Algèbre Lineaire (I)

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1 Résumé du cours Algèbre Lineaire (I) Table des matières I La dimension I Le langage I2 Familles libres et génératrices 2 I3 La dimension finie 3 I4 Dimension et Sous-espaces 4 II Les applications linéaires 4 II Définitions 4 II2 Construction d applications linéaires 5 II3 Linéarité et dimension 5 II4 Isomorphisme 5 II5 Des applications à connaître 6 II5 Les projecteurs 6 II52 Les symétries 6 II53 Les formes linéaires et les hyperplans 6 Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K I La dimension I Le langage Il est peu probable que l on vous demande un jour de restituer la définition d un K ev, en revanche il est indispensable de connaître celle des sous-espaces vectoriels : Définition I Soit E un K espace vectoriel et F E F est un sous espace vectoriel de E lorsque E E, 2 pour tous x, y E et tout α, β K, αx + βy E Exemples : d espaces vectoriels : R n, R n, M n,p(r), F (X, E), où E est un K ev,r[x], R n[x] Evidemment on obtient des C espaces vectoriels en remplaçant R par C dans ces exemples de sous-espaces vectoriels : {O E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E dits triviaux Dans l espace, les droites et les plans vectoriels fournissent des exemples Tout ensemble de solutions d un système linéaire homogène à n variables est un sous-espace vectoriel de R n Tout ensemble de solutions d une équation différentielle homogène d ordre ou 2 est un sev de F (I, R) Un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut faire des combinaisons linéaires Ne nous gênons pas : Définition I2 (sous-espace vectoriel engendré par une famille) Pour toute famille de vecteurs (e i ) i I d un K espace vectoriel E, on note l ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs { p { } Vect ((e i ) i I ) = x k e ik, où p N x k K et pour tout k [[, p]], i k I Alors Vect ((e i ) i I ) est un sous-espace vectoriel de E

2 2 Pour tout sous-espace vectoriel F de E contenant tous les e i, Vect ((e i ) i I ) F On appelle Vect ((e i ) i I ) sous-espace vectoriel engendré par la famille (e i ) i I Littéralement, au sens de l inclusion, Vect (e i ) i I est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les e i Plus généralement, si A est une partie (même de cardinal infini) de E, on notera Vect (A) = {x E pour lesquels n N, a,, a n K, e, e n A, tels que x = n i= a ie i } Proposition I3 Vect (e,, e p ) est conservé par les trois opérations élémentaires sur ces vecteurs 2 Soit x E x Vect (e,, e p ) Vect (e,, e p, x) = Vect (e,, e p ) I2 Familles libres et génératrices Définition I4 Soit n N et F := ((e i ) i I ) une famille de vecteurs de E On dira que cette famille est génératrice de E lorsque tout vecteur de E est combinaison linéaire de vecteurs de ((e i ) i I ) Si I = [[, n]], cela signifie que pour tout X E, il existe x,, x n K tels que X = x e + + x n e n libre lorsque pour tout n N, pour tous i,, i n I et tous x,, x n K, si x k e ik =, alors x = = x n = une base de E lorsqu elle est libre et génératrice Remarque : Ainsi, F est génératrice de E ssi E = Vect (e,, e n), et elle est libre ssi la seule combinaison linéaire nulle de vecteurs de F est la combinaison triviale On peut unifier ces trois définitions en remarquant qu elles correspondent respectivement à la surjectivité, l injectivité et la bijectivité de l application linéaire ψ : (x,, x n) K n x i e i E i= Exemples : n N, la famille de n vecteurs appelée base canonique,,, n N, la famille (, X, X 2,, X n ) est une base appelée base canonique de K n[x] est une base du K espace vectoriel Kn, Soit (P, P,, P n) une famille de n + polynômes de R[X] qui vérifie deg P i = i pour tout i n Alors c est une base de K n[x] Dans l ensemble M n,p(k) des matrices à n lignes et p colonnes, la famille de np matrices ( E ij ) i,j n, où E ij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en (i, j) qui vaut, est une base de M n,p(k) dite base canonique Les bases ont un intérêt central pour la raison suivante : Proposition I5 (Coordonnées dans une base) Soit (e,, e n ) une base de n vecteurs de E Alors, pour tout X E, il existe un unique n uplet (x,, x n ) K n tel que X = n i= x ie i Ce n uplet est appelé coordonnées de X dans la base (e,, e n ) Nous allons voir que tout ev de dimension finie possède une base 2

3 I3 La dimension finie Un K espace vectoriel est dit de dimension finie lorsqu il existe n N et une famille E de n vecteurs de E telle que Vect E = E Théorème I6 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie E possède une base (en fait, une infinité) 2 Toutes les bases de E possèdent le même nombre d éléments On appelle dimension de E le cardinal de l une quelconque de ses bases On dira qu un espace vectoriel qui ne contient qu un élément (son neutre pour +!) est de dimension nulle Exemples : Pour tout n N, K n est un K espace vectoriel de dimension n Pour tout n N, K n[x] est un K espace vectoriel de dimension n + C 2 est un C espace vectoriel de dimension 2, mais c est aussi un R espace vectoriel de dimension 4 De manière générale, un C espace vectoriel de dimension n est un R espace vectoriel de dimension 2n (montrez-le) Pour tout n, p N, M n,p(k) est un K espace vectoriel de dimension np Pour tout vecteur X non nul de E, Vect(X) est de dimension, ie c est une droite On appelle plan tout espace vectoriel de dimension 2 Si E et F sont deux K espaces vectoriels de dimension finie, alors E F l est aussi et dim E F = dim E + dim F Si E et F sont deux K espaces vectoriels de dimensions finies, alors il en est de même de L (E, F ) et dim L (E, F ) = dim E dim F On peut traduire la liberté d une famille avec le seule notion de rang : Proposition I7 (Rang d une famille de vecteurs) Pour toute famille (e,, e p ) de vecteurs de E, on appelle On a alors Rang (e,, e p ) p Rang (e,, e p ) = dim Vect (e,, e p ) 2 Rang (e,, e p ) = p (e, e p ) est libre La dimension comme cardinal limite Une famille libre de cardinal maximal est une base, et une famille génératrice de cardinal minimal est une base : Proposition I8 Soient{ k N, E un K ev de dimension finie et F une famille de k vecteurs de E Si F est libre, alors k dim E Si F est libre et k = dim E, alors F est une base { Si F est génératrice, alors k dim E Si F est génératrice et k = dim E, alors F est une base Enfin, un résultat très utile, qui permet de construire des bases dont les premiers vecteurs sont prescrits : Théorème I9 (Base incomplète) Soit E un K espace vectoriel de dimension n N, et (e,, e p ) une famille libre de vecteurs de E Alors il existe e p+,, e n E tels que (e,, e p, e p+,, e n ) soit une base de E 3

4 I4 Dimension et Sous-espaces Propriétés I (Croissance de la Dimension) Soit E un K espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel de E Alors F est de dimension finie, et dim F dim E Si dim F = dim E, alors F = E Ce dernier résultat nous dispensera pour prouver l égalité de deux espaces vectoriels de montrer une des deux inclusions ; on substituera celle-ci à l égalité des dimensions Proposition I (Somme et intersection de sev) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E Alors F G est un sous-espace vectoriel de E 2 F + G = {x + y où x F, y G} est un sous-espace vectoriel de E On a l égalité de sous-espaces vectoriels suivante : F + G = Vect (F G) 3 F et G sont dits en somme directe lorsque F G = {} On note alors leur somme F G A nouveau, ce résultat devrait rappeler à votre mémoire le cardinal d une union de parties finies : Proposition I2 (Formule de Grasmann) Soient F et G deux sev d un espace vectoriel E de dimension finie dim F + G = dim F + dim G dim F G Définition I3 (Supplémentaires) Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires dans E lorsque E = F + G et F G = {} On note alors F G = E On appellera hyperplan tout sous-espace vectoriel qui admet une droite comme supplémentaire En termes de décomposition, cela donne : ( ) E = F G z E, un unique couple (x, y) F G tel que z = x + y Tout sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E de dimension finie possède un supplémentaire (une infinité en fait) Proposition I4 (Caractérisation des supplémentaires) Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels quelconques de E, nous avons l équivalence entre les trois propriétés suivantes : F G = E ; F + G = E et dim F + dim G = dim E F G = { E } et dim F + dim G = dim E z E,!(x, y) F G tel que z = x + y II Les applications linéaires II Définitions Une application f : E F est linéaire lorsque x, y E, λ, µ K, f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) On note L (E, F ) l ensemble de ces applications linéaires, et L (E) = L (E, E) Structure : Ces ensembles sont stables vis à vis des lois usuelles, ie que si f et g sont linéaires, il en est de même de µf, de f + g, de f g et de f si ces deux dernières existent On définit ainsi pour un endomorphisme f de E les endomorphismes f k où k N ainsi : f k = f f f L Image et Le Noyau vont jouer un rôle central : 4

5 Définition II Soit f L (E, F ) Le noyau de f : ker f = {x E tels que f(x) = F }, est un sous-espace vectoriel de E L image de f : Im f = f(e) = {f(x) où x E} est un sous-espace vectoriel de F L injectivité et la surjectivité se traduisent par des égalités portant sur ces sous-espaces vectoriels : f est injective ker f = { E }, f est surjective Im f = F Systèmes linéaires, suite et fin : On peut reformuler le résultat sur la structure de l ensemble de solutions d un système linéaire non homogène f(x) = b, où f est une application linéaire entre deux ev E et F, b un élément de F et x E la variable : L ensemble de solutions S est non vide si et seulement si b Imf Si b Imf, alors soit x une solution S est le sous espace affine x + ker f II2 Construction d applications linéaires Théorème II2 (Image d une base) Soient E un ev de dimension finie et F un espace vectoriel Soient (e,, e r ) une base de vecteurs de E et (b,, b r ) une famille de vecteurs de F Alors il existe une unique application linéaire f L (E, F ) qui vérifie pour tout i, f(e i ) = b i La bijectivité de f se lit sur l image de toute base : Soit f L (E, F ) et (e,, e n ) une base de E Alors, Im f = Vect ( f(e ),, f(e n ) ) De plus, (f est bijective) (f(e,, f(e n )) est une base de E Pour les puristes : (f est injective) (f(e,, f(e n)) est libre (f est surjective) (f(e,, f(e n)) est génératrice de E II3 Linéarité et dimension Définition II3 Soit f L (E, F ) On appelle rang de f la dimenion de son image : : Rang f = dim Im f = Rang (f(e ),, f(e n )), pour toute base (e,, e n ) de E Rappel : soit p N et (v,, v p) une famille de vecteurs de E On appelle rang de cette famille Rang (v,, v p) := dim Vect (v,, v p) Voici un des résultats les plus importants d algèbre linéaire : Théorème II4 ( du rang) Soit E un espace vectoriel de dim finie, F un espace vectoriel, et f L (E, F ) Alors Imf est de dimension finie et dim ker f + Rang f = dim E II4 Isomorphisme Un isomorphisme est une application linéaire bijective Un automorphisme est une endomorphisme bijectif L ensemble des automorphismes de E, que l on note GL(E), forme un groupe lorsqu on le munit de la loi de composition On l appelle groupe linéaire de E A nouveau, la dimension finie va nous dispenser de faire la moitié du travail Théorème II5 (Bijectivité et dimension finie) Soient E et F deux espaces vectoriels qui vérifient dim E = dim F = n < + Alors on a les 5

6 équivalences : f est injective f est surjective f est bijective Rang f = n dim ker f = II5 II5 Des applications à connaître Les projecteurs Soit E un espace vectoriel et p L (E) Alors p est un projecteur de E def p p = p Im p = {x E tels que p(x) = x} = ker(id E p) ker p Im p = E, Dans ce cas, x E, x = p(x) + x p(x) }{{}}{{} Im p ker p Réciproquement, soient F G = E Alors pour tout x E, il existe un unique y F et un unique z G tels que x = y + z L application f : x E y E est un projecteur, que l on appelle projecteur sur F parallèlement à G II52 Les symétries Soit E un espace vectoriel et f L (E) Alors f est une symétrie de E def f f = Id E En particulier, f est un automorphisme De plus, ker(f Id E ) ker(f + Id E ) = E, }{{}}{{} invariants anti-invariants f = 2p Id E si p est le projecteur sur ker(f Id E ) parallèlement à ker(f + Id E ) Réciproquement, soient F G = E Alors pour tout x E, il existe un unique y F et un unique z G tels que x = y + z L application f : x E y z E est une symétrie, que l on appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G II53 Les formes linéaires et les hyperplans Soit E un K espace vectoriel Un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel admettant une droite pour supplémentaire Toute droite non incluse dans H est alors un supplémentaire de H En dimension finie, les hyperplans sont exactement les sous-espaces vectoriels de dimension dim E Une forme linéaire sur un K espace vectoriel E est une application linéaire de E dans K Le noyau d une forme linéaire non nulle est un hyperplan de E, ce qui peut être bien pratique pour calculer la dimension de certains espaces En dimension finie, elles ont une description simple : Soit (e,, e n ) une base de E, alors les formes linéaires sur E sont les apllications f : E K pour lesquelles il existe a,, a n K tels que f : x k e k a k x k K ******************************************************* La réciproque est vraie : tout hyperplan est le noyau d une forme linéaire 6

7 II6 Le calcul du rang Qui dit calcul dit matrice! Ou au moins peut-on toujours se ramerner à une matrice : le rang d une famille de vecteurs est égal au rang de la matice des composantes de ces vecteurs dans n importe quelle base de E, et le rang d une application linéaire est égal au rang de sa matrice dans n importe quel couple de bases Soit donc A M n,p (K), dont nous noterons r N son rang Commençons par quelques rappels utiles : Le rang r est égal à la dimension de l espace vectoriel engendré par les colonnes de A, mais aussi à la dimension de l espace vectoriel engendré par les lignes de A 2 r n et r p Pour les puristes, le rang est égal au nombre de colonnes de A si et seulement si L A est injective et il est égal au nombre de lignes si et seulement si L A est surjective 3 Rang (C,, C n+ ) = Rang (C,, C n ) C n+ est une combinaison linéaire de (C,, C n ) 4 Pour une matrice carrée A M n (K) (soit 9% des cas que nous rencontrerons), det A = Rang A n 5 D après le théorème du rang (Rang A + dim ker A = p), certaines informations sur le noyau de A en fournissent sur le rang A cet effet, ne pas oublier que toute combinaison linéaire nulle des colonnes de A fournit un vecteur de ker A Par exemple, pour une matrice (3, 3), C = 2C 2 (, 2, ) ker A Ca provient de la définition même du produit matriciel : A x x p = p x i C i i= 7