MÉCANIQUE DES FLUIDES

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1 spé y DS n 3 rapport MÉCANIQUE DES FLUIDES Rapport du jury CENTRALE 2002 <début du rapport officiel> Partie I. Caractérisation d un écoulement I A Ordres de grandeurs I A 1 - Parfois confusion : viscosité cinématique, viscosité dynamique - L ordre de grandeur de la viscosité cinématique est peu connu. - Le jury a apprécié que le candidat établisse l expression de la force volumique de viscosité comme l impose le programme. I A 2 - Le nombre de Reynolds est bien connu. I A 3 - Indiquer une unité ne consiste pas à proposer une combinaison plus ou moins complexe d unités SI, mais à préciser l unité usuelle du SI. Ex : la compressibilité est en Pa 1. - L ordre de grandeur de la compressibilité d un liquide est peu connu. - La détermination de la compressibilité isentropique du gaz parfait est souvent décevante. - Les candidats savent que les gaz sont plus compressibles que les liquides. - La vitesse du son est souvent identifiée et le non-dimensionnement du nombre de Mach aussi. Mais ce nom est assez peu connu. - L intérêt du nombre de Mach comme critère d incompressibilité de l écoulement est quasiment inconnu bien qu il figure explicitement dans l énoncé (préambule de la partie III). Les candidats doivent apprendre à exploiter tout le document que constitue l énoncé. I A 4 - L analyse dimensionnelle est souvent exacte même si parfois les nombres de Reynolds et de Mach ne sont pas reconnus. I B Dynamique d un écoulement I B 1 a - L équation de Navier et Stokes (dans le cadre du programme) est généralement connue. - Certains candidats ont remarqué que le champ des vitesses imposé par l énoncé V(y)u Z conduit à D v = 0 ce qui simplifie grandement la suite. Dt I B 1 b - Le temps réduit est généralement correct. I B 1 c - La pression réduite est en général identifiée comme telle. I B 1 d - Trop de candidats conservent des variables exclues par l énoncé : ils savent donc que leur résultat est faux, mais le conservent quand même! Ils ont en général oublié de prendre en compte le caractère dimensionnant des opérateurs différentiels. I B 2 - La réponse est immédiate si la question précédente est correctement traitée. spé y page 1/6 ds n 3 rapport

2 I B 3 - Le terme gravitationnel n est pas toujours introduit dans l équation de Navier avec le bon signe. - L introduction de F conduit aux même remarques que celles de M et R. I B 4 a- La vitesse de la maquette est généralement trouvée mais son caractère réaliste n est pas toujours reconnu. I B 4 b - La relation entre les viscosités est le plus souvent trouvée mais la difficulté d adapter celle de la maquette peu reconnue. I B 4 c- La valeur de est assez souvent correcte mais la différence entre R et R surprend le candidat. Seuls quelques-uns concluent au même type d écoulement malgré la différence de R et R : le régime est toujours turbulent. I B 4 d- Peu de candidats constatent que M = M impose des vitesses de propagation des ondes sonores très différentes pour un milieu qui reste liquide. - Si les candidats constatent souvent l impossibilité de réaliser M = M, ils sont peu nombreux à remarquer que les 2 écoulements restent incompressibles dans le cas des navires. I B 4 e- Très peu de candidats sont capables de définir a priori une pression caractéristique de l écoulement. - Encore moins de la retrouver après réécriture de l équation de Navier sous forme réduite. Partie II II A 1- L existence d une composante tangentielle liée à la viscosité n est pas systématiquement reconnue. II A 2 et 3- Les candidats ne comprennent pas qu il s agit de mettre en oeuvre dans la question II A 2 le raisonnement du programme concernant les bilans en dynamique des fluides, sans doute à cause de l introduction du concept de dynalpie, totalement nouveau pour eux. - Par contre, ils reconnaissent la situation de la question II A 3 : c est le schéma familier des bilans en mécaniques des fluides. Certains se débarrassent alors de la notion de dynalpie et appliquent leur raisonnement habituel : ce n est pas la question posée. Les candidats doivent s imposer de suivre la démarche d un énoncé lorsque celle-ci est explicite : «A partir des propriétés de la dynalpie, nous chercherons à établir...». II A 4 et 5 - Beaucoup de candidats ont compris que loin des contacts fluides-solide (c est-à-dire en dehors de la couche limite), les écoulements peuvent en général être considérés comme parfaits. - Une lecture attentive de l énoncé (la description des notations étant évidemment très lourde pour le système considéré) a permis à la plupart des candidats d obtenir la relation demandée en II A 4, d autant plus que celle attendue en II A 5 (fournie par l énoncé) s en déduit sans vrai difficulté. II B 2- Le vecteur surface d une surface fermée est nul. Beaucoup de candidats le savent. Les autres croient qu il est nécessaire que la surface fermée soit suffisamment symétrique pour que la résultante des forces pressantes soit nulle dans un champ de pression uniforme. - La lecture de l énoncé aurait dû conduire immédiatement à déduire du résultat précédent la relation demandée (fournie par l énoncé). II C 1- Même remarque que précédemment sur la non difficulté d obtention de la relation souhaitée. - Certains candidats ont cru qu il s agissait de justifier le qualificatif de traînée, ce qui est bien délicat : il ne suffit pas de l affirmer, les sens des 2 forces sont peu évidents. Il s agissait de distinguer l influence dans l écoulement de la captation et de la carène. II C 2- Il s agissait de déduire de la question précédente une relation simple familière aux candidats. Certains d entre eux s y refusent et reviennent à la démarche de leur cours pour obtenir cette relation. Une fois encore, il faut suivre l énoncé. spé y page 2/6 ds n 3 rapport

3 - Les candidats ne remarquent pas que la conservation du débit massique est liée à toutes les approximations de l énoncé et en particulier à celle consistant à négliger les résidus de combustion du carburant. II C 3 - Quelques candidats montrent qu ils ont compris l ensemble de cette partie de l épreuve. Partie III III A- Quasiment aucun candidat n est capable de mettre en oeuvre le raisonnement du programme concernant les bilans en dynamique dans la présente situation. La difficulté première réside dans la définition du système fermé auquel le programme demande de se ramener : il faut compléter le cylindre de la figure 7 de l énoncé par deux cylindres obliques dirigés suivant V 1 dans la région 1 et suivant V 2 dans la région 2. Cette identification constitue la base du raisonnement, son absence rend nul tout développement ultérieur même lorsqu il conduit aux bons résultats. III B - Le jury n a pas voulu sanctionner une deuxième fois dans cette question l incohérence des réponses à la question précédente. Il a donc fait comme si le système fermé usuel (celui du cours V 1 et V 2 ont même direction!) était acceptable. Malgré cette indulgence, peu de réponses satisfaisantes. - Le candidat «martyrise» le bilan thermodynamique jusqu à ce qu il obtienne la relation fournie par l énoncé. - Le jury a bien sûr accepté la référence au premier principe de la thermodynamique des fluides en écoulement lorsque le travail intervenant dans cet énoncé a clairement été identifié comme le travail utile, c est-à-dire débarrassé du travail de transvasement. On obtient alors immédiatement la relation proposée. - La détermination de la variation d enthalpie est rarement obtenue, mais il s agit de la fin du problème... III C- Cette question, n est pas abordée par les candidats, sans doute faute de temps car certains possèdent les équations de départ même si le raisonnement mis en oeuvre pour les obtenir en III A n a pas été accepté. Cette partie est apparue trop difficile pour les candidats. Ils n ont pas su prendre en compte la complexité géométrique de l écoulement. <fin du rapport officiel> Commentaires du D.S. La plupart des erreurs relevées par le rapport ci-dessus ont été commises à de multiples exemplaires. Voici quelques remarques supplémentaires : I.A.1. Poiseuille ne s écrit pas Poiseuil ou Poisseuille. I.A.2 L unité R e pour le nombre de Reynolds n existe pas! L interprétation doit être précise (en expliquant la signification des grandeurs qu on utilise dans les formules) et pas se limiter au «rôle» joué par R. I.A.3. Confusion systématique entre la définition (ici χ = 1 V V p ou χ µ = 1 ) qui ne dépend µ p pas du fluide, de son état ou du modèle pour le décrire, et expression (ici par exemple χ = 1 S dans le γp modèle du gaz parfait) qui est une fonction explicite des paramètres d état choisis et qui ne peut être trouvée que dans le cadre d un modèle particulier décrivant le fluide. spé y page 3/6 ds n 3 rapport

4 RT Au cours d une transformation adiabatique, on ne peut pas écrire «V = donc V RT = p p p 2» car T n est pas constante au cours de la transformation. I.A.4-b. Il faut reconnaître les combinaisons particulières obtenues et pas seulement fournir un n-uplet de valeurs qui n a aucun intérêt en tant que tel. I..1a. Il vaut mieux exprimer l accélération dans le point de vue d Euler. r b. La relation v = n est qu une définition simpliste de la vitesse vue en secondaire. On a vu t mieux depuis. c. La question est de justifier que l on peut choisir 1 χ comme pression de référence. d. Les opérateurs gradient et laplacien contiennent des dérivées par rapport aux variables de position qui doivent être également réduites. Pour éviter les erreurs, il faut faire une étude préalable des différentes dérivées possibles avant de traiter toute l équation de Navier Stokes d un coup. I.B.4 : Il y avait des points faciles à gagner ici. II.A.1. Confusion fréquente entre R résultante sur un élément ds quelconque des forces de pression et de viscosité, définie par l énoncé, et la résultante de toutes les forces appliquées au solide. Une lecture attentive de l énoncé s impose. II.A.2. Le résultat est donné par l énoncé ; il faut donc être particulièrement vigilant sur la démonstration. Choisir une surface très particulière telle que les vitesses d entrée et de sortie sont égales interdit la généralité du résultat. La symétrie de révolution n est pas un argument suffisant pour annuler une résultante : un cône possède la symétrie de révolution mais la résultante des forces de pression qui s exerce dessus n est pas nulle. II.A.3 : il faut utiliser la dynalpie! Il faut expliquer ce qu on fait par des phrases et pas seulement accumuler des symboles d intégration imbuvables. II.A.suite. Les erreurs sont de même type que précédemment : mauvaise rédaction, accomodement avec la logique pour aboutir au résultat. III.Voir rapport concours. La démonstration de cours en III-B est bien connue en général par ceux qui s y essaye. grad r v!. χ = F H G Florilège (fourni sans commentaire, à chacun de trouver l incongruité) 1 V dp p I KJ χ S = 1 m V F H G dp p I = KJ S V m F H G I dp V = KJ ρ χ = p χ µδτ dv r = r v F ( y, t ) u r r v u r r X = X t = r µ r r g = µ g dv dt z v dt un raisonnement aux dimensions : [ν] = [ Poiseuille] conduit à l unité Pl.V.kg 1 [ M][ V] 1 «l unité de M est le m.kg 1/2.L 1/2.Pa 1/2.s 1» «Sa signification donne une information sur la viscosité par rapport à la vitesse de l écoulement.» «Le phénomène de transport de l air est convectif. Il est donc normal...que la direction du flux soit normale à...» S S spé y page 4/6 ds n 3 rapport

5 «R UD = ν est appelée résistivité thermique. C est l équivalent de la résistance électrique.» «or les forces de pression sont conservatives...» Exemples de rédaction : spé y page 5/6 ds n 3 rapport

6 ...et on dira que le lecteur n est pas d une infinie patience... spé y page 6/6 ds n 3 rapport

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