IV EXTENSION - COMPRESSION

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1 IV ETENSION - COMPRESSION L extension et la compression sont deux sollicitations simples similaires généralement associées mais conduisant à des comportements différents des matériaux qui peuvent avoir des limites de résistance différentes pour chaque sollicitation. (Exemple : fontes : 20 Mpa en extension et 150 Mpa en compression, bois, béton ) Cependant, ces deux cas conduisent aux mêmes relations de contrainte et de déformation. 1. Extension (ou traction) a) Modélisation Définition : On dit qu une poutre travaille en extension simple lorsqu elle est soumise à des actions mécaniques dont les torseurs associés se réduisent, au centre de surface des sections extrêmes, à deux résultantes directement opposées et qui tendent à l allonger. On note les torseurs associés aux actions mécaniques de liaison : { 1 } = A( 1 E) T( E) et { T( 2 E) } = B( 2 E) 0 A 0 B L équilibre de la poutre se traduit par : A( 1 E) = B( 2 E) Torseur des forces de cohésion Partageons la poutre (E) en deux tronçons (E 1 ) et(e 2 ) par une section droite (S). Repérons le centre de surface de (S) par son abscisse x dans le repère = (A,x, y,z ) lié à la poutre. R RDM - IV - 1 / 7

2 Considérons le repère R = (,x, y,z) de définition des sollicitations lié à la section droite (S). La poutre est soumise à l extension simple si le torseur des efforts de cohésion est tel que : T = coh M R avec R = N x où N 0 (effort normal) et M = 0. { } Hypothèses Dans la plupart des applications de l extension (et de la compression) le poids de la poutre peut être généralement négligé. Les résultats de la RDM ne s appliquent valablement qu à une certaine distance de la région d application des charges concentrées (Hypothèse de Barrée de St Venant) b) Déformations Essai de traction : (norme NF A ) Cet essai consiste à soumettre une éprouvette à température ambiante à un effort de traction, progressivement croissant, jusqu à la rupture. On obtient alors la courbe de traction : RDM - IV - 2 / 7

3 Bilan La portion initiale de la courbe (OA) est généralement assimilable à une droite passant par O. Il y a donc dans cette zone proportionnalité entre : l effort exercé F et le raccourcissement l : F = k l la charge unitaire σ = F S0 et l allongement unitaire ε = l l 0 On note : E = σ = ε F S l l 0 0 Où E = Module d élasticité longitudinal ou module de Young (= MPa pour les aciers ) Loi de Hooke : Les forces appliquées à un solide, dans le domaine élastique, sont des fonctions linéaires des déformations qu elles produisent : avec : σ = Contrainte d extension (Mpa) ( >0) E = Module de Young (Mpa) ε = Allongement relatif ( sans unité) σ = E ε Coefficient de Poisson L allongement de l éprouvette s accompagne d une contraction transversale (le diamètre d de la poutre diminue légèrement). Il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale d d et l allongement relatif longitudinal l l : d d = υ l l où ν = coefficient de Poisson (de l ordre de 0.3 pour les métaux) RDM - IV - 3 / 7

4 c) Contraintes Contraintes dans une section droite : Toute section droite S d une poutre soumise à une sollicitation d extension simple N est soumise à la contrainte suivante : avec σ = N S σ = Contrainte normale d extension (>0), en MPa N = Effort normal d extension (>0), en N S = Aire de la section droite, en mm2 Démonstration :Equilibre du tronçon (E 1 ) Application : Allongement d une poutre soumise à l extension. Loi de Hooke avec l expression précédente de la contrainte l = N l E S Contrainte dans une section oblique L axe de la poutre est une direction principale. Dans une poutre soumise à une extension simple, seule la contrainte principale σ est non nulle. Soit une section oblique (S) orientée par sa normale extérieure (,n), avec (,n) = ϕ : D après les formules de changement de repère pour les contraintes (chapitre III), avec σ Y = 0, on obtient dans R = (M,n,t ) : C( M, n)=σ nn+τ ntt x avec : σ ( 1+ cos( 2ϕ) ) n σ = et τ nt = σ sin( 2ϕ) 2 Calcul des contraintes dans une section oblique par construction avec les cercles de Möhr. RDM - IV - 4 / 7

5 Conséquence : Il n y a extension pure que pour les sections normales à la direction des forces extérieures. Pour toute autre section, il existe une contrainte tangentielle. Remarque : Au voisinage des changements de section, la répartition des contraintes n est plus uniforme. Concentration locale des contraintes. Condition de résistance : Pour calculer les dimensions d une pièce il faut tenir compte d un certain nombre d incertitudes : σ σ = σ avec rèelle pratique à l' extension pe σ = pe (Re) e k s où (Re) e = limite élastique en extension k = concentration de contrainte ( 1 k 3) s = coefficient de sécurité (incertitudes sur les matériaux, les efforts s 15) 2. Compression simple a) Modélisation Définition : On dit qu une poutre travaille en compression simple lorsqu elle est soumise à des actions mécaniques dont les torseurs se réduisent, au centre de surface des sections extrêmes ; à deux résultantes directement opposées et qui tendent à la raccourcir. Même type de problème qu en extension (compression négative) On a : { 1 } = A( 1 E) T( E) { 2 } = B( 1 E) T( E) avec : A( 1 E) = B( 2 E) 0 0 A B Torseur de cohésion Soit (S) la section droite de la poutre (E), de centre de surface, repérée par son abscisse x dans = (A,x, y,z ) R RDM - IV - 5 / 7

6 Considérons le repère R = (,x, y,z) de définition des sollicitations associé à la section (S). La poutre est soumise à la compression simple si le torseur des forces de cohésion est tel que : T = R, M avec R = N x où N 0 et M = 0. { } { } coh Hypothèses Mêmes hypothèses que pour la traction Si on note L la longueur de la poutre, a la section transversale la plus faible et b la section transversale la plus grande, alors il faut que : L < 8a et a b 1. 5a Si ces deux conditions ne sont pas satisfaites, la poutre peut alors être soumise au flambage. b) Déformation Il existe un essai de compression qui donne un diagramme comparable à celui de l extension (pour l acier). Dans la zone des déformations élastiques, on retrouve une proportionnalité entre l effort exercé F et le raccourcissement l (<0) mesuré. Ce qui se traduit aussi par la loi de Hooke : F Où ici : σ = N = (<0) S S σ = E ε c) Contraintes Contrainte dans une section droite L étude de l équilibre d un tronçon (E 1 ) donne la même expression de la contrainte dans toute section droite de la poutre que pour l extension : σ = N (en Mpa) S Avec, en compression : N < 0 et σ < 0. RDM - IV - 6 / 7

7 Contrainte dans une section oblique Pour une section oblique, la démarche est identique à celle développée pour l extension, avec ici σ < 0, σ = 0 et σ = 0. Y Z On obtient donc les mêmes relations : dans R = (M,n,t ), C( M, n)=σ nn+τ ntt x avec : σ ( 1+ cos( 2ϕ) ) n σ = et τ nt = σ sin( 2ϕ) 2 d où : σ = σ et τ = σ 2 n max nt max Condition de résistance : σ rèelle σ pc avec σ = pc (Re) c k s Remarque : La loi de Hooke permet de déterminer pour des pièces soumises à l extension compression - de déterminer la déformation ( allongement, raccourcissement) - de calculer les contraintes dans les pièces - de résoudre les systèmes hyperstatiques, en ajoutant des équations supplémentaires liées aux déformations. Autres applications : - Etude des enveloppes minces (sous pression) - Solides d égale résistance (piliers de ponts ) RDM - IV - 7 / 7