Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé :

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1 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé : Circuit linéaire : assemblage de dipôles linéaires. Relation entre u et i est une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Dipôles linéaires : résistance, générateur, condensateur, bobine. I) Régime sinusoïdal forcé : 1) Intérêt du régime sinusoïdal : Lorsqu'un circuit linéaire est soumis à un ou des courants électromoteurs de variation sinusoïdales dans le temps, alors toutes les grandeurs électriques dircuit (intensité et tension) ont des variations sinusoïdales de même fréquence. Justification : Un circuit linéaire est régit par une équation différentielle linéaire à coefficient constant avec second membre de type sinusoïdal. Alors la solution particulière est de type sinusoïdale. 2) Description d'un signal sinusoïdal : x t= X cos t x X est l'amplitude du signal la pulsation temporelle, = 2 T =2 f T = période f = fréquence s'exprime en rad.s 1 Phase instantanée du signal : t x t = t x, phase à l'origine = x (nommée phase du signal). Un signal sinusoïdal est entièrement caractérisé par son amplitude X, sa fréquence f, sa phase x. Définition : Valeur efficace d'un signal noté X eff pour un signal T périodique. X eff = 1 T T 0 x 2 t = < x 2 >

2 Pour un signal sinusoïdal : xt = X cost x 2 t = X 2 cos 2 t x 2 1cos2 t =X 2[ 2 ] < x 2 >= 1 T X T 2 1cos2t 0 2 < x 2 >= 1 T [ X 2 T 2 t 1 X 2 sin 2t ]0 T 2 [ X eff =< x 2 >= X 2 2 T 2 ]0 = 1 T X 2 2 T 0 X eff = X 2 pour un signal sinusoïdal. Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux de même pulsation (synchrones) : xt = X cost x yt=y cost y y(t) atteint son max avant x(t). => y(t) est en avance de phase sur x(t). Le déphasage de y par rapport à x : = y t x t = t y t x = y x Détermination de y / x y est max pour t=t 0. t 0 y =2k (1) x est max pour t 0 t t 0 t x =2 k (2) (1) (2) t y x y x = t= y / x Si y x, y / x > 0 > y est en avance sur x. y x > y est en retard sur x. y / x ], ] ou [0,2 [ y/ x = : opposition de phase. y/ x = 2 : quadrature de phase, y en avance sur x. y/ x = 2 : quadrature de phase, x en avance sur y.

3 3) Notation complexe : et = cost e t = t Rit= t RC d Solution : t=u C H u C P t u CH t =A e t = RC u C p t=u cost u Pour t5 t u C p t=u cost > on réinjecte dans l'équation différentielle pour déterminer U et. > Calculs lourds (mais faisables) > méthode complexe : utiliser des complexes pour simplifier la recherche de la solution particulière. Signal réel : u t=u cos t Signal complexe associé : j t u t=u e =U [cos t j sin t ] avec u t= R ut Remarque : ut n'est qu'un outil pour la résolution de la solution particulière de l'équa diff. Intérêt de la notation complexe. d u = d [U e j t ]= j u t Description du signal complexe : u t=u e j t =U e j t e j u t=u e j e j t U e i =U amplitude complexe du signal. 3) Représentation de Fresnel : Il s'agit de la représentation graphique de l'amplitude complexe. Représentation de Fresnel de : U =U e j 4) Méthode complexe : Utilisation de la notation complexe pour la recherche de la solution particulière.

4 xemple : Circuit RC. et = t RC d avec et = cost e 1ère étape : A chaque grandeurs électriques, on associe un signal complexe. et = cost e et= e j t e et = e j t = e j e t= cost uc t=u c e j t (on cherche U c et uc ) t=u c e j t avec U c =U c e j. Intensité it =I cost i it= I e j t i I =I e j On réinjecte dans l'équation différentielle, en utilisant les grandeurs complexes. et = t RC d e j e j t =U C e j e j t RC j U c e j e j t =UcRC w j Uc Uc = 1 RC j 1RC j 1RC 2 arg =arg arg 1RC j= e arctanrc t=r t t= 1 RC cost 2 earctan RC Remarque : Détermination analytique de l'arg(z), Si ] 2, 2 ], soit a R, b R. z=a jb =arctan b a Si ] 2, ], a < 0, b 0 soit l'angle OM, u x tan = b a ] 2, 0 ] ==arctan b a Si [, 2 [, a < 0, b 0, soit l'angle OM, u x = arctan b a Conclusion : a > 0 => =arctan b a a < 0, a < 0, b 0 => =arctan b a b 0 => = arctan b a

5 6) Utilisation de la représentation de Fresnel : Méthode graphique pour déterminer l'amplitude z et la phase de z. quation différentielle + notation complexe : =UcRC j Uc = e j e e 1 RC j 1 RC j 1RC 2 1RC RC j 2 1 RC 2 1Rc 2 tan = RC 1RC 2 1RC 2 tan= RC = arctan RC II) Circuit linéaire en RSF (régime sinusoïdal forcé) : 1) RSF et régime transitoire : xemple : Cas dircuit RC. RC d =et= cost t=u CH tu CP t avec u CH t =A e t régime transitoire. u CP t =Uc cos t Pour tqqs ( = temps caractéristique dircuit). Le régime transitoire => 0 => seule reste la solution sinusoïdale. RSF => u C t U C cost 2) Comportement d'un dipôle en RSF = Impédance complexe : a ut b du...= f ta' i t... Notation complexe : ut ut=u e j t U =U e j u it it= I e j t I =I e j i avec f t= cost e f t f t = e j t = e j e a U e j t b j U e j t...= e j t a ' I e j t bj I e j t... U ab jc j 2...= I a'b' j... I a'b' j.. U = abj c j 2...

6 U = ' I Z Ce qu'on modélise par une source de tension en série avec un dipôle d'impédance Z. Il s'agit de la généralisation du modèle de Thevenin en RSF xemples : Générateur GBF : u=e r i résistance, u t=r i t modélisé en RSF par u=r i Z R = R condensateur : it =C du C en RSF i=cj u C u C = Z C i= 1 jc i Z = 1 C j C n BF, 0, Z C, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. n HF,, Z C 0, le condensateur se comporte comme un fil. Le condensateur induit un déphasage de 2 de par rapport aourant. bobine : ut= L di en RSF : ut= L j i, Z L = L j U =U =L I =L I U I = L arg u= 2 arg i arg u arg i= u i = u /i = 2 Interprétation de l'impédance d'un dipôle linéaire symétrique : ut=u e j t it =I e j t n RSF, u=z i Z = impédance complexe. U = Z rapport en amplitude. I arg Z = u/ i déphasage de u par rapport à i. > relation courant tension «simple» avec la notation complexe. Remarque : Z dépend de la fréquence des signaux sinusoïdaux => Étude de Z argument et en module en fonction de. Conclusion : A retenir : Résistance : u= R i Condensateur : u= 1 jc i Bobine : u= L j i Comportements asymptotiques : BF 0 condensateur : interrupteur ouvert bobine : fil HF condensateur : fil bobine : interrupteur ouvert

7 u=z i 3) Les lois en RSF pour un système linéaire : => on se ramène aux même équations / résolution qu'en régime continu. Lois de Khirchoff : => Loi des noeuds : i 1 i 2 i 3 => Loi des mailles : u 1 u 2 u 3 Association d'impédance : n série : Z eq = Z 1 Z 2 1 n parallèle : = 1 1 Z eq Z 1 Z 2 Remarque : 1 Z =Y admittance complexe. Ponts diviseurs : => De tension : u 2 = Z 2 Z 1 Z 2 u => De courant : i 2 = Z 1 Z 1 Z 2 i Théorème de Millmann : 1 V N [ 1 1 Z 1 Z 2 Z 3 ] = V 1 V 2 V 3 Z 1 Z 2 Z 3