Florian De Vuyst ENS de Cachan

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1 Master Modélisation et Simulation M2S M6 Simulation et méthodes numériques Florian De Vuyst ENS de Cachan Travaux pratiques, feuille 6. Méthode de volumes finis Résolution de l équation de convection scalaire par une méthode de volumes finis non structurés Exercice : La méthode des volumes finis On considère l équation de convection suivante où u(x, y, t) est à valeur dans R : u t + (c 1(x, y)u) + (c 2(x, y)u) = 0 x y ( ) (1) u(x, y, 0) = u 0 (x, y) exp 50 [(x 0.4) 2 + (y 0.0) 2 ] dans le domaine circulaire de centre (0, 0) et de rayon 1 dont un maillage composé de triangles est fourni dans le fichier disq0.amdba. Les méthodes des volumes finis consistent à déterminer une approximation de la moyenne de la solution sur chaque volume : u (t) 1 u(x, y, t)dxdy. L équation (1) et la formule de Stokes conduisent au système différentiel suivant où l on note N () l ensemble des volumes voisins de et ν,l la normale unitaire à L orientée de vers L du (t) dt = 1 L Φ(u, u L ; ν,l ) (2) où Φ(u, v, ν N,L ) est le flux numérique tenant compte de la direction d où vient l information. Dans le cas présent, si on pose C = (c 1 (x L, y L ), c 2 (x L, y L )), M L = (x L, y L ) étant le milieu de l arête L, on prendra { C ν,l u Φ(u, u L ; ν,l ) = si C ν,l 0 C ν,l u L si C ν,l < 0. On résout le système (3) par la méthode d Euler explicite, qui s écrit, u n étant une approximation de u (n t) et t le pas de temps : 1) Sur feuille : vérifier que u n+1 = un t Φ(u, u L ; ν,l ) = Φ(u L, u ; ν L, ) L Φ(u n, u n L; ν,l ) (3) 2) Sur feuille : Dans le cas numérique étudié, les contributions des arêtes de bord sont nulles car C est orthogonal aux normales des arêtes de bord. Vérifier que pour calculer u n+1, il suffit de parcourir 1/5

2 l ensembles des arêtes internes et d accumuler dans les 2 volumes adjacents à l arête la contribution qu il convient et que l on déterminera. 3) Sur feuille : Ecrire l algorithme qui à partir d une donnée définie triangle par triangle sol_t calcule une donnée approchée (interpolée) en chaque sommet sol_s par la formule suivante : sol_t() S sol_s(s is ) = is S is sommet du maillage (4) S is Exercice 2) : Préparation et initialisation 1) Ecrire un script qui lit le fichier disq0.amdba, trace le maillage correspondant et appelle la fonction face_number qui (si M est la variable contenant la structure maillage) : numérote les arêtes de 1 à M.nba. associe à chaque arête les numéros des 2 éléments adjacents par ordre croissant des numéros : M.fac_elm(nf,i) est le numéro du ième élément adjacent à l arête nf. S il s agit d une arête sur la frontière du domaine alors M.fac_elm(nf,2) = 0. calcule pour chaque arête nf la normale unitaire de l arête orientee de M.fac_elm(nf,1) vers M.fac_elm(nf,2) : M.fac_nor(nf,1 :2). calcule pour chaque arête nf le milieu de l arête : M.fac_gra(nf,1 :2). définit pour chaque arête nf un numéro de zone : M.fac_zon(nf). calcule pour chaque arête nf la longueur de l arête : M.fac_mes(nf). calcule pour chaque triangle ie sa surface M.elm_mes(ie). calcule pour chaque triangle ie le centre de gravité M.elm_gra(ie,1 :2). associe à chaque arête nf les 2 numéros des sommets de l arête : M.fac_som(nf,i) est le numéro du ième sommet de l arête nf. Ces 2 sommets sont rangés de telle sorte que la normale à l arête, orientée de l élément M.fac_elm(nf,1) vers l élément M.fac_elm(nf,2) soit définie par [ M.som_coo(M.fac_som(:,2),2) - M.som_coo(M.fac_som(:,1),2) ; -M.som_coo(M.fac_som(:,2),1) + M.som_coo(M.fac_som(:,1),1)] 2) Ecrire une fonction de la forme function [sol]=init(u0,mesh) qui calcule pour chaque triangle du maillage la valeur u0(g ) où G est le centre de gravité de et qui retourne le vecteur colonne sol composé des valeurs u0(g ). On supposera que la fonction u0 est une fonction de 2 variables. 3) Ecrire une fonction de la forme function [sol_s]=tri_to_som(mesh,sol_t) qui à partir d une donnée définie triangle par triangle sol_t calcule une donnée approchée (interpolée) en chaque sommet sol_s par la formule de moyenne suivante : sol_s(is) = S is sol_t() S is S is sommet du maillage (5) 4) Modifier le script de la question 1 : calculer dans la variable sold la solution initiale à l aide de la fonction init, puis tracer la surface 3D de cette solution initiale et ses lignes de niveau ( hautr = 2/5

3 0 : 0.05 : 1 ). Exercice 3) : Mise en œuvre de la boucle en temps 1) Ecrire une fonction de la forme function [snew] = conv_sca(mesh, sold, dt) qui à partir de l approximation sur chaque volume de la solution à l instant n t stockée dans la variable sold calcule l approximation à l instant (n + 1) t de la solution stockée dans la variable snew à l aide du schéma volumes finis. Notant, N L = L ν L, on a snew() = sold() t C.N L sold() + C.N L sold(l) = sold() t C.N L >0 L C.ν L >0 C.N L <0 C.ν L sold() + C.ν L <0 C.ν L sold(l).(6) Pour cela, on parcourra les arêtes et on accumulera dans les 2 éléments voisins les contributions correspondantes. On prendra ici pour c 1 (x, y) = y et c 2 (x, y) = x et on remarquera que les arêtes de bord c est-à-dire celles dont mesh.fac_elm(nf,2)=0 n ont aucune contribution car C.N = 0 dans le cas présent. 2) Modifier le script de la question 1 exercice 2 de façon à résoudre le problème entre 0 et T avec le pas t. A chaque pas de temps, on affichera la ligne suivante (à l aide de la commande fprintf) it temps snew() max(snew) min(snew) où it est le numéro de l itération en temps. Ce programme tracera aussi dans une figure la surface 3d de la solution finale (à T) et dans une autre figure les lignes de niveau (mêmes niveaux que la condition initiale) de cette même solution. 3) Mettre en œuvre ce schéma avec t = 0.03 et T = π. Reprendre cette question avec le maillage raffiné une fois et t = Comparer les résultats. 4) Vérifier que pour c 1 (x, y) = y et c 2 (x, y) = x u(x, y, t) = e 50((x 0.4 cos(t))2 +(y 0.4 sin(t)) 2 ) (7) est solution du problème (on remarquera que C = 0). Comparer graphiquement et numériquement la solution exacte et la solution approchée. Discussion : équation de transport ou loi de conservation? Quelle est la différence entre une équation de transport t c + u c = 0 ou une loi de conservation t c + (cu) = 0? 3/5

4 D abord on constate qu il n y a pas de différence quand le champ de vitesse de transport u est à divergence nulle. Dans ce cas on a plutôt intérêt à utiliser la loi de conservation pour insister sur la conservation de la quantité c. De même il convient d utiliser une méthode de volumes finis (conservative) pour respecter la conservation de la quantité du point de vue discret. Quand le champ de vitesse n est pas à divergence nulle, il faut faire attention. Une équation de transport traduit le transport de la quantité c. En dérivée Lagrangienne totale (ou dérivée particulaire), l équation s écrit D t c = 0, traduisant le fait que c est simplement transporté par les particules du fluide. Une loi de conservation traduit quand même la conservation d une quantité dans un élément de volume transporté par le fluide. Le théorème du transport du Reynolds dit que d dt c(x, t) dx = { t c + (uc)} Ω t Ω t pour un volume de fluide Ω t qui se déforme au cours du temps t. Dans le cas de la loi de conservatiopn, c est la masse m t = c(x, t) dx Ω t dans le volume Ω t qui est conservée. Dans certains cas, la modélisation fait apparaitre des variables transportées et des quantités conservées, mais il est préférable encore une fois de privilégier les lois de conservation et les volumes finis pour respecter la conservation des grandeurs conservées. Un exemple intéressant est le suivant : considérons un mélange de liquides constitué d eau et d huile. L eau et l huile peuvent raisonnablement être considérés comme incompressibles. On note ρ o (oil) la masse volumique de l huile et ρ w (water) la masse volumique de l eau, toutes deux supposées constantes. Soit α la variable qui représente la fraction volumique d huile dans le mélange. On définit une masse volumique de mélange ρ définie par ρ = αρ o + (1 α)ρ w. La conservation de la masse de la phase huile s écrit simplement t (αρ o ) + (αρ o u) = 0. Comme ρ o = C, on obtient une loi de conservation pour la variable α : t (α) + (αu) = 0. La conservation de la masse du mélange est l équation de continuité classique t ρ + (ρu) = 0. Même si les deux phases sont incompressibles, il n y a aucune raison ici pour que u = 0. Les flux entrants et sortant vont dépendre de la fraction volumique d huile. Introduisons maintenant la variable de fraction massique d huile c, définie par 4/5 c = αρ o ρ.

5 La conservation de la masse de la phase huile peut donc être réécrite t (ρc) + (ρuc) = 0. Et de l équation de continuité du mélange, on en déduit t c + u c = D t c = 0, autrement dit, la quantité c est bien une quantité transportée. On peut passer de c à α par et c = α = αρ o αρ o + (1 α)ρ w cρ w cρ w + (1 c)ρ o (exercice) réciproquement. Du point du vue numérique, on préfèrera donc résoudre la loi de conservation sur α (qui traduit la conservation de la masse de la phase huile), et en déduire la masse volumique de mélange ρ et la fraction massique c. 5/5