SIMULATION ORIENTEE EVENEMENTS DES MODELES HYBRIDES

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1 SIMULATION ORIENTEE EVENEMENTS DES MODELES HYBRIDES R. Champagnat 1, 2, J.-C. Hochon 3, H. Pingaud 4 et R. Valette 1 1 : LAAS-CNRS UPR 8001, 7 avenue du colonel Roche, F-31077, Toulouse cede 4 2 : Université Paul Sabatier, 118 Route de Narbonne, F Toulouse cede 4 3 : Société IXI - Agence du Sud Ouest, 76 rue de la colombette, F Toulouse 4 : Laboratoire de Génie Chimique, ENSIGC, chemin de la loge, F Toulouse cede Résumé Cet article traite de la simulation orientée événements des modèles hybrides. Nous commençons par présenter un modèle hybride : les réseau prédicats-transitions-différentiels (réseau PTD). Puis nous proposons une méthode de simulation de ce modèle. Il s agit de transformer le réseau prédicats-transitions-différentiels de façons à ce qu il puisse être simuler par un simulateur à événements discrets. Nous eposons cette transformation, puis nous soulignons les limites de cette approche. Mots-clés systèmes hybrides, simulation, réseau de Petri. 1. Introduction Lorsque l'on traite de problèmes complees la seule façon de valider des politiques de commande est souvent de simuler le comportement du procédé vis-à-vis de cette politique. La simulation permet ainsi de diminuer les longs et coûteu essais sur une maquette ou sur le procédé lui même. Dans le cadre des systèmes hybrides, le modèle les décrivant doit prendre en compte à la fois les aspects discrets et les aspects continus. C'est-à-dire qu'il doit manipuler des variables discrètes et continues et être capable de décrire leurs évolutions. Un certain nombre d'approches ont été définies dans ce cadre. Soient elles proposent de discrétiser le temps [GEN 1998] ce qui rend la simulation impraticable si l'on souhaite une bonne précision, soit elles impliquent des restriction sur le comportement dynamique des variables continues [ALL 1998]. Une autre approche consiste à coupler des réseau de Petri et des systèmes d'équations différentielles algébriques [VAL 1998, DAU 1994, AND 1996]. Pour augmenter le pouvoir de description de cette approche et autoriser une approche modulaire, nous avons défini dans [CHA 1998a, CHA 1998b, CHA 1998c] un modèle basé sur le couplage de réseau de Petri de haut-niveau et de systèmes d'équations différentielles algébriques : les réseau prédicats-transitions-différentiels. A cause des restrictions faites sur la dynamique des variables continues, les réseau de de Petri hybrides [ALL 1998] sont toujours simulables. Par contre, la simulation de réseau prédicats-transitions-différentiels pose quelques problèmes. En fait, la simulation de ce modèle peut se faire selon deu méthodes [CHA 1998c]. La première consiste à combiner une simulation discrète avec une simulation continue, comme par eemple dans [BAR 1992, DAU 1994]. Cette méthode à l'avantage de proposer une simulation fine et eploitant pleinement le modèle. Cependant cette méthode est relativement coûteuse en temps de calcul. La seconde méthode est fondée sur une simulation orientée événements [CHA 1998c, CHA 1998] pour diminuer le temps de calcul. Son principe consiste à remplacer l'intégration des variables continues par des calculs algébriques de dates d'occurrence d'événements. Le simulateur à événements discrets, Miss RdP, est en cours d'etension, dans le cadre d'un projet ANVAR [LAN 1997], de façon à obtenir une version (Miss RdP Mite) permettant la simulation de modèles hybrides. Nous allons, dans cet article, présenter le modèle réseau prédicats-transitions-différentiels, puis détailler la méthode permettant de simuler ce modèle à partir d'un simulateur à événements discrets, et nous préciserons les cas pour lesquels cette simulation ne peut pas être appliquée.

2 2. Modèle hybride Notre but était d obtenir un modèle permettant de représenter à la fois des contraintes de type «mécanisme d allocation de ressources» ainsi que de représenter l évolution des variables continues à travers des équations. Les réseau de Petri permettent de représenter facilement les mécanismes d allocation de ressources. Nous avons alors cherché à représenter l évolution des variables continues au sein du modèle réseau de Petri. Il est bien évident que les réseau de Petri ordinaires ne peuvent représenter des variables continues. En effet il s agit d un modèle à événements discrets où la distribution des jetons dans les places donne l état du système et où le franchissement d une transition correspond à l occurrence d un événement. C est pourquoi une autre voie, celle des réseau de Petri de haut-niveau a été eplorée. Parmi les nombreu travau développés dans ce sens, nous pouvons citer ceu qui cherchent plutôt à aborder la validation [GEN 1998] et ceu qui concernent plutôt l'évaluation de la sûreté [MON 1998]. Les réseau de Petri de haut-niveau regroupent toutes les approches (réseau de Petri colorés, réseau de Petri prédicats-transitions, réseau de Petri à objets) permettant de manipuler des informations. Un n-uplet de variables est associé au jeton et, lors des franchissements de transitions, il est possible de modifier les variables des jetons (uniquement les variables associées à des jetons impliqués par le franchissement). Comme il n'eiste aucune restriction sur la nature de ces variables, nous avons ainsi un modèle pouvant comprendre à la fois des variables discrètes et des variables continues. Néanmoins, il faut souligner le fait que les variables continues ne sont mises à jour que lors des franchissements des transitions concernant les jetons auquels elles sont associées. L'évolution dynamique des variables continues ne peut être vue que sous la forme d'un échantillonnage, et si l'on désire une certaine précision des résultats, il faut franchir certaines transitions à chaque pas d'échantillonnage ( représentant le temps) avec un pas le plus petit possible. C'est la solution proposée par [BRE 1996] et [GEN 1998]. Cette technique présente cependant deu inconvénients majeurs. Le premier est que l on alourdit le modèle en introduisant des transitions qui ne représentent aucun événement, contrairement au autres transitions qui représentent l occurrence d un événement (bien entendu si l on veut représenter un système échantillonné ce type de transitions se justifie pleinement). On mélange, en quelques sortes, des aspects liés à la représentation du système que l on modélise avec des aspects liés à la façon d implémenter le modèle. Le second inconvénient est que l on est, ainsi, forcé de choisir une méthode d intégration à pas fie, or les méthodes modernes d intégration sont à pas variables. De plus pour obtenir une bonne précision sur les variables continues il faut diminuer, ce qui augmente la durée de simulation. Il est clair que l'on aboutit ainsi à une technique de simulation particulièrement inefficace. La figure 1.a montre le comportement d'une variable continue associée à un jeton dans un réseau de haut niveau. Les flèches verticales sur l'ae horizontale (ae du temps) correspondent au événements (par eemple le franchissement d'un seuil par une autre variable continue ou la réception d'un message provenant de l'environnement). Dans une modélisation classique (de nature asynchrone), les franchissements de transitions par le jeton portant la variable seront synchronisés sur ces événements. La figure 1.b montre le comportement obtenu si l'on suppose maintenant que les franchissements des transitions se font à chaque instant d'échantillonnage. L'approimation du comportement dynamique de la variable continue est meilleure, mais il n'y a aucune raison que les événements asynchrones correspondent eactement au instants d'échantillonage. Pour avoir une bonne précision le pas d'échantillonnage doit rester très petit. Les réseau de Petri continus et hybrides [ALL 1998] proposent une autre approche. Sous un formalisme graphique unifié, ils autorisent la représentation de la dynamique discrète par des places et des transitions ordinaires, et la représentation de la dynamique continue par des places, dont le marquage est un nombre réel (et non plus un nombre entier), et des transitions qui correspondent à des écoulements continus. On peut ainsi décrire des variables qui évoluent de façon continue et linéaire en fonction du temps. L'influence de la partie discrète sur la partie continue se fait par des boucles élémentaires reliant des places discrètes à des transitions continues et l'influence de la partie continue sur la partie discrète (franchissement de seuils par des variables continues) se fait par des boucles élémentaires reliant des places continues (variables testées) à des transitions discrètes. Comme la dynamique continue (évolution du marquage des places continues) est linéaire, il est toujours possible, à partir du marquage courant obtenu juste après le franchissement d'une transition de déterminer eactement la date du franchissement de toutes les transitions sensibilisées. Ceci est représenté sur la figure 1.c en supposant que la variable continue est une fonction linéaire du temps. Les instants pris en considération par le simulateur se restreignent au événements significatifs. On conserve donc le principe d'une simulation orientée événements (simulation à événements discrets) tout en ayant des résultats eacts. L'inconvénient est que l'on est limité vis-à-vis de la représentation des dynamique continues. En particulier il

3 semble difficile d'avoir simultanément des équations algébriques et des équations différentielles (à moins de repartir sur une approche échantillonnant le temps [ALL 1998]). 1.a réseau de haut-niveau 1.b réseau de haut-niveau avec temps échantillonné 1.c réseau de Petri hybrides 1.d réseau prédicats-transitions-différentiels Figure 1. Evolution des variables continues dans les différents modèles réseau de Petri. C est pourquoi nous avons défini une nouvelle approche de façon à représenter la dynamique des variables continues : les réseau prédicats-transitions-différentiels. Ce sont des réseau de Petri où les jetons portent des n- uplets de variables et où des équations formelles sont associées au places. Un jeton dans une place instanciera les équations formelles associées à la place, avec les variables qu il porte, pour définir les équations à intégrer. Ces équations donnent l évolution des variables continues. Les conditions associées au transitions sont étendues (fonctions de sensibilisation) de façon à traiter des variables évoluant continûment. Elles ne retournent plus simplement la valeur «vrai» ou «fau», elles déterminent pour quelle date une transition sensibilisée est franchissable. Les actions associées au transitions sont également étendues et deviennent des fonctions de jonctions décrivant des éventuelles discontinuités des variables continues. Nous obtenons donc un modèle représentant à la fois une dynamique discrète et une dynamique continue. Cela correspond au comportement décrit par la figure 1.d. L avantage de cette approche est que n importe quel solveur d équations différentielles algébriques peut être utilisé (Gear par eemple). De plus la partie discrète est totalement découplée de la partie continue. Il n est donc pas nécessaire de se restreindre à des classes prédéfinies d équations différentielles comme c est le cas pour les réseau de Petri continus ou hybrides. Par contre, le redémarrage du solveur après chaque franchissement de transition impliquant des changements d'équations et des sauts de variables continues n'est pas garanti. Cela dépendra du choi du solveur et des caractéristiques des équations différentielles et algébriques. 3. Simulation orientée événements des réseau prédicats-transitions-différentiels La méthode qui semble la plus naturelle, pour simuler les réseau prédicats-transitions-différentiels est donc de faire coopérer un simulateur orienté événements et un intégrateur de système d équations. Une telle méthode permet une simulation fine du modèle. Cependant, cette méthode est relativement coûteuse en temps de calcul car elle implique des interactions permanentes entre deu logiciels. Pour obtenir une simulation rapide, permettant ainsi de pouvoir mener des évaluations de performances de type

4 stochastique (simulation de Monte-Carlo), nous proposons une méthode de simulation qui consiste à n'utiliser qu'un simulateur à événements discrets. Il s agit alors de faire une simulation orientée événements. C est-à-dire une simulation pour laquelle on détermine l état du procédé pour certains points particuliers (qui ne sont pas spécialement uniformément répartis sur l horizon de simulation). Le simulateur va déterminer les dates d occurrence des événements et va «faire des sauts» jusqu au prochain événement, où il calculera le nouvel étant courant et les nouvelles dates d occurrence des événements. On voit bien que cette méthode est plus économique en temps de calcul car l état du procédé n est connu qu à certains points sur l horizon de simulation. Dans notre approche les transitions correspondent toutes à des événements au niveau du système représenté. Il ne s'agit pas pour certaines d'entre elles de représenter des pas d'intégration ou d'échantillonnage (pour remettre à jour les valeurs des variables continues), ce qui ferait perdre tout son intérêt à cette méthode de simulation. Pour pouvoir combiner les avantages d'une modélisation hybride et d'une simulation à événements discrets, on peut, alors, envisager de simuler les réseau prédicats-transitions-différentiels en : Remplaçant l'intégration des variables continues par une durée de temporisation calculée à partir des équations à intégrer (définies par l'ensemble des systèmes d'équations associés au places marquées) et des seuils à surveiller. Calculant les valeurs des variables continues, lors des franchissements des transitions, en fonction des équations décrivant l'évolution des variables continues dans l'état précédent et de la durée de séjour dans cet état. Pour réaliser la simulation des réseau prédicats-transitions-différentiels, nous allons utiliser le simulateur à événements discrets Miss-RdP développé par la société IXI. Il s agit d un simulateur mettant en œuvre un joueur de réseau de Petri et pouvant simuler des réseau de haut-niveau avec des aspects temporels. Le jeton peut transporter un n-uplet de variables (chaînes de caractères, entiers, réels). Des conditions (prédicats) et des transformations (actions), portant sur les variables, peuvent être associées au transitions. Les aspects temporels sont représentés par des fenêtres qui déterminent une durée pendant laquelle une transition sensibilisée peut être franchie. Une valeur précise, dans cette fenêtre, est tirée aléatoirement (la fonction aléatoire étant prédéfinie, mais pouvant être différente pour chaque transition) chaque fois que la transition correspondante devient franchissable pour un nouvel n-uplet de jetons. j t 2 1 : X F = 2 t 1 j 2 : Y F = 1 p 1 dx p1 /d = 1 dy p2 /d = 2 p 2 t 3 p3 Figure 2. Eemple de simulation de réseau prédicats-transitions-différentiels. Prenons par eemple le sous-réseau de la figure 2, composé des places p 1 et p 3 et des transitions t 1 et t 3 (en traits pleins). Nous supposons que la fonction de sensibilisation associée à t 3 est e 3 : X F == 15. La transformation de ce réseau se fait de la façon suivante. Une action est associée à t 1 permettant d initialiser la variable X F du jeton à 2. Cette action est conservée telle quelle. Dans la place p 1, la variable X F évolue suivant l équation dx p1 /d = 1. La condition pour quitter cet état est X F == 15. La durée de la temporisation ( t3 ) peut alors être calculée : t3 = (valeur_de_sortie valeur_initiale) / vitesse_de_variation = (15 2) / 1 = 13. On associe alors [13 ; 13] (fonction de dirac) comme fenêtre temporelle à t 3. Bien évidemment cette epression pourrait s écrire avec des variables littérales et la valeur de la durée pourrait être différente pour chaque jeton en fonction de la valeur de ses paramètres, ce qui correspondrait à des fenêtres non réduites à une seule valeur. Enfin il reste à mettre à jour la variable X F. Ce qui est fait en associant une action à t 3 (en supposant que p1, ici la valeur 13, représente la durée de séjour du jeton dans la place p 1 ) : X = 1 * p1 + 2.

5 L ensemble des équations activées par les jetons sensibilisant une transition doit être utilisé pour transformer la fonction de sensibilisation de cette transition en une fonction algébrique eplicite donnant la date de franchissement en fonction de l état continu des équipements à la date d arrivée des jetons dans la place. Ces équations sont également utilisées pour réécrire les fonctions de jonction car, si est la date de franchissement de la transition, il ne faut donner l état continu à +, non plus en fonction de l état à -, mais en fonction de l état des variables à la date d arrivée des jetons dans les places. Il est clair que ces transformations d équations ne sont pas toujours possibles. Les difficultés viendront bien sûr de la compleité des systèmes d équations, mais également du fait que les dates d arrivées des jetons dans les places d entrée d'une transition, ayant plusieurs places d'entrée, ne sont, en général, pas les mêmes. 4. Limitations Nous venons de voir que pour avoir une simulation rapide, nous devions transformer le modèle et que cette transformation n etait pas toujours possible. Nous avons identifié deu catégories de problèmes : lorsque le calcul de la durée de sensibilisation ne peut pas être mené et lorsque les dates d arrivées des jetons dans les places d entrée ne sont pas les mêmes Impossibilité de calculer la durée de sensibilisation Le calcul des durées de temporisation, qui remplacent l intégration des variables continues, et le calcul de ces variables lors des changements d état peut faire intervenir des équations plus ou moins complees à résoudre et mettant en œuvre des fonctions mathématiques diverses. Il est bien entendu nécessaire que le simulateur puisse effectuer ces opérations (nécessité de l'etension de la syntae pour l'epression des prédicats et des actions pour le simulateur MISS-RdP par eemple). Mais il faut également que la solution puisse être calculée analytiquement (caractère eplicite). Prenons l eemple de la figure 2, en considérant maintenant l ensemble des places et des transitions. Nous avons donc une place p 1 qui définit l évolution des variables de type X F et p 2 la dynamique des variables de type Y F. Nous considérons, également, la fonction de sensibilisation e 3 : X F * Y F == 15, associée à t 3 au lieu de e 3. En considérant, dans un premier temps, qu un jeton avec une variable est déposé dans p 1 en même temps qu un jeton avec y dans p 2. Il est impossible d isoler à gauche du signe égal. On obtient l équation (( + 2) * ln (2 + 1) == 15) qui est implicite et doit être résolue avec des méthodes numériques itératives Incohérence du calcul de la durée de sensibilisation Le calcul de la durée de sensibilisation d une transition se fait lorsque la transition est sensibilisée. Or les variables portées par les jetons ne sont mises à jour que lors des franchissements de transitions. C est-à-dire que si un jeton séjourne dans une place pendant une durée non nulle avant que la transition soit sensibilisée, le calcul de la durée de sensibilisation se fera avec des valeurs erronées pour les variables de ce jeton. La durée calculée sera donc incohérente. Reprenons l eemple du paragraphe précédent (figure 2), mais en considérant e 3 : X F == 15 associée à t 3 au lieu de e 3. Si à la date 1 on met un jeton portant une variable dans p 1. La variable vaudra 1, t 3 n est pas sensibilisée. Si un jetons portant une variable y arrive dans la place 2 à la date 2, on aura y qui vaudra 2 et comme t 3 est sensibilisée on calculera la durée de sensibilisation t3 = (15 2)/1 = 13. Or à la date 2, a évolué et n est plus égale à 2, mais à 3. Et à la date = 15, vaudra * 1 = 16 et non 15. Une solution est de recalculer les valeurs des attributs des jetons chaque fois que ces jetons apparaissent dans un nouvel n-uplet sensibilisant une transition. 5. Conclusion Dans cet article, après avoir brièvement rappelé le concept des réseau prédicats-transitions-différentiels, nous avons proposé une méthode de simulation de ces réseau orientée événements. Puis nous avons étudié les limites de cette méthode de simulation. Tout d abord, il faut être capable de calculer les durées de sensibilisation remplaçant les intégrations. On peut toutefois noter que ce calcul pourrait être remplacé par l utilisation d un abaque ou d une courbe d etrapolation. Ensuite, il faut s assurer que le calcul de la durée de sensibilisation soit cohérent. Les incohérences viennent du

6 fait qu en transformant les réseau prédicats-transitions-différentiels en réseau de Petri temporels de haut niveau on ne connait plus les valeurs des variables continues à chaque instant. Le temps passé par un jeton dans un place sans sensibiliser une transition est, en quelque sorte, «oublié». Pour palier à cet inconvénient, il faut prévoir un mécanisme de mise à jour des variables lors de la sensibilisation des transitions. 6. Références [ALL 1998] : H. Alla et J.-M. Flaus. Modeling of a gas storage unit using hybrid flow nets. Proceedings of ADPM 98, Mars 1998, Reims (France), pages [AND 1996] : D. Andreu. Commande et supervision des procédés discontinus : une approche hybride. Thèse de doctorat, Université Paul Sabatier, Toulouse III (France), Novembre [BAR 1992] : P.I. Barton. The Modelling and simulation of combined discrete/continuous processes. PhD thesis, University of London (Angleterre), [BRE 1996] : H. Brettschneider, H.J. Genrich et H.-M. Hanisch. Verification and performances analysis of recipe-based controllers by means of dynamic plant models. Second International conference on Computer Integrated Manufacturing in the Process Industries, Juin 1996, Eindhoven (Hollande). [CHA 1998a] : R. Champagnat, P. Esteban, H. Pingaud et R. Valette. Petri net based modeling of hybrid systems. Computers in Industry, volume 36, N 1-2, pages , Avril [CHA 1998b] : R. Champagnat, J.-P. Bertrand, F. Dannou, P. Darfeuil, J.-C. Hochon et J.-P. Signoret. Optimisation des systèmes de production industriels : apport des techniques de simulation mite de phénomènes continus et discrets. 11 ème colloque national de fiabilité et maintenabilité, Septembre-Octobre 1998, Arcachon (France), pages [CHA 1998c] : R. Champagnat. Supervision des systèmes discontinus : définition d'un modèle hybride et pilotage en tempsréel. Thèse de doctorat, Université Paul Sabatier, Toulouse III (France), Octobre [DAU 1994] : B. Daubas. Modélisation et simulation des procédés continus et discontinus. Thèse de doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse (France), Novembre [GEN 1998] : H. Genrich et J. Schuart. Modelling and verification of hybrid systems using hierarchical coloured Petri nets. Proceedings of ADPM 98, mars 1998, Reims (France), pages [LAN 1997] : C. Lansade et P. Tayrac. Simulation mite. Projet ANVAR TLS 0089, Pau (France), Janvier [MON 1998] : G. Moncelet. Application des réseau de Petri à l'évaluation de la sûreté de fonctionnement des systèmes mécatroniques du monde automoblile. Thèse de doctorat, Université Paul Sabatier, Toulouse III (France). Octobre [PIN 1996] : H. Pingaud et R. Valette. L'approche réseau de Petri dans le cadre de la simulation, de l'optimisation et de la conduite des procédés batchs. Dans les proceedings de SIMO 96 (Simulation-Optimisation Commande), volume , Octobre 1996, Toulouse (France), pages [VAL 1998] : C. Valentin-Roubinet. Modelling of hybrid systems: DAE supervised by Petri nets the eample of a gas storage. Proceedings of ADPM 98, Mars 1998, Reims (France), pages

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