =,73. Le prix de vente peut être estimé à n =,73 0,58. 3 E8. a) Une équation de la droite d ajustement par la méthode des moindres carrés est y = 35x b) Pour x =, y = = 945. La quantité d aluminium recyclé en 03 serait 945 tonnes.. a) Le coefficient multiplicateur global est ,037. En ans, il y a eu évolutions successives. Le coefficient multiplicateur moyen est + t m =,037 Le taux d évolution moyen est donc t m =,037 0,08. La quantité d aluminium recyclé a augmenté, en moyenne, d environ,8 % par an. b) 400, La quantité d aluminium recyclé en 03 serait 477 tonnes.

14 Exercices 3. Le premier modèle donne une estimation de 945 tonnes et le second de 477 tonnes. Le second modèle est donc plus adapté. QCM. Réponse b.. Réponse c. 3. Réponse a. 4