Prise en compte d information pour l estimation de quantiles agrégés.

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1 Prise en copte d inforation pour l estiation de quantiles agrégés. Véronique Maue-Deschaps 1 & Andrés Cubéros 2 & Esterina Masiello 1. 1 Université de Lyon, Université Lyon 1, Institut Caille Jordan ICJ UMR 5208 CNRS, esterina.asiello@univ-lyon1.fr, veronique.aue@univ-lyon1.fr. 2 Université de Lyon, Université Lyon 1, Laboratoire SAF EA 2429, SCOR SE, acuberos@scor.co. Résué. L estiation de quantiles (de niveau porche de 1) de variables agrégées (essentielleent des soes ou des soes pondérées) est essentielle pour la gestion des risques (financiers, assurantiels, environneentaux...). Cette probléatique est très présente dans la littérature ais de nouvelles éthodes efficaces sont toujours utiles, notaent en grande diension. Nous proposons une éthode d estiation basée sur la copule checkerboard qui peret d obtenir de bonnes estiations à partir d un petit échantillon de la loi ultivariée et de la connaissance des lois arginales. Cette situation est réaliste dans de nobreuses applications, notaent en assurance. Par ailleurs, de l inforation auxiliaire (connaissance de la loi d un sous-vecteur, connaissance de probabilités extrêes) peut être injectée dans la copule checkerboard et aéliorer les estiations. Mots-clés. Quantiles agrégés, copule checkerboard, inforation auxiliaire. Abstract. Estiating high level quantiles of aggregated variables (ainly sus or weighted sus) is crucial in risk anageent for any application fields such as finance, insurance, environent... This question has been widely treated but new efficient ethods are always welcoe; especially if they apply in high diension. We propose an estiation procedure based on the checkerboard copula. It allows to get good estiations fro a (quite) sall saple of the ultivariate law and a full knowledge of the arginal laws. This situation is realistic for any applications, ainly in insurance. Moreover, we ay also iprove the estiations by including in the checkerboard copula soe additional inforation (on the law of a sub-vector or on extree probabilities). Keywords. Aggregated quantiles, checkerboard copula, auxiliary inforation. 1 Définitions et probléatique. Considérons un vecteur aléatoire X = (X 1,..., X d ) dont les lois arginales sont connues. On souhaite, à partir d un échantillon indépendant de X de taille réduite n, estier les d quantiles de S = X i pour des niveaux α proches de 1. 1

2 On rappelle que si les lois des X i sont absoluent continues, la structure de dépendance de X est uniqueent déterinée par la copule définie par le théorèe de Sklar : F X (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )), (x 1,..., x d ) R d, où F X est la fonction de répartition de X et F i la fonction de répartition de X i. C est ainsi la fonction de répartition du vecteur (F 1 (X 1 ),..., F d (X d )) dont toutes les arges sont unifores. Pour x = (x 1,..., x d ) R d, on notera [0, x] R d le produit des intervalles [0, x i ]. On rearque que si µ est une esure de probabilité sur [0, 1] d, elle définit une copule en posant C(x) = µ([0, x]) si et seuleent si µ([0, x]) = x k si x j = 1 pour tout j k. 1.1 La copule checkerboard La copule checkerboard a été introduite dans Mikusinski (2010), c est une approxiation de la copule C. Soit N, considérons (I i, ) i {1,...} d la partition (odulo un enseble de esure nulle) de [0, 1] d forées par les d carrés : I i, = d [ ij 1, i ] j, i = (i 1,..., i d ). j=1 La copule cherckerboard C d ordre est associée à la esure de probabilité µ sur [0, 1] d : µ ([0, x]) = d µ(i i, )λ([0, x] I i, ). i On rearque que µ ([0, x]) = x k si x j = 1 pour j k, et donc C est bien une copule. Elle approxie C : sup C (x) C(x) d x [0,1]. d 1.2 Inforation sur un sous-vecteur Si on dispose d inforations suppléentaires coe la loi d un sous-vecteur, celles-ci peuvent être introduites dans la copule checkerboard. Supposons que la copule d un sous-vecteur X J, J {1,..., d}, C J est connue, J = k < d. On considère µ J la esure de probabilité sur [0, 1] k associée à C J. Pour i = (i 1,..., i d ), soit x = (x 1,..., x d ) [0, 1] d, x J = (x j ) j J, x J = (x j ) j J et { [ Ii, J = x [0, 1] d ij 1 / x j, i ] } j, j J, 2

3 [ I J i, {x = [0, 1] d ij 1 / x j, i ] } j, j J. La copule checkerboard avec inforation est associée à la esure de probabilité : µ J ([0, x]) = i {1,...,d} C J (x) = µ J ([0, x]). On ontre que d k µ J (I J i, )µ(i i,)λ([0, x J ] I J i, )µj ([0, x J ] I J i,). µ J ([0, x]) = x l si x j = 1 j l. Ainsi, C J est une copule. On ontre aussi qu elle approxie C. 2 La procédure d estiation. Lorsque l on dispose d un petit échantillon indépendant de X (de taille n = 30 pour d = 2 ou n = 150 pour d = 10 par exeple), l estiation de C n est pas très bonne, surtout dans la queue de distribution. Néanoins, on peut estier la copule checkerboard et l utiliser pour estier les quantiles de S. Rappelons que la copule epirique a été définie par Deheuvels (1979) à partir des rangs. Définition 1 Soient X (1),... X (n), n copies indépendantes de X et R (1) i,..., R (n) i, i = 1,..., d leurs rangs arginaux, i.e., R (j) i = n k=1 1{X (j) i X (k) i }, i = 1,..., d, j = 1,..., n. La copule epirique Ĉ est définie par : Ĉ(u) = 1 n { 1 1 n n R(k) 1 u 1,..., 1 } n R(k) d u d. k=1 µ est la esure de probabilité sur [0, 1] d associée à Ĉ. 2.1 La copule checkerboard epirique On peut alors estier µ par µ puis construire la copule checkerboard epirique : Ĉ (x) = d µ(i i, )λ([0, x] I i, ). i De êe dans le cas où on dispose de la loi d un sous-vecteur : Ĉ(x) J = d k µ J (Ii, J ) µ(i i,)λ([0, x J ] I J i, )µj ([0, x J ] Ii,). J i {1,...,d} 3

4 2.2 Estiation La procédure d estiation consiste à générer générer des échantillons bootstrap suivant la copule checkerboard epirique puis, en coposant par les fonctions quantile des arges, à obtenir un échantillon indépendant de S et à faire l estiation des quantiles sur cet échantillon. Plus préciséent : pour N >> n, Siuler un échantillon indépendant de taille N suivant la copule Ĉ, (ou ĈJ dans le cas ou on dispose de la loi d un sous vecteur) : (u (1) 1,..., u (1) ),..., (u(n) 1,..., u (N) d d ) En utilisant les lois arginales, construire un échantillon de S : d F i (u (1) i ),..., d Fi (u (N) i ). Estier les quantiles de S à l aide de l échantillon ci-dessus. Les résultats de convergence de la copule epirique (voir par exeple Feranian et al. (2004) (2004)) garantissent, si S est absoluent continue et C possède des dérivées partielles continues, si est choisi tel que A n n, pour A > 0, ( ) 1 F S FS = O P n, où F S est la fonction de répartition de S et FS la fonction de répartition de la soe des coordonnées de X dont les arginales sont le êe que X et la dépendance est donnée par la copule checkerboard epirique. Les siulations ontrent que êe avec n relativeent faible, l inforation contenue dans la copule checkerboard epirique est suffisante pour obtenir de bonnes estiations des quantiles de S. 3 Quelques siulations. On présente ici des siulations en diension 2 et 10, pour le odèle Pareto - Clayton pour lequel les valeurs exactes des quantiles de la soe sont calculables (voir Cuberos et al. (2014)). 4

5 3.1 Le odèle Pareto - Clatyon On considère X = (X 1,..., X d ) avec P(X 1 > x 1,..., X d > x d Λ = λ) = d e λx i. Autreent dit, conditionnelleent à la variable aléatoire Λ, les arges de X sont indépendantes et distribuées suivant une loi exponentielle. Si Λ suit une loi Gaa, alors les X i suivent une loi de Pareto et sont liés par une copule de survie de Clayton. Si Λ suit une loi de Levy, alors les X i suivent une loi de Weibull est sont liés par une copule de survie de Gubel. Ces odèles ont été étudiés par de nobreux auteurs et notaent introduits dans Oakes (1989) et Yeh (2007). Ils ont été utilisés, par exeples, pour obtenir des forules explicites de probabilités de ruine et d indicateurs de risque ulti-variés, dans Albrecher et al. (2011), Maue-Deschaps et al. (2014), Cénac et al. (2014) et dans Dacorona et al. (2014). Nous ontrons ci-dessous que dans le cas Pareto-Clayton, les quantiles de la soe peuvent être calculés expliciteent. On se place dans le cas où Λ Γ(α, β). Alors les X i suivent des lois de Pareto (α, β) et sont liés par une copule de survie de Clayton de paraètre 1/α. Dubey (1970) ontre qu alors S suit une loi Beta prie, i.e. sa fonction de répartition est donnée par : ( ) x F S (x) = F β. 1 + x où F β est la fonction de répartition d une loi (dβ, α). La fonction quantile FS s exprie alors en tere de de la fonction quantile de la loi Beta : F S (p) = F β (p) 1 F β (p). Les quantiles sont ainsi calculables expliciteent. 3.2 Résultats en diension 2 On considère le odèle Pareto-Clayton avec β = 1, α = 1, l échantillon de la loi ultivariée est n = 30, on prend N = Le tableau ci-dessous copare la éthode checkerboard en l estiation directe à partir de la fonction de répartition epirique de S, on donne l estiation oyenne et l écart-type relatif. On rearque que la éthode checkerboard est plus perforante, notaent en tere de stabilité et pour les quantiles les plus élevés. 5

6 VaR VaR VaR VaR VaR VaR 80% 90% 95% 99% 99.5% 99.9% Exact value Epirical (40%) (55%) (105%) (547%) (566%) (717%) Checkerboard (19%) (23%) (26%) (10%) (11%) (11%) 3.3 Résultats en diension 10 On considère le odèle Pareto-Clayton avec β = 1, α = 1, l échantillon de la loi ultivariée est n = 75 puis n = 175, on prend N = Le tableau ci-dessous copare la 2 éthode checkerboard en l estiation directe à partir de la fonction de répartition epirique de S, on donne l estiation oyenne et l écart-type relatif. On rearque que la éthode checkerboard est plus perforante, notaent en tere de stabilité et pour les quantiles les plus élevés. VaR VaR VaR VaR VaR VaR 80% 90% 95% 99% 99.5% 99.9% Exact value Epirical, n = (12%) (15%) (19%) (39%) (58%) (71%) Checkerboard, n = (10%) (13%) (14%) (20%) (20%) (16%) Epirical, n = (8%) (11%) (14%) (27%) (38%) (59%) Checkerboard, n = (7%) (9%) (12%) (16%) (21%) (19%) Rearquons que les échantillons de la loi ulti-variée sont trop petits pour espérer faire l estiation à l aide de le théorie des valeurs extrêes. C est tout l intérêt de la éthode : fournir des estiations acceptables, êe avec de petits échantillons. Les siulations en utilisant l inforation auxiliaire sont en cours. References [1] Hansjörg Albrecher, Corina Constantinescu, and Stéphane Loisel. Explicit ruin forulas for odels with dependence aong risks. Insurance: Matheatics and Econoics, 48: , [2] Peggy Cénac, Stephane Loisel, Véronique Maue-Deschaps, and Cléentine Prieur. Risk indicators with several lines of business: coparison, asyptotic behavior and applications to optial reserve allocation. Annales de l ISUP, 58(3),

7 [3] Andrés Cuberos, Esterina Masiello, and Véronique Maue-Deschaps. High level quantile approxiations of sus of risks [4] Michel Dacorogna, Leila El Bahtouri, and Marie Kratz. Explicit diversification benefit for dependent risks. preprint, [5] Paul Deheuvels. La fonction de dépendance epirique et ses propriétés. Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 65(5): , [6] Jean-David Feranian, Dragan Radulovic, and Marten Wegkap. Weak convergence of epirical copula processes. Bernoulli, 10(5): , [7] Véronique Maue-Deschaps, Didier Rullière, and Khalil Saïd. On the optial capital allocation by iniizing ultivariate risk indicators [8] Piotr Mikusinski and Michael D Taylor. Soe approxiations of n-copulas. Metrika, 72(3): , [9] David Oakes. Bivariate survival odels induced by frailties. Journal of the Aerican Statistical Association, 84(406): , [10] Hsiaw-Chan Yeh. The frailty and the Archiedean structure of the general ultivariate Pareto distributions. Bulletin Institute of Matheatics Acedeia Sinica, 2(3): ,